Cálculo de la pierna por ángulo y pierna. Encontramos el lado del triángulo, si los otros dos se conocen de tres formas, las fórmulas

Un triángulo es un número geométrico formado por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma línea. Los puntos que forman un triángulo se llaman puntos y los segmentos están uno al lado del otro.

Dependiendo del tipo de triángulo (rectangular, monocromático, etc.), puede calcular el lado del triángulo de manera diferente, dependiendo de los datos de entrada y las condiciones del problema.

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Para calcular los lados de un triángulo rectángulo se utiliza el teorema de Pitágoras, según el cual el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados del cateto.

Si marcamos los catetos con las letras "a" y "b" y la hipotenusa con "c", entonces las páginas se pueden encontrar con las siguientes fórmulas:

Si se conocen los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (ayb), sus lados se pueden encontrar con las siguientes fórmulas:

Triángulo recortado

Un triángulo se llama triángulo equilátero en el que ambos lados son iguales.

Cómo encontrar la hipotenusa en dos piernas

Si la letra "a" es idéntica a la misma página, "b" es la base, "b" es la esquina opuesta de la base, "a" es la esquina adyacente, se pueden utilizar las siguientes fórmulas para calcular las páginas:

Dos esquinas y lateral

Si se conocen una página (c) y dos ángulos (ayb) de cualquier triángulo, se utiliza la fórmula del seno para calcular las páginas restantes:

Deberías encontrar el tercer valor y \u003d 180 - (a + b) porque

la suma de todos los ángulos del triángulo es 180 °;

Dos lados y un ángulo

Si conoce los dos lados del triángulo (ayb) y el ángulo entre ellos (y), el teorema del coseno se puede usar para calcular el tercer lado.

Cómo determinar el perímetro de un triángulo rectángulo

Un triángulo triangular es un triángulo, uno de los cuales mide 90 grados y los otros dos son afilados. cálculo perímetro tal triángulo dependiendo de la cantidad de información conocida al respecto.

Lo necesita

• Dependiendo del caso, las habilidades son 2 de los tres lados del triángulo, así como una de sus esquinas afiladas.

instrucciones

el primero Método 1. Si se conocen las tres páginas triángulo Entonces, independientemente de que sea perpendicular o no triangular, el perímetro se calcula como: P \u003d A + B + C, donde sea posible, c es la hipotenusa; ayb son piernas.

segundo Método 2.

Si el rectángulo tiene solo dos lados, entonces usando el teorema de Pitágoras, triángulo se puede calcular mediante la fórmula: P \u003d v (a2 + b2) + a + b o P \u003d v (c2 - b2) + b + c.

tercero Método 3. Sea la hipotenusa cy un ángulo agudo? Dado un triángulo rectángulo, será posible detectar el perímetro de esta manera: P \u003d (1 + sin?

cuarto Método 4. Dicen que en el triángulo rectángulo la longitud de un cateto es igual a ay, por el contrario, tiene un ángulo agudo. Entonces calcula perímetro esto es triángulo se realizará de acuerdo con la fórmula: P \u003d a * (1 / tg?

1 / hijo? + 1)

quinto Método 5.

Cálculo de triángulos en línea

Dejemos que nuestra pierna lidere y se incluya en ella, entonces el rango se calculará como: P \u003d A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

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El teorema de Pitágoras es la base de cualquier matemática. Define la relación entre los lados de un triángulo verdadero. Ahora se indican 367 demostraciones de este teorema.

instrucciones

el primero La formulación de la escuela clásica del teorema de Pitágoras suena así: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para encontrar la hipotenusa en un triángulo rectángulo de dos Catetos, debes girar para elevar al cuadrado la longitud de los catetos, juntarlos y sacar la raíz cuadrada de la suma. En la formulación original de su afirmación, el mercado se basa en una hipotenusa igual a la suma de 2 cuadrados producida por Catete. Sin embargo, la formulación algebraica moderna no requiere la introducción de una representación de dominio.

segundo Por ejemplo, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 8 cm.

Entonces, según el teorema de Pitágoras, la hipotenusa cuadrada es R + S \u003d 49 + 64 \u003d 113 cm. La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de 113.

Ángulos de un triángulo rectángulo

El resultado fue un número irrazonable.

tercero Si los triángulos son catetos 3 y 4, entonces la hipotenusa \u003d 25 \u003d 5. Cuando sacas la raíz cuadrada, obtienes un número natural. Los números 3, 4, 5 forman un triplete de Pyghagorean, ya que satisfacen la relación x? + ¿Y? \u003d Z, que es natural.

Otros ejemplos del triplete pitagórico son: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

cuarto En este caso, si los catetos son idénticos entre sí, el teorema de Pitágoras se convierte en una ecuación más primitiva. Por ejemplo, suponga que tal mano es igual al número A y la hipotenusa está definida para C, y luego c? \u003d Ap + Ap, C \u003d 2A2, C \u003d A? 2. En este caso, no necesita A.

quinto El teorema de Pitágoras es un caso especial que es más grande que el teorema general del coseno, que establece una conexión entre los tres lados de un triángulo para cualquier ángulo entre dos de ellos.

Consejo 2: Cómo determinar la hipotenusa para piernas y ángulos

La hipotenusa se llama el lado de un triángulo rectángulo que es opuesto al ángulo de 90 grados.

instrucciones

el primero En el caso de catéteres conocidos, así como un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, el tamaño de la hipotenusa puede ser igual a la relación entre el cateto y el coseno / seno de este ángulo, si el ángulo es opuesto / e incluye: H \u003d C1 (o C2) / sen, H \u003d C1 (o C2?) / Cos ?. Ejemplo: Sea ABC un triángulo irregular con hipotenusa AB y ángulo recto C.

Sea B 60 grados y A 30 grados. Longitud de la pierna BC 8 cm. Se debe encontrar la longitud de la hipotenusa AB. Para ello, puede utilizar uno de los métodos anteriores: AB \u003d BC / cos60 \u003d 8 cm. AB \u003d BC / sin30 \u003d 8 cm.

La hipotenusa es el lado más largo del rectángulo. triángulo ... Está ubicado en ángulo recto. Método de búsqueda de hipotenusa rectangular triángulo dependiendo de los datos de origen.

instrucciones

el primero Si tus piernas son perpendiculares triángulo , luego la longitud de la hipotenusa del rectángulo triángulo se puede encontrar mediante el análogo pitagórico: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos: c2 \u003d a2 + b2, donde a y b son la longitud de los catetos de la derecha triángulo .

segundo Si se conoce, y uno de los catetos está en un ángulo agudo, la fórmula para encontrar la hipotenusa dependerá de la presencia o ausencia en un cierto ángulo con respecto al cateto conocido - adyacente (el cateto está ubicado cerca), o viceversa (el caso opuesto se ubica nego. V del ángulo especificado es igual a la fracción la hipotenusa del cateto en el ángulo coseno: a \u003d a / cos; E, por otro lado, la hipotenusa es la misma que la razón de los ángulos sinusoidales: da \u003d a / sin.

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Consejos útiles
Un triángulo angular, cuyos lados están conectados como 3: 4: 5, llamado delta egipcio, debido al hecho de que estas figuras fueron ampliamente utilizadas por los arquitectos del antiguo Egipto.

Este es también el ejemplo más simple de los triángulos de Jeron, con páginas y áreas representadas como números enteros.

Un triángulo se llama rectángulo con un ángulo de 90 °. El lado opuesto a la esquina derecha se llama hipotenusa, el otro lado se llama piernas.

Si desea averiguar cómo un triángulo rectángulo está formado por algunas propiedades de los triángulos regulares, es decir, el hecho de que la suma de los ángulos agudos es 90 °, que se usa, y el hecho de que la longitud del cateto opuesto es la mitad de la hipotenusa es 30 °.

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Triángulo recortado

Una de las propiedades de un triángulo igual es que sus dos esquinas son iguales.

Para calcular el ángulo de un triángulo igual en ángulo recto, necesita saber que:

• Esto no es peor que 90 °.
• Los valores de los ángulos agudos se determinan mediante la fórmula: (180 ° -90 °) / 2 \u003d 45 °, es decir

  Los ángulos α y β son iguales a 45 °.

Si se conoce el valor conocido de uno de los ángulos agudos, el otro se puede encontrar mediante la fórmula: β \u003d 180º-90º-α o α \u003d 180º-90º-β.

Esta relación se usa con mayor frecuencia cuando uno de los ángulos es de 60 ° o 30 °.

Conceptos clave

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 °.

Debido a que este es un nivel, dos permanecen definidos.

Calcular triángulo en línea

Si desea encontrarlos, debe saber que:

otros metodos

Los valores del ángulo agudo de un triángulo rectángulo se pueden calcular a partir de la media, con una línea desde un punto en el lado opuesto del triángulo y la altura, la línea es una perpendicular que cae desde la hipotenusa en ángulo recto.

Deje que la mediana se extienda desde la esquina derecha hasta la mitad de la hipotenusa, y h sea la altura. En este caso, resulta que:

• sen α \u003d b / (2 * s); sen β \u003d a / (2 * s).
• cos α \u003d a / (2 * s); cos β \u003d b / (2 * s).
• sen α \u003d h / b; sen β \u003d h / a.

Dos paginas

Si las longitudes de la hipotenusa y uno de los catetos se conocen en un triángulo rectángulo o en ambos lados, entonces se utilizan identidades trigonométricas para determinar los valores de los ángulos agudos:

• α \u003d arcosen (a / c), β \u003d arcosen (b / c).
• α \u003d arcos (b / c), β \u003d arcos (a / c).
• α \u003d arctan (a / b), β \u003d arctan (b / a).

Longitud de un triángulo rectángulo

Área y área de un triángulo

perímetro

La circunferencia de cualquier triángulo es igual a la suma de las longitudes de los tres lados. Fórmula general para encontrar un triángulo triangular:

donde P es la circunferencia del triángulo, a, byc desde su lado.

Perímetro de un triángulo igual se puede encontrar concatenando las longitudes de los lados secuencialmente, o multiplicando la longitud del lado por 2 y agregando la longitud de la base al producto.

La fórmula general para encontrar un triángulo de equilibrio se verá así:

donde P es el perímetro de un triángulo igual, pero b, b es la base.

Perímetro de un triángulo equilátero se puede encontrar concatenando secuencialmente la longitud de sus lados o multiplicando la longitud de cualquier página por 3.

La fórmula general para encontrar el borde de los triángulos equiláteros se verá así:

donde P es el perímetro de un triángulo equilátero, a es cualquiera de sus lados.

región

Si desea medir el área de un triángulo, puede compararlo con un paralelogramo. Considere el triángulo ABC:

Si tomamos el mismo triángulo y lo arreglamos de manera que obtengamos un paralelogramo, obtenemos un paralelogramo con la misma altura y base que este triángulo:

En este caso, el lado común de los triángulos se pliega a lo largo de la diagonal del paralelogramo moldeado.

De las propiedades del paralelogramo. Se sabe que las diagonales de un paralelogramo siempre se dividen en dos triángulos iguales, entonces la superficie de cada triángulo es igual a la mitad del rango del paralelogramo.

Dado que el área del paralelogramo es el mismo que el producto de la altura de su base, el área del triángulo será la mitad de ese producto. Por lo tanto, para ΔABC, la región será la misma

Ahora considere un triángulo rectángulo:

Dos triángulos rectángulos idénticos se pueden doblar en un rectángulo si se apoya contra ellos, que es la hipotenusa del otro.

Dado que la superficie del rectángulo coincide con la superficie de los lados adyacentes, el área de este triángulo es la misma:

De esto podemos concluir que la superficie de cualquier triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos, dividido por 2.

De estos ejemplos, se puede inferir que la superficie de cada triángulo es igual al producto de la longitud, y la altura se reduce a un sustrato dividido por 2.

La fórmula general para encontrar el área de un triángulo se vería así:

donde S es el área del triángulo, pero su base, pero la altura cae al fondo a.

Te presentamos una calculadora que te permite calcular todo lo posible.

Me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que es un bot versátil. Calcula todos los parámetros de un triángulo arbitrario, dados los parámetros arbitrarios. No encontrarás un bot de este tipo en ningún otro lugar.

¿Conoces el lateral y las dos alturas? o dos lados y una mediana? ¿O es la bisectriz dos esquinas y la base del triángulo?

Para cualquier solicitud, podemos obtener el cálculo correcto de los parámetros del triángulo.

No es necesario que busque fórmulas y realice el cálculo usted mismo. Todo ya está hecho por ti.

Cree una solicitud y obtenga una respuesta exacta.

Se muestra un triángulo arbitrario. Hagamos inmediatamente una reserva de cómo y qué se indica, para que en el futuro no haya confusiones y errores en los cálculos.

Los lados opuestos de cualquier esquina también se llaman iguales solo con una letra pequeña... Es decir, opuesto al ángulo A se encuentra el lado del triángulo a, el lado con el ángulo C.

ma es la medina que cae en el lado a, respectivamente, también hay medianas mb y mc que caen en los lados correspondientes.

lb es la bisectriz que cae en el lado b, respectivamente, también hay bisectrices la y lc que caen en los lados correspondientes.

hb es la altura que cae sobre el lado b, respectivamente, también hay alturas ha y hc que caen sobre los lados correspondientes.

Bueno, segundo, recuerda que un triángulo es una figura en la que hay fundamental regla:

La suma de cualquier (!) Dos lados debe ser mayortercero.

Así que no se sorprenda si recibe un error. PAGS no existen tales datos triangulares al intentar calcular los parámetros de un triángulo de lados 3, 3 y 7.

Sintaxis

Para los clientes XMPP, la solicitud es como esta treug<список параметров>

Para los usuarios del sitio, todo se hace en esta página.

Lista de parámetros: parámetros que son conocidos, separados por punto y coma

el parámetro se escribe como parámetro \u003d valor

Por ejemplo, si se conoce el lado a con un valor de 10, escribimos a \u003d 10

Además, los valores pueden ser no solo en forma de un número real, sino también, por ejemplo, como resultado de alguna expresión

Y aquí está la lista de parámetros que pueden aparecer en los cálculos.

Lado a

Lado B

Lado c

Semiperímetro p

Ángulo A

Esquina B

Ángulo C

Área del triángulo S

Altura ha en el lado a

Altura hb en el lado b

Altura hc en el lado c

Mediana ma al lado a

Mediana mb por lado b

Mediana mc en el lado c

Coordenadas del vértice (xa, ya) (xb, yb) (xc, yc)

Ejemplos de

nosotros escribimos treug a \u003d 8; C \u003d 70; ha \u003d 2

Parámetros del triángulo según los parámetros especificados.

Lado a \u003d 8

Lado b \u003d 2.1283555449519

Lado c \u003d 7.5420719851515

Semiperímetro p \u003d 8.8352137650517

Ángulo A \u003d 2,1882518638666 en grados 125,37759631119

Ángulo B \u003d 2.873202966917 en grados 164.62240368881

Ángulo C \u003d 1,221730476396 en 70 grados

Área del triángulo S \u003d 8

Altura ha en el lado a \u003d 2

Altura hb por lado b \u003d 7.5175409662872

Altura hc por lado c \u003d 2,1214329472723

Mediana ma por lado a \u003d 3.8348889915443

Mediana mb por lado b \u003d 7,7012304590352

Mediana mc por lado c \u003d 4,4770789813853

Eso es todo, todos los parámetros del triángulo.

La pregunta es por qué nombramos la fiesta y, pero no en o de? Esto no afecta la decisión. Lo principal es soportar la condición que ya he dicho " Los lados opuestos de cualquier esquina se llaman iguales, solo una letra pequeña. "Y luego dibuja un triángulo en tu mente y aplícalo a la pregunta.

Uno podría tomar en su lugar y en, pero entonces el ángulo incluido no DE y Y bueno, la altura será media pensión... El resultado si lo marca será el mismo.

Por ejemplo, así (xa, ya) \u003d 3.4 (xb, yb) \u003d -6.14 (xc, yc) \u003d - 6, -3

escribir una solicitud treug xa \u003d 3; ya \u003d 4; xb \u003d -6; yb \u003d 14; xc \u003d -6; yc \u003d -3

y obtenemos

Parámetros del triángulo según los parámetros especificados.

Lado a \u003d 17

Lado b \u003d 11,401754250991

Lado c \u003d 13,453624047073

Semiperímetro p \u003d 20,927689149032

Ángulo A \u003d 1,4990243938603 en grados 85,887771155351

Ángulo B \u003d 0,73281510178655 en grados 41,987212495819

Ángulo C \u003d 0,90975315794426 en grados 52,125016348905

Área del triángulo S \u003d 76,5

Altura ha en el lado a \u003d 9

Altura hb por lado b \u003d 13,418987695398

Altura hc por lado c \u003d 11,372400437582

Mediana ma por lado a \u003d 9,1241437954466

Mediana mb por lado b \u003d 14,230249470757

Mediana mc por lado c \u003d 12,816005617976

¡Felices cálculos!

Los primeros son los segmentos adyacentes al ángulo recto, y la hipotenusa es la parte más larga de la figura y está opuesta al ángulo de 90 °. Un triángulo pitagórico es aquel cuyos lados son iguales a números naturales; sus longitudes en este caso se denominan "tripletes pitagóricos".

Triángulo egipcio

Para que la generación actual aprenda geometría en la forma en que se enseña ahora en la escuela, se ha desarrollado durante varios siglos. Se considera que el punto fundamental es el teorema de Pitágoras. Los lados del rectángulo son conocidos en todo el mundo) son 3, 4, 5.

Pocas personas no están familiarizadas con la frase "los pantalones pitagóricos son iguales en todas las direcciones". Sin embargo, de hecho, el teorema suena así: c 2 (el cuadrado de la hipotenusa) \u003d a 2 + b 2 (la suma de los cuadrados de los catetos).

Entre los matemáticos, un triángulo de lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) se llama "egipcio". Lo interesante es que lo que está inscrito en la figura es igual a uno. El nombre se originó alrededor del siglo V a.C., cuando los filósofos griegos viajaron a Egipto.

Al construir las pirámides, los arquitectos y topógrafos utilizaron una proporción de 3: 4: 5. Tales estructuras eran proporcionales, agradables a la vista y espaciosas, y rara vez colapsaban.

Para construir el ángulo correcto, los constructores usaron una cuerda con 12 nudos atados. En este caso, la probabilidad de construir un triángulo rectángulo aumentó al 95%.

Signos de igualdad de formas

• Un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y un lado grande, que son iguales a los mismos elementos del segundo triángulo, son un signo indiscutible de igualdad de figuras. Teniendo en cuenta la suma de los ángulos, es fácil demostrar que los segundos ángulos agudos también son iguales. Por tanto, los triángulos son iguales en la segunda característica.
• Cuando dos figuras se superponen entre sí, las rotaremos para que, al combinarlas, se conviertan en un triángulo isósceles. Por su propiedad, los lados, o mejor dicho, las hipotenusas, son iguales, al igual que los ángulos en la base, lo que significa que estas figuras son iguales.

Según el primer criterio, es muy fácil demostrar que los triángulos son realmente iguales, lo principal es que los dos lados más pequeños (es decir, los catetos) son iguales entre sí.

Los triángulos serán iguales en el signo II, cuya esencia es la igualdad del cateto y el ángulo agudo.

Propiedades de un triángulo en ángulo recto

La altura bajada desde el ángulo recto divide la figura en dos partes iguales.

Los lados de un triángulo rectángulo y su mediana son fáciles de reconocer por la regla: la mediana, que es bajada por la hipotenusa, es igual a su mitad. se puede encontrar tanto por la fórmula de Heron como por la afirmación de que es igual a la mitad del producto de las piernas.

En un triángulo rectángulo, se aplican las propiedades de los ángulos de 30 °, 45 ° y 60 °.

• En un ángulo de 30 °, recuerde que el lado opuesto será la mitad del lado más grande.
• Si el ángulo es de 45 °, entonces el segundo ángulo agudo también es de 45 °. Esto sugiere que el triángulo es isósceles y sus catetos son los mismos.
• La propiedad de un ángulo de 60 grados es que el tercer ángulo tiene una medida de grados de 30 grados.

El área se puede reconocer fácilmente mediante una de tres fórmulas:

1. por la altura y el lado al que desciende;
2. según la fórmula de Heron;
3. a los lados y en la esquina entre ellos.

Los lados de un triángulo rectángulo, o más bien los catetos, convergen a dos alturas. Para encontrar el tercero, es necesario considerar el triángulo resultante y luego, según el teorema de Pitágoras, calcular la longitud requerida. Además de esta fórmula, también existe la razón del área duplicada y la longitud de la hipotenusa. La expresión más común entre los estudiantes es la primera, ya que requiere menos cálculos.

Teoremas aplicados a un triángulo rectángulo

La geometría de un triángulo rectángulo incluye el uso de teoremas como:

Calculadora online.
Resolver triángulos.

La solución de un triángulo es el hallazgo de todos sus seis elementos (es decir, tres lados y tres ángulos) por tres elementos dados que definen el triángulo.

Este programa matemático encuentra el lado \\ (c \\), los ángulos \\ (\\ alpha \\) y \\ (\\ beta \\) a lo largo de los lados \\ (a, b \\) especificados por el usuario y el ángulo entre ellos \\ (\\ gamma \\)

El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de búsqueda de una solución.

Esta calculadora en línea puede ser útil para estudiantes de último año de escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al verificar conocimientos antes del examen, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para usted contratar a un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quiere terminar su tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.

De esta forma, puede conducir su propia enseñanza y / o enseñar a sus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas que se resuelven.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar números, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas de ingreso de números

Los números se pueden establecer no solo enteros, sino también fraccionarios.
Las partes enteras y fraccionarias de las fracciones decimales pueden separarse mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar fracciones decimales como 2.5 o como 2.5

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Si tu notó un error en la decisión, luego puede escribir sobre esto en el formulario de comentarios.
No se olvide especificar que tarea tu decides y que entrar en los campos.

Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:

Un poco de teoría.

Teorema del seno

Teorema

Los lados del triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:
$$ \\ frac (a) (\\ sin A) \u003d \\ frac (b) (\\ sin B) \u003d \\ frac (c) (\\ sin C) $$

Teorema del coseno

Teorema
Sea en el triángulo ABC AB \u003d c, BC \u003d a, CA \u003d b. Luego
El cuadrado del lado de un triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de esos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
$$ a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2-2ba \\ cos A $$

Resolver triángulos

La solución de un triángulo es el hallazgo de sus seis elementos (es decir, tres lados y tres ángulos) por unos tres elementos dados que definen el triángulo.

Considere tres problemas para resolver un triángulo. En este caso, usaremos la siguiente notación para los lados del triángulo ABC: AB \u003d c, BC \u003d a, CA \u003d b.

Resolver un triángulo en dos lados y un ángulo entre ellos

Dado: \\ (a, b, \\ angle C \\). Encuentra \\ (c, \\ angle A, \\ angle B \\)

Decisión
1. Por el teorema del coseno, encontramos \\ (c \\):

3. \\ (\\ ángulo B \u003d 180 ^ \\ circ - \\ ángulo A - \\ ángulo C \\)

Resolver un triángulo por un lado y esquinas adyacentes

Dado: \\ (a, \\ angle B, \\ angle C \\). Encuentra \\ (\\ ángulo A, b, c \\)

Decisión
1. \\ (\\ ángulo A \u003d 180 ^ \\ circ - \\ ángulo B - \\ ángulo C \\)

Resolver un triángulo en tres lados

Dado: \\ (a, b, c \\). Encuentra \\ (\\ ángulo A, \\ ángulo B, \\ ángulo C \\)

Decisión
1. Por el teorema del coseno, obtenemos:
$$ \\ cos A \u003d \\ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

2. De manera similar, encontramos el ángulo B.
3. \\ (\\ ángulo C \u003d 180 ^ \\ circ - \\ ángulo A - \\ ángulo B \\)

Resolver un triángulo en dos lados y un ángulo opuesto a un lado conocido

Dado: \\ (a, b, \\ angle A \\). Encuentra \\ (c, \\ angle B, \\ angle C \\)

Decisión
1. Por el teorema del seno encontramos \\ (\\ sin B \\) obtenemos:
$$ \\ frac (a) (\\ sin A) \u003d \\ frac (b) (\\ sin B) \\ Flecha derecha \\ sin B \u003d \\ frac (b) (a) \\ cdot \\ sin A $$

Introduzcamos la notación: \\ (D \u003d \\ frac (b) (a) \\ cdot \\ sin A \\). Dependiendo del número D, los casos son posibles:
Si D\u003e 1, tal triángulo no existe, ya que \\ (\\ sin B \\) no puede ser mayor que 1
Si D \u003d 1, solo hay un \\ (\\ angle B: \\ quad \\ sin B \u003d 1 \\ Rightarrow \\ angle B \u003d 90 ^ \\ circ \\)
Si D Si D 2. \\ (\\ angle C \u003d 180 ^ \\ circ - \\ angle A - \\ angle B \\)

3. Usando el teorema del seno, calcule el lado c:
$$ c \u003d a \\ frac (\\ sin C) (\\ sin A) $$

Definiendo un triangulo

Triángulo es una figura geométrica que se forma como resultado de la intersección de tres segmentos, cuyos extremos no se encuentran en una línea recta. Cualquier triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres esquinas.

Calculadora online

Los triángulos son de varios tipos. Por ejemplo, hay un triángulo equilátero (uno en el que todos los lados son iguales), isósceles (dos lados son iguales en él) y en ángulo recto (en el que una de las esquinas es recta, es decir, igual a 90 grados).

El área de un triángulo se puede encontrar de varias formas, dependiendo de qué elementos de la figura se conozcan por la condición del problema, ya sean los ángulos, las longitudes o, en general, los radios de los círculos asociados al triángulo. Consideremos cada método por separado con ejemplos.

La fórmula para el área de un triángulo por base y altura

S \u003d 1 2 ⋅ a ⋅ h S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot a \\ cdot hS \u003d2 1 ​ ⋅ un ⋅h,

Un a una - la base del triángulo;
S.S h - la altura del triángulo dibujado a la base dada a.

Encuentre el área de un triángulo, si se conoce la longitud de su base, igual a 10 (cm) y la altura dibujada a esta base, igual a 5 (cm).

Decisión

A \u003d 10 a \u003d 10 a \u003d1 0
h \u003d 5 h \u003d 5 h \u003d5

Sustituimos en la fórmula el área y obtenemos:
S \u003d 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 \u003d 25 S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot10 \\ cdot 5 \u003d 25S \u003d2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (ver sq.)

Responder: 25 (cm.)

La fórmula para el área de un triángulo por las longitudes de todos los lados

S \u003d p ⋅ (p - una) ⋅ (p - segundo) ⋅ (p - c) S \u003d \\ sqrt (p \\ cdot (p-a) \\ cdot (p-b) \\ cdot (p-c))S \u003dp ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c)​ ,

A, b, c a, b, c a B C - las longitudes de los lados del triángulo;
p p pags - la mitad de la suma de todos los lados del triángulo (es decir, la mitad del perímetro del triángulo):

P \u003d 1 2 (a + b + c) p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c)p \u003d2 1 ​ (a +b +c)

Esta fórmula se llama fórmula de garza.

Encuentra el área de un triángulo si se conocen las longitudes de sus tres lados, igual a 3 (ver), 4 (ver), 5 (ver).

Decisión

A \u003d 3 a \u003d 3 a \u003d3
b \u003d 4 b \u003d 4 b \u003d4
c \u003d 5 c \u003d 5 c \u003d5

Encuentra la mitad del perímetro p p pags:

P \u003d 1 2 (3 + 4 + 5) \u003d 1 2 ⋅ 12 \u003d 6 p \u003d \\ frac (1) (2) (3 + 4 + 5) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 12 \u003d 6p \u003d2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Entonces, de acuerdo con la fórmula de Heron, el área de un triángulo es:

S \u003d 6 ⋅ (6 - 3) ⋅ (6 - 4) ⋅ (6 - 5) \u003d 36 \u003d 6 S \u003d \\ sqrt (6 \\ cdot (6-3) \\ cdot (6-4) \\ cdot (6- 5)) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6S \u003d6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (ver sq.)

Respuesta: 6 (ver sq.)

Fórmula para el área de un triángulo en un lado y dos ángulos

S \u003d a 2 2 ⋅ sin \u2061 β sin \u2061 γ sin \u2061 (β + γ) S \u003d \\ frac (a ^ 2) (2) \\ cdot \\ frac (\\ sin (\\ beta) \\ sin (\\ gamma)) ( \\ sin (\\ beta + \\ gamma))S \u003d2 una 2 ​ ⋅ pecado (β + γ)pecado β pecado γ ​ ,

Un a una - la longitud del lado del triángulo;
β, γ \\ beta, \\ gamma β , γ - esquinas adyacentes al lateral un a una.

Dado un lado del triángulo igual a 10 (ver) y dos ángulos adyacentes de 30 grados. Calcula el área de un triángulo.

Decisión

A \u003d 10 a \u003d 10 a \u003d1 0
β \u003d 3 0 ∘ \\ beta \u003d 30 ^ (\\ circ)β = 3 0 ∘
γ \u003d 3 0 ∘ \\ gamma \u003d 30 ^ (\\ circ)γ = 3 0 ∘

Según la fórmula:

S \u003d 1 0 2 2 ⋅ sin \u2061 3 0 ∘ sin \u2061 3 0 ∘ sin \u2061 (3 0 ∘ + 3 0 ∘) \u003d 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S \u003d \\ frac (10 ^ 2) (2) \\ cdot \\ frac (\\ sin (30 ^ (\\ circ)) \\ sin (30 ^ (\\ circ))) (\\ sin (30 ^ (\\ circ) +30 ^ (\\ circ))) \u003d 50 \\ cdot \\ frac ( 1) (2 \\ sqrt (3)) \\ aproximadamente 14,4S \u003d2 1 0 2 ​ ⋅ pecado (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) pecado 3 0 ∘ pecado 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (ver sq.)

Responder: 14,4 (cm.)

La fórmula para el área de un triángulo en tres lados y el radio del círculo circunscrito

S \u003d una ⋅ segundo ⋅ do 4 R S \u003d \\ frac (a \\ cdot b \\ cdot c) (4R)S \u003d4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a B C - lados del triángulo;
R R R - el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.

Tomamos los números de nuestro segundo problema y les sumamos el radio R R R círculos. Sea igual a 10 (ver).

Decisión

A \u003d 3 a \u003d 3 a \u003d3
b \u003d 4 b \u003d 4 b \u003d4
c \u003d 5 c \u003d 5 c \u003d5
R \u003d 10 R \u003d 10 R \u003d1 0

S \u003d 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 \u003d 60 40 \u003d 1.5 S \u003d \\ frac (3 \\ cdot 4 \\ cdot 5) (4 \\ cdot 10) \u003d \\ frac (60) (40) \u003d 1.5S \u003d4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (ver sq.)

Responder: 1,5 (ver sq.)

La fórmula para el área de un triángulo en tres lados y el radio del círculo inscrito

S \u003d p ⋅ r S \u003d p \\ cdot rS= pags⋅ r,

p ppags - la mitad del perímetro del triángulo:

p \u003d a + b + c 2 p \u003d \\ frac (a + b + c) (2)pags= 2 una+ si+ c​ ,

a, b, c a, b, cuna, si, c - lados del triángulo;
r rr - radio de un círculo inscrito en un triángulo.

Sea 2 el radio del círculo inscrito (ver). Tomamos las longitudes de los lados del problema anterior.

Decisión

$una=3b\; \backslash u003d\; 4\; b\; \backslash u003d\; 4si=4c\; \backslash u003d\; 5\; c\; \backslash u003d\; 5c=5r\; \backslash u003d\; 2\; r\; \backslash u003d\; 2r=2$

$pags=23+4+5=6$

S \u003d 6 ⋅ 2 \u003d 12 S \u003d 6 \\ cdot 2 \u003d 12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (ver sq.)

Responder: 12 (ver apto.)

La fórmula para el área de un triángulo en dos lados y el ángulo entre ellos

S \u003d 1 2 ⋅ segundo ⋅ c ⋅ sin \u2061 (α) S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot b \\ cdot c \\ cdot \\ sin (\\ alpha)S= 2 1 ​ ⋅ si⋅ c⋅ pecado(α ) ,

b, c b, csi, c - lados del triángulo;

α \\ alphaα - el ángulo entre los lados b bsi y c cc.

Los lados del triángulo son 5 (ver) y 6 (ver), el ángulo entre ellos es de 30 grados. Calcula el área de un triángulo.

Decisión

$si=5c\; \backslash u003d\; 6\; c\; \backslash u003d\; 6c=6\alpha \; \backslash u003d\; 3\; 0\; \circ \; \backslash \backslash \; alpha\; \backslash u003d\; 30\; ^\; (\backslash \backslash \; circ)\alpha =30^{\circ }$

S \u003d 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin \u2061 (3 0 ∘) \u003d 7.5 S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 5 \\ cdot 6 \\ cdot \\ sin (30 ^ (\\ circ)) \u003d 7.5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ pecado(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (ver sq.)

Responder: 7.5 (cm.)