Teorema Termekh asupra mișcării centrului de masă. Teoreme generale ale dinamicii sistemelor
Formulați o teoremă asupra mișcării centrului de masă al sistemului.
Centrul de masă al unui sistem mecanic se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa întregului sistem, căruia i se aplică toate forțele care acționează asupra sistemului.
Ce mișcare a unui corp rigid poate fi considerată mișcarea unui punct material având masa unui corp dat și de ce?
Mișcarea de translație a unui corp rigid este complet determinată de mișcarea unuia dintre punctele sale. În consecință, rezolvând problema mișcării centrului de masă al unui corp ca punct material cu o masă corporală, este posibil să se determine mișcarea de translație a întregului corp.
În ce condiții se află centrul de masă al sistemului în repaus și în ce condiții se mișcă uniform și în linie dreaptă?
Dacă vectorul principal al forțelor externe rămâne tot timpul egal cu zero și viteza inițială a centrului de masă este zero, atunci centrul de masă este în repaus.
Dacă vectorul principal al forțelor externe rămâne tot timpul egal cu zero și viteza inițială 
, apoi centrul de masă se mișcă uniform și rectiliniu.
În ce condiții centrul de masă al sistemului nu se mișcă de-a lungul unei anumite axe?
Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă rămâne egală cu zero tot timpul și proiecția vitezei pe această axă este egală cu zero, atunci coordonatele centrului de masă de-a lungul acestei axe rămâne constantă.
Ce efect are o pereche de forțe aplicate asupra unui corp solid liber?
Dacă aplicați o pereche de forțe unui corp rigid liber care este în repaus, atunci sub acțiunea acestei perechi de forțe corpul va începe să se rotească în jurul centrului său de masă.
Teorema privind modificarea impulsului.
Cum se determină un impuls de forță variabilă pe o perioadă finită de timp? Ce caracterizează un impuls de forță?
Impuls variabil 
pentru o perioadă finită de timp 
egală
.
Impulsul de forță caracterizează transferul mișcării mecanice către un corp de la corpurile care acționează asupra acestuia într-o anumită perioadă de timp.
Care sunt proiecțiile impulsurilor de forță constante și variabilă pe axele de coordonate?
Proiecțiile impulsului de forță variabilă pe axele de coordonate sunt egale cu
,
,
.
Proiecții ale unui impuls de forță constantă pe axele de coordonate pe o perioadă de timp 
egal
,
,
.
Care este impulsul rezultantei?
Impulsul rezultantei mai multor forțe într-o anumită perioadă de timp este egal cu suma geometrică a impulsurilor forțelor componente în aceeași perioadă de timp
.
Cum se modifică impulsul unui punct care se mișcă uniform în jurul unui cerc?
Când un punct se mișcă uniform în jurul unui cerc, direcția impulsului se schimbă 
, dar modulul său este păstrat 
.
Care este impulsul unui sistem mecanic?
Cantitatea de mișcare a unui sistem mecanic este un vector egal cu suma geometrică (vector principal) a cantităților de mișcare a tuturor punctelor sistemului
.
Care este impulsul unui volant care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de greutate?
Mișcarea unui volant care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de greutate este zero, deoarece 
.
Formulați teoreme privind modificarea impulsului unui punct material și a unui sistem mecanic în forme diferențiale și finite. Exprimați fiecare dintre aceste teoreme cu o ecuație vectorială și trei ecuații în proiecții pe axele de coordonate.
Momentul diferenţial al unui punct material este egal cu impulsul elementar al forţelor care acţionează asupra punctului
.
Modificarea numărului de mișcări ale unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor aplicate punctului în aceeași perioadă de timp
.
În proiecții, aceste teoreme au forma
,
,
,
,
.
Derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este geometric egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului
.
Derivată în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția vectorului principal al forțelor externe pe aceeași axă
,
,
.
Modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe aplicate sistemului în aceeași perioadă.
.
Modificarea proiecției impulsului sistemului pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului pe aceeași axă.
,
,
.
În ce condiții nu se modifică impulsul unui sistem mecanic? În ce condiții nu se modifică proiecția sa pe o anumită axă?
Dacă vectorul principal al forțelor externe pentru perioada de timp considerată este egal cu zero, atunci impulsul sistemului este constant.
Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă este zero, atunci proiecția impulsului pe această axă este constantă.
De ce se întoarce pistolul înapoi când este tras?
Deplasarea unui pistol atunci când este tras în direcție orizontală se datorează faptului că proiecția impulsului pe axa orizontală 
nu se modifică în absenţa forţelor orizontale
,
.
Pot forțele interne să modifice impulsul unui sistem sau impulsul unei părți a acestuia?
Deoarece vectorul principal al forțelor interne este zero, acestea nu pot modifica cantitatea de mișcare a sistemului.
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse
Instituția de învățământ de învățământ profesional superior bugetar de stat federal
„Universitatea Tehnologică de Stat din Kuban”
Mecanica teoretică
Dinamica partea a 2-a
Aprobat de Comitetul de redacție și de editare
consiliu universitar ca
ajutor didactic
Krasnodar
UDC 531.1/3 (075)
Mecanica teoretică. Partea 2. Dinamica: Manual / L.I. Draiko; Kuban. stat technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 p.
ISBN 5-230-06865-5
Materialul teoretic este prezentat într-o formă scurtă, sunt date exemple de rezolvare a problemelor, dintre care majoritatea reflectă probleme tehnice reale și se acordă atenție alegerii unei metode raționale de rezolvare.
Conceput pentru absolvenții de învățământ prin corespondență și la distanță în construcții, transport și inginerie mecanică.
Masa 1 Ill. 68 Bibliografie 20 de titluri
Editor științific Candidat la științe tehnice, conferențiar. V.F.Melnikov
Recensori: Șef al Departamentului de Mecanică Teoretică și Teoria Mecanismelor și Mașinilor, Universitatea Agrară Kuban prof. F.M. Kanarev; Profesor asociat, Departamentul de Mecanică Teoretică, Universitatea Tehnologică de Stat Kuban M.E. Multykh
Publicat prin decizia Consiliului editorial și de publicare al Universității Tehnologice de Stat din Kuban.
Reeditare
ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998
Prefaţă
Acest manual este destinat studenților cu frecvență redusă ai specialităților construcții, transport și inginerie mecanică, dar poate fi folosit la studierea secțiunii „Dinamica” a cursului de mecanică teoretică de către studenții cu frecvență redusă ai altor specialități, precum și studenții cu normă întreagă lucrand independent.
Manualul este întocmit în conformitate cu programa curentă a cursului de mecanică teoretică și acoperă toate problemele părții principale a cursului. Fiecare secțiune conține material teoretic succint, însoțit de ilustrații și recomandări metodologice pentru utilizarea acestuia în rezolvarea problemelor. Manualul conține soluții la 30 de probleme care reflectă probleme tehnice reale și corespund sarcinilor de testare pentru soluții independente. Pentru fiecare problemă este prezentată o diagramă de calcul care ilustrează clar soluția. Formatarea soluției îndeplinește cerințele pentru formatarea lucrărilor de test pentru studenții cu frecvență redusă.
Autorul exprimă profundă recunoștință profesorilor de la Departamentul de Mecanică Teoretică și Teoria Mecanismelor și Mașinilor din cadrul Universității Agrare Kuban pentru munca lor extraordinară în revizuirea manualului, precum și profesorilor de la Departamentul de Mecanică Teoretică a Tehnologicului Statului Kuban. Universitatea pentru comentarii valoroase și sfaturi privind pregătirea manualului pentru publicare.
Toate comentariile și sugestiile critice vor fi acceptate cu recunoștință de către autor în viitor.
Introducere
Dinamica este cea mai importantă secțiune a mecanicii teoretice. Majoritatea problemelor specifice întâlnite în practica ingineriei se referă la dinamică. Folosind concluziile staticii și cinematicii, dinamica stabilește legile generale ale mișcării corpurilor materiale sub acțiunea forțelor aplicate.
Cel mai simplu obiect material este un punct material. Un corp material de orice formă poate fi luat ca punct material, ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în problema luată în considerare. Un corp de dimensiuni finite poate fi luat ca punct material dacă diferența de mișcare a punctelor sale nu este semnificativă pentru o problemă dată. Acest lucru se întâmplă atunci când dimensiunile corpului sunt mici în comparație cu distanțele parcurse de punctele corpului. Fiecare particulă a unui corp solid poate fi considerată un punct material.
Forțele aplicate unui punct sau unui corp material sunt evaluate dinamic prin impactul lor dinamic, adică prin modul în care schimbă caracteristicile mișcării obiectelor materiale.
Mișcarea obiectelor materiale în timp are loc în spațiu în raport cu un anumit cadru de referință. În mecanica clasică, pe baza axiomelor lui Newton, spațiul este considerat tridimensional, proprietățile sale nu depind de obiectele materiale care se mișcă în el. Poziția unui punct într-un astfel de spațiu este determinată de trei coordonate. Timpul nu este legat de spațiu și de mișcarea obiectelor materiale. Este considerat același pentru toate sistemele de referință.
Legile dinamicii descriu mișcarea obiectelor materiale în raport cu axele de coordonate absolute, acceptate convențional ca staționare. Originea sistemului de coordonate absolut este considerată a fi în centrul Soarelui, iar axele sunt direcționate către stele îndepărtate, condiționat staționare. Atunci când se rezolvă multe probleme tehnice, axele de coordonate conectate la Pământ pot fi considerate imobile în mod condiționat.
Parametrii mișcării mecanice a obiectelor materiale în dinamică sunt stabiliți prin derivări matematice din legile de bază ale mecanicii clasice.
Prima lege (legea inerției):
Un punct material menține o stare de repaus sau o mișcare uniformă și liniară până când acțiunea unor forțe îl scoate din această stare.
Mișcarea uniformă și liniară a unui punct se numește mișcare prin inerție. Repausul este un caz special de mișcare prin inerție, când viteza unui punct este zero.
Fiecare punct material are inerție, adică se străduiește să mențină o stare de repaus sau o mișcare liniară uniformă. Sistemul de referință în raport cu care se aplică legea inerției se numește inerțial, iar mișcarea observată în raport cu acest sistem se numește absolută. Orice sistem de referință care efectuează mișcare translațională rectilinie și uniformă în raport cu un sistem inerțial va fi, de asemenea, un sistem inerțial.
A doua lege (legea de bază a dinamicii):
Accelerația unui punct material în raport cu cadrul de referință inerțial este proporțională cu forța aplicată punctului și coincide cu forța în direcția: 
.
Din legea de bază a dinamicii rezultă că cu forţa 
accelerare 
. Masa unui punct caracterizează gradul de rezistență al unui punct la modificările vitezei sale, adică este o măsură a inerției unui punct material.
A treia lege (Legea acțiunii și a reacției):
Forțele cu care două corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime și sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte în direcții opuse.
Forțele numite acțiune și reacție sunt aplicate unor corpuri diferite și, prin urmare, nu formează un sistem echilibrat.
A patra lege (legea independenței forțelor):
Cu acțiunea simultană a mai multor forțe, accelerația unui punct material este egală cu suma geometrică a accelerațiilor pe care le-ar avea punctul sub acțiunea fiecărei forțe separat:
, Unde 
,
,…,
.
Utilizarea asigurărilor de sănătate în rezolvarea problemelor este asociată cu anumite dificultăți. Prin urmare, se stabilesc de obicei relații suplimentare între caracteristicile mișcării și forțelor, care sunt mai convenabile pentru aplicarea practică. Astfel de relații sunt teoreme generale de dinamică. Ele, fiind consecințe ale OMS, stabilesc relații între viteza de schimbare a unor măsuri de mișcare special introduse și caracteristicile forțelor externe.
Teorema privind modificarea impulsului. Să introducem conceptul de vector al impulsului (R. Descartes) al unui punct material (Fig. 3.4):
I i = t V G (3.9)
Orez. 3.4.
Pentru sistem introducem conceptul vectorul principal al impulsului sistemului ca sumă geometrică:
Q = Y, m " V r
În conformitate cu OZMS: Xu, -^=i) sau X
R (E).
Ținând cont de faptul că /w, = const obținem: -Ym,!" = R (E),
sau în formă finală
dO/di = A (E (3.11)
acestea. prima derivată în raport cu timpul a vectorului principal de impuls al sistemului este egală cu vectorul principal al forțelor externe.
Teorema asupra mișcării centrului de masă. Centrul de masă al sistemului numit punct geometric a cărui poziţie depinde de T, etc. din distribuția maselor /g/, în sistem și este determinată de expresia pentru vectorul rază al centrului de masă (Fig. 3.5):
Unde g s - vector rază a centrului de masă.
Orez. 3.5.
Să sunăm = t cu masa sistemului. După înmulțirea expresiei
aplicând (3.12) la numitor și diferențiind ambele părți ale rezultatului
vom avea o egalitate valoroasă: g s t s = ^t.U. = 0 sau 0 = t s U s.
Astfel, vectorul de impuls principal al sistemului este egal cu produsul dintre masa sistemului și viteza centrului de masă. Folosind teorema privind modificarea impulsului (3.11), obținem:
t s dU s / dі = A (E), sau
Formula (3.13) exprimă teorema privind mișcarea centrului de masă: centrul de masă al sistemului se mișcă ca un punct material care are masa sistemului, asupra căruia acționează vectorul principal al forțelor externe.
Teorema privind modificarea momentului unghiular. Să introducem conceptul de moment unghiular al unui punct material ca produs vectorial dintre vectorul său rază și impulsul:
la oh = bl X acea, (3.14)
Unde la OI - momentul impulsului unui punct material față de un punct fix DESPRE(Fig. 3.6).
Acum definim momentul unghiular al unui sistem mecanic ca o sumă geometrică:
К() = X ko, = ШУ, ? O-15>
Diferențiând (3.15), obținem:
Ґ sec--- X i U. + g u X t i
Având în vedere că = U G U i X t i u i= 0 și formula (3.2), obținem:
сіК а /с1ї - ї 0 .
Pe baza celei de-a doua expresii din (3.6), vom avea în sfârșit o teoremă privind modificarea momentului unghiular al sistemului:
Prima derivată temporală a momentului de impuls al unui sistem mecanic în raport cu un centru fix O este egală cu momentul principal al forțelor externe care acționează asupra acestui sistem în raport cu același centru.
La derivarea relației (3.16), s-a presupus că DESPRE- punct fix. Cu toate acestea, se poate arăta că într-un număr de alte cazuri forma relației (3.16) nu se va schimba, în special, dacă în mișcarea plană punctul de moment este ales în centrul de masă, centrul instantaneu de viteze sau accelerații. În plus, dacă punctul DESPRE coincide cu un punct material în mișcare, egalitatea (3.16) scrisă pentru acest punct se va transforma în identitatea 0 = 0.
Teorema privind modificarea energiei cinetice. Când un sistem mecanic se mișcă, atât energia „externă” cât și cea internă a sistemului se schimbă. Dacă caracteristicile forțelor interne, vectorul principal și momentul principal, nu afectează modificarea vectorului principal și momentul principal al numărului de accelerații, atunci forțele interne pot fi incluse în evaluarea proceselor stării energetice a sistemului. Prin urmare, atunci când se iau în considerare modificările energiei unui sistem, este necesar să se ia în considerare mișcările punctelor individuale, cărora li se aplică și forțe interne.
Energia cinetică a unui punct material este definită ca mărime
T^tuTsg. (3.17)
Energia cinetică a unui sistem mecanic este egală cu suma energiilor cinetice ale punctelor materiale ale sistemului:
observa asta T > 0.
Să definim puterea forței ca produsul scalar al vectorului forță și al vectorului viteză:
Universitatea de Stat din Sankt Petersburg aviatie Civila
Departamentul nr. 6 - „Mecanica”
Secțiunea III
"DINAMICĂ"
Saint Petersburg
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Bine
mecanică teoretică. Statica, cinematica,
dinamica. Manual. M.: KNORS. 2011. - 608 p.
2. Meshchersky I.V. Probleme teoretice
mecanici. Manual Beneficiu. Sankt Petersburg: Lan. 2011. - 448 p.
3. Targ M.S. Curs de mecanică teoretică. M.:
Facultate. 2012. - 548 p.
4. Cernov K.I. Fundamentele mecanicii tehnice. M.:
Inginerie mecanică. 1986. - 256 p.
5. Aret V.A. "Învățământ la distanță
tehnologie". (manual electronic www.openmechanics.com), 2016 Cursul 1. Introducere
în dinamică. Legi și axiome
dinamica unui punct material. Ecuația de bază
difuzoare. Ecuații diferențiale și naturale
miscarile. Două probleme principale ale dinamicii. Exemple
rezolvarea problemei directe a dinamicii.
Curs 2. Rezolvarea problemei inverse a dinamicii. Sunt comune
instrucţiuni pentru rezolvarea problemei inverse de dinamică. Exemple
rezolvarea problemei inverse a dinamicii. Mișcarea corpului
aruncat in unghi fata de orizontala, fara a tine cont de rezistenta
aer.
Curs 3. Oscilatii rectilinie ale unui punct material.
Condiție
aparitie
ezitare.
Clasificare
ezitare. Vibrații libere fără a lua în considerare forțele
rezistenţă.
În descompunere
fluctuatii.
Decrementează
ezitare.
Curs 4. Oscilații forțate ale unui punct material.
Rezonanţă.
Influență
rezistenţă
circulaţie
la
vibratii fortate.Prelegerea 5. Mișcarea relativă a unui punct material.
Forțe de inerție. Cazuri speciale de mișcare pentru diverse
tipuri de mișcare portabilă. Influența rotației Pământului asupra
echilibrul și mișcarea corpurilor.
Curs 6. Dinamica unui sistem mecanic. Mecanic
sistem. Forțe externe și interne. Centrul de masă al sistemului.
Teorema asupra mișcării centrului de masă. Legile de conservare.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema despre
mișcarea centrului de masă.
Curs 7. Impulsul de forță. Cantitatea de mișcare. Teorema despre
modificarea impulsului. Legile de conservare.
teorema lui Euler. Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind
teoreme privind schimbările de impuls. Moment
cantitatea de mișcare. Teorema schimbării cuplului
cantitatea de miscare...
Curs 8. Legi de conservare. Elemente de teoria momentului
inerţie.
Cinetică
moment
solid
corpuri.
Ecuația diferențială pentru rotația unui corp rigid.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema despre
Schimbare
moment
cantități
circulaţie
sisteme.
Teoria elementară a giroscopului.
INTRODUCERE ÎN DINAMICĂ
Cursul 1INTRODUCERE ÎN DINAMICĂ
Dinamica este o secțiune a mecanicii teoretice,
studiind mișcarea mecanică din punctul ei cel mai general
viziune. Mișcarea este luată în considerare în legătură cu curentul
la obiect prin forță.
Secțiunea este formată din trei secțiuni:
Dinamica
Dinamica
Dinamica
punct material
sistem mecanic
Mecanica analitica
Dinamica unui punct – studiază mișcarea unui punct material
ţinând cont de forţele care provoacă această mişcare.
Obiectul principal este un punct material – material
un corp cu masă ale cărui dimensiuni pot fi
neglijare. Dinamica unui sistem mecanic – studiază mișcarea
colecții de puncte materiale și corpuri solide,
unite de legile generale ale interactiunii, tinand cont
forţele care provoacă această mişcare.
Mecanica analitică – studiază mișcarea neliberului
sisteme mecanice folosind comun
metode de analiză.
Ipotezele principale:
– există spațiu absolut (are pur
proprietăţi geometrice independente de materie şi
mișcările ei);
– timpul absolut există (nu depinde de materie și
mișcările ei). Din aceasta rezultă:
– există un sistem de referință absolut nemișcat;
– timpul nu depinde de mișcarea cadrului de referință;
– masele punctelor în mișcare nu depind de mișcare
sisteme de referință.
Aceste ipoteze sunt folosite în mecanica clasică,
creat de Galileo și Newton. Ea încă mai are
o gamă destul de largă de aplicaţii, deoarece
mecanice considerate în ştiinţele aplicate
sistemele nu au mase atât de mari şi
vitezele de deplasare pentru care este necesar să se țină cont de ele
influența asupra geometriei spațiului, timpului, mișcării, cum
acest lucru se realizează în mecanica relativistă (teoria
relativitatea). Forța este o cantitate variabilă și depinde de:
a) timp - F f (t),
b) poziția punctului de aplicare a forței - F f (r),
c) viteza de deplasare
puncte de aplicare a forţei - F f (V).
Un punct material poate fi liber dacă există
Nu există restricții de mișcare. In caz contrar,
punctul material este numit non-liber
Inerția este o proprietate a unui corp material care este mai rapid sau
schimbați-vă viteza mai încet
sub influenţa forţelor aplicate acestuia
Sistemele de referință inerțiale sunt acele sisteme
unde legea inerției este îndeplinită; altfel, sistemele
punctele de referință sunt neinerțiale
13. TIPURI DE BAZĂ DE FORȚE
Gravitatie.Fmg
g 9,81 m/s2
accelerația gravitației
F f N reacție normală.
coeficient de frecare
f 6,673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Forța de frecare de alunecare
Forța gravitației.
constantă gravitațională
Forță elastică
F c
alungirea (compresia) arcului (m)
constantă elastică (N/m).
Forța de frecare vâscoasă. Fv
viteza corpului
densitate medie
mișcare lentă
coeficient de rezistenta
1
F cx Sv 2
2
Forța hidrodinamică
pătrat
coeficientul de rezistență laterală
rezistenţă.
secțiuni
mișcare rapidă 14. Legi și axiome ale dinamicii punctului de împerechere
Mecanica clasică se bazează pe legi care pentru prima dată
expuse de I. Newton în lucrarea sa „Principii matematice
filozofia naturală” (1687).
Legile de bază ale dinamicii – descoperite pentru prima dată de Galileo și
formulate de Newton formează baza tuturor metodelor
descrierea si analiza miscarii sistemelor mecanice si a acestora
interacţiune dinamică sub influenţa diferitelor forţe.
Legea inerției (Legea Galileo-Newton) – Izolată
corpul punctului material își menține starea de repaus
sau mişcare rectilinie uniformă până când
forţele aplicate nu o vor forţa să schimbe această stare.
Aceasta implică echivalența stării de repaus și de mișcare
prin inerție (legea relativității a lui Galileo). Sistem de referință
în raport cu care legea inerției este îndeplinită,
numită inerțială. Proprietatea unui punct material
străduiți-vă să mențineți aceeași viteză de mișcare
(starea sa cinematică) se numește inerție. Legea proporționalității forței și a accelerației
(Ecuația de bază a dinamicii - legea lui Newton II) –
Accelerația dată unui punct material de forță este
direct proporțional cu forța și invers
proporțional cu masa acestui punct: a 1 F sau ma
m
F.
Aici m este masa punctului (o măsură a inerției), măsurată în kg,
egal numeric cu greutatea împărțită la accelerația liberului
cade:
G
m
g
.
F – forța efectivă, măsurată în N (1 N spune punctul
masa 1 kg acceleratie 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). Legea egalității de acțiune și reacție (legea III
Newton) - Pentru fiecare acțiune îi corespunde un egal
magnitudine și direcție opusă
opoziţie:
m
F2.1m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
Legea este valabilă pentru orice stare cinematică
tel. Forțele de interacțiune, fiind aplicate la diferite
punctele (corpurile) nu sunt echilibrate.
Legea acțiunii independente a forțelor – Accelerația
punct material sub influența mai multor forțe
egală cu suma geometrică a accelerațiilor unui punct de la
acțiunile fiecărei forțe separat:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
sau
a (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. Ecuația de bază a dinamicii
Legea de bază a dinamicii: produsul masei materiale
puncte pe accelerația sa, pe care o primește sub influență
forță, egală cu modulul acestei forțe, și direcția accelerației
coincide cu direcția vectorului forță
ma F
sau
ma Fk
n
Ecuația de bază a dinamicii: ma Fi (1).
- corespunde metodei vectoriale de precizare a mișcării unui punct. 15.1. Ecuații diferențiale ale mișcării
punct material
Să înlocuim accelerația punctului cu sarcina vectorială
circulaţie
d 2r
A
dt
2
.
2
d
în ecuația de bază a dinamicii: m r
Fi
2
dt
(2) - diferential
ecuația de mișcare a unui punct în
formă vectorială.
(2).
M
F1
F2
r
O
A În formă de coordonate: Folosim conexiunea rază-vector cu
coordonate și vector forță cu proiecții:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
După grupare
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
raport vectorial
dt
se dezintegrează
d 2x
m x Fix ;
Oh
:
m
F
;
ix
2
în trei scalari
dt
m y Fiy ;
sau
2
ecuatii:
d y
z
Oi
:
m
Fiy;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
i
X
k
Ay
topor
d 2z
(Oz) : m 2 Fiz . - diferential
dt
ecuațiile de mișcare
z
j
X
y
y
puncte în coordonate
formă.
Acest rezultat poate fi obținut
proiecția formală a vectorului
ecuația diferențială (1). Ecuațiile naturale ale mișcării unui punct material
– se obţin prin proiectarea vectorului
ecuația diferențială a mișcării la natural
axe de coordonate (în mișcare):
m s Fiτ ;
(): maτ τ Fiτ ;
(n): om Fin ; sau
s 2
m
Fin.
(b): m0 Fib.
s
O1 n
F2
- naturală
ecuații
circulaţie
puncte.
b
M
A
F1
- naturală
ecuațiile de mișcare
puncte. 16. Două probleme principale ale dinamicii
Problemă directă: este dată mișcarea (ecuații de mișcare,
traiectorie). Este necesar să se determine forțele sub influență
care are loc o mișcare dată.
Problemă inversă: Având în vedere forțele sub influența cărora
apare miscarea. Trebuie să găsiți parametri
y
circulaţie
(ecuațiile mișcării, traiectoria mișcării).
Ambele probleme sunt rezolvate folosind ecuația de bază a dinamicii și
proiectia acestuia pe axele de coordonate. Dacă se ia în considerare mișcarea
punct neliber, atunci, ca în statică, se folosește principiul
libertatea de legături. Ca rezultat al reacției, legăturile sunt pornite
în forțele care acționează asupra unui punct material. Soluția în primul rând
sarcini legate
cu operatii de diferentiere. Rezolvarea inversului
r
problema O necesită integrarea diferenţialului corespunzător
ecuații și acest lucru este mult mai dificil decât diferențierea.
Problema inversă este mai dificilă decât problema directă Soluția la problema directă a dinamicii - luați în considerare la
exemple:
Exemplul 1. O cabină de lift cu greutatea G este ridicată printr-un cablu cu
accelerare a. Determinați tensiunea cablului.
Soluție: 1. Selectați un obiect (vagonul liftului se deplasează înainte și
poate fi considerat ca punct material).
2. Aruncăm conexiunea (cablul) și o înlocuim cu reacția R.
3. Compunem ecuația de bază a dinamicii: ma Fi G R
y
4. Proiectați ecuația de bază a dinamicii pe axa y:
R
(Oy): mai R G .
Cu mișcare uniformă a cabinei, ay = 0 și tensiunea cablului
egal cu greutatea: T = G.
A
Dacă cablul se rupe, T = 0 și accelerația cabinei este egală cu accelerația
cădere liberă: ay = -g.
G
Ay
G
O
R G mai G a y G(1).
Determinăm reacția cablului:
g
g
Determinați tensiunea cablului:
TR; T R G(1
Ay
g
).Rezolvarea problemei inverse de dinamică – În general
mişcările unui punct de forţă care acţionează asupra unui punct sunt
variabile în funcție de timp, coordonate și viteză.
Mișcarea unui punct este descrisă printr-un sistem de trei
m x Fix ;
ecuații diferențiale de ordinul doi: m y F ;
iy
După integrare
fiecare dintre ele va fi x f1 (t, C1, C 2, C3); xf4 (t, C1, C2,..., C6); m z Fiz .
șase constante y f2 (t, C1, C2, C3); y f (t, C, C,..., C); x x ; y y ; Z Z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
zf3 (t, C1, C2, C3).
zf6 (t, C1, C2,..., C6). x x ; y y ; Z Z .
0
0
0
Valorile constantelor C1, C2,…., C6
sunt de la șase inițiale
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
condiții la t = 0:
După înlocuirea y f 2 găsită (t, x 0, y 0, z 0); yf 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
valorile constantelor obținem: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Asa de
fel, sub influența aceluiași sistem de forțe
X
un punct material poate efectua o întreagă clasă de mișcări,
determinat de condiţiile iniţiale.
Coordonatele inițiale țin cont de poziția inițială a punctului. Iniţială
viteza specificată de proiecții ține cont de influența asupra mișcării sale de-a lungul
secţiunea considerată a traiectoriei forţelor care acţionează asupra punctului anterior
sosirea pe acest site, i.e. starea cinematică inițială. 17. Instrucțiuni generale pentru rezolvarea directă și inversă
sarcini. Procedura de rezolvare
1. Întocmirea unei ecuații diferențiale a mișcării:
1.1. Selectați un sistem de coordonate – dreptunghiular
(staționar) cu o traiectorie de mișcare necunoscută,
natural (în mișcare) cu o traiectorie cunoscută,
de exemplu, un cerc sau o linie dreaptă. In ultimul caz
poate fi utilizată o coordonată liniară. start
aliniați punctul de referință cu poziția inițială a punctului (la t = 0)
sau cu poziția de echilibru a punctului, dacă acesta există,
de exemplu, când un punct oscilează. 1.2. Desenați un punct într-o poziție corespunzătoare
la un moment arbitrar de timp (la t > 0) astfel încât
coordonatele au fost pozitive (s > 0, x > 0). în care
De asemenea, credem că proiecția vitezei în această poziție
este de asemenea pozitiv. În cazul oscilațiilor, proiecția vitezei
schimbă semnul, de exemplu, la întoarcerea la poziție
echilibru. Aici trebuie acceptat că în considerate
moment în timp punctul se îndepărtează de poziţia de echilibru.
Urmărirea acestei recomandări este importantă pe viitor
lucrând cu forțe de rezistență dependente de viteză.
1.3. Eliberați punctul material de conexiuni, înlocuiți
acțiunea lor este reacții, adăugați forțe active.
1.4. Scrieți legea de bază a dinamicii în formă vectorială,
proiectați pe axele selectate, exprimați cele specificate
sau forțe reactive prin variabile timp, coordonate
sau viteza, daca depind de ele. 2. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale:
2.1. Coborâți derivata dacă ecuația nu este
redusă la formă canonică (standard).
De exemplu:
dv x sau s dv .
X
,
dt
dt
2.2. Variabile separate, de exemplu:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt sau
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Dacă există trei variabile în ecuație,
apoi faceți o schimbare de variabile, de exemplu:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
și apoi separați variabilele. 2.4. Calculați integrale nedefinite în stânga și
în partea dreaptă a ecuației, de exemplu:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Folosind condiții inițiale, de exemplu t = 0, vx = vx0,
determinați constanta de integrare:
1
ln v x v k t 0 C1; C1 ln v x 0 .
x0
m
Cometariu. În loc să calculați integrale nedefinite, puteți
evaluează integrale definite cu variabilă superioară
limită.
Limitele inferioare reprezintă valorile inițiale ale variabilelor
(condiții inițiale). Atunci nu este necesară o constatare separată
o constantă care este inclusă automat în soluție, de exemplu:
v
t
dv
1
v
m kdt.
v 0
0
ln v
v
v 0
1 t
kt 0 ;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m 2.5. Exprimați viteza prin derivata coordonatei în raport cu
timpul, de exemplu,
si repeta
1
kt ln v 0
ds
paragrafele 2.2 -2.4
m
v
dt
e
Cometariu. Dacă ecuația se reduce la canonică
tip care are o soluție standard, atunci acesta este un gata făcut
se foloseste solutia.
Se găsesc încă integrări constante din
condiții inițiale. 18. Dinamica unui punct material liber
Mișcarea unui punct aruncat la un unghi față de orizontală în
câmp uniform de greutate fără a lua în considerare
rezistenta aerului
dv x
0;
Oh
:
m
X
0
;
dt
ma
F G.
i
(Оy): m y G mg;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos ;
y
v0
O
X
G
X
g;
dx
v0cos ;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 sin t
;
219. Tipuri de vibrații ale unui punct material
1. Vibrații libere (fără a ține cont de rezistență
mediu inconjurator).
2. Vibratii libere tinand cont de rezistenta mediului
X
(oscilații amortizate).
3. Vibrații forțate.
4. Oscilații forțate ținând cont de rezistență
mediu inconjurator.
Vibrații libere - apar sub influența
numai putere de refacere.
Să notăm legea de bază a dinamicii: ma G N R .
Să alegem un sistem de coordonate cu centrul în poziție
echilibru (punctul O) și proiect
ecuația pentru axa x:
O
m x R cx.
l
y
N
R
X
X
G
Să prezentăm ecuația rezultată
c
la forma standard (canonică): x k 2 x 0, unde k 2.
m Această ecuație este liniară omogenă
ecuație diferențială de ordinul doi, forma
a căror soluţie este determinată de rădăcini
ecuaţia caracteristică obţinută folosind
substituție universală: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Rădăcinile ecuației caracteristice
imaginar și egal: z1, 2 ki.
Soluția generală a diferenţialului
ecuația are forma: x C1 cos kt C2 sin kt.
Viteza punctului: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Condiții inițiale: t 0 x x0 , x x 0 .
Să definim
constante: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k Oscilații amortizate ale unui punct material –
are loc mișcarea oscilatorie a unui punct material
în prezența puterii și a forței restauratoare
rezistență la mișcare.
Dependența forței de rezistență la mișcare de deplasare
sau viteza este determinată de natura fizică a mediului sau
conexiune care împiedică mișcarea. Cel mai simplu
dependența este liniară cu viteza
(rezistență vâscoasă).
Amortizarea oscilațiilor are loc foarte rapid. Bazele
influența forței de rezistență vâscoasă – scădere
amplitudini ale oscilațiilor în timp. 20. Mișcarea relativă a unui punct material
Să presupunem că sistemul de coordonate în mișcare (neinerțial) Oxyz se mișcă
la o lege relativă la un sistem de coordonate fix (inerțial).
O1x1y1z1. Mișcarea unui punct material M (x, y, z) față de unul aflat în mișcare
sistemul Oxyz– relativ, raportat la sistemul staționar O1x1y1z1–
absolut. Mișcarea sistemului mobil Oxyz față de cel staționar
sisteme O1x1y1z1 – mișcare portabilă.
Absolut
Ecuația de bază a dinamicii: ma Fi. accelerație punctuală:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Să mutăm termenii cu portabil și
r
e
c
Accelerația Coriolis spre partea dreaptă: ma Fi ma ma .
Termenii transferați au dimensiunea forțelor și
sunt considerate forţe relevante
e ma e, c ma c.
inertie egala cu:
r
În proiecții pe axa sistemului în mișcare
ma Fi e c .
coordonatele avem:
F
F
(Оz): m z F
Apoi mișcarea relativă a punctului
(Ox): m x
poate fi considerat ca fiind absolut
dacă adăugăm la forțele care acționează
(Оy): al meu
forțele de inerție portabile și Coriolis:
ix
ex cx ;
iy
ey cy ;
iz
ez cz .
Vă mulțumim pentru atenție!
Cursul 2
21. Dinamica unui sistem mecanicSistem de puncte materiale sau sistem mecanic –
Un set de puncte materiale sau corpuri materiale,
unite de legile generale ale interacțiunii (poziție
sau mișcarea fiecăruia dintre punctele sau corpul depinde de poziție
și mișcările tuturor celorlalți).
Un sistem de puncte libere - a căror mișcare nu este
limitat de orice conexiuni (de exemplu, planetare
sistem în care planetele sunt considerate ca
puncte materiale).
Sistem de puncte non-free sau non-free
sistem mecanic - deplasarea punctelor materiale sau
corpurile sunt limitate de conexiunile impuse sistemului
(de exemplu, mecanism, mașină etc.).
Cursul 2
22. Forțe care acționează asupra sistemuluiPe lângă clasificarea forţelor existentă anterior
(forțe active și reactive) se introduce una nouă
clasificarea fortei:
1. Forțe exterioare (e) – care acționează asupra punctelor și corpurilor
sistem din puncte sau corpuri neincluse în
a acestui sistem.
2. Forțe interne (i) – forțe de interacțiune între
puncte materiale sau corpuri incluse într-un dat
sistem.
Aceeași forță poate fi atât externă, cât și
Forta interioara. Totul depinde de ce fel de mecanică
sistemul este în curs de revizuire.
De exemplu: În sistemul Soare, Pământ și Lună toate forțele
atracția gravitațională dintre ele este internă. La
luând în considerare sistemul de gravitație Pământ și Lună,
cele aplicate din partea Soarelui sunt externe. Pe baza legii de acțiune și reacție a fiecăruia
forța internă Fk corespunde unei alte interne
forța Fk” egală ca mărime și opusă ca mărime
direcţie.
De aici rezultă două proprietăți remarcabile ale forțelor interne:
1. Vectorul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului este egal cu
i
i
zero: R Fk 0.
2. Punctul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului
i
i
M
M
kO 0.
relativ la orice centru este zero: O
A
ÎN
Z
Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
i
i
i
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
CU
Notă: Deși aceste ecuații sunt similare cu ecuațiile de echilibru, ele sunt
nu sunt astfel, deoarece forțele interne sunt aplicate
către diferite puncte sau corpuri ale sistemului și poate provoca deplasarea acestora
puncte (corpuri) unul față de celălalt. Din aceste ecuații rezultă,
că forțele interne nu afectează mișcarea sistemului în cauză
ca un întreg. 23. Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale
Pentru a descrie mișcarea sistemului ca întreg, introducem
un punct geometric numit centru de masă, al cărui vector rază este determinat de expresie
mk rk
r
,
C
unde M este masa întregului sistem:
Mmk.
M
Sau în proiecții pe axe de coordonate:
mk xk
xC
,
mk și k
Y c
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
X
Y c
mk
Cr
k
zC
r2
M
rn
xC
mn
y
mk z k
zC
.
M
Formule pentru centrul de masă
similar cu formulele pentru centru
gravitatie. Cu toate acestea, conceptul de centru
masa este mai generală pentru că nu este
legate de forţele gravitaţionale sau
forțe de gravitație. 24. Teorema asupra mișcării centrului de masă al sistemului
mk a k F k F k sau mk
e
i
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
În proiecţii pe
axele de coordonate:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. Să rezumam
aceste ecuații
in toate punctele:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Re
M
d 2 rC
dt 2
Re
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke ; Teorema: Produs
M y C R ey
M z C R ez
masa sistemului de
Fike ; accelerarea centrului său
masa este egală cu cea principală
e
Fzk. vector al forțelor externe.
e Corolare din teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului
(legi de conservare)
este zero, Re = 0, atunci viteza centrului de masă este constantă, vC = const (centrul
masa se mișcă uniform în linie dreaptă - legea conservării mișcării
centru de masă).
2. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal de extern
forțele sistemului pe axa x este zero, Rxe = 0, apoi viteza centrului de masă de-a lungul axei x
este egal cu zero, Re = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă este egală cu
zero, vC = 0, atunci vectorul rază al centrului de masă rămâne constant, rC =
const (centrul de masă este în repaus - legea conservării poziției
centru de masă).
forța sistemului pe axa x este zero, Rxe = 0, iar în momentul inițial viteza
centrul de masă de-a lungul acestei axe este egal cu zero, vCx = 0, apoi coordonatele centrului de masă de-a lungul
Axa x rămâne constantă, xC = const (centrul de masă nu se mișcă de-a lungul acesteia
axă).
25. Impulsul de forță
O măsură de caracterizare a interacțiunii mecanice
transmiterea mişcării mecanice de la acţionare
la punctul de forță pentru o anumită perioadă de timp:
S F (t 2 t1).
În proiecţii pe
t
t
t
coordonată (Ox): S x Fx dt; (Oy): S y Fy dt ; (Oz): S z Fz dt .
t
t
t
axe:
2
2
2
1
1
1
t2
În cazul forței constante: S F dt
t1
S x Fx (t2t1);
S y Fy (t2t1);
Sz Fz (t2t1);
Impulsul rezultantei este egal cu cel geometric
suma impulsurilor forțelor aplicate unui punct în timpul unuia și aceluiași
aceeași perioadă de timp: R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Să integrăm pe t2
t2
t2
t2
interval dat R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
timp:
S S1 S 2 ... S n . 26. Mișcarea unui punct
egal cu produsul dintre masa unui punct și vectorul acestuia
viteza: Q mv.
Cantitatea de mișcare a unui sistem de puncte materiale -
suma geometrică a cantităților de mișcare a materialului
puncte: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Prin definiția centrului de masă:
Q
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
Vectorul impuls al sistemului este egal cu
produsul dintre masa întregului sistem și vectorul viteză
centrul de masă al sistemului.
drC
d
Apoi: Q dt (Mrc) M dt MvC .
În proiecţii pe
Q Mx C ;
axele de coordonate: x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C . 26. Teorema privind modificarea impulsului
sisteme
Să considerăm un sistem de n puncte materiale. Atasat la
Împărțim fiecare punct de forță în extern și intern și
Să le înlocuim cu rezultatele corespunzătoare Fke și Fki.
Să scriem ecuația de bază a dinamicii pentru fiecare punct:
mk a k F ke F ki sau mk dvk Fke Fki .
dt
Să rezumam acestea
În partea stângă a ecuației o introducem
ecuații
mase sub semnul derivat
in toate punctele:
și înlocuiți suma derivatelor cu
dvk
e
i
m
F
F
.
k
k
k
derivată a sumei: d (m v) R e .
dt
k k
dt
Din definiție
e
i
d
Q
e
R
0
R
cantități mk v k Q .
R.
Derivată a vectorului impuls al sistemului în raport cu timpul
dt este egal cu vectorul principal al forțelor externe ale sistemului.
sistem de miscare:
dQx
În proiecţiile pe coordonate dQx R e F e ; dQx R e F e ;
R e F xke .
xk
xk
dt
dt
dt
axe:
X
X
X 26. Corolare din teorema privind modificarea cantității
mișcarea sistemului (legi de conservare)
:
1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal de extern
forțele sistemului este zero, Re = 0, apoi vectorul mărimii
mișcarea este constantă, Q = const – legea conservării
impulsul sistemului.
2. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal
forțele externe ale sistemului pe axa x sunt egale cu zero, Rxe = 0, atunci
proiecția impulsului sistemului pe axa x
este constantă, Qx = const.
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z.
dQ
Proiectăm pe axa: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Noi impartim
Q
t
variabile
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
și să integreze: Q0
De aici legea Qτ Qτ 0 0 sau Qτ 0 Qτ.
economisire: Mv m v m v .
1 1
2 2
Integrala dreapta
aproape egal
zero, pentru că timp
explozie t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2 27. Momentul unui punct sau cinetică
moment al mișcării față de un anumit centru
O măsură a mișcării mecanice definită de un vector,
egal cu produsul vectorial al vectorului rază
punct material prin vectorul impulsului său:
Q
v
Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale
relativ la un centru – geometric
suma momentelor cantităţilor de mişcări ale tuturor
puncte materiale relativ la același centru:
m
K.O.
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Derivată a vectorului moment unghiular
sisteme relativ la un anumit centru în timp
egal cu momentul principal al fortelor externe ale sistemului
relativ la același centru.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
În proiecții
Kx
pe axa:
K
ix
; K y Kiy;
K z Kiy. 28. Teorema privind modificarea momentului unghiular
mișcarea sistemului
Să considerăm un sistem de n puncte materiale. Atasat la
Împărțim fiecare punct de forță în extern și intern și
Să le înlocuim cu rezultatele corespunzătoare Fke și Fki.
Să scriem ecuația de bază a dinamicii pentru fiecare punct:
dvk
e
i
e
i
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
sau
k
k
dt
Să înmulțim vectorial fiecare dintre egalități cu vectorul rază
stânga:
dv
rk mk
k
dt
Să rezumam acestea
ecuații pentru toți
puncte:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
i
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
i
M.O.
0Să vedem dacă putem elimina semnul derivatului
dincolo de produsul încrucișat:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk, mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Astfel, avem:
Să înlocuim suma derivatelor
la derivata sumei: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
Expresia dintre paranteze este momentul unghiular
sisteme. De aici:
dK
O
dt
M Oe. În proiecțiile pe axe de coordonate:
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
Ale mele;
Mze.
dt
dt
dt
Teorema: Derivată a vectorului cuplului
cantitatea de mișcare a sistemului în raport cu
a unui centru este egal în timp cu cel principal
moment al forțelor externe ale sistemului relativ la
acelasi centru.
dK
O
dt
M Oe.
Teorema: Derivată a momentului mărimii
mișcarea sistemului față de o anumită axă
egală în timp cu momentul principal al exteriorului
forțele sistemului față de aceeași axă.
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
Ale mele;
Mze.
dt
dt
dt 29. Corolare din teorema schimbării cuplului
impulsul sistemului (legi de conservare)
1. Dacă în intervalul de timp vectorul momentului principal
forțele externe ale sistemului relativ la un anumit centru
este egal cu zero, MOe = 0, apoi vectorul momentului mărimii
mișcarea sistemului față de același centru
constantă, KO = const – legea conservării cuplului
impulsul sistemului).
2. Dacă în intervalul de timp momentul principal de extern
forța sistemului în raport cu axa x este zero, Mxe = 0, atunci
momentul unghiular al sistemului în jurul axei x
constantă, Kx = const.
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z. 30. Elemente ale teoriei momentelor de inerție
În mișcarea de rotație a unui corp rigid, măsura inerției
(rezistența la schimbare în mișcare) este momentul
inerţia faţă de axa de rotaţie. Să ne uităm la principal
definirea conceptelor şi metodelor de calcul a momentelor
inerţie.
30.1. Momentul de inerție al unui punct material
raportat la axa
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
X
X
y
y
Momentul de inerție al materialului
punctul relativ la ax este egal
produsul masei unui punct și
pătratul distanței punctului față de axă.
Pe lângă momentul de inerție axial al unui corp rigid
Există și alte tipuri de momente de inerție:
I xy xydm
- momentul de inerție centrifugal
corp solid. 30.2. Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
O
da
X
Momentul de inerție al unui corp rigid
relativ la axă este egală cu suma
produse din masa fiecărui punct
cu pătratul distanței acestui punct
la axa.
La trecerea de la discret
masă mică până la infinitezimal
masa unui punct, limita unei astfel de sume
este determinat de integrala:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- momentul axial de inerție
corp solid.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- moment polar
inerția unui corp solid. 30.4. Momentul de inerție al unei tije constante uniforme
secțiuni transversale în raport cu axa
Să selectăm volumul elementar dV = Adx la distanța x:
zС
z
Elementar
greutate:
dm Adx
L
X
X
C
dx
L
3L
L
X
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
A
3
3
locația axei și setați limitele de integrare (-L/2,
L/2). Aici demonstrăm formula pentru a trece la
axe paralele:
2
2
M.L.
L
Eu zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
eu zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
230.5. Momentul de inerție al unui cilindru solid omogen
raportat la axa de simetrie
Să selectăm volumul elementar: dV = 2πrdrH (cilindru subțire
raza r
Masa elementara:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Deoarece înălțimea cilindrilor nu este inclusă în rezultat
formule pentru momentele de inerție, apoi rămân
valabil pentru un disc solid subțire și o jantă
roți (inel subțire). 31. Momentul cinetic al unui corp rigid
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
i
Sau mergi mai departe
la infinitezimale:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
Momentul cinetic al rotației
corpul este egal cu produsul unghiular
viteza in momentul de inertie
faţă de axa de rotaţie.
z
z
Bună
Δmi
vi
X
y 32. Ecuația diferențială a rotației
corp rigid în raport cu axa
Să scriem teorema despre modificarea momentului unghiular
un corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe:
dK z
Mze.
dt
Momentul cinetic al unui corp rigid rotativ este egal cu:
z
z
z
Mz
X
K z z I z .
Momentul forțelor externe în raport cu axa
rotația este egală cu cuplul
(reacții și gravitație M e M M
z
z
roti
nu creați șanse):
Inlocuim momentul cinetic si
y
cuplul în teoremă
d (z I z)
M z M rotație
dt
I z M z M rotație 33. Teoria elementară a giroscopului
Giroscop - un corp rigid care se rotește în jurul unei axe
simetria materială, unul dintre punctele căruia
nemişcat.
Giroscop liber - fixat astfel încât centrul său de masă
rămâne staționar, iar axa de rotație trece prin
centru de masă și poate lua orice poziție în
spațiu, adică axa de rotaţie îşi schimbă poziţia
asemănător cu axa de rotație a corpului propriu la
mișcare sferică.
KC
ω Ipoteza principală a aproximativului (elementar)
teoria giroscopului – vector al momentului cantității
se are în vedere deplasarea (momentul cinetic) a rotorului
direcționat de-a lungul propriei axe de rotație.
Principala proprietate a unui giroscop liber este axa rotorului
menține o direcție constantă în spațiu de-a lungul
în raport cu cadrul de referinţă inerţial (stelar).
(demonstrat de pendulul Foucault, care păstrează
în raport cu stelele planul balansoar, 1852).
Aceasta rezultă din legea conservării momentului unghiular
raportat la centrul de masă al rotorului, prevăzut
neglijând frecarea lagărelor axelor suspensiei
rotor, cadru exterior și interior:
dK C
M Ce 0;
dt
K C const. 34. Acțiunea forței asupra axei unui giroscop liber
În cazul unei forțe aplicate axei rotorului,
momentul forțelor exterioare față de centrul de masă nu este egal
zero:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F ;
C
Derivată a momentului unghiular în raport cu timpul
egală cu viteza la capătul acestui vector (teorema lui Rézal):
dK C
dr
v K; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce .
Aceasta înseamnă că axa rotorului va fi
abate de la direcția de acțiune
forță și către vectorul momentului
această forță, adică nu se va întoarce
raportat la axa x (internă
suspensie) și în raport cu axa y
(suspensie externa).
F
h
vK
y
CU
M Ce
X
ω
KC Când forța încetează, axa rotorului va rămâne
într-o poziţie constantă corespunzătoare
ultimul moment al timpului de acţiune a forţei, deoarece
din acest moment în timp momentul forţelor exterioare din nou
devine egal cu zero.
În cazul unei forțe de scurtă durată (impact), axa
Giroscopul practic nu își schimbă poziția.
Astfel, rotirea rapidă a rotorului comunică
capacitatea giroscopului de a contracara aleatoriu
influenţe care tind să modifice poziţia axei
rotația rotorului și cu forță constantă
menține poziția planului perpendicular pe
forța care acționează în care se află axa rotorului. Aceste proprietăți
utilizate în operarea sistemelor de navigație inerțială.
Vă mulțumim pentru atenție!
Exemplu: Două persoane de masele m1 și m2 sunt într-o barcămasa m3. La momentul inițial de timp, o barcă cu oameni
era în repaus. Determinați deplasarea bărcii dacă
o persoană de masa m2 s-a deplasat la prova bărcii la o distanţă a.
1. Obiect al mișcării
(barca cu oameni):
x2
y
x1
2. Aruncăm conexiunile (apă):
A
G3
3. Înlocuiți conexiunea cu o reacție:
4. Adăugați forțe active:
G1
R
G2
X
O
Proiectați pe axa x:
M x C 0.
xC const.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
A.
m1
x3
x C const 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3
în sens invers.
17
Cursul 6 (continuare de la 6.2)
Teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem – Considerăm un sistem de n puncte materiale. Împărțim forțele aplicate fiecărui punctîn extern și intern și înlocuiți-le cu rezultantele corespunzătoare Fke și Fki. Să scriem ecuația de bază pentru fiecare punct
difuzoare:
sau
d 2 rk
e
i
d 2 rk
Să rezumam aceste ecuații
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
in toate punctele:
dt 2
dt
În partea stângă a ecuației introducem mase sub semnul derivatului
d2
(m r) R e.
și înlocuiți suma derivatelor cu derivata sumei:
2 k k
Din definiția centrului de masă:
După îndepărtarea masei sistemului
pentru semnul derivatei obținem
În proiecțiile pe axe de coordonate:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Să substituim în ecuația rezultată:
R e sau:
M x C R ex X ke ;
M y C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Re
Ri 0
Produsul dintre masa unui sistem și accelerația masei sale centrale
egală cu vectorul principal al forțelor externe.
Centrul de masă al sistemului se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa
întregul sistem căruia i se aplică toate forţele externe care acţionează asupra sistemului.
Exemplu: Două persoane de masele m1 și m2 se află într-o barcă de masa m3.
La momentul inițial, barca cu oameni era în repaus.
Determinați deplasarea bărcii dacă o persoană cu masa m2 se deplasează la prova
Corolare din teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului
bărci la distanță.
y
(legi de conservare):
x2
A
1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forţelor externe ale sistemului
X
1. Obiect de mișcare (barcă cu oameni):
1
este zero, Re = 0, atunci viteza centrului de masă este constantă, vC = const
2. Aruncăm conexiunile (apă):
(centrul de masă se mișcă uniform în linie dreaptă - legea conservării
3.
Înlocuim conexiunea cu o reacție:
G1
X
mișcarea centrului de masă).
O
G2
2. Dacă în intervalul de timp proiecția vectorului principal al forțelor externe 4. Adăugați forțele active:
sistemul pe axa x este zero, Rxe = 0, apoi viteza centrului de masă de-a lungul axei x
5. Scriem teorema despre centrul de masă:
constantă, vCx = const (centrul de masă se mișcă uniform de-a lungul axei).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z.
x3
3. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forţelor externe ale sistemului
Proiectați pe axa x: M x C 0.
x C const 0.
este zero, Re = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă este zero,
xC const.
vC = 0, atunci vectorul rază al centrului de masă rămâne constant, rC = const (centrul
mk xk 0 mk xk .
masa este în repaus - legea conservării poziţiei centrului de masă).
Să stabilim cât de departe trebuie să schimbe scaunul o persoană de masa m1,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Dacă în intervalul de timp proiecţia vectorului principal de extern
putere
pentru a menține barca pe loc:
sistem pe axa x este zero, Rxe = 0, iar în momentul inițial viteza centrală
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1 conform acesteia
m2 x2 axe
mequal
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mcenter
l
mase
to2 coordonata
masa pe axa x
3 x 3 zero,
3 x3.
m1 m2 m3
m2
rămâne constant, xC = const (centrul de masă nu se mișcă de-a lungul acestei axe).
Barca se va deplasa pe o distanta l
b
A
.
0
m
b
m
A
.
Similar
valabil pentru axele ym și z.
1 afirmații
2
17
în sens invers.
M z C R ez Z ke .
1
Cursul 8 (continuare de la 8.2)
4.Momentul de inerție al unei tije constante uniforme
secțiuni relativ la axă:
Să evidențiem elementul
zС
volum dV = Adx
z
L
la distanta x:
5.
Momentul de inerție al unui cilindru solid omogen
raportat la axa de simetrie:
Să evidențiem elementul
volum dV = 2πrdrH
(cilindru subțire cu raza r):
Elementar
greutate:
dm 2 rdrH
z
R
X
dx
L
Elementar
greutate:
dm
C
X
L
3L
X
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
A
3
3
y
Pentru a calcula momentul de inerție față de centrală
axă (trece prin centrul de greutate) este suficient să se schimbe
locația axei și setați limitele de integrare (-L/2, L/2).
Aici demonstrăm formula pentru trecerea la paralel
axe:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
eu zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
X
r
r
2H
4
dr
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Aici folosim formula pentru volumul unui cilindru V=πR2H.
Pentru a calcula momentul de inerție al unui cilindru gol (gros).
este suficient să stabilim limitele de integrare de la R1 la R2 (R2> R1):
M.L.
L
Eu zC M .
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Momentul de inerție al unui cilindru subțire față de axă Deoarece înălțimea cilindrilor ca rezultat nu este inclusă în formulele momentului
inerţia, atunci rămân valabile pentru un disc solid subţire şi
simetrie (t<
R
z t
Datorită grosimii mici a cilindrului
presupunem că toate punctele sunt localizate
la aceeași distanță R față de axă
și nu este necesară integrarea.
Volumul V = 2πRtH. (cilindru subțire
raza R cu grosimea peretelui t).
H
y
X
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R2(Rt)2) M (2R22Rtt2) 2R.
Iz
.
2
2
Să selectăm un volum mic discret de masă mi:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
Bună
IzR22RtHMR2.
Același lucru se poate realiza folosind
formule pentru un cilindru cu pereți groși, ținând cont
t mic:
Momentul unui corp rigid
Δmi
X
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Sau trecem la infinitezimale:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
Momentul unghiular al unui corp care se rotește este egal cu produsul
viteza unghiulara in momentul de inertie fata de axa de rotatie.
22teorema lui Euler
Teoreme: Aplicarea teoremei modificării mărimii
deplasarea sistemului la deplasarea unui mediu continuu (apa).
(x): M sec (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y): M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z): Mmotion
Rz situat
.
sec (v2 z v1volum
z) Rzwater,
1.Selectați ca obiect
în canalul curbat al turbinei:
2. Aruncăm conexiunile și înlocuim acțiunea lor cu reacții (Rpov este rezultanta forțelor de suprafață)
3. Adăugați forțele active (Rob – rezultanta forțelor volumetrice):
despre
v1
F1
A
A
B
B
Rob
Cantitatea de mișcare a apei la momentele t0 și t1
În proiecţii ca
pentru sume:
axe:
să ne imaginăm
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
B.C.
Q1 QBC QCD .
,
Modificarea impulsului apei în intervalul de timp:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Modificarea cantității
circulaţie
vectori de apă ale a doua cantități de mișcare a fluidului pe axă este egală cu
Diferență
proiecții
dQ dQCD dQAB, unde dQAB (F1v1dt)v1;
pentru infinitezimal
interval
timp
dt: vectori
suma proiecțiilor principalelor
forțe volumetrice și de suprafață pe aceeași axă.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Luând produsul densității, ariei secțiunii transversale și vitezei ca a doua masă
primim:
dQ (M dt)v;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Scriem teorema despre modificarea impulsului sistemului:
RPov
C
D
pov
sec
1
dQCD (M sec dt)v2.
dQ M sec (v2 v1)dt.
M sec F1v1 F2v2,
Înlocuirea diferenţialului de impuls al sistemului
în teorema schimbării obținem:
M sec (v2 v1) Rrev Rrev.
Diferența geometrică dintre vectorii celei de-a doua mărimi de mișcare a fluidului este egală cu
suma vectorilor principali ai forțelor volumetrice și de suprafață.
(SISTEME MECANICE) – Opțiunea IV
1. Ecuația de bază a dinamicii unui punct material, așa cum se știe, este exprimată prin ecuație. Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctelor arbitrare ale unui sistem mecanic neliber conform două metode de împărțire a forțelor pot fi scrise în două forme:
(1) , unde k=1, 2, 3, … , n – numărul de puncte ale sistemului material.
unde este masa punctului k; - vectorul rază al punctului k, - o forță dată (activă) care acționează asupra punctului k sau rezultanta tuturor forțelor active care acționează asupra punctului k. - rezultanta forţelor de reacţie a legăturii care acţionează asupra punctului k; - rezultanta fortelor interne care actioneaza asupra punctului k; - rezultanta fortelor externe care actioneaza asupra punctului k.
Folosind ecuațiile (1) și (2), se poate încerca să rezolve atât prima cât și a doua problemă de dinamică. Totuși, rezolvarea celei de-a doua probleme de dinamică pentru un sistem devine foarte complicată, nu doar din punct de vedere matematic, ci și pentru că ne confruntăm cu dificultăți fundamentale. Ele constau în faptul că atât pentru sistemul (1) cât și pentru sistemul (2) numărul de ecuații este semnificativ mai mic decât numărul de necunoscute.
Deci, dacă folosim (1), atunci dinamica cunoscută pentru a doua problemă (inversa) va fi și , iar cele necunoscute vor fi și . Ecuațiile vectoriale vor fi " n”, și cele necunoscute - „2n”.
Dacă pornim de la sistemul de ecuații (2), atunci unele dintre forțele externe sunt cunoscute. De ce să se despart? Faptul este că numărul de forțe externe include și reacții externe ale conexiunilor care sunt necunoscute. În plus, va fi de asemenea necunoscut.
Astfel, atât sistemul (1) cât și sistemul (2) sunt NESCHIS. Este necesar să se adauge ecuații, ținând cont de ecuațiile conexiunilor și, poate, este necesar să se impună și unele restricții asupra conexiunilor în sine. Ce să fac?
Dacă pornim de la (1), atunci putem urma calea compunerii ecuațiilor Lagrange de primul fel. Dar această cale nu este rațională deoarece cu cât problema este mai simplă (mai puține grade de libertate), cu atât este mai dificil să o rezolvi din punct de vedere matematic.
Apoi să ne îndreptăm atenția către sistemul (2), unde - sunt întotdeauna necunoscute. Primul pas în rezolvarea unui sistem este eliminarea acestor necunoscute. Trebuie avut în vedere că, de regulă, nu ne interesează forțele interne atunci când sistemul se mișcă, adică atunci când sistemul se mișcă, nu este necesar să știm cum se mișcă fiecare punct al sistemului, dar este suficient. pentru a ști cum se mișcă sistemul în ansamblu.
Astfel, dacă excludem forțe necunoscute din sistemul (2) în diverse moduri, obținem unele relații, adică apar unele caracteristici generale pentru sistem, a căror cunoaștere ne permite să judecăm modul în care sistemul se mișcă în general. Aceste caracteristici sunt introduse folosind așa-numitele teoreme generale de dinamică. Există patru astfel de teoreme:
1. Teorema despre mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic;
2. Teorema despre modificarea impulsului unui sistem mecanic;
3. Teorema despre modificarea momentului cinetic al sistemului mecanic;
4. Teorema despre modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.