วิทยาลัยเกษตรปืนใหญ่ภายใต้อธิการบดี วิทยาลัยการค้าและเศรษฐกิจคาลินินกราด - สาขาของสถาบันเศรษฐศาสตร์แห่งชาติและการบริหารสาธารณะแห่งรัสเซียภายใต้ประธานาธิบดีแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

ประวัติความเป็นมาของวิทยาลัยการค้าและเศรษฐศาสตร์คาลินินกราดเป็นหน้าหนึ่งในประวัติศาสตร์ของภูมิภาคซึ่งเขียนขึ้นตั้งแต่ปี พ.ศ. 2489 ในช่วงเวลาที่ผ่านมา มีผู้เชี่ยวชาญมากกว่า 25,000 คนที่สำเร็จการศึกษาจากวิทยาลัย

ตั้งแต่ปี 2004 วิทยาลัยได้กลายเป็นเวทีทดลองสำหรับสถาบันมอสโกเพื่อการพัฒนาอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาในหัวข้อ "การเผยแพร่ประสบการณ์ของยุโรปในการสร้างและจัดระเบียบศูนย์การศึกษาผู้ใหญ่และศูนย์การศึกษาแบบเปิดในภูมิภาค" เป็นเวลาสิบปีที่เขาเป็นสมาชิกของสมาคมการตลาดรัสเซียและมีสถานะเป็นวิทยาลัยสังคม หลังนี้ได้รับรางวัลจากวิทยาลัยโดยฝ่ายบริหารระดับภูมิภาคสำหรับการสนับสนุนนักเรียน ครู ผู้เกษียณอายุ บุคลากรทางการทหาร และสมาชิกในครอบครัว ครูที่ทำงาน และเจ้าหน้าที่ผู้ด้อยโอกาสทางสังคมอย่างต่อเนื่อง

นักศึกษาจะได้รับการฝึกอบรมที่วิทยาลัยการค้าและเศรษฐกิจคาลินินกราดใน 5 คณะ ได้แก่ เทคโนโลยีและบริการ การจัดการการตลาด กฎหมาย เศรษฐศาสตร์และการบัญชี และการศึกษารูปแบบใหม่ สาขาวิชาของวิทยาลัยประกอบด้วยสาขาวิชาเฉพาะ 16 สาขาวิชา ซึ่งรวมถึงเทคโนโลยีการเตรียมอาหาร การค้าอาหาร การค้าขาย การจัดการ การตลาด นักบัญชี-ทนายความ การธนาคาร การจัดบริการในโรงแรม การเงิน การท่องเที่ยว และอื่นๆ อีกมากมาย

วิทยาลัยมีศูนย์แนะแนวอาชีพและการฝึกอบรมผู้สมัคร ที่คณะการศึกษารูปแบบใหม่ คุณไม่เพียงแต่สามารถปรับปรุงคุณวุฒิของคุณเท่านั้น แต่ยังได้รับความเชี่ยวชาญพิเศษใหม่ ๆ โดยไม่รบกวนงานของคุณอีกด้วย Open Education Center ในปัจจุบันมุ่งเน้นไปที่การให้ความช่วยเหลือด้านการฝึกอบรมวิชาชีพในสาขาวิชาเฉพาะทางมากกว่า 20 สาขา ที่นี่คุณสามารถพัฒนาทักษะของคุณและเข้ารับการฝึกอบรมขึ้นใหม่ได้ วิธีการมีหลากหลาย: เกมธุรกิจ การฝึกอบรม การสัมมนา แบบฝึกหัด การประชุมแบบเปิด การสัมมนา งานโครงงาน ทั้งหมดนี้ช่วยให้นักเรียนซึมซับเนื้อหาที่เสนอได้มากที่สุด

ความร่วมมือกับ Kaliningrad State University, Kaliningrad State Technical University และ Baltic State Academy ช่วยให้วิทยาลัยสามารถฝึกอบรมผู้เชี่ยวชาญที่ความรู้กลายเป็นทุนและเป็นทรัพยากรหลักสำหรับการพัฒนาเศรษฐกิจของภูมิภาค ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาของการปฏิสัมพันธ์นี้ ผู้สำเร็จการศึกษามากกว่าสองร้อยคนได้รับการศึกษาระดับสูงในคณะพิเศษโดยมีระยะเวลาการศึกษาสั้นลง ทั้งหมดนี้เป็นที่ต้องการของความซับซ้อนทางเศรษฐกิจของภูมิภาค หลายคนได้เข้าสู่กลุ่มผู้ประกอบการชั้นนำของภูมิภาค

วิทยาลัยการค้าและเศรษฐกิจคาลินินกราดได้จัดตั้งการสื่อสารและมีปฏิสัมพันธ์อย่างแข็งขันกับเดนมาร์ก สวีเดน เยอรมนี โปแลนด์ และฟินแลนด์ ทีมงานมีส่วนร่วมในโครงการการศึกษาระดับนานาชาติ หัวข้อของพวกเขามีความหลากหลาย รวมถึงหัวข้อที่สำคัญเช่น "การช่วยเหลือหน่วยงานคาลินินกราดในการพัฒนาธุรกิจขนาดเล็กและขนาดกลาง", "การช่วยเหลือเจ้าหน้าที่และสมาชิกที่ว่างงานในครอบครัวของพวกเขาในการรับความเชี่ยวชาญพิเศษด้านพลเรือนสำหรับการจ้างงานในภายหลัง", "การฝึกอบรมครูใน andragogy และการพัฒนากิจกรรมโปรแกรมการฝึกอบรมผู้ประกอบการในคาลินินกราด" และอื่นๆ

ในปี 1999 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโครงการระดับนานาชาติด้วยความพยายามของ Lydia Ivanovna Motolyanets รองผู้อำนวยการฝ่ายวิชาการ บริษัทจำลองได้ถูกสร้างขึ้น - แบบจำลองขององค์กรที่สะท้อนถึงกิจกรรมขององค์กรการค้าจริง ซึ่งเป็นรูปแบบเฉพาะทางที่มีประสิทธิภาพ การฝึกอบรมขั้นสูงสำหรับบุคลากรทุกระดับที่ทำงานในสาขาธุรกิจขนาดเล็ก

ภารกิจของทีม - เพื่อรับประกันการศึกษาที่จะตอบสนองความต้องการของสังคมและมีส่วนช่วยในการสร้างบุคลิกภาพที่ครบถ้วน - ได้รับการเติมเต็มอย่างเต็มที่ วิทยาลัยการค้าและเศรษฐกิจคาลินินกราดคือความเป็นมืออาชีพ ความรับผิดชอบ และศักดิ์ศรี

เคเทค
PCC เศรษฐศาสตร์และการบัญชี

15 ฉบับ พ.ศ. 2549

การแนะนำ. 4

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ 5

อนุพันธ์บางส่วน สิบเอ็ด

จุดเปลี่ยน 16

แบบฝึกหัดเพื่อแก้ 17

ทดสอบ. 20

เฉลยแบบฝึกหัด..21

วรรณกรรม. 23

การแนะนำ

ฉ(x xแล้วพวกเขาก็โทรมา ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่ม; ถ้า ก.(เอ็กซ์) ก.(เอ็กซ์) ก'(x)เรียกว่า ต้นทุนส่วนเพิ่ม.

ตัวอย่างเช่น, ให้ทราบฟังก์ชัน คุณ=คุณ(ที) ยูในขณะที่ทำงาน ที ∆t=เสื้อ 1 - เสื้อ 0:

เฉลี่ย =

เฉลี่ย. ที่ ∆t→ 0: .

ต้นทุนการผลิต เค xเราก็เลยเขียนได้ K=K(x) ∆x K(x+∆x) ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x)

ขีดจำกัด เรียกว่า

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์

สัญกรณ์ฟังก์ชันอนุพันธ์:

ที่. a-ไพรเออรี่:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์:

ให้ฟังก์ชัน y=ฉ(x)อย่างต่อเนื่องในส่วนนี้ , x

1. ค้นหาส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์:

x– ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่

x 0- ค่าเริ่มต้น

2. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน:

ฉ(x)– ค่าฟังก์ชันใหม่

ฉ(x 0)-ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน

3. ค้นหาอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

4. หาขีดจำกัดของอัตราส่วนที่พบได้ที่

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามคำจำกัดความของอนุพันธ์

สารละลาย:

ให้กันเถอะ เอ็กซ์เพิ่มขึ้น ∆x,จากนั้นค่าใหม่ของฟังก์ชันจะเท่ากับ:

ลองค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน:

เราพบอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์:

.

ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยที่:

ดังนั้นตามคำจำกัดความของอนุพันธ์: .

เรียกว่าการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง.

การทำงาน y=ฉ(x)เรียกว่า หาความแตกต่างได้ในช่วงเวลา (a;b) หากมีอนุพันธ์ในแต่ละจุดของช่วงเวลา

ทฤษฎีบทหากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด x 0แล้วมันก็ต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ข้อความย้อนกลับเป็นเท็จเพราะว่า มีฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น เช่น ฟังก์ชันที่จุด x 0 =0

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1) .

2) .

ให้เราทำการแปลงฟังก์ชันที่เหมือนกัน:

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

อนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง กำหนด

อนุพันธ์ของลำดับที่ nเรียกว่าอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ (n-1)

ตัวอย่างเช่น,

อนุพันธ์บางส่วน

อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ที่ได้จากตัวแปรนี้ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะคงที่

ตัวอย่างเช่น, สำหรับฟังก์ชั่น อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งจะเท่ากับ:

ฟังก์ชั่นสูงสุดและต่ำสุด

ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดเรียกว่า จุดสูงสุด.

ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยที่สุดเรียกว่า จุดต่ำสุด.

จุดสูงสุดของฟังก์ชันคือจุดขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจากเพิ่มขึ้นไปสู่การลดลง จุดต่ำสุดของฟังก์ชันคือจุดขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงจากลดลงไปสู่การเพิ่มขึ้น.

การทำงาน y=ฉ(x)มี (ท้องถิ่น) ขีดสุดณ จุดนั้นหากเพื่อทั้งหมด x

การทำงาน y=ฉ(x)มี (ท้องถิ่น) ขั้นต่ำณ จุดนั้นหากเพื่อทั้งหมด เอ็กซ์ใกล้เคียงกับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเพียงพอ

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจะถูกเรียกรวมกัน สุดขั้วและจุดที่พวกเขาไปถึงนั้นเรียกว่า จุดสุดขั้ว.

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว) ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในช่วงเวลาและมีค่ามากที่สุด (น้อยที่สุด) ณ จุดนั้น จากนั้นหาก ณ จุดหนึ่งมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ มันจะเท่ากับศูนย์นั่นคือ .

การพิสูจน์:

ปล่อยให้ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดที่จุด x 0 ดังนั้นสำหรับค่าอสมการต่อไปนี้:

ไม่ว่าจะจุดไหนก็ตาม

ถ้า x > x 0 แล้วนั่นคือ

ถ้า x< x 0 , то , т.е.

เพราะ มีบางสิ่งที่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมันมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น ดังนั้น

ผลที่ตามมา:

หาก ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ค่าสูงสุด (น้อยที่สุด) จากนั้น ณ จุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันนี้จะขนานกับแกน Ox

จุดที่อนุพันธ์อันดับแรกเป็นศูนย์หรือไม่มีเรียกว่า วิกฤต -สิ่งเหล่านี้คือจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้

โปรดสังเกตว่า เนื่องจากความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์อันดับแรกถึงศูนย์เป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขีดเท่านั้น จึงจำเป็นต้องตรวจสอบคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับการมีอยู่ของค่าสุดขีดในแต่ละจุดของค่าสุดขีดที่เป็นไปได้

ทฤษฎีบท(สภาพที่เพียงพอต่อการดำรงอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ฟังก์ชัน y = ฉ(x) มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในบางย่านของจุด x 0หากเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง x 0จากซ้ายไปขวา อนุพันธ์ตัวแรกจะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (จากลบเป็นบวก) จากนั้นถึงจุดนั้น x 0การทำงาน y = ฉ(x) มีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถ้าอนุพันธ์อันดับ 1 ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย แสดงว่าฟังก์ชันนี้ไม่มีจุดสุดโต่งที่จุดนั้น x 0 .

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว:

1. ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน

2. เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งให้เป็นศูนย์

3.แก้สมการ รากที่พบของสมการคือจุดวิกฤต

4. พล็อตจุดวิกฤติที่พบบนแกนตัวเลข เราได้รับช่วงต่างๆ กัน

5. หาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งในแต่ละช่วงและระบุจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

6.การพล็อตกราฟ:

Ø กำหนดค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายสุด

Ø ค้นหาจุดตัดกับแกนพิกัด

Ø ค้นหาจุดเพิ่มเติม

กระป๋องมีลักษณะเป็นทรงกระบอกกลมมีรัศมี รและความสูง ชม.. สมมติว่ามีการใช้ดีบุกในปริมาณคงที่อย่างชัดเจนในการผลิตกระป๋อง ให้พิจารณาว่าเป็นอัตราส่วนระหว่างเท่าใด รและ ชม.โถจะมีปริมาตรมากที่สุด

ปริมาณดีบุกที่ใช้จะเท่ากับพื้นที่ผิวทั้งหมดของกระป๋องนั่นคือ . (1)

จากความเท่าเทียมกันนี้ เราพบว่า:

จากนั้นสามารถคำนวณปริมาตรได้โดยใช้สูตร: . ปัญหาจะลดลงเหลือแต่การหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน วี(ร). ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้: . ให้เราถือเอาอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นศูนย์:

. เราพบ: . (2)

จุดนี้เป็นจุดสูงสุดเพราะว่า อนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นบวกที่ และลบที่

ตอนนี้ให้เรากำหนดอัตราส่วนระหว่างรัศมีและความสูงของตลิ่งที่ปริมาณมากที่สุดจะเกิดขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารความเท่าเทียมกัน (1) ด้วย ร 2และใช้ความสัมพันธ์ (2) สำหรับ ส. เราได้รับ: . ดังนั้นขวดที่มีความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางจะมีปริมาตรมากที่สุด

บางครั้งมันค่อนข้างยากที่จะศึกษาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งทางซ้ายและขวาของจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ จากนั้นคุณสามารถใช้ เงื่อนไขที่สองเพียงพอสำหรับสุดขั้ว:

ทฤษฎีบทให้ฟังก์ชัน y = ฉ(x) มีตรงจุด x 0อนุพันธ์อันดับสองที่มีขอบเขตจำกัดสุดขีดที่เป็นไปได้ แล้วฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มีตรงจุด x 0สูงสุดถ้า , และขั้นต่ำหาก .

หมายเหตุ ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้แก้ปัญหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง หากอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

จุดเปลี่ยน

จุดของเส้นโค้งที่แยกความนูนออกจากความเว้าเรียกว่า จุดเปลี่ยน.

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดเปลี่ยนเว้า): ให้กราฟของฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้าและฟังก์ชันมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องกันที่จุด x 0 แล้ว

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับจุดเปลี่ยนเว้า): ปล่อยให้ฟังก์ชันมีอนุพันธ์อันดับสองในบริเวณใกล้จุด x 0 ซึ่งมีเครื่องหมายทางซ้ายและขวาต่างกัน x 0. จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีความเบี่ยงเบนที่จุดนั้น

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้า:

1. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

2. เทียบอนุพันธ์อันดับสองให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการ: . เขียนรากผลลัพธ์บนเส้นจำนวน เราได้รับช่วงต่างๆ กัน

3. ค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในแต่ละช่วง ถ้าสัญญาณของอนุพันธ์อันดับสองในช่วงสองช่วงที่อยู่ติดกันแตกต่างกัน เราจะมีจุดเปลี่ยนเว้าสำหรับค่ารากที่กำหนด ถ้าสัญญาณเหมือนกัน ก็ไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า

4. ค้นหาพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้า

ตรวจสอบเส้นโค้งเพื่อหาความนูนและความเว้า ค้นหาจุดเปลี่ยนเว้า

1) ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง:

2) แก้อสมการ 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) แก้อสมการ 2x>0 x>0 สำหรับ x เส้นโค้งเว้า

4) มาหาจุดเปลี่ยนเว้าซึ่งเราถืออนุพันธ์อันดับสองให้เป็นศูนย์: 2x=0 x=0 เพราะ ที่จุด x=0 อนุพันธ์อันดับสองมีสัญญาณทางซ้ายและขวาต่างกัน จากนั้น x=0 คือค่าขาดหายของจุดเปลี่ยนเว้า มาหาพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้า:

(0;0) จุดเปลี่ยนเว้า

แบบฝึกหัดเพื่อแก้

หมายเลข 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ตามค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

ลำดับที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

ลำดับที่ 3 แก้ไขปัญหา:

1. ค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่ลากไปยังพาราโบลาที่จุด x=3

2. แทนเจนต์และเส้นปกติจะถูกลากไปที่พาราโบลา y=3x 2 -x ที่จุด x=1 สร้างสมการของพวกเขา

3. ค้นหาพิกัดของจุดที่เส้นสัมผัสของพาราโบลา y=x 2 +3x-10 สร้างมุม 135 0 กับแกน OX

4. สร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=4xx2 ที่จุดตัดกับแกน OX

5. ค่า x คือค่าใดแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y=x 3 -x ขนานกับเส้นตรง y=x

6. จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ S=2t 3 -3t 2 +4 จงหาความเร่งและความเร็วของจุดที่สิ้นสุดวินาทีที่ 3 ความเร่งจะเป็นศูนย์ ณ เวลาใด

7. เมื่อใดที่ความเร็วของจุดหนึ่งเคลื่อนที่ตามกฎ S=t 2 -4t+5 เท่ากับศูนย์?

#4 สำรวจฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์:

1. ตรวจสอบความน่าเบื่อของฟังก์ชัน y = x 2

2. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด .

3. ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

4. สำรวจฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุด .

5. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับส่วนปลาย .

6. ตรวจสอบฟังก์ชัน y=x3 สำหรับส่วนปลายสุด

7. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับส่วนปลาย .

8. แบ่งเลข 24 ออกเป็นสองพจน์เพื่อให้ได้ผลคูณมากที่สุด

9. จำเป็นต้องตัดกระดาษสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่ 100 ซม. 2 เพื่อให้เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เล็กที่สุด ด้านของสี่เหลี่ยมนี้ควรเป็นด้านใด?

10. ตรวจสอบฟังก์ชัน y=2x 3 -9x 2 +12x-15 เพื่อหาค่าสุดขีด แล้วสร้างกราฟขึ้นมา

11. ตรวจสอบเส้นโค้งเพื่อหาความเว้าและความนูน

12. จงหาช่วงของความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง .

13. ค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน: a) ; ข) .

14. สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

15. ตรวจสอบฟังก์ชันและสร้างกราฟ

16. สำรวจฟังก์ชั่น และวางแผนมัน

17. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=x 2 -4x+3 บนเซ็กเมนต์

คำถามทดสอบและตัวอย่าง

1. กำหนดอนุพันธ์

2. อะไรเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์? เพิ่มฟังก์ชัน?

3. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร?

4. อะไรเรียกว่าความแตกต่าง?

5. ทำรายการคุณสมบัติหลักของอนุพันธ์

6. ฟังก์ชันใดเรียกว่าเชิงซ้อน ย้อนกลับ?

7. ให้แนวคิดของอนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่?

9. ร่างกายเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงตามกฎ S=S(t) คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวถ้า:

5. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง จากนี้ไปว่าอนุพันธ์ของมันเป็นบวกในช่วงเวลานี้หรือไม่?

6. ฟังก์ชันสุดขั้วเรียกว่าอะไร?

7. ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งจำเป็นต้องตรงกับค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดหรือไม่?

8. ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้บน. จุด x=a เป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชันนี้ได้ไหม

10. อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เป็นศูนย์ ต่อจากนี้ไปว่า x 0 คือจุดสุดขั้วของฟังก์ชันนี้หรือไม่?

ทดสอบ

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

ก)	จ)
ข)	และ)
กับ)	ชม)
ง)	และ)

2. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในพาราโบลา y=x 2 -2x-15: a) ที่จุดด้วย abscissa x=0; b) ที่จุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา

3. กำหนดช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

4. สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

5. จงหา ณ เวลา t=0 ความเร็วและความเร่งของจุดที่เคลื่อนที่ตามกฎ s =2e 3 t

คำตอบสำหรับการออกกำลังกาย

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการใช้สูตรอนุพันธ์ผลหาร) คุณสามารถแก้ตัวอย่างนี้ได้แตกต่างออกไป:

5.

8. ผลคูณจะมากที่สุดถ้าแต่ละเทอมมีค่าเท่ากับ 12

9. เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเล็กที่สุดถ้าด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 10 ซม. เช่น คุณต้องตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออก

17. บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชันจะใช้ค่าสูงสุดเท่ากับ 3 เมื่อใด x=0และค่าน้อยที่สุดเท่ากับ –1 at x=2.

วรรณกรรม

วิทยาลัยการค้าและเศรษฐศาสตร์คาลินินกราด

ในการศึกษาหัวข้อ

"อนุพันธ์ของฟังก์ชัน"

สำหรับนักศึกษาพิเศษ 080110 “เศรษฐศาสตร์และการบัญชี”, 080106 “การเงิน”,
080108 “การธนาคาร”, 230103 “ระบบการประมวลผลและการจัดการข้อมูลอัตโนมัติ”

เรียบเรียงโดย E.A. Fedorova

คาลินินกราด

ผู้ตรวจสอบ: Natalya Vladimirovna Gorskaya อาจารย์ วิทยาลัยการค้าและเศรษฐกิจคาลินินกราด

คู่มือนี้จะตรวจสอบแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์: แนวคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์ คุณสมบัติของอนุพันธ์ การประยุกต์ในเรขาคณิตและกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ให้สูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน มีการแสดงตัวอย่างเพื่อแสดงเนื้อหาทางทฤษฎี คู่มือนี้เสริมด้วยแบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ คำตอบ คำถาม และงานตัวอย่างสำหรับการควบคุมความรู้ระดับกลาง มีไว้สำหรับนักเรียนที่กำลังศึกษาสาขาวิชา “คณิตศาสตร์” ในสถาบันการศึกษาเฉพาะทางระดับมัธยมศึกษา เรียนเต็มเวลา นอกเวลา ภาคค่ำ ภายนอก หรือเข้าเรียนฟรี

เคเทค
PCC เศรษฐศาสตร์และการบัญชี

15 ฉบับ พ.ศ. 2549

การแนะนำ. 4

ข้อกำหนดสำหรับความรู้และทักษะ...5

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ 5

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ 7

ความหมายทางกลของอนุพันธ์ 7

กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง 8

สูตรสำหรับแยกฟังก์ชันพื้นฐาน 9

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน 9

การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 10

อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงขึ้น สิบเอ็ด

อนุพันธ์บางส่วน สิบเอ็ด

ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ สิบเอ็ด

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด สิบเอ็ด

ฟังก์ชั่นสูงสุดและต่ำสุด 13

ความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง 15

จุดเปลี่ยน 16

รูปแบบทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ 17

แบบฝึกหัดเพื่อแก้ 17

ทดสอบคำถามและตัวอย่าง..20

ทดสอบ. 20

เฉลยแบบฝึกหัด..21

วรรณกรรม. 23

การแนะนำ

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ให้แนวคิดพื้นฐานหลายประการที่นักเศรษฐศาสตร์ดำเนินการ: ฟังก์ชัน, ลิมิต, อนุพันธ์, อินทิกรัล, สมการเชิงอนุพันธ์ ในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์ คำศัพท์เฉพาะมักใช้เพื่ออ้างถึงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ถ้า ฉ(x) เป็นฟังก์ชันการผลิตที่แสดงการพึ่งพาผลผลิตของผลิตภัณฑ์ใดๆ กับต้นทุนของปัจจัย xแล้วพวกเขาก็โทรมา ผลิตภัณฑ์ส่วนเพิ่ม; ถ้า ก.(เอ็กซ์)มีฟังก์ชันต้นทุนเช่น การทำงาน ก.(เอ็กซ์)เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาต้นทุนรวมกับปริมาณการผลิต x จากนั้น ก'(x)เรียกว่า ต้นทุนส่วนเพิ่ม.

การวิเคราะห์ส่วนเพิ่มทางเศรษฐศาสตร์– ชุดเทคนิคในการศึกษามูลค่าการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนหรือผลลัพธ์เมื่อปริมาณการผลิต การบริโภค ฯลฯ เปลี่ยนแปลง จากการวิเคราะห์ค่าขีดจำกัดของมัน

ตัวอย่างเช่น, การหาผลิตภาพแรงงานให้ทราบฟังก์ชัน คุณ=คุณ(ที)เพื่อแสดงปริมาณสินค้าที่ผลิต ยูในขณะที่ทำงาน ทีมาคำนวณจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตในช่วงเวลาหนึ่งกัน ∆t=เสื้อ 1 - เสื้อ 0:

คุณ=คุณ(เสื้อ 1)-คุณ(เสื้อ 0)=คุณ(เสื้อ 0 +∆t)-u(เสื้อ 0)

ผลิตภาพแรงงานโดยเฉลี่ยเรียกว่าอัตราส่วนของปริมาณผลิตภัณฑ์ที่ผลิตต่อเวลาที่ใช้คือ เฉลี่ย =

ผลผลิตของคนงานในขณะนี้ t 0 ขีด จำกัด ที่จะเรียกว่า เฉลี่ย. ที่ ∆t→ 0: .การคำนวณผลิตภาพแรงงานจึงขึ้นอยู่กับการคำนวณอนุพันธ์:

ต้นทุนการผลิต เคการผลิตที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นหน้าที่ของปริมาณการผลิต xเราก็เลยเขียนได้ K=K(x). สมมติว่าปริมาณผลผลิตเพิ่มขึ้น ∆x. ปริมาณการผลิต x+∆x สอดคล้องกับต้นทุนการผลิต K(x+∆x)ส่งผลให้ปริมาณสินค้าเพิ่มขึ้น ∆xสอดคล้องกับต้นทุนการผลิตที่เพิ่มขึ้น ∆K=K(x+∆x)- K(x)

ต้นทุนการผลิตที่เพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ยคือ ∆K/∆x นี่คือการเพิ่มขึ้นของต้นทุนการผลิตต่อหน่วยที่เพิ่มขึ้นในปริมาณการผลิต

ขีดจำกัด เรียกว่า ต้นทุนการผลิตส่วนเพิ่ม