Формула расчета работы постоянной силы. Примеры вычисления работы силы

Механическая работа. Единицы работы.

В обыденной жизни под понятием "работа" мы понимаем всё.

В физике понятие работа несколько иное. Это определенная физическая величина, а значит, ее можно измерить. В физике изучается прежде всего механическая работа .

Рассмотрим примеры механической работы.

Поезд движется под действием силы тяги электровоза, при этом совершается механическая работа. При выстреле из ружья сила давления пороховых газов совершает работу - перемещает пулю вдоль ствола, скорость пули при этом увеличивается.

Из этих примеров видно, что механическая работа совершается, когда тело движется под действием силы. Механическая работа совершается и в том случае, когда сила, действуя на тело (например, сила трения), уменьшает скорость его движения.

Желая передвинуть шкаф, мы с силой на него надавливаем, но если он при этом в движение не приходит, то механической работы мы не совершаем. Можно представить себе случай, когда тело движется без участия сил (по инерции), в этом случае механическая работа также не совершается.

Итак, механическая работа совершается, только когда на тело действует сила, и оно движется .

Нетрудно понять, что чем большая сила действует на тело и чем длиннее путь, который проходит тело под действием этой силы, тем большая совершается работа.

Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и прямо пропорциональна пройденному пути .

Поэтому, условились измерять механическую работу произведением силы на путь, пройденный по этому направлению этой силы:

работа = сила × путь

где А - работа, F - сила и s - пройденный путь.

За единицу работы принимается работа, совершаемая силой в 1Н, на пути, равном 1 м.

Единица работы - джоуль (Дж ) названа в честь английского ученого Джоуля. Таким образом,

1 Дж = 1Н · м.

Используется также килоджоули (кДж ) .

1 кДж = 1000 Дж.

Формула А = Fs применима в том случае, когда сила F постоянна и совпадает с направлением движения тела.

Если направление силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу.

Если же движение тела происходит в направлении, противоположном направлению приложенной силы, например, силы трения скольжения, то данная сила совершает отрицательную работу.

Если направление силы, действующей на тело, перпендикулярно направлению движения, то эта сила работы не совершает, работа равна нулю:

В дальнейшем, говоря о механической работе, мы будем кратко называть ее одним словом - работа.

Пример . Вычислите работу, совершаемую при подъеме гранитной плиты объемом 0,5 м3 на высоту 20 м. Плотность гранита 2500 кг/м 3 .

Дано :

ρ = 2500 кг/м 3

Решение :

где F -сила, которую нужно приложить, чтобы равномерно поднимать плиту вверх. Эта сила по модулю равна силе тяж Fтяж, действующей на плиту, т. е. F = Fтяж. А силу тяжести можно определить по массе плиты: Fтяж = gm. Массу плиты вычислим, зная ее объем и плотность гранита: m = ρV; s = h, т. е. путь равен высоте подъема.

Итак, m = 2500 кг/м3 · 0,5 м3 = 1250 кг.

F = 9,8 Н/кг · 1250 кг ≈ 12 250 Н.

A = 12 250 Н · 20 м = 245 000 Дж = 245 кДж.

Ответ : А =245 кДж.

Рычаги.Мощность.Энергия

На совершение одной и той же работы различным двигателям требуется разное время. Например, подъемный кран на стройке за несколько минут поднимает на верхний этаж здания сотни кирпичей. Если бы эти кирпичи перетаскивал рабочий, то ему для этого потребовалось бы несколько часов. Другой пример. Гектар земли лошадь может вспахать за 10-12 ч, трактор же с многолемешным плугом (лемех - часть плуга, подрезающая пласт земли снизу и передающая его на отвал; многолемешный - много лемехов), эту работу выполнит на 40-50 мин.

Ясно, что подъемный кран ту же работу совершает быстрее, чем рабочий, а трактор - быстрее чем лошадь. Быстроту выполнения работы характеризуют особой величиной, называемой мощностью.

Мощность равна отношению работы ко времени, за которое она была совершена.

Чтобы вычислить мощность, надо работу разделить на время, в течение которого совершена эта работа. мощность = работа/время.

где N - мощность, A - работа, t - время выполненной работы.

Мощность - величина постоянная, когда за каждую секунду совершается одинаковая работа, в других случаях отношение A/t определяет среднюю мощность:

N ср = A/t . За единицу мощности приняли такую мощность, при которой в 1 с совершается работа в Дж.

Эта единица называется ваттом (Вт ) в честь еще одного английского ученого Уатта.

1 ватт = 1 джоуль/ 1 секунда , или 1 Вт = 1 Дж/с.

Ватт (джоуль в секунду) - Вт (1 Дж/с).

В технике широко используется более крупные единицы мощности - киловатт (кВт ), мегаватт (МВт ) .

1 МВт = 1 000 000 Вт

1 кВт = 1000 Вт

1 мВт = 0,001 Вт

1 Вт = 0,000001 МВт

1 Вт = 0,001 кВт

1 Вт = 1000 мВт

Пример . Найти мощность потока воды, протекающей через плотину, если высота падения воды 25 м, а расход ее - 120 м3 в минуту.

Дано :

ρ = 1000 кг/м3

Решение :

Масса падающей воды: m = ρV ,

m = 1000 кг/м3 · 120 м3 = 120 000 кг (12 · 104 кг).

Сила тяжести, действующая на воду:

F = 9.8 м/с2 · 120 000 кг ≈ 1 200 000 Н (12 · 105 Н)

Работа, совершаемая потоком в минуту:

А - 1 200 000 Н · 25 м = 30 000 000 Дж (3 · 107 Дж).

Мощность потока: N = A/t,

N = 30 000 000 Дж / 60 с = 500 000 Вт = 0,5 МВт.

Ответ : N = 0.5 МВт.

Различные двигатели имеют мощности от сотых и десятых долей киловатта (двигатель электрической бритвы, швейной машины) до сотен тысяч киловатт (водяные и паровые турбины).

Таблица 5.

Мощность некоторых двигателей, кВт.

На каждом двигателе имеется табличка (паспорт двигателя), на которой указаны некоторые данные о двигателе, в том числе и его мощность.

Мощность человека при нормальный условиях работы в среднем равна 70-80 Вт. Совершая прыжки, взбегая по лестнице, человек может развивать мощность до 730 Вт, а в отдельных случаях и еще бóльшую.

Из формулы N = A/t следует, что

Чтобы вычислить работу, необходимо мощность умножить на время, в течение которого совершалась эта работа.

Пример. Двигатель комнатного вентилятора имеет мощность 35 Вт. Какую работу он совершает за 10 мин?

Запишем условие задачи и решим ее.

Дано :

Решение :

A = 35 Вт * 600с = 21 000 Вт* с = 21 000 Дж = 21 кДж.

Ответ A = 21 кДж.

Простые механизмы.

С незапамятных времен человек использует для совершения механической работы различные приспособления.

Каждому известно, что тяжелый предмет (камень, шкаф, станок), который невозможно сдвинуть руками, можно сдвинуть с помощью достаточно длинной палки - рычага.

На данный момент считается, что с помощью рычагов три тысячи лет назад при строительстве пирамид в Древнем Египте передвигали и поднимали на большую высоту тяжелые каменные плиты.

Во многих случаях, вместо того, чтобы поднимать тяжелый груз на некоторую высоту, его можно вкатывать или втаскивать на ту же высоту по наклонной плоскости или поднимать с помощью блоков.

Приспособления, служащие для преобразования силы, называются механизмами .

К простым механизмам относятся: рычаги и его разновидности - блок, ворот; наклонная плоскость и ее разновидности - клин, винт . В большинстве случаев простые механизмы применяют для того, чтобы получить выигрыш в силе, т. е. увеличить силу, действующую на тело, в несколько раз.

Простые механизмы имеются и в бытовых, и во всех сложных заводских и фабричных машинах, которые режут, скручивают и штампуют большие листы стали или вытягивают тончайшие нити, из которых делаются потом ткани. Эти же механизмы можно обнаружить и в современных сложных автоматах, печатных и счетных машинах.

Рычаг. Равновесие сил на рычаге.

Рассмотрим самый простой и распространенный механизм - рычаг.

Рычаг представляет собой твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

На рисунках показано, как рабочий для поднятия груза в качестве рычага, использует лом. В первом случае рабочий с силой F нажимает на конец лома B , во втором - приподнимает конец B .

Рабочему нужно преодолеть вес груза P - силу, направленную вертикально вниз. Он поворачивает для этого лом вокруг оси, проходящей через единственную неподвижную точку лома - точку его опоры О . Сила F , с которой рабочий действует на рычаг, меньше силы P , таким образом, рабочий получает выигрыш в силе . При помощи рычага можно поднять такой тяжелый груз, который своими силами поднять нельзя.

На рисунке изображен рычаг, ось вращения которого О (точка опоры) расположена между точками приложения сил А и В . На другом рисунке показана схема этого рычага. Обе силы F 1 и F 2, действующие на рычаг, направлены в одну сторону.

Кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой действует на рычаг сила, называется плечом силы.

Длина этого перпендикуляра и будет плечом данной силы. На рисунке показано, что ОА - плечо силы F 1; ОВ - плечо силы F 2 . Силы, действующие на рычаг могут повернуть его вокруг оси в двух направлениях: по ходу или против хода часовой стрелки. Так, сила F 1 вращает рычаг по ходу часовой стрелки, а сила F 2 вращает его против часовой стрелки.

Условие, при котором рычаг находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, можно установить на опыте. При этом надо помнить, что результат действия силы, зависит не только от ее числового значения (модуля), но и от того, в какой точке она приложена к телу, или как направлена.

К рычагу (см рис.) по обе стороны от точки опоры подвешиваются различные грузы так, что каждый раз рычаг оставался в равновесии. Действующие на рычаг силы, равны весам этих грузов. Для каждого случая измеряются модули сил и их плечи. Из опыта изображенного на рисунке 154, видно, что сила 2 Н уравновешивает силу 4 Н . При этом, как видно из рисунка, плечо меньшей силы в 2 раза больше плеча большей силой.

На основании таких опытов было установлено условие (правило) равновесия рычага.

Рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Это правило можно записать в виде формулы:

F 1/F 2 = l2/ l1 ,

где F 1 и F2 - силы, действующие на рычаг, l 1 и l2 , - плечи этих сил (см. рис.).

Правило равновесия рычага было установлено Архимедом около 287 - 212 гг. до н. э. (но ведь в прошлом параграфе говорилось, что рычаги использовались египтянами? Или тут важную роль играет слово "установлено"?)

Из этого правила следует, что меньшей силой можно уравновесить при помощи рычага бóльшую силу. Пусть одно плечо рычага в 3 раза больше другого (см рис.). Тогда, прикладывая в точке В силу, например, в 400 Н, можно поднять камень весом 1200 Н. Что0бы поднять еще более тяжелый груз, нужно увеличить длину плеча рычага, на которое действует рабочий.

Пример . С помощью рычага рабочий поднимает плиту массой 240 кг (см рис. 149). Какую силу прикладывает он к большему плечу рычага, равному 2,4 м, если меньшее плечо равно 0,6 м?

Запишем условие задачи, и решим ее.

Дано :

Решение :

По правилу равновесия рычага F1/F2 = l2/l1, откуда F1 = F2 l2/l1, где F2 = Р - вес камня. Вес камня asd = gm, F = 9,8 Н · 240 кг ≈ 2400 Н

Тогда, F1 = 2400 Н · 0,6/2,4 = 600 Н.

Ответ : F1 = 600 Н.

В нашем примере рабочий преодолевает силу 2400 Н, прикладывая к рычагу силу 600 Н. Но при этом плечо, на которое действует рабочий, в 4 раза длиннее того, на которое действует вес камня (l 1 : l2 = 2,4 м: 0,6 м = 4).

Применяя правило рычага, можно меньшей силой уравновесить бóльшую силу. При этом плечо меньшей силы должно быть длиннее плеча большей силы.

Момент силы.

Вам уже известно правило равновесия рычага:

F 1 / F2 = l 2 / l1 ,

Пользуясь свойством пропорции (произведение ее крайних членов, равно произведению ее средних членов), запишем его в таком виде:

F 1l 1 = F2 l2 .

В левой части равенства стоит произведение силы F 1 на ее плечо l 1, а в правой - произведение силы F 2 на ее плечо l 2 .

Произведение модуля силы, вращающей тело, на ее плечо называется моментом силы ; он обозначается буквой М. Значит,

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающий его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки.

Это правило, называемое правилом моментов , можно записать в виде формулы:

М1 = М2

Действительно, в рассмотренном нами опыте, (§ 56) действующие силы были равны 2 Н и 4 Н, их плечи соответственно составляли 4 и 2 давления рычага, т. е. моменты этих сил одинаковы при равновесии рычага.

Момент силы, как и всякая физическая величина, может быть измерена. За единицу момента силы принимается момент силы в 1 Н, плечо которой ровно 1 м.

Эта единица называется ньютон-метр (Н · м ).

Момент силы характеризует действие силы, и показывает, что оно зависит одновременно и от модуля силы, и от ее плеча. Действительно, мы уже знаем, например, что действие силы на дверь зависит и от модуля силы, и от того, где приложена сила. Дверь тем легче повернуть, чем дальше от оси вращения приложена действующая на нее сила. Гайку, лучше отвернуть длинным гаечным ключом, чем коротким. Ведро тем легче поднять из колодца, чем длиннее ручка вóрота, и т. д.

Рычаги в технике, быту и природе.

Правило рычага (или правило моментов) лежит в основе действия различного рода инструментов и устройств, применяемых в технике и быту там, где требуется выигрыш в силе или в пути.

Выигрыш в силе мы имеем при работе с ножницами. Ножницы - это рычаг (рис), ось вращения которого, происходит через винт, соединяющий обе половины ножниц. Действующей силой F 1 является мускульная сила руки человека, сжимающего ножницы. Противодействующей силой F 2 - сила сопротивления такого материала, который режут ножницами. В зависимости от назначения ножниц их устройство бывает различным. Конторские ножницы, предназначенные для резки бумаги, имеют длинные лезвия и почти такой же длины ручки. Для резки бумаги не требуется большой силы, а длинным лезвием удобнее резать по прямой линии. Ножницы для резки листового металла (рис.) имеют ручки гораздо длиннее лезвий, так как сила сопротивления металла велика и для ее уравновешивания плечо действующей силы приходится значительно увеличивать. Еще больше разница между длиной ручек и расстоянии режущей части и оси вращения в кусачках (рис.), предназначенных для перекусывания проволоки.

Рычаги различного вида имеются у многих машин. Ручка швейной машины, педали или ручной тормоз велосипеда, педали автомобиля и трактора, клавиши пианино - все это примеры рычагов, используемых в данных машинах и инструментах.

Примеры применения рычагов - это рукоятки тисков и верстаков, рычаг сверлильного станка и т. д.

На принципе рычага основано действие и рычажных весов (рис.). Учебные весы, изображенные на рисунке 48 (с. 42), действуют как равноплечий рычаг . В десятичных весах плечо, к которому подвешена чашка с гирями, в 10 раз длиннее плеча, несущего груз. Это значительно упрощает взвешивание больших грузов. Взвешивая груз на десятичных весах, следует умножить массу гирь на 10.

Устройство весов для взвешивания грузовых вагонов автомобилей также основано на правиле рычага.

Рычаги встречаются также в разных частях тела животных и человека. Это, например, руки, ноги, челюсти. Много рычагов можно найти в теле насекомых (прочитав книгу про насекомых и строение их тела), птиц, в строении растений.

Применение закона равновесия рычага к блоку.

Блок представляет собой колесо с желобом, укрепленное в обойме. По желобу блока пропускается веревка, трос или цепь.

Неподвижным блоком называется такой блок, ось которого закреплена, и при подъеме грузов не поднимается и не опускается (рис).

Неподвижный блок можно рассматривать как равноплечий рычаг, у которого плечи сил равны радиусу колеса (рис): ОА = ОВ = r . Такой блок не дает выигрыша в силе. (F 1 = F 2), но позволяет менять направление действие силы. Подвижный блок - это блок. ось которого поднимается и опускается вместе с грузом (рис.). На рисунке показан соответствующий ему рычаг: О - точка опоры рычага, ОА - плечо силы Р и ОВ - плечо силы F . Так как плечо ОВ в 2 раза больше плеча ОА , то сила F в 2 раза меньше силы Р :

F = P/2 .

Таким образом, подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза .

Это можно доказать и пользуясь понятием момента силы. При равновесии блока моменты сил F и Р равны друг другу. Но плечо силы F в 2 раза больше плеча силы Р , а, значит, сама сила F в 2 раза меньше силы Р .

Обычно на практике применяют комбинацию неподвижного блока с подвижным (рис.). Неподвижный блок применяется только для удобства. Он не дает выигрыша в силе, но изменяет направление действия силы. Например, позволяет поднимать груз, стоя на земле. Это пригождается многим людям или рабочим. Тем не менее, он даёт выигрыш в силе в 2 раза больше обычного!

Равенство работ при использовании простых механизмов. "Золотое правило" механики.

Рассмотренные нами простые механизмы применяются при совершении работы в тех случаях, когда надо действием одной силы уравновесить другую силу.

Естественно, возникает вопрос: давая выигрыш в силе или пути, не дают ли простые механизмы выигрыша в работе? Ответ на поставленный вопрос можно получить из опыта.

Уравновесив на рычаге две какие-нибудь разные по модулю силы F 1 и F 2 (рис.), приводим рычаг в движение. При этом оказывается, что за одно и то же время точка приложения меньшей силы F 2 проходит больший путь s 2 , а точка приложения большей силы F 1 - меньший путь s 1. Измерив эти пути и модули сил, находим, что пути, пройденные точками приложения сил на рычаге, обратно пропорциональны силам:

s 1 / s 2 = F 2 / F 1.

Таким образом, действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.

Произведение силы F на путь s есть работа. Наши опыты показывают, что работы, совершаемые силами, приложенными к рычагу, равны друг другу:

F 1 s 1 = F 2 s 2, т. е. А 1 = А 2.

Итак, при использовании рычага выигрыша в работе не получится.

Пользуясь рычагом, мы можем выиграть или в силе, или в расстоянии. Действуя же силой на короткое плечо рычага, мы выигрываем в расстоянии, но во столько же раз проигрываем в силе.

Существует легенда, что Архимед, восхищенный открытием правила рычага, воскликнул: "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!".

Конечно, Архимед не мог бы справиться с такой задачей, если бы даже ему и дали бы точку опоры (которая должна была бы быть вне Земли) и рычаг нужной длины.

Для подъема земли всего на 1 см длинное плечо рычага должно было бы описать дугу огромной длины. Для перемещения длинного конца рычага по этому пути, например, со скоростью 1 м/с, потребовались бы миллионы лет!

Не дает выигрыша в работе и неподвижный блок, в чем легко убедиться на опыте (см. рис.). Пути, проходимые точками приложения сил F и F , одинаковы, одинаковы и силы, а значит, одинаковы и работы.

Можно измерить и сравнить между собой работы, совершаемые с помощью подвижного блока. Чтобы при помощи подвижного блока поднять груз на высоту h, необходимо конец веревки, к которому прикреплен динамометр, как показывает опыт (рис.), переместить на высоту 2h.

Таким образом, получая выигрыш в силе в 2 раза, проигрывают в 2 раза в пути, следовательно, и подвижный блок, на дает выигрыша в работе.

Многовековая практика показала, что ни один из механизмов не дает выигрыш в работе. Применяют же различные механизмы для того, чтобы в зависимости от условий работы выиграть в силе или в пути.

Уже древним ученым было известно правило, применимое ко всем механизмом: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Это правило назвали "золотым правилом" механики.

Коэффициент полезного действия механизма.

Рассматривая устройство и действие рычага, мы не учитывали трение, а также вес рычага. в этих идеальных условиях работа, совершенная приложенной силой (эту работу мы будем называть полной ), равна полезной работе по подъему грузов или преодоления какого - либо сопротивления.

На практике совершенная с помощью механизма полная работа всегда несколько больше полезной работы.

Часть работы совершается против силы трения в механизме и по перемещению его отдельных частей. Так, применяя подвижный блок, приходится дополнительно совершать работу по подъему самого блока, веревки и по определению силы трения в оси блока.

Какой мы механизм мы не взяли, полезная работа, совершенная с его помощью, всегда составляет лишь часть полной работы. Значит, обозначив полезную работу буквой Ап, полную(затраченную) работу буквой Аз, можно записать:

Ап < Аз или Ап / Аз < 1.

Отношение полезной работы к полной работе называется коэффициентом полезного действия механизма.

Сокращенно коэффициент полезного действия обозначается КПД.

КПД = Ап / Аз.

КПД обычно выражается в процентах и обозначается греческой буквой η, читается он как "эта":

η = Ап / Аз · 100%.

Пример : На коротком плече рычага подвешен груз массой 100 кг. Для его подъема к длинному плечу приложена сила 250 Н. Груз подняли на высоту h1 = 0,08 м, при этом точка приложения движущей силы опустилась на высоту h2 = 0,4 м. Найти КПД рычага.

Запишем условие задачи и решим ее.

Дано :

Решение :

η = Ап / Аз · 100%.

Полная (затраченная) работа Аз = Fh2.

Полезная работа Ап = Рh1

Р = 9,8 · 100 кг ≈ 1000 Н.

Ап = 1000 Н · 0,08 = 80 Дж.

Аз = 250 Н · 0,4 м = 100 Дж.

η = 80 Дж/100 Дж · 100% = 80%.

Ответ : η = 80%.

Но "золотое правило" выполняется и в этом случае. Часть полезной работы - 20% ее-расходуется на преодоление трения в оси рычага и сопротивления воздуха, а также на движение самого рычага.

КПД любого механизма всегда меньше 100%. Конструируя механизмы, люди стремятся увеличить их КПД. Для этого уменьшаются трение в осях механизмов и их вес.

Энергия.

На заводах и фабриках, станки и машины приводятся в движения с помощью электродвигателей, которые расходуют при этом электрическую энергию (отсюда и название).

Определение

В том случае, если под воздействием силы происходит изменение модуля скорости движения тела, то говорят о том, что сила совершает работу . Считают, что если скорость увеличивается, то работа является положительной, если скорость уменьшается, то работа, которую совершает сила – отрицательна. Изменение кинетической энергии материальной точки в ходе ее движения между двумя положениями равно работе, которую совершает сила:

Действие силы на материальную точку можно охарактеризовать не только с помощью изменения скорости движения тела, но при помощи величины перемещения, которое совершает рассматриваемое тело под действием силы ().

Элементарная работа

Элементарная работа некоторой силы определяется как скалярное произведение:

Радиус – вектор точки, к которой приложена сила, - элементарное перемещение точки по траектории, – угол между векторами и . Если является тупым углом работа меньше нуля, если угол острый, то работа положительная, при

В декартовых координатах формула (2) имеет вид:

где F x ,F y ,F z – проекции вектора на декартовы оси.

При рассмотрении работы силы, приложенной к материальной точке можно использовать формулу:

где – скорость материальной точки, – импульс материальной точки.

Если на тело (механическую систему) действуют несколько сил одновременно, то элементарная работа, которую совершают эти силы над системой, равна:

где проводится суммирование элементарных работ всех сил, dt – малый промежуток времени, за который совершается элементарная работа над системой.

Результирующая работа внутренних сил, даже если твердое тело движется, равна нулю.

Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки - начала координат (или неподвижной оси, которая проходит через эту точку). В таком случае, элементарная работа всех внешних сил (допустим, что их число равно n), которые действуют на тело, равна:

где – результирующий момент сил относительно точки вращения, – вектор элементарного поворота, – мгновенная угловая скорость.

Работа силы на конечном участке траектории

Если сила выполняет работу по перемещению тела на конечном участке траектории его движения, то работа может быть найдена как:

В том случае, если вектор силы – величина постоянная на всем отрезке перемещения, то:

где – проекция силы на касательную к траектории.

Единицы измерения работы

Основной единицей измерения момента работы в системе СИ является: [A]=Дж=Н м

В СГС: [A]=эрг=дин см

1Дж=10 7 эрг

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка движется прямолинейно (рис.1) под воздействием силы, которая задана уравнением: . Сила направлена по движению материальной точки. Чему равна работа данной силы на отрезке пути от s=0 до s=s 0 ?

Решение. За основу решения задачи примем формулу расчёта работы вида:

где , та как по условию задачи . Подставим выражение для модуля силы заданное условиями, возьмем интеграл:

Ответ.

Пример

Задание. Материальная точка перемещается по окружности. Ее скорость изменяется в соответствии с выражением: . При этом работа силы, которая действует на точку, пропорциональна времени: . Каково значение n?

В физике понятие "работа" имеет другое определение, чем то, которое используется в повседневной жизни. В частности, термин "работа" используется, когда физическая сила заставляет объект перемещаться. В общем, если мощная сила заставляет объект перемещаться очень далеко, то выполняется много работы. И если сила - небольшая или объект не перемещается очень далеко, - то только небольшая работа. Сила может быть рассчитана по формуле: Работа = F × D × косинус(θ) , где F = сила (в Ньютонах), D = смещение (в метрах), и θ = угол между вектором силы и направлением движения.

Шаги

Часть 1

1. Найдите направление вектора силы и направление движения. Чтобы начать, важно сначала определить в каком направлении движется объект, а также откуда применяется сила. Имейте в виду, что объекты не всегда движутся в соответствии с силой, приложенной к ним, - например, если вы потяните небольшую тележку за ручку, то вы применяете диагональную силу (если вы выше, чем тележка), чтобы переместить ее вперед. В этом разделе, однако, мы будем иметь дело с ситуациями, в которых сила (усилие) и перемещение объекта имеют одинаковое направление. Для получения информации о том, как найти работу, когда эти предметы не имеют одинакового направления, читайте ниже.

   • Чтобы сделать этот процесс легким для понимания, давайте следовать примеру задачи. Скажем, игрушечный вагон тянется прямо вперед поездом перед ним. В этом случае вектор силы и направление движения поезда указывают на одинаковый путь - вперед . В следующих шагах мы будем использовать эту информацию, чтобы помочь найти работу, выполненную объектом.

2. Найдите смещение объекта. Первую переменную D или смещение, которая нам нужна для формулы работы, как правило, легко найти. Смещение - это просто расстояние, на которое сила заставила объект переместиться от его исходного положения. В учебных задачах эта информация, как правило, либо дана (известна), либо ее можно вывести (найти) из другой информации в задаче. В реальной жизни все, что вам нужно сделать, чтобы найти смещение, это измерить расстояние движения объектов.

   • Обратите внимание, что единицы измерения расстояния должны быть в метрах в формуле для вычисления работы.
   • В нашем примере игрушечного поезда, предположим, что находим работу, выполненную поездом, когда он проходит по трассе. Если он стартует в определенной точке и останавливается в месте около 2 метров по трассе, то мы можем использовать 2 метра для нашего значения "D" в формуле.

3. Найдите силу, применяющуюся к объекту. Далее найдите величину силы, которая используется для перемещения объекта. Это является мерой "прочности" силы - чем больше ее величина, тем сильнее она толкает объект и тем быстрее он ускоряет свой ход. Если величина силы не предусмотрена, ее можно вывести из массы и ускорения перемещения (при условии, что нет других конфликтующих сил, действующих на него) с помощью формулы F = M × A.

   • Обратите внимание, что единицы измерения силы должны быть в Ньютонах для вычисления формулы работы.
   • В нашем примере, предположим, что не знаем величину силы. Тем не менее, давайте допустим, что знаем , что игрушечный поезд имеет массу 0,5 кг и что сила заставляет его ускоряться со скоростью 0,7 метров/секунду 2 . В этом случае можем найти величину путем умножения M × A = 0.5 × 0.7 = 0.35 Ньютон .

4. Умножьте Сила× Расстояние. После того, как узнаете величину силы, действующую на ваш объект, и расстояние, на которое он был перемещен, остальное будет сделать легко. Просто умножьте эти два значения друг на друга, чтобы получить значение работы.

   • Пора решить наш пример задачи. При значении силы 0,35 Ньютон и значении смещения - 2 метра, наш ответ является вопросом простого умножения: 0.35 × 2 = 0.7 Джоулей .
   • Вы, возможно, заметили, что в формуле, приведенной в введении, есть дополнительная часть к формуле: косинус (θ). Как обсуждалось выше, в этом примере сила и направление движения применяются в одном направлении. Это означает, что угол между ними равен 0 o . Поскольку косинус (0) = 1, то мы не должны включать его - мы просто умножаем на 1.

5. Обозначьте ответ в Джоулях. В физике значения работы (и нескольких других величин) почти всегда даются в единице измерения, которая называется Джоуль. Один джоуль определяется как 1 Ньютон силы применяющейся на 1 метр, или другими словами, 1 Ньютон × метр. Это имеет смысл, - так как вы умножаете расстояние на силу, это логично, что ответ, который вы получите, будет иметь единицу измерения, равную умножению единицы величины вашей силы и расстояния.

   Часть 2

   Вычисление работы с помощью угловой силы

   1. Найдите силу и смещение, как обычно. Выше мы имели дело с задачей, в которой объект движется в том же направлении, что и сила, которая прилаживается к нему. На самом деле не всегда так бывает. В тех случаях, когда сила и движение объекта находятся в двух разных направлениях, разница между этими двумя направлениями также должна быть учтена в уравнении для получения точного результата. Для начала найдите величину силы и смещения объекта, как вы это обычно делаете.

      • Давайте посмотрим на другой пример задачи. В этом случае, предположим, что мы тянем игрушечный поезд вперед, как в примере задачи выше, но, на этот раз мы на самом деле тянем вверх под диагональным углом. В следующем шаге будем принимать это во внимание, но сейчас будем придерживаться основ: перемещения поезда и величины силы, действующей на него. Для наших целей, скажем, сила имеет величину 10 Ньютон и что он проехал те же 2 метра вперед, как раньше.

   2. Найдите угол между вектором силы и перемещением. В отличие от приведенных выше примеров с силой, которая находится в другом направлении, чем движение объекта, необходимо найти разницу между этими двумя направлениями в виде угла между ними. Если эта информация не предоставляется вам, то возможно, потребуется измерить угол самостоятельно или вывести его из другой информации в задаче.

      • В нашем примере задачи, предположим, что сила, которая применяется, равна приблизительно 60 o выше горизонтальной плоскости. Если поезд все еще движется прямо вперед (то есть, по горизонтали), то угол между вектором силы и движения поезда будет равен 60 o .

   3. Умножьте Force × Distance × Cosine(θ). После того, как узнаете смещение объекта, величину силы, действующей на него, и угол между вектором силы и его движением, решение почти такое же легкое, как и без того, чтобы принимать угол во внимание. Просто возьмите косинус угла (для этого может потребоваться научный калькулятор) и умножьте его на силу и перемещение, чтобы найти ответ на свою задачу в Джоулях.

      • Решим пример нашей задачи. С помощью калькулятора находим, что косинус 60 o равен 1/2. Включив это в формулу, можем решить задачу следующим образом: 10 Ньютонов × 2 метра × 1/2 = 10 Джоулей .

   Часть 3

   Использование значения работы

   1. Измените формулу, чтобы найти расстояние, силу или угол. Формула работы, указанная выше, является не просто полезной для нахождения работы - она также ценна для нахождения любых переменных в уравнении, когда вы уже знаете значение работы. В этих случаях просто выделите переменную, которую ищете, и решите уравнение в соответствии с основными правилами алгебры.

      • Например, предположим, что мы знаем, что наш поезд тянут с силой в 20 Ньютон под диагональным углом более 5 метров пути для выполнения 86,6 Джоулей работы. Тем не менее, мы не знаем, угла вектора силы. Чтобы найти угол, мы просто выделим эту переменную и решим уравнение следующим образом: 86.6 = 20 × 5 × Косинус(θ) 86.6/100 = Косинус(θ) Arccos(0.866) = θ = 30 o

   2. Разделите на время, проведенное в движении, чтобы найти мощность. В физике работа тесно связана с другим типом измерения под названием "мощность". Мощность - это просто способ определения количества скорости, с которой работа проводится в определенной системе в течение долгого периода времени. Таким образом, чтобы найти мощность, все, что вам нужно сделать, это разделить работу, используемую для перемещения объекта на время, которое требуется для завершения перемещения. Измерения мощности обозначаются в единицах - Вт (которые равны Джоуль/секунду).

      • Например, для примера задачи в указанном выше шаге, предположим, что перемещение поезда на 5 метров заняло 12 секунд. В этом случае, все, что нужно сделать, это разделить работу, выполненную для перемещения его на 5 метров (86,6 Дж), на 12 секунд, чтобы найти ответ для вычисления мощности: 86.6/12 = "7.22 Вт .

   3. Используйте формулу TME i + W nc = TME f , чтобы найти механическую энергию в системе. Работа также может быть использована, чтобы найти количество энергии, содержащееся в системе. В приведенной выше формуле TME i = начальная полная механическая энергия в системе TME f = окончательная полная механическая энергия в системе и W nc = работа, выполненная в системах связи за счет не-консервативных сил. . В этой формуле, если сила применяется в направлении движения, то она - положительная, а если давит на (против) него, то она - отрицательная. Заметим, что обе переменные энергии можно найти по формуле (½)mv 2 , где m = масса и V = объем.

      • Например, для примера задачи в двух шагах выше, предположим, что поезд изначально имел общую механическую энергию 100 Дж. Поскольку сила в задаче тянет поезд в направлении, которое он уже проходил, она - положительная. В этом случае конечная энергия поезда - TME i + W nc = 100 + 86.6 = 186.6 Дж .
      • Обратите внимание, что не-консервативные силы - это силы, чья мощность для воздействия на ускорение объекта зависит от пути, пройденного объектом. Трение является хорошим примером - объект, который толкнули по короткому, прямому пути, будет ощущать последствия трения в течение короткого времени, в то время как объект, который толкнули по длинному, извилистому пути к такому же конечному местонахождению, в целом будет ощущать больше трения.
   • Если вам удастся решить задачу, то улыбнитесь и порадуйтесь за себя!
   • Тренируйтесь в решении как можно большего числа задач, это гарантирует полное понимание.
   • Продолжайте практиковаться, и пробуйте снова, если вам не удастся в первый раз.
   • Изучите следующие моменты, касающиеся работы:
     • Работа, проделанная силой, может быть либо положительной, либо отрицательной. (В этом смысле термины "положительные или отрицательные" несут свой математический смысл, а обычное значение).
     • Выполненная работа является отрицательной, когда сила действует в противоположном к перемещению направлении.
     • Выполненная работа является положительной, когда сила действует в направлении перемещения.

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.

Работа силы тяжести. Силу тяжести материальной точки массой вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной , направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат , где ось направлена по вертикали вверх, то

где – высота опускания точки.

При подъеме точки высота является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести равна

Если имеем систему материальных точек, то для каждой точки с массой будем иметь работу ее силы тяжести

,

где – начальная и конечная координаты точки.

Работа всех сил тяжести системы материальных точек

где – масса системы точек; и – начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс , имеем

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука:

где – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки ; – постоянный коэффициент жесткости.

. (191)

По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки , в которой ее удлинение (начальная деформация) равно , в точку , где деформация соответственно равна . В новых обозначениях (191) принимает вид

. (191")

Работа силы, приложенной к твердому телу . Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости. Следовательно, если сила приложена к точке , то, так как ,

где – радиус-вектор произвольной точки твердого тела. На каком-либо перемещении полная работа

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки можно вычислить по векторной формуле Эйлера:

тогда элементарную работу силы определим по формуле

. (194)

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа

. (195)

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. , работу определяют по формуле

Используя определение мощности силы

. (197)

Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения тела.

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки , в которой приложена сила ,

следовательно,

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс , для элементарной работы имеем

. (199)

Поворот на угол следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.

Работа внутренних сил твердого тела. Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия точки и системы . Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости , т.е. или , так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы , т. е.

. (200)

Кинетическая энергия как точки, так и сие темы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига): Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс:

, (201)

где .

Величина – кинетическая энергия относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетическая энергией системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела . При поступательном движении твердого тела

, (202)

так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. , где – общая скорость для всех точек тела.

Каждое тело, совершающее движение, можно охарактеризовать работой. Иными словами, она характеризует действие сил.

Работа определяется как:
Произведение модуля силы и пути пройденного телом, умноженное на косинус угла между направлением силы и движения.

Работа измеряется в Джоулях:
1 [Дж] = = [кг* м2/c2]

К примеру, тело A под действием силы в 5 Н, прошло 10 м. Определить работу совершенную телом.

Так как направление движения и действия силы совпадают, то угол между вектором силы и вектором перемещения будет равен 0°. Формула упроститься, потому что косинус угла в 0° равен 1.

Подставляя исходные параметры в формулу, находим:
A= 15 Дж.

Рассмотрим другой пример, тело массой 2 кг, двигаясь с ускорением 6 м/ с2, прошло 10 м. Определить работу проделанную телом, если оно двигалось по наклоненной плоскости вверх под углом 60°.

Для начала, вычислим какую силу нужно приложить, что бы сообщить телу ускорение 6 м/ с2.

F = 2 кг * 6 м/ с2 = 12 H.
Под действием силы 12H, тело прошло 10 м. Работу можно вычислить по уже известной формуле:

Где, а равно 30°. Подставляя исходные данные в формулу получаем:
A= 103, 2 Дж.

Мощность

Множество машин механизмов выполняют одну и ту же работу за различный промежуток времени. Для их сравнения вводится понятие мощности.
Мощность – это величина, показывающая объем работы выполненный за единицу времени.

Мощность измеряется в Ватт, в честь Шотландского инженера Джеймса Ватта.
1 [Ватт] = 1 [Дж/c].

К примеру, большой кран поднял груз весом 10 т на высоту 30 м за 1 мин. Маленький кран на эту же высоту за 1 мин поднял 2 т кирпича. Сравнить мощности кранов.
Определим работу выполняемую кранами. Груз поднимается на 30м, при этом преодолевая силу тяжести, поэтому сила, затрачиваемая на поднятие груза, будет равна силе взаимодействия Земли и груза(F = m * g). А работа – произведению сил на расстояние пройденное грузами, то есть на высоту.