Колледж на артиллерийской сельского хозяйства при президенте. Калининградский торгово-экономический колледж - филиал российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте российской федерации

История Калининградского торгово-экономического колледжа – страничка истории региона, которая пишется с 1946 года. За прошедшее время из стен колледжа вышло более 25 тысяч специалистов.

С 2004 года колледж стал экспериментальной площадкой Московского института проблем развития среднего профессионального образования по теме «Распространение европейского опыта по созданию и организации Центров обучения взрослых и Центров открытого образования в регионе». Десять лет он – член Российской ассоциации маркетинга, имеет статус колледжа социальной направленности. Последний присвоен колледжу администрацией области за постоянную поддержку социально не защищенных студентов, преподавателей, пенсионеров, военнослужащих и членов их семей, работающих преподавателей и сотрудников.

Подготовка студентов в Калининградском торгово-экономическом колледже ведется на пяти факультетах: технологии и сервиса, маркетинга-менеджмента, правоведения, экономики и бухгалтерского учета, нетрадиционных форм обучения. Образовательное поле колледжа включает в себя шестнадцать специальностей. В их числе технология приготовления пищи, коммерция в питании, коммерция в торговле, менеджмент, маркетинг, бухгалтер-юрист, банковское дело, организация обслуживания в гостиничном комплексе, финансы, туризм и многое еще.

В колледже действует Центр профориентационной работы и подготовки абитуриентов. На факультете нетрадиционных форм обучения можно не только повысить квалификацию, но и приобрести новую специальность без отрыва от производства. Действующий Центр открытого образования ориентирован на оказание помощи в профессиональной подготовке более чем по двадцати специальностям. Здесь можно повысить квалификацию, пройти переподготовку. Методы самые разнообразные: деловые игры, тренинги, семинары, упражнения, открытые заседания, конференции, проектная работа, Все это позволяет слушателям максимально усваивать предлагаемый материал.

Сотрудничество с Калининградским государственным университетом, Калининградским государственным техническим университетом, Балтийской государственной академией позволяет колледжу готовить специалистов, знания которых становятся капиталом и главным ресурсом экономического развития региона. За годы этого взаимодействия высшее образование на специальном факультете с сокращенным сроком обучения получили более двухсот выпускников. Все они востребованы хозяйственным комплексом региона, многие вошли в элиту предпринимательского корпуса области.

Калининградский торгово-экономический колледж отладил связь и активно взаимодействует с Данией, Швецией, Германией, Польшей, Финляндией. Коллектив участвует в международных образовательных проектах. Их тематика разнообразна, она включает такие важные темы, как «Помощь калининградским властям в развитии малого и среднего бизнеса», «Помощь офицерам и безработным членам их семей в получении гражданских специальностей для последующего трудоустройства», «Подготовка преподавателей по андрагогике и разработка программ обучения предпринимательской деятельности в Калининграде» и тому подобное.

В 1999 году в рамках международного проекта благодаря усилиям Лидии Ивановны Мотолянец – заместителя директора по учебной работе – создана имитационная фирма – модель предприятия, отражающая деятельность реальной торговой организации, эффективная специализированная форма повышения квалификации персонала всех уровней, работающего в сфере малого бизнеса.

Миссия коллектива – гарантировать образование, которое будет соответствовать потребностям общества, и содействовать становлению цельной личности – выполняется в полной мере. Калининградский торгово-экономический колледж – это профессионализм, ответственность, престиж.

КТЭК
ПЦК экономики и учета

15 экз, 2006 г.

Введение. 4

Понятие производной. 5

Частные производные. 11

Точки перегиба. 16

Упражнения для решения. 17

Контрольная работа. 20

Ответы к упражнениям.. 21

Литература. 23

Введение

f(x x , то называют предельным продуктом ; если g(x) g(x) g′(x) называют предельными издержками .

Например, Пусть известна функция u=u(t) u за время работы t. ∆t=t 1 - t 0:

z ср. =

z ср . при ∆t→ 0: .

Издержки производства K x , поэтому можно записать K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Предел называется

Понятие производной

Производной функции в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной функции:

Т.о. по определению:

Алгоритм нахождения производной:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке , x

1.Находим приращение аргумента:

x – новое значение аргумента

x 0 - начальное значение

2. Находим приращение функции:

f (x) – новое значение функции

f(x 0)- начальное значение функции

3. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

4. Находим предел найденного отношения при

Найти производную функции , исходя из определения производной.

Решение:

Дадим х приращение Δх, тогда новое значение функции будет равно:

Найдем приращение функции как разность между новым и начальным значениями функции:

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при условии, что :

Следовательно, по определению производной: .

Нахождение производной функции называется дифференцированием .

Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале (a;b), если она имеет производную в каждой точке интервала.

Теорема Если функция дифференцируема в данной точке х 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т.к. существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке дифференцируемыми. Например, функция в точке х 0 =0 .

Найти производные функций

1) .

2) .

Выполним тождественные преобразования функции:

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от первой производной. Обозначается

Производной n-порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Например ,

Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными.

Например , для функции частные производные первого порядка будут равны:

Максимум и минимум функции

Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшее значение, называют точкой максимума .

Значение аргумента, при котором функция имеет наименьшее значение, называют точкой минимума .

Точка максимума функции является граничной точкой перехода функции от возрастания к убыванию, точка минимума функции является граничной точкой перехода от убывания к возрастанию .

Функция y=f(x) имеет (локальный) максимум в точке , если для всех x

Функция y=f(x) имеет (локальный) минимум в точке , если для всех х , достаточно близких к выполняется неравенство

Максимальное и минимальное значения функции носят общее название экстремумов , а точки, в которых они достигаются, называются точками экстремума .

Теорема (необходимое условие существования экстремума ) Пусть функция определена на интервале и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке . Тогда, если в точке существует производная этой функции, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство:

Пусть в точке x 0 функция имеет наибольшее значение, тогда для любого выполняется неравенство: .

Для любой точки

Если x > x 0 , то , т.е.

Если x < x 0 , то , т.е.

Т.к. существует , то , что возможно лишь в случае их равенства нулю, следовательно, .

Следствие:

Если в точке дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, то в точке касательная к графику этой функции параллельна оси Оx.

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называются критическими – это возможные точки экстремума.

Заметим, что, поскольку равенство нулю первой производной является лишь необходимым условием экстремума, нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума.

Теорема (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция y = f(x ) непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0. Если при переходе через точку x 0 слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x 0 функция y = f(x ) имеет максимум (минимум). Если первая производная не меняет знака, то данная функция не имеет экстремума в точке x 0 .

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1.Найти первую производную функции.

2.Первую производную приравнять к нулю.

3.Решить уравнение . Найденные корни уравнения есть критические точки.

4.Найденные критические точки отложить на числовой оси. Получим ряд интервалов.

5.Определить знак первой производной в каждом из интервалов и указать экстремумы функции.

6.Для построения графика:

Ø определить значения функции в точках экстремума

Ø найти точки пересечения с осями координат

Ø найти дополнительные точки

Консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса r и высоты h . Полагая, что для изготовления банки используется четко фиксированное количество жести, определить, при каком соотношении между r и h банка будет иметь наибольший объем.

Количество используемой жести будет равно площади полной поверхности банки, т.е. . (1)

Из этого равенства находим:

Тогда объем может быть вычислен по формуле: . Задача будет сведена к отысканию максимума функции V(r) . Найдем первую производную данной функции: . Приравняем первую производную нулю:

. Находим: . (2)

Данная точка является точкой максимума, т.к. первая производная положительна при и отрицательна при .

Установим теперь, при каком соотношении между радиусом и высотой банка будет иметь наибольший объем. Для этого поделим равенство (1)на r 2 и воспользуемся соотношением (2)для S . Получим: . Таким образом, наибольший объем будет иметь банка, у которой высота равна диаметру.

Иногда исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума довольно затруднительно, тогда можно использовать второе достаточное условие экстремума :

Теорема Пусть функция y = f(x ) имеет в точке x 0 возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция y = f(x) имеет в точке x 0 максимум, если , и минимум, если .

Замечание Данная теорема не решает вопрос об экстремуме функции в точке, если вторая производная функции в данной точке равна нулю или не существует.

Точки перегиба

Точки кривой , в которых выпуклость отделяется от вогнутости, называются точками перегиба .

Теорема (необходимое условие точки перегиба) : Пусть график функции имеет перегиб в точке и функция имеет в точке x 0 непрерывную вторую производную, тогда

Теорема (достаточное условие точки перегиба ): Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x 0 , которая имеет разные знаки слева и справа от x 0 . тогда график функции имеет перегиб в точке .

Алгоритм отыскания точек перегиба:

1. Найти вторую производную функции.

2. Приравнять вторую производную нулю и решить уравнение: . Полученные корни отложить на числовой прямой. Получим ряд интервалов.

3. Найти знак второй производной в каждом из интервалов. Если знаки второй производной в двух смежных интервалах разные, то имеем точку перегиба при данном значении корня, если знаки одинаковые, то точек перегиба нет.

4. Найти ординаты точек перегиба.

Исследовать на выгнутость и вогнутость кривую . Найти точки перегиба.

1) найдем вторую производную:

2) Решим неравенство 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Решим неравенство 2x>0 x>0 при x кривая вогнута

4) Найдем точки перегиба, для чего приравняем вторую производную нулю: 2x=0 х=0. Т.к. в точке х=0 вторая производная имеет разные знаки слева и справа, то х=0 – абсцисса точки перегиба. Найдем ординату точки перегиба:

(0;0) точка перегиба.

Упражнения для решения

№ 1 Найти производные данных функций, вычислить значение производных при данном значении аргумента:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

№2 Найти производные сложных функций:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№3 Решить задачи:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к параболе в точке х=3.

2. К параболе у=3х 2 -х в точке х=1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

3. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у=х 2 +3х-10 образует угол 135 0 с осью ОХ.

4. Составить уравнение касательной к графику функции у=4х-х 2 в точке пересечения с осью ОХ.

5. При каких значениях х касательная к графику функции у=х 3 -х параллельна прямой у=х.

6. Точка движется прямолинейно по закону S=2t 3 -3t 2 +4. найти ускорение и скорость точки в конце 3-й секунды. В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

7. Когда скорость точки, движущейся по закону S=t 2 -4t+5, равна нулю?

№4 Исследовать функции с помощью производной:

1. Исследовать на монотонность функцию у=х 2

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

4. Исследовать на максимум и минимум функцию .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Исследовать на экстремум функцию у=х 3

7. Исследовать на экстремум функцию .

8. Разбейте число 24 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

9. Из листа бумаги необходимо вырезать прямоугольник площадью 100 см 2 так, чтобы периметр этого прямоугольника был наименьшим. Каковы должны быть стороны данного прямоугольника?

10. Исследовать на экстремум функцию у=2х 3 -9х 2 +12х-15 и построить её график.

11. Исследовать на вогнутость и выпуклость кривую .

12. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

13. Найти точки перегиба функций: а) ; б) .

14. Исследовать функцию и построить ее график.

15. Исследовать функцию и построить ее график.

16. Исследовать функцию и построить ее график.

17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х 2 -4х+3 на отрезке

Контрольные вопросы и примеры

1. Дайте определение производной.

2. Что называют приращением аргумента? приращением функции?

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Что называется дифференцированием?

5. Перечислите основные свойства производной.

6. Какая функция называется сложной? обратной?

7. Дайте понятие производной второго порядка.

8. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции?

9. Тело движется прямолинейно по закону S=S(t). Что можно сказать о движении, если:

5. Функция возрастает на некотором интервале. Следует ли отсюда, что её производная положительна на этом интервале?

6. Что называется экстремумами функции?

7. Обязательно ли наибольшее значение функции на некотором интервале совпадает со значением функции в точке максимума?

8. Функция определена на . Может ли точка х=а быть точкой экстремума этой функции?

10. Производная функции в точке х 0 равна нулю. Следует ли отсюда, что х 0 – точка экстремума этой функции?

Контрольная работа

1. Найти производные данных функций:

а)	е)
б)	ж)
с)	з)
д)	и)

2. Напишите уравнения касательных к параболе y=x 2 -2x-15: а) в точке с абсциссой x=0; б) в точке пересечения параболы с осью абсцисс.

3. Определите промежутки возрастания и убывания функции

4. Исследуйте функцию и постройте ее график

5. Найдите в момент времени t=0 скорость и ускорение точки, движущейся по закону s =2e 3 t

Ответы к упражнениям

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (результат получен применением формулы производной частного). Можно решить данный пример по-другому:

5.

8. Произведение будет наибольшим, если каждое слагаемое будет равно12.

9. Периметр прямоугольника будет наименьшим, если стороны прямоугольника будут по 10 см, т.е. надо вырезать квадрат.

17. На отрезке функция принимает наибольшее значение, равное 3 при х=0 и наименьшее значение, равное –1 при х=2 .

Литература

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

по изучению темы

«производная функции»

для студентов специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учет», 080106 «Финансы»,
080108 «Банковское дело»,230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Составила Федорова Е.А.

КАЛИНИНГРАД

Рецензенты: Горская Наталья Владимировна, преподаватель, Калининградский торгово-экономический колледж

В данном пособии рассмотрены базовые понятия дифференциального исчисления: понятие производной, свойства производных, применение в аналитической геометрии и механике, приведены основные формулы дифференцирования, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал. Пособие дополнено упражнениями для самостоятельной работы, ответами к ним, приведены вопросы и образцы заданий для промежуточного контроля знаний. Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в средних специальных учебных заведениях, обучающихся по очной, заочной, вечерней форме обучения, экстерном или имеющих свободное посещение занятий.

КТЭК
ПЦК экономики и учета

15 экз, 2006 г.

Введение. 4

Требования к знаниям и умениям.. 5

Понятие производной. 5

Геометрический смысл производной. 7

Механический смысл производной. 7

Основные правила дифференцирования. 8

Формулы дифференцирования основных функций. 9

Производная обратной функции. 9

Дифференцирование сложных функций. 10

Производные высших порядков. 11

Частные производные. 11

Исследование функций с помощью производных. 11

Возрастание и убывание функции. 11

Максимум и минимум функции. 13

Выпуклость и вогнутость кривой. 15

Точки перегиба. 16

Общая схема исследования функций и построения графиков. 17

Упражнения для решения. 17

Контрольные вопросы и примеры.. 20

Контрольная работа. 20

Ответы к упражнениям.. 21

Литература. 23

Введение

Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которыми оперирует экономист, - это функция, предел, производная, интеграл, дифференциальное уравнение. В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x ) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой – либо продукции от затрат фактора x , то называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т.е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g′(x) называют предельными издержками .

Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

Например, нахождение производительности труда. Пусть известна функция u=u(t) , выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср. =

Производительностью труда рабочего в момент t 0 называется предел, к которому стремится z ср . при ∆t→ 0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной:

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x , поэтому можно записать K=K(x) . Предположим, что количество продукции увеличивается на ∆x . Количеству продукции x+∆x соответствуют издержки производства K(x+∆x). Следовательно, приращению количества продукции ∆x соответствует приращение издержек производства продукции ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Среднее приращение издержек производства есть ∆K/∆x. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел называется предельными издержками производства.