Escuela de Agricultura de Artillería bajo la dirección del Presidente. Facultad de Economía y Comercio de Kaliningrado: una rama de la Academia Rusa de Economía Nacional y Administración Pública bajo la presidencia de la Federación de Rusia

La historia de la Escuela Económica y Comercial de Kaliningrado es una página de la historia de la región que se escribe desde 1946. En los últimos años se han graduado en la universidad más de 25 mil especialistas.

Desde 2004, la universidad se ha convertido en una plataforma experimental para el Instituto de Moscú para el Desarrollo de la Educación Secundaria Profesional sobre el tema "Difusión de la experiencia europea en la creación y organización de centros de educación de adultos y centros de educación abierta en la región". Desde hace diez años es miembro de la Asociación Rusa de Marketing y tiene el estatus de colegio social. Este último fue concedido a la universidad por la administración regional por su constante apoyo a los estudiantes, profesores, jubilados, militares y miembros de sus familias, profesores y personal en activo socialmente desfavorecidos.

Los estudiantes reciben formación en la Facultad de Economía y Comercio de Kaliningrado en cinco facultades: tecnología y servicios, gestión de marketing, derecho, economía y contabilidad, y formas de educación no tradicionales. El campo educativo del colegio incluye dieciséis especialidades. Estos incluyen tecnología de preparación de alimentos, comercio de alimentos, comercio, gestión, marketing, contable-abogado, banca, organización de servicios en un complejo hotelero, finanzas, turismo y mucho más.

La universidad cuenta con un Centro de Orientación Profesional y Capacitación de Solicitantes. En la facultad de formas de educación no tradicionales, no solo puede mejorar sus calificaciones, sino también adquirir una nueva especialidad sin interrumpir su trabajo. El actual Centro de Educación Abierta está enfocado a brindar asistencia en la formación profesional en más de veinte especialidades. Aquí puede mejorar sus habilidades y realizar un reciclaje. Los métodos son variados: juegos de negocios, formaciones, seminarios, ejercicios, reuniones abiertas, conferencias, trabajo por proyectos... Todo ello permite a los estudiantes asimilar al máximo el material propuesto.

La cooperación con la Universidad Estatal de Kaliningrado, la Universidad Técnica Estatal de Kaliningrado y la Academia Estatal del Báltico permite a la universidad formar especialistas cuyos conocimientos se convierten en capital y principal recurso para el desarrollo económico de la región. A lo largo de los años de esta interacción, más de doscientos graduados recibieron educación superior en una facultad especial con un período de estudio más corto. Todos ellos son demandados por el complejo económico de la región; muchos han entrado a formar parte de la élite del cuerpo empresarial de la región.

La Escuela Económica y Comercial de Kaliningrado ha establecido comunicaciones y está interactuando activamente con Dinamarca, Suecia, Alemania, Polonia y Finlandia. El equipo participa en proyectos educativos internacionales. Sus temas son variados, incluye temas tan importantes como “Asistencia a las autoridades de Kaliningrado en el desarrollo de pequeñas y medianas empresas”, “Asistencia a oficiales y familiares desempleados en la obtención de especialidades civiles para empleo posterior”, “Capacitación de maestros en andragogía y desarrollo de actividades de programas de formación empresarial en Kaliningrado" y similares.

En 1999, como parte de un proyecto internacional, gracias a los esfuerzos de Lydia Ivanovna Motolyanets, subdirectora de Asuntos Académicos, se creó una empresa de simulación, un modelo de empresa que refleja las actividades de una organización comercial real, una forma especializada eficaz. de formación avanzada para el personal de todos los niveles que trabaja en el ámbito de la pequeña empresa.

La misión del equipo - garantizar una educación que satisfaga las necesidades de la sociedad y contribuya a la formación de una personalidad integral - está plenamente cumplida. La Facultad de Economía y Comercio de Kaliningrado es profesionalismo, responsabilidad y prestigio.

KTEK
PCC de Economía y Contabilidad

15 copias, 2006

Introducción. 4

El concepto de derivada. 5

Derivadas parciales. once

Puntos de inflexión. dieciséis

Ejercicios para resolver. 17

Prueba. 20

Respuestas a los ejercicios.. 21

Literatura. 23

Introducción

f(x) X, entonces llaman Producto Marginal; Si gramo(x) gramo(x) gramo′(x) llamado costo marginal.

Por ejemplo, Que se conozca la función. u=u(t) tu mientras trabaja t. ∆t=t 1 - t 0:

z promedio =

z promedio. en ∆t→ 0: .

Costos de producción k X, para que podamos escribir K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Límite llamado

Concepto de derivada

Derivada de una función en el punto x 0 se llama límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento, siempre que el incremento del argumento tienda a cero.

Notación de función derivada:

Eso. a-priorato:

Algoritmo para encontrar la derivada:

Deja que la función y=f(x) continuo en el segmento , X

1. Encuentra el incremento del argumento:

X– nuevo valor del argumento

x0- valor inicial

2. Encuentra el incremento de la función:

f(x)– nuevo valor de función

f(x0)- valor inicial de la función

3. Encuentre la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:

4. Encuentra el límite de la razón encontrada en

Encuentra la derivada de la función según la definición de derivada.

Solución:

vamos a dar X incremento Δх, entonces el nuevo valor de la función será igual a:

Encontremos el incremento de la función como la diferencia entre los valores nuevo e inicial de la función:

Encontramos la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:

.

Encontremos el límite de esta relación siempre que:

Por tanto, por definición de derivada: .

Encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.

Función y=f(x) llamado diferenciable en el intervalo (a;b), si tiene una derivada en cada punto del intervalo.

Teorema Si la función es derivable en un punto dado x0, entonces es continuo en este punto.

La afirmación inversa es falsa porque Hay funciones que son continuas en algún punto pero no son diferenciables en ese punto. Por ejemplo, la función en el punto x 0 =0.

Encuentra derivadas de funciones.

1) .

2) .

Realicemos transformaciones idénticas de la función:

Derivados de orden superior

derivada de segundo orden se llama derivada de la primera derivada. Designada

Derivada de orden n se llama derivada de la derivada de orden (n-1).

Por ejemplo,

Derivadas parciales

Derivada parcial una función de varias variables con respecto a una de estas variables se llama derivada tomada con respecto a esta variable, siempre que todas las demás variables permanezcan constantes.

Por ejemplo, para la función las derivadas parciales de primer orden serán iguales a:

Funciones máximas y mínimas

El valor del argumento en el que la función tiene el mayor valor se llama punto máximo.

El valor del argumento en el que la función tiene el valor más pequeño se llama punto mínimo.

El punto máximo de una función es el punto límite de transición de la función de creciente a decreciente, el punto mínimo de la función es el punto límite de transición de decreciente a creciente.

Función y=f(x) tiene (local) máximo en el punto si para todos X

Función y=f(x) tiene (local) mínimo en el punto si para todos X, suficientemente cerca de la desigualdad

Los valores máximo y mínimo de una función se denominan colectivamente extremos, y los puntos en los que se alcanzan se llaman puntos extremos.

Teorema (una condición necesaria para la existencia de un extremo) Deje que la función se defina en un intervalo y tenga el valor mayor (menor) en el punto. Entonces, si en un punto hay una derivada de esta función, entonces es igual a cero, es decir .

Prueba:

Deje que la función tenga el mayor valor en el punto x 0, entonces para cualquiera se cumple la siguiente desigualdad: .

Para cualquier punto

Si x > x 0, entonces, es decir

si x< x 0 , то , т.е.

Porque hay algo que es posible sólo si son iguales a cero, por lo tanto,.

Consecuencia:

Si en un punto la función diferenciable toma el valor más grande (más pequeño), entonces en ese punto la tangente a la gráfica de esta función es paralela al eje Ox.

Los puntos en los que la primera derivada es cero o no existe se llaman crítico - estos son posibles puntos extremos.

Tenga en cuenta que dado que la igualdad de la primera derivada a cero es solo una condición necesaria para un extremo, es necesario investigar más a fondo la cuestión de la presencia de un extremo en cada punto de un posible extremo.

Teorema(condición suficiente para la existencia de un extremo)

Deja que la función y = f(x) es continua y diferenciable en alguna vecindad del punto x 0. Si al pasar por un punto x0 de izquierda a derecha, la primera derivada cambia de signo de más a menos (de menos a más), luego en el punto x0 función y = f(x) tiene un máximo (mínimo). Si la primera derivada no cambia de signo, entonces esta función no tiene extremo en el punto x0.

Algoritmo para estudiar una función para un extremo:

1. Encuentra la primera derivada de la función.

2.Igualar la primera derivada a cero.

3.Resuelve la ecuación. Las raíces encontradas de la ecuación son puntos críticos.

4. Trazar los puntos críticos encontrados en el eje numérico. Obtenemos una serie de intervalos.

5. Determinar el signo de la primera derivada en cada uno de los intervalos e indicar los extremos de la función.

6.Para trazar un gráfico:

Ø determinar los valores de la función en los puntos extremos.

Ø encontrar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

Ø encontrar puntos adicionales

La lata tiene la forma de un cilindro redondo de radio. r y alturas h. Suponiendo que se utiliza una cantidad claramente fija de estaño para fabricar una lata, determine en qué proporción entre r Y h el frasco tendrá el mayor volumen.

La cantidad de estaño utilizada será igual a la superficie total de la lata, es decir . (1)

De esta igualdad encontramos:

Entonces el volumen se puede calcular usando la fórmula: . El problema se reducirá a encontrar el máximo de la función. V(r). Encontremos la primera derivada de esta función: . Igualemos la primera derivada a cero:

. Encontramos: . (2)

Este punto es el punto máximo, porque la primera derivada es positiva en y negativa en .

Establezcamos ahora en qué relación entre el radio y la altura del banco se producirá el mayor volumen. Para hacer esto, divida la igualdad (1) por r 2 y use la relación (2) para S. Obtenemos: . Así, un frasco cuya altura sea igual a su diámetro tendrá mayor volumen.

A veces es bastante difícil estudiar el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de un posible punto extremo, entonces puedes usar segunda condición suficiente para el extremo:

Teorema Deja que la función y = f(x) tiene en el punto x0 posible segunda derivada finita extrema. Entonces la función y = f(x) tiene en el punto x0 máximo si , y mínimo si .

Nota Este teorema no resuelve la cuestión del extremo de una función en un punto si la segunda derivada de la función en un punto dado es igual a cero o no existe.

Puntos de inflexión

Los puntos de la curva en los que la convexidad se separa de la concavidad se llaman puntos de inflexión.

Teorema (condición necesaria para el punto de inflexión): Sea que la gráfica de una función tenga un punto de inflexión y la función tenga una segunda derivada continua en el punto x 0, entonces

Teorema (condición suficiente para el punto de inflexión): Sea la función una segunda derivada en alguna vecindad del punto x 0, que tiene diferentes signos a la izquierda y a la derecha de x0. entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en el punto .

Algoritmo para encontrar puntos de inflexión:

1. Encuentra la segunda derivada de la función.

2. Iguala la segunda derivada a cero y resuelve la ecuación: . Traza las raíces resultantes en la recta numérica. Obtenemos una serie de intervalos.

3. Encuentra el signo de la segunda derivada en cada uno de los intervalos. Si los signos de la segunda derivada en dos intervalos adyacentes son diferentes, entonces tenemos un punto de inflexión para un valor dado de la raíz; si los signos son iguales, entonces no hay puntos de inflexión.

4. Encuentra las ordenadas de los puntos de inflexión.

Examina la curva en busca de convexidad y concavidad. Encuentra puntos de inflexión.

1) encuentra la segunda derivada:

2) Resuelve la desigualdad 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Resuelve la desigualdad 2x>0 x>0 para x la curva es cóncava

4) Encontremos los puntos de inflexión, para los cuales igualamos la segunda derivada a cero: 2x=0 x=0. Porque en el punto x=0 la segunda derivada tiene signos diferentes a la izquierda y a la derecha, entonces x=0 es la abscisa del punto de inflexión. Encontremos la ordenada del punto de inflexión:

(0;0) punto de inflexión.

Ejercicios para resolver

No. 1 Encuentre las derivadas de estas funciones, calcule el valor de las derivadas para un valor dado del argumento:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

No. 2 Encuentra derivadas de funciones complejas:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

No. 3 Resolver problemas:

1. Encuentra el coeficiente angular de la tangente trazada a la parábola en el punto x=3.

2. Se trazan una tangente y una normal a la parábola y=3x 2 -x en el punto x=1. Inventa sus ecuaciones.

3. Encuentre las coordenadas del punto en el cual la tangente a la parábola y=x 2 +3x-10 forma un ángulo de 135 0 con el eje OX.

4. Crea una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y=4xx2 en el punto de intersección con el eje OX.

5. Para qué valores de x es la tangente a la gráfica de la función y=x 3 -x paralela a la recta y=x.

6. El punto se mueve rectilíneamente según la ley S=2t 3 -3t 2 +4. Encuentre la aceleración y la velocidad del punto al final del tercer segundo. ¿En qué momento la aceleración será cero?

7. ¿Cuándo es igual a cero la velocidad de un punto que se mueve según la ley S=t 2 -4t+5?

#4 Explora funciones usando derivadas:

1. Examina la monotonicidad de la función y = x 2

2. Encuentra los intervalos de funciones crecientes y decrecientes. .

3. Encuentra los intervalos de aumento y disminución de la función.

4. Explora la función máxima y mínima. .

5. Examine la función en busca de extremos. .

6. Investiga la función y=x3 para el extremo.

7. Examine la función en busca de extremos. .

8. Divide el número 24 en dos términos para que su producto sea mayor.

9. Es necesario cortar un rectángulo con un área de 100 cm 2 de una hoja de papel para que el perímetro de este rectángulo sea el más pequeño. ¿Cuáles deberían ser los lados de este rectángulo?

10. Examina la función y=2x 3 -9x 2 +12x-15 en busca de un extremo y construye su gráfica.

11. Examina la curva en busca de concavidad y convexidad.

12. Encuentra los intervalos de convexidad y concavidad de la curva. .

13. Encuentre los puntos de inflexión de las funciones: a) ; b) .

14. Explora la función y construye su gráfica.

15. Investiga la función y construye su gráfica.

16. Explora la función y trazarlo.

17. Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función y=x 2 -4x+3 en el segmento

Preguntas de prueba y ejemplos.

1. Defina derivada.

2. ¿Qué se llama incremento de argumento? incremento de función?

3. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada?

4. ¿Qué se llama diferenciación?

5. Enumere las principales propiedades de la derivada.

6. ¿Qué función se llama compleja? ¿contrarrestar?

7. Dé el concepto de derivada de segundo orden.

8. ¿Formular una regla para derivar una función compleja?

9. El cuerpo se mueve rectilíneamente según la ley S=S(t). ¿Qué puedes decir sobre el movimiento si:

5. La función aumenta en un intervalo determinado. ¿Se sigue de esto que su derivada es positiva en este intervalo?

6. ¿Qué se llaman extremos de una función?

7. ¿El valor más grande de una función en un determinado intervalo coincide necesariamente con el valor de la función en el punto máximo?

8. La función está definida en . ¿Podría el punto x=a ser el punto extremo de esta función?

10. La derivada de la función en el punto x 0 es cero. ¿Se deduce de esto que x 0 es el punto extremo de esta función?

Prueba

1. Encuentra derivadas de estas funciones:

A)	mi)
b)	y)
Con)	h)
d)	Y)

2. Escribe las ecuaciones de las tangentes a la parábola y=x 2 -2x-15: a) en el punto con la abscisa x=0; b) en el punto de intersección de la parábola con el eje de abscisas.

3. Determinar los intervalos de función creciente y decreciente.

4. Explora la función y graficala.

5. Encuentre en el instante t=0 la velocidad y aceleración de un punto que se mueve según la ley s =2e 3 t

Respuestas a los ejercicios.

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (el resultado se obtuvo aplicando la fórmula de la derivada del cociente). Puedes resolver este ejemplo de otra manera:

5.

8. El producto será mayor si cada término es igual a 12.

9. El perímetro del rectángulo será más pequeño si los lados del rectángulo miden 10 cm, es decir necesitas cortar un cuadrado.

17. En un segmento, la función toma el valor mayor igual a 3 cuando x=0 y el valor más pequeño igual a –1 en x=2.

Literatura

ESCUELA DE COMERCIO Y ECONOMÍA DE KALININGRADO

sobre el estudio del tema

"función derivada"

para estudiantes de la especialidad 080110 “Economía y Contabilidad”, 080106 “Finanzas”,
080108 “Banca”, 230103 “Sistemas automatizados de procesamiento y gestión de información”

Compilado por E. A. Fedorova

KALININGRADO

Revisores: Natalya Vladimirovna Gorskaya, profesora, Facultad de Economía y Comercio de Kaliningrado

Este manual examina los conceptos básicos del cálculo diferencial: el concepto de derivada, propiedades de las derivadas, aplicación en geometría y mecánica analítica, se dan fórmulas básicas de diferenciación y se dan ejemplos para ilustrar el material teórico. El manual se complementa con ejercicios para el trabajo autónomo, respuestas a los mismos, preguntas y ejemplos de tareas para el control de conocimientos intermedios. Destinado a estudiantes que cursan la disciplina “Matemáticas” en instituciones de educación secundaria especializada, estudiando a tiempo completo, a tiempo parcial, vespertino, externo o con asistencia libre.

KTEK
PCC de Economía y Contabilidad

15 copias, 2006

Introducción. 4

Requisitos de conocimientos y habilidades... 5

El concepto de derivada. 5

Significado geométrico de derivada. 7

Significado mecánico de derivada. 7

Reglas básicas de diferenciación. 8

Fórmulas para diferenciar funciones básicas. 9

Derivada de la función inversa. 9

Diferenciación de funciones complejas. 10

Derivados de órdenes superiores. once

Derivadas parciales. once

Estudiar funciones utilizando derivadas. once

Función creciente y decreciente. once

Funciones máximas y mínimas. 13

Convexidad y concavidad de una curva. 15

Puntos de inflexión. dieciséis

Esquema general para estudiar funciones y construir gráficas. 17

Ejercicios para resolver. 17

Preguntas de prueba y ejemplos. 20

Prueba. 20

Respuestas a los ejercicios.. 21

Literatura. 23

Introducción

El análisis matemático proporciona una serie de conceptos fundamentales con los que opera un economista: función, límite, derivada, integral, ecuación diferencial. En la investigación económica, a menudo se utiliza terminología específica para referirse a los derivados. Por ejemplo, si f(x)) es una función de producción que expresa la dependencia de la producción de cualquier producto del costo de un factor X, entonces llaman Producto Marginal; Si gramo(x) hay una función de costo, es decir función gramo(x) expresa la dependencia de los costos totales del volumen de producción x, entonces gramo′(x) llamado costo marginal.

Análisis marginal en economía.– un conjunto de técnicas para estudiar los valores cambiantes de los costos o resultados cuando cambian los volúmenes de producción, consumo, etc. basándose en un análisis de sus valores límite.

Por ejemplo, encontrar la productividad laboral. Que se conozca la función. u=u(t), expresando la cantidad de productos producidos. tu mientras trabaja t. Calculemos la cantidad de productos producidos a lo largo del tiempo. ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Productividad laboral media se llama la relación entre la cantidad de productos producidos y el tiempo invertido, es decir z promedio =

Productividad del trabajador en el momento t 0 el límite al que tiende se llama z promedio. en ∆t→ 0: . Por tanto, calcular la productividad laboral se reduce a calcular la derivada:

Costos de producción k La producción homogénea es función de la cantidad de producción. X, para que podamos escribir K=K(x). Supongamos que la cantidad de producción aumenta en ∆x. La cantidad de producción x+∆x corresponde a los costos de producción. K(x+∆x). En consecuencia, el aumento en la cantidad de productos ∆x corresponde a un aumento en los costos de producción ∆K=K(x+∆x)- K(x).

El aumento medio de los costes de producción es ∆K/∆x. Este es un aumento en los costos de producción por aumento unitario en la cantidad de producción.

Límite llamado costos marginales de producción.