Colegiul de Agricultură de Artilerie sub Președinte. Colegiul Economic și Comercial din Kaliningrad - o ramură a Academiei Ruse de Economie Națională și Administrație Publică sub președintele Federației Ruse

Istoria Colegiului Economic și Comercial din Kaliningrad este o pagină din istoria regiunii, care a fost scrisă din 1946. De-a lungul timpului, peste 25 de mii de specialiști au absolvit facultatea.

Din 2004, colegiul a devenit o platformă experimentală pentru Institutul de la Moscova pentru Dezvoltarea Învățământului Profesional Secundar pe tema „Diseminarea experienței europene în crearea și organizarea Centrelor de Educație pentru Adulți și a Centrelor de Educație Deschise din regiune”. De zece ani este membru al Asociației Ruse de Marketing și are statutul de colegiu social. Acesta din urmă a fost acordat colegiului de către administrația regională pentru sprijinul constant al studenților, profesorilor, pensionarii, personalului militar și membrilor familiilor acestora, profesorilor și personalului defavorizați social.

Studenții sunt instruiți la Colegiul Economic și de Comerț din Kaliningrad în cinci facultăți: tehnologie și servicii, management de marketing, drept, economie și contabilitate și forme netradiționale de educație. Domeniul educațional al colegiului include șaisprezece specialități. Acestea includ tehnologia de preparare a alimentelor, comerțul alimentar, comerțul comercial, managementul, marketingul, contabil-avocat, bancar, organizarea serviciilor într-un complex hotelier, finanțe, turism și multe altele.

Colegiul are un Centru de orientare în carieră și formare a solicitanților. La facultatea de forme netradiționale de învățământ, nu numai că îți poți îmbunătăți calificările, ci și dobândi o nouă specialitate fără a-ți întrerupe locul de muncă. Actualul Open Education Center se concentrează pe acordarea de asistență în pregătirea profesională în peste douăzeci de specialități. Aici vă puteți îmbunătăți abilitățile și vă puteți recalifica. Metodele sunt variate: jocuri de afaceri, traininguri, seminarii, exercitii, intalniri deschise, conferinte, lucru pe proiecte.Toate acestea permit elevilor sa asimileze cat mai mult materialul propus.

Cooperarea cu Universitatea de Stat din Kaliningrad, Universitatea Tehnică de Stat din Kaliningrad și Academia de Stat Baltic permite colegiului să formeze specialiști ale căror cunoștințe devin capital și resursa principală pentru dezvoltarea economică a regiunii. De-a lungul anilor ai acestei interacțiuni, peste două sute de absolvenți au primit studii superioare la o facultate specială cu o perioadă scurtă de studiu. Toate sunt solicitate de complexul economic al regiunii; mulți au intrat în elita corpului antreprenorial al regiunii.

Colegiul Economic și Comercial din Kaliningrad a stabilit comunicații și interacționează activ cu Danemarca, Suedia, Germania, Polonia și Finlanda. Echipa participă la proiecte educaționale internaționale. Subiectele lor sunt variate, include subiecte atât de importante precum „Asistarea autorităților din Kaliningrad în dezvoltarea întreprinderilor mici și mijlocii”, „Ofițerii asistenți și membrii șomeri ai familiilor lor în obținerea de specialități civile pentru angajarea ulterioară”, „Formarea profesorilor în andragogie și dezvoltarea activităților de programe de formare antreprenorială în Kaliningrad” și altele asemenea.

În 1999, ca parte a unui proiect internațional, datorită eforturilor Lydiei Ivanovna Motolyanets, director adjunct pentru afaceri academice, a fost creată o companie de simulare - un model de întreprindere care reflectă activitățile unei adevărate organizații comerciale, o formă specializată eficientă. de formare avansată a personalului de la toate nivelurile care lucrează în domeniul afacerilor mici.

Misiunea echipei – de a garanta o educație care să răspundă nevoilor societății și să contribuie la formarea unei personalități integrale – este pe deplin îndeplinită. Kaliningrad Trade and Economic College este profesionalism, responsabilitate, prestigiu.

KTEK
PCC de Economie și Contabilitate

15 exemplare, 2006

Introducere. 4

Conceptul de derivat. 5

Derivate parțiale. unsprezece

Puncte de inflexiune. 16

Exerciții de rezolvat. 17

Test. 20

Răspunsuri la exerciții.. 21

Literatură. 23

Introducere

f(x X, apoi sună produs marginal; Dacă g(x) g(x) g′(x) numit costul marginal.

De exemplu, Fie cunoscută funcția u=u(t) uîn timp ce lucrează t. ∆t=t 1 - t 0:

z avg. =

z avg. la ∆t→ 0: .

Costurile productiei K X, ca să putem scrie K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Limită numit

Conceptul de derivat

Derivată a unei funcții în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero.

Notația funcției derivate:

Acea. a-priorie:

Algoritm pentru găsirea derivatei:

Lasă funcția y=f(x) continuu pe segment , X

1. Găsiți incrementul argumentului:

X– noua valoare a argumentului

x 0- valoarea initiala

2. Găsiți incrementul funcției:

f(x)– noua valoare a functiei

f(x 0)- valoarea initiala a functiei

3. Găsiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

4. Aflați limita raportului găsit la

Găsiți derivata funcției pe baza definiției derivatei.

Soluţie:

Să dăm X creştere Δх, atunci noua valoare a funcției va fi egală cu:

Să găsim incrementul funcției ca diferență între valorile noi și inițiale ale funcției:

Găsim raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

.

Să găsim limita acestui raport cu condiția ca:

Prin urmare, prin definiția derivatului: .

Găsirea derivatei unei funcții se numește diferenţiere.

Funcţie y=f(x) numit diferentiabil pe intervalul (a;b), dacă are o derivată în fiecare punct al intervalului.

Teorema Dacă funcția este diferențiabilă într-un punct dat x 0, atunci este continuă în acest moment.

Afirmația inversă este falsă, deoarece Există funcții care sunt continue la un moment dat, dar nu sunt diferențiabile în acel moment. De exemplu, funcția în punctul x 0 =0.

Găsiți derivate ale funcțiilor

1) .

2) .

Să efectuăm transformări identice ale funcției:

Derivate de ordin superior

Derivată de ordinul doi se numeste derivata primei derivate. Desemnat

Derivată de ordinul n se numește derivata derivatei de ordinul (n-1).

De exemplu,

Derivate parțiale

Derivată parțială o funcție a mai multor variabile față de una dintre aceste variabile se numește derivată luată față de această variabilă, cu condiția ca toate celelalte variabile să rămână constante.

De exemplu, pentru funcție derivatele parțiale de ordinul întâi vor fi egale cu:

Funcții maxime și minime

Se apelează valoarea argumentului la care funcția are cea mai mare valoare punct maxim.

Este apelată valoarea argumentului la care funcția are cea mai mică valoare punct minim.

Punctul maxim al unei funcții este punctul limită de tranziție al funcției de la creștere la descreștere, punctul minim al funcției este punctul limită de tranziție de la descrescător la crescător.

Funcţie y=f(x) are (local) maxim la un moment dat dacă pentru toţi X

Funcţie y=f(x) are (local) minim la un moment dat dacă pentru toţi X, suficient de aproape de inegalitate

Valorile maxime și minime ale unei funcții sunt numite colectiv extreme, iar punctele în care sunt atinse sunt numite puncte extremum.

Teorema (o condiție necesară pentru existența unui extremum) Fie ca funcția să fie definită pe un interval și să aibă cea mai mare (cea mai mică) valoare în punctul . Atunci, dacă într-un punct există o derivată a acestei funcții, atunci aceasta este egală cu zero, adică. .

Dovada:

Fie ca funcția să aibă cea mai mare valoare în punctul x 0, atunci pentru oricare dintre următoarele inegalități este valabilă: .

Pentru orice punct

Dacă x > x 0, atunci, i.e.

Dacă x< x 0 , то , т.е.

Deoarece există , ceva care este posibil numai dacă sunt egale cu zero, prin urmare, .

Consecinţă:

Dacă într-un punct funcția diferențiabilă ia cea mai mare (cea mai mică) valoare, atunci în acel punct tangenta la graficul acestei funcții este paralelă cu axa Ox.

Se numesc punctele în care derivata întâi este zero sau nu există critic - acestea sunt puncte extreme posibile.

Rețineți că, deoarece egalitatea primei derivate la zero este doar o condiție necesară pentru un extremum, este necesar să investigăm în continuare problema prezenței unui extremum în fiecare punct al unui extremum posibil.

Teorema(condiție suficientă pentru existența unui extremum)

Lasă funcția y = f(x) este continuă și diferențiabilă într-o vecinătate a punctului x 0. Dacă, la trecerea printr-un punct x 0 de la stânga la dreapta, prima derivată își schimbă semnul de la plus la minus (de la minus la plus), apoi la punctul x 0 funcţie y = f(x) are un maxim (minim). Dacă derivata întâi nu își schimbă semnul, atunci această funcție nu are un extremum la punct x 0 .

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1. Găsiți derivata întâi a funcției.

2. Echivalează prima derivată cu zero.

3.Rezolvați ecuația. Rădăcinile găsite ale ecuației sunt puncte critice.

4. Trasează punctele critice găsite pe axa numerică. Obținem o serie de intervale.

5. Determinați semnul primei derivate în fiecare dintre intervale și indicați extremele funcției.

6. Pentru a reprezenta un grafic:

Ø determinați valorile funcției la punctele extreme

Ø găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate

Ø găsiți puncte suplimentare

Cutia de tablă are forma unui cilindru rotund cu rază rși înălțimi h. Presupunând că o cantitate clar fixă ​​de staniu este utilizată pentru a face o cutie, determinați în ce raport rȘi h borcanul va avea cel mai mare volum.

Cantitatea de cositor folosită va fi egală cu suprafața totală a cutiei, adică. . (1)

Din această egalitate găsim:

Apoi volumul poate fi calculat folosind formula: . Problema se va reduce la găsirea maximului funcției V(r). Să găsim prima derivată a acestei funcții: . Să echivalăm prima derivată cu zero:

. Găsim: . (2)

Acest punct este punctul maxim, pentru că prima derivată este pozitivă la și negativă la .

Să stabilim acum la ce raport între raza și înălțimea malului va avea loc cel mai mare volum. Pentru a face acest lucru, împărțiți egalitatea (1) la r 2și folosiți relația (2) pentru S. Primim: . Astfel, un borcan a cărui înălțime este egală cu diametrul său va avea cel mai mare volum.

Uneori este destul de dificil să studiezi semnul primei derivate la stânga și la dreapta unui posibil punct extremum, atunci poți folosi a doua condiție suficientă pentru extremum:

Teorema Lasă funcția y = f(x) are la punct x 0 posibilă derivată a doua finită extremum. Apoi funcția y = f(x) are la punct x 0 maxim dacă , si minim daca .

Notă Această teoremă nu rezolvă problema extremului unei funcții într-un punct dacă derivata a doua a funcției într-un punct dat este egală cu zero sau nu există.

Puncte de inflexiune

Se numesc punctele curbei în care convexitatea este separată de concavitate puncte de inflexiune.

Teorema (condiție necesară pentru punctul de inflexiune): Fie că graficul unei funcții are un punct de inflexiune și funcția are o derivată secundă continuă în punctul x 0, atunci

Teorema (condiție suficientă pentru punctul de inflexiune): Fie ca funcția să aibă o derivată a doua într-o vecinătate a punctului x 0, care are semne diferite la stânga și la dreapta lui x 0. atunci graficul funcției are o inflexiune în punctul .

Algoritm pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1. Aflați derivata a doua a funcției.

2. Echivalează derivata a doua cu zero și rezolvă ecuația: . Trasează rădăcinile rezultate pe dreapta numerică. Obținem o serie de intervale.

3. Aflați semnul derivatei a doua în fiecare dintre intervale. Dacă semnele derivatei a doua în două intervale adiacente sunt diferite, atunci avem un punct de inflexiune pentru o valoare dată a rădăcinii; dacă semnele sunt aceleași, atunci nu există puncte de inflexiune.

4. Aflați ordonatele punctelor de inflexiune.

Examinați curba pentru convexitate și concavitate. Găsiți puncte de inflexiune.

1) găsiți derivata a doua:

2) Rezolvați inegalitatea 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Rezolvați inegalitatea 2x>0 x>0 pentru x curba este concavă

4) Să găsim punctele de inflexiune, pentru care echivalăm derivata a doua cu zero: 2x=0 x=0. Deoarece în punctul x=0 derivata a doua are semne diferite la stânga și la dreapta, atunci x=0 este abscisa punctului de inflexiune. Să găsim ordonata punctului de inflexiune:

(0;0) punct de inflexiune.

Exerciții de rezolvat

Nr. 1 Găsiți derivatele acestor funcții, calculați valoarea derivatelor pentru o valoare dată a argumentului:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

Nr. 2 Găsiți derivate ale funcțiilor complexe:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Nr. 3 Rezolvați probleme:

1. Aflați coeficientul unghiular al tangentei trasate la parabolă în punctul x=3.

2. O tangentă și o normală sunt trase la parabola y=3x 2 -x în punctul x=1. Alcătuiți ecuațiile lor.

3. Aflați coordonatele punctului în care tangenta la parabola y=x 2 +3x-10 formează un unghi de 135 0 cu axa OX.

4. Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y=4xx2 în punctul de intersecție cu axa OX.

5. Pentru ce valori ale lui x este tangenta la graficul funcției y=x 3 -x paralelă cu dreapta y=x.

6. Punctul se deplasează rectiliniu conform legii S=2t 3 -3t 2 +4. găsiți accelerația și viteza punctului la sfârșitul celei de-a 3-a secunde. În ce moment va fi accelerația zero?

7. Când viteza unui punct care se deplasează conform legii S=t 2 -4t+5 este egală cu zero?

#4 Explorați funcții folosind derivate:

1. Examinați monotonitatea funcției y = x 2

2. Aflați intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare .

3. Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției.

4. Explorați funcția maximă și minimă .

5. Examinați funcția pentru extremum .

6. Investigați funcția y=x3 pentru extremum

7. Examinați funcția pentru extremum .

8. Împărțiți numărul 24 în doi termeni, astfel încât produsul lor să fie cel mai mare.

9. Este necesar să tăiați un dreptunghi cu o suprafață de 100 cm 2 dintr-o foaie de hârtie, astfel încât perimetrul acestui dreptunghi să fie cel mai mic. Care ar trebui să fie laturile acestui dreptunghi?

10. Examinați funcția y=2x 3 -9x 2 +12x-15 pentru un extremum și construiți graficul acesteia.

11. Examinați curba pentru concavitate și convexitate.

12. Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei .

13. Aflați punctele de inflexiune ale funcțiilor: a) ; b) .

14. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

15. Investigați funcția și construiți graficul acesteia.

16. Explorați funcția și complotează-l.

17. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=x 2 -4x+3 pe segment

Testați întrebări și exemple

1. Definiți derivata.

2. Ce se numește increment de argument? creșterea funcției?

3. Care este semnificația geometrică a derivatei?

4. Ce se numește diferențiere?

5. Enumeraţi principalele proprietăţi ale derivatei.

6. Care funcție se numește complexă? verso?

7. Dați conceptul de derivată de ordinul doi.

8. Formulați o regulă pentru diferențierea unei funcții complexe?

9. Corpul se deplasează rectiliniu conform legii S=S(t). Ce poți spune despre mișcare dacă:

5. Funcția crește pe un anumit interval. Rezultă de aici că derivata sa este pozitivă pe acest interval?

6. Ce se numesc extremele unei funcții?

7. Cea mai mare valoare a unei funcții pe un anumit interval coincide în mod necesar cu valoarea funcției în punctul maxim?

8. Funcția este definită pe . Ar putea punctul x=a să fie punctul extremum al acestei funcții?

10. Derivata functiei in punctul x 0 este zero. Rezultă de aici că x 0 este punctul extremum al acestei funcții?

Test

1. Găsiți derivate ale acestor funcții:

A)	e)
b)	și)
Cu)	h)
d)	Și)

2. Scrieţi ecuaţiile tangentelor la parabola y=x 2 -2x-15: a) în punctul cu abscisa x=0; b) în punctul de intersecție al parabolei cu axa absciselor.

3. Determinați intervalele funcției crescătoare și descrescătoare

4. Explorați funcția și reprezentați-o grafic

5. Aflați la momentul t=0 viteza și accelerația unui punct care se deplasează conform legii s =2e 3 t

Răspunsuri la exerciții

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultatul a fost obținut prin aplicarea formulei derivate de coeficient). Puteți rezolva acest exemplu diferit:

5.

8. Produsul va fi cel mai mare dacă fiecare termen este egal cu 12.

9. Perimetrul dreptunghiului va fi cel mai mic dacă laturile dreptunghiului sunt de 10 cm, adică. trebuie să tăiați un pătrat.

17. Pe un segment, funcția ia cea mai mare valoare egală cu 3 când x=0 iar cea mai mică valoare egală cu –1 at x=2.

Literatură

COLEGIA DE COMERȚ ȘI ECONOMIE KALININGRAD

la studierea temei

„derivată de funcție”

pentru studenții specialității 080110 „Economie și Contabilitate”, 080106 „Finanțe”,
080108 „Banca”, 230103 „Sisteme automate de procesare și management a informațiilor”

Alcătuit de E.A.Fedorova

KALININGRAD

Recensori: Natalya Vladimirovna Gorskaya, profesor, Colegiul Economic și Comercial din Kaliningrad

Acest manual examinează conceptele de bază ale calculului diferențial: conceptul de derivată, proprietățile derivatelor, aplicarea în geometria analitică și mecanică, sunt date formule de diferențiere de bază, sunt date exemple pentru a ilustra materialul teoretic. Manualul este completat cu exerciții pentru lucru independent, răspunsuri la acestea, întrebări și exemple de sarcini pentru controlul cunoștințelor intermediare. Destinat studenților care studiază disciplina „Matematică” în instituții de învățământ secundar de specialitate, care studiază cu normă întreagă, cu jumătate de normă, seara, extern sau cu frecvență liberă.

KTEK
PCC de Economie și Contabilitate

15 exemplare, 2006

Introducere. 4

Cerințe pentru cunoștințe și abilități... 5

Conceptul de derivat. 5

Sensul geometric al derivatului. 7

Sensul mecanic al derivatului. 7

Reguli de bază de diferențiere. 8

Formule de diferențiere a funcțiilor de bază. 9

Derivată a funcției inverse. 9

Diferențierea funcțiilor complexe. 10

Derivate de ordin superior. unsprezece

Derivate parțiale. unsprezece

Studierea funcțiilor folosind derivate. unsprezece

Funcția de creștere și scădere. unsprezece

Funcții maxime și minime. 13

Convexitatea și concavitatea unei curbe. 15

Puncte de inflexiune. 16

Schema generala de studiere a functiilor si de construire a graficelor. 17

Exerciții de rezolvat. 17

Întrebări de testare și exemple.. 20

Test. 20

Răspunsuri la exerciții.. 21

Literatură. 23

Introducere

Analiza matematică oferă o serie de concepte fundamentale cu care operează un economist: funcție, limită, derivată, integrală, ecuație diferențială. În cercetarea economică, terminologia specifică este adesea folosită pentru a se referi la derivate. De exemplu, dacă f(x) este o funcție de producție care exprimă dependența producției oricărui produs de costul unui factor X, apoi sună produs marginal; Dacă g(x) există o funcție de cost, adică funcţie g(x) exprimă dependența costurilor totale de volumul producției x, atunci g′(x) numit costul marginal.

Analiza marginală în economie– un set de tehnici pentru studierea valorilor variabile ale costurilor sau rezultatelor atunci când se modifică volumele de producție, consum etc. pe baza unei analize a valorilor limită ale acestora.

De exemplu, găsirea productivității muncii. Fie cunoscută funcția u=u(t), exprimând cantitatea de produse produse uîn timp ce lucrează t. Să calculăm cantitatea de produse produse în timp ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Productivitatea medie a muncii se numeste raportul dintre cantitatea de produse produse si timpul petrecut, i.e. z avg. =

Productivitatea muncitoruluiîn momentul t 0 se numeşte limita spre care tinde z avg. la ∆t→ 0: . Calcularea productivității muncii se reduce astfel la calcularea derivatei:

Costurile productiei K producția omogenă este o funcție a cantității de producție X, ca să putem scrie K=K(x). Să presupunem că cantitatea de producție crește cu ∆x. Cantitatea de producție x+∆x corespunde costurilor de producție K(x+∆x).În consecință, creșterea cantității de produse ∆x corespunde unei creșteri a costurilor de producție ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Creșterea medie a costurilor de producție este ∆K/∆x. Aceasta este o creștere a costurilor de producție pe unitate de creștere a cantității de producție.

Limită numit costurile marginale de producție.