Tüzérségi Mezőgazdasági Főiskola elnöksége alatt. Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola - az Orosz Nemzetgazdasági és Közigazgatási Akadémia fióktelepe az Orosz Föderáció elnöke alatt

A Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola története egy oldal a régió történetében, amelyet 1946 óta írnak. Az elmúlt időszakban több mint 25 ezer szakember végzett a főiskolán.

2004 óta a főiskola a Moszkvai Középfokú Szakképzés-fejlesztési Intézet kísérleti platformjává vált, amelynek témája „Az európai tapasztalatok terjesztése a felnőttképzési központok és nyílt oktatási központok létrehozásában és megszervezésében a régióban”. Tíz éve tagja az Orosz Marketing Szövetségnek, és szociális főiskolai státusszal rendelkezik. Ez utóbbit a szociálisan hátrányos helyzetű hallgatók, oktatók, nyugdíjasok, katonák és családtagjaik, dolgozó oktatók és munkatársaik folyamatos támogatásáért ítélte oda a főiskola a területi önkormányzatnak.

A Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola öt karon képezik a hallgatókat: technológiai és szolgáltatási, marketingmenedzsment, jogi, közgazdasági és számviteli, valamint nem hagyományos oktatási formák. A főiskola oktatási területe tizenhat szakterületet foglal magában. Ide tartozik az ételkészítési technológia, az élelmiszer-kereskedelem, a kereskedelmi kereskedelem, a menedzsment, a marketing, a könyvelő-jogász, a banki ügyek, a szolgáltatások szervezése szállodakomplexumban, a pénzügy, a turizmus és még sok más.

A főiskolán működik Pályaválasztási Tanácsadó és Pályázóképző Központ. A nem hagyományos oktatási formák karon nemcsak képesítést javíthat, hanem új szakot is elsajátíthat anélkül, hogy a munka megszakadna. A jelenlegi Nyílt Oktatási Központ több mint húsz szakterületen a szakmai képzésben való segítségnyújtásra koncentrál. Itt fejlesztheti képességeit és átképzésen vehet részt. A módszerek változatosak: üzleti játékok, tréningek, szemináriumok, gyakorlatok, nyílt értekezletek, konferenciák, projektmunka Mindezek lehetővé teszik, hogy a hallgatók minél jobban elsajátítsák a javasolt anyagot.

A Kalinyingrádi Állami Egyetemmel, a Kalinyingrádi Állami Műszaki Egyetemmel és a Balti Állami Akadémiával való együttműködés lehetővé teszi a főiskola számára, hogy olyan szakembereket képezzen, akiknek tudása tőkévé és a régió gazdasági fejlődésének fő erőforrásává válik. Ennek az interakciónak az évei alatt több mint kétszáz diplomás kapott felsőoktatást speciális karon, rövidített tanulmányi idővel. Mindegyikre igény van a régió gazdasági komplexumában, sokan bekerültek a régió vállalkozói testületének elitjébe.

A Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola kommunikációt épített ki, és aktívan együttműködik Dániával, Svédországgal, Németországgal, Lengyelországgal és Finnországgal. A csapat nemzetközi oktatási projektekben vesz részt. Témáik változatosak, olyan fontos témákat tartalmaz, mint „A kalinyingrádi hatóságok segítése a kis- és középvállalkozások fejlesztésében”, „Tisztek és munkanélküli családtagjaik segítése a polgári szakképzettség megszerzésében a későbbi foglalkoztatáshoz”, „Tanárok képzése andragógia és vállalkozói képzési programok fejlesztése Kalinyingrádban" és hasonlók.

1999-ben egy nemzetközi projekt részeként Lydia Ivanovna Motolyanets, a tudományos ügyekért felelős igazgatóhelyettes erőfeszítéseinek köszönhetően létrejött egy szimulációs cég - egy vállalkozás modellje, amely egy valódi kereskedelmi szervezet tevékenységét tükrözi, hatékony speciális forma. felsőfokú képzés a kisvállalkozások területén dolgozó személyzet minden szintjén.

A csapat küldetése - a társadalom igényeinek megfelelő, az integráns személyiség kialakulásához hozzájáruló oktatás garantálása - maradéktalanul teljesül. A Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola professzionalizmus, felelősség, presztízs.

KTEK
Közgazdasági és Számviteli PCC

15 példány, 2006

Bevezetés. 4

A származék fogalma. 5

Részleges származékok. tizenegy

Inflexiós pontok. 16

Megoldandó gyakorlatok. 17

Teszt. 20

Válaszok a gyakorlatokra.. 21

Irodalom. 23

Bevezetés

f(x x, akkor hívnak határtermék; Ha g(x) g(x) g′(x) hívott határköltség.

Például, Legyen ismert a függvény u=u(t) u munka közben t. ∆t=t 1 - t 0:

z átl. =

z átl. nál nél ∆t→ 0: .

Gyártási költségek K x, hogy írhassunk K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Határ hívott

A származék fogalma

Egy függvény deriváltja az x 0 pontban egy függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának a határát nevezzük, feltéve, hogy az argumentum növekménye nullára hajlik.

A derivált függvény jelölése:

Hogy. a-priory:

Algoritmus a derivált megtalálásához:

Legyen a függvény y=f(x) folyamatos a szegmensen , x

1. Keresse meg az argumentum növekményét:

x– új argumentumérték

x 0- kezdő érték

2. Keresse meg a függvény növekményét:

f(x)– új funkcióérték

f(x 0)- a függvény kezdeti értéke

3. Határozza meg a függvény növekményének arányát az argumentum növekményéhez képest:

4. Keresse meg a talált hányados határértékét at

Keresse meg a függvény deriváltját a derivált definíciója alapján!

Megoldás:

Adjunk x növekedés Δх, akkor a függvény új értéke egyenlő lesz:

Keressük meg a függvény növekményét a függvény új és kezdeti értéke közötti különbségként:

Megtaláljuk a függvénynövekmény és az argumentumnövekmény arányát:

.

Határozzuk meg ennek az aránynak a határát, feltéve, hogy:

Ezért a származékos definíció szerint: .

Egy függvény deriváltjának megtalálását ún különbségtétel.

Funkció y=f(x) hívott megkülönböztethető az (a;b) intervallumon, ha van deriváltja az intervallum minden pontjában.

Tétel Ha a függvény egy adott pontban differenciálható x 0, akkor ezen a ponton folyamatos.

A fordított állítás hamis, mert Vannak olyan függvények, amelyek bizonyos pontokon folytonosak, de azon a ponton nem differenciálhatók. Például az x 0 =0 pontban lévő függvény.

Keresse meg a függvények deriváltjait

1) .

2) .

Végezzük el a függvény azonos transzformációit:

Magasabb rendű származékok

Másodrendű származék az első derivált származékának nevezzük. Kijelölve

Az n-rend származéka az (n-1)-edrendű derivált deriváltjának nevezzük.

Például,

Részleges származékok

Részleges derivált több változó függvényét e változók egyikére vonatkozóan az e változóra vonatkozó deriváltnak nevezzük, feltéve, hogy az összes többi változó állandó marad.

Például, funkcióhoz az elsőrendű parciális származékok egyenlők lesznek:

Maximális és minimális funkciók

Azt az argumentumértéket hívjuk meg, amelynél a függvénynek a legnagyobb értéke van maximális pont.

Azt az argumentumértéket hívjuk meg, amelynél a függvénynek a legkisebb értéke van minimum pont.

A függvény maximális pontja a függvény növekedésből csökkenőbe való átmenetének határpontja, a függvény minimumpontja a csökkenésből a növekedésbe való átmenet határpontja..

Funkció y=f(x) rendelkezik (helyi) maximális pontban, ha mindenért x

Funkció y=f(x) rendelkezik (helyi) minimális pontban, ha mindenért x, kellően közel van az egyenlőtlenséghez

Egy függvény maximális és minimális értékét együttesen nevezzük szélsőségek, és azokat a pontokat, ahol elérik, hívják szélsőséges pontok.

Tétel (az extrémum létezésének szükséges feltétele) Legyen a függvény definiálva egy intervallumon, és a pontban legyen a legnagyobb (legkisebb) értéke. Ekkor, ha egy pontban van ennek a függvénynek deriváltja, akkor az egyenlő nullával, azaz. .

Bizonyíték:

Legyen a függvénynek a legnagyobb értéke az x 0 pontban, akkor bármelyikre teljesül a következő egyenlőtlenség: .

Bármilyen pontra

Ha x > x 0, akkor, pl.

Ha x< x 0 , то , т.е.

Mert van valami, ami csak akkor lehetséges, ha egyenlők nullával, ezért .

Következmény:

Ha egy pontban a differenciálható függvény a legnagyobb (legkisebb) értéket veszi fel, akkor abban a pontban a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az Ox tengellyel.

Meghívjuk azokat a pontokat, ahol az első derivált nulla vagy nem létezik kritikus - ezek lehetséges szélsőséges pontok.

Vegyük észre, hogy mivel az első derivált nullával való egyenlősége csak szükséges feltétele egy szélsőségnek, tovább kell vizsgálni azt a kérdést, hogy egy lehetséges szélsőpont minden pontján van-e szélsőség.

Tétel(elegendő feltétel az extrémum meglétéhez)

Legyen a függvény y = f(x) folytonos és differenciálható a pont valamely környezetében x 0. Ha egy ponton áthaladva x 0 balról jobbra az első derivált pluszból mínuszra változtatja az előjelet (mínuszból pluszba), majd a ponton x 0 funkció y = f(x) rendelkezik egy maximummal (minimummal). Ha az első derivált nem változtat előjelet, akkor ennek a függvénynek nincs szélső értéke a pontban x 0.

Algoritmus egy függvény vizsgálatára extrémumhoz:

1. Keresse meg a függvény első deriváltját!

2.Egyenlősítse az első deriváltot nullával.

3. Oldja meg az egyenletet! Az egyenlet megtalált gyökerei kritikus pontok.

4. Ábrázolja a talált kritikus pontokat a numerikus tengelyen! Intervallumok sorozatát kapjuk.

5. Határozza meg az egyes intervallumokban az első derivált előjelét, és jelölje meg a függvény szélsőértékét!

6. Grafikon ábrázolása:

Ø határozza meg a függvény értékeit a szélsőpontokban

Ø keresse meg a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat

Ø további pontokat találni

A konzervdoboznak egy kör sugarú henger alakja van rés magasságok h. Feltételezve, hogy egyértelműen meghatározott mennyiségű ónt használnak fel egy konzervdoboz elkészítéséhez, határozza meg, milyen arányban rÉs h az üvegnek lesz a legnagyobb térfogata.

A felhasznált ón mennyisége megegyezik a doboz teljes felületével, pl. . (1)

Ebből az egyenlőségből a következőket kapjuk:

Ezután a térfogatot a következő képlettel lehet kiszámítani: . A probléma a függvény maximumának megtalálására redukálódik V(r). Keressük meg ennek a függvénynek az első deriváltját: . Tegyük egyenlővé az első derivált nullával:

. Találunk: . (2)

Ez a pont a maximum pont, mert az első derivált pozitív at és negatív at.

Most határozzuk meg, hogy a part sugara és magassága között milyen arányban fordul elő a legnagyobb térfogat. Ehhez el kell osztani az (1) egyenlőséget r 2és használja a (2) relációt erre S. Kapunk: . Így annak az edénynek lesz a legnagyobb térfogata, amelynek magassága megegyezik az átmérőjével.

Néha meglehetősen nehéz tanulmányozni az első derivált előjelét egy lehetséges szélsőponttól balra és jobbra, akkor használhatja második elégséges feltétel az extrémumhoz:

Tétel Legyen a függvény y = f(x) van a ponton x 0 lehetséges szélső véges második derivált. Aztán a függvény y = f(x) pontban van x 0 maximum ha , és minimum ha .

Megjegyzés Ez a tétel nem oldja meg a függvény szélsőértékének kérdését egy pontban, ha a függvény második deriváltja egy adott pontban nulla, vagy nem létezik.

Inflexiós pontok

A görbe azon pontjait, ahol a konvexitás elválik a homorúságtól, nevezzük inflexiós pontok.

Tétel (az inflexiós pont szükséges feltétele): Legyen egy függvény grafikonjának inflexiós pontja és a függvénynek folytonos második deriváltja az x 0 pontban, akkor

Tétel (elegendő feltétel az inflexiós ponthoz): Legyen a függvénynek egy második deriváltja az x 0 pont valamelyik szomszédságában, amelynek különböző előjelei vannak a jobb és bal oldalon. x 0. akkor a függvény grafikonjának inflexiója van a pontban.

Algoritmus az inflexiós pontok megtalálásához:

1. Keresse meg a függvény második deriváltját!

2. Tegye egyenlővé a második derivált nullával, és oldja meg az egyenletet: . Ábrázoljuk a kapott gyököket a számegyenesen! Intervallumok sorozatát kapjuk.

3. Keresse meg az egyes intervallumokban a második derivált előjelét! Ha a második derivált előjele két szomszédos intervallumban eltérő, akkor a gyök adott értékéhez van egy inflexiós pontunk, ha az előjelek megegyeznek, akkor nincsenek inflexiós pontok.

4. Keresse meg az inflexiós pontok ordinátáit!

Vizsgálja meg a görbét konvexitásra és homorúságra. Inflexiós pontok keresése.

1) keresse meg a második származékot:

2) Oldja meg az egyenlőtlenséget 2x!<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Oldja meg a 2x>0 x>0 egyenlőtlenséget x-re, a görbe homorú

4) Keressük meg az inflexiós pontokat, amelyekre a második deriváltot nullával egyenlővé tesszük: 2x=0 x=0. Mert az x=0 pontban a második derivált eltérő előjelű a bal és a jobb oldalon, ekkor x=0 az inflexiós pont abszcisszán. Keressük meg az inflexiós pont ordinátáját:

(0;0) inflexiós pont.

Megoldandó gyakorlatok

1. szám Keresse meg ezeknek a függvényeknek a deriváltjait, számítsa ki a deriváltak értékét az argumentum adott értékéhez:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

2. sz. Keresse meg az összetett függvények deriváltjait:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

3. Problémák megoldása:

1. Határozza meg az x=3 pontban a parabolához húzott érintő szögegyütthatóját!

2. Az y=3x 2 -x parabolára az x=1 pontban egy érintőt és egy normált húzunk. Állítsd össze az egyenleteiket.

3. Határozzuk meg annak a pontnak a koordinátáit, ahol az y=x 2 +3x-10 parabola érintője 135 0 -os szöget zár be az OX tengellyel!

4. Hozzon létre egyenletet az y=4xx2 függvény grafikonjának érintőjére az OX tengellyel való metszéspontban.

5. Milyen x értékei esetén az y=x 3 -x függvény grafikonjának érintője párhuzamos az y=x egyenessel.

6. A pont egyenes vonalúan mozog az S=2t 3 -3t 2 +4 törvény szerint. keresse meg a pont gyorsulását és sebességét a 3. másodperc végén. Melyik időpontban lesz nulla a gyorsulás?

7. Mikor egyenlő az S=t 2 -4t+5 törvény szerint mozgó pont sebessége nullával?

#4 Fedezze fel a függvényeket deriváltokkal:

1. Vizsgáljuk meg az y = x 2 függvény monotonitását!

2. Keresse meg a növekvő és csökkenő függvények intervallumát! .

3. Határozza meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumát!

4. Fedezze fel a maximum és minimum funkciót .

5. Vizsgálja meg az extrémum függvényét .

6. Vizsgáljuk meg az y=x3 függvényt szélsőségre!

7. Vizsgálja meg az extrémum függvényét .

8. Osszuk két tagra a 24-es számot úgy, hogy a szorzatuk legyen a legnagyobb.

9. Egy papírlapból egy 100 cm 2 területű téglalapot kell kivágni úgy, hogy ennek a téglalapnak a kerülete a legkisebb legyen. Melyek legyenek ennek a téglalapnak az oldalai?

10. Vizsgálja meg az y=2x 3 -9x 2 +12x-15 függvényt egy szélsőségre, és készítse el a gráfját.

11. Vizsgálja meg a görbét homorúságra és konvexitásra.

12. Határozza meg a görbe konvexitási és konkávsági intervallumait! .

13. Határozza meg a függvények inflexiós pontjait: a) ; b) .

14. Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját.

15. Vizsgáljuk meg a függvényt, és készítsük el a grafikonját!

16. Fedezze fel a funkciót és kirajzolódik.

17. Keresse meg az y=x 2 -4x+3 függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szakaszon

Tesztkérdések és példák

1. Definiálja a derivált.

2. Mit nevezünk argumentumnövekménynek? funkciónövekedés?

3. Mi a derivált geometriai jelentése?

4. Mit nevezünk differenciálásnak?

5. Sorolja fel a derivált főbb tulajdonságait!

6. Melyik függvényt nevezzük komplexnek? fordított?

7. Adja meg a másodrendű derivált fogalmát!

8. Fogalmazzon meg egy szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére?

9. A test egyenes vonalúan mozog az S=S(t) törvény szerint. Mit tud mondani a mozgásról, ha:

5. A függvény egy bizonyos intervallumon belül növekszik. Következik-e ebből, hogy a deriváltja pozitív ezen az intervallumon?

6. Mit nevezünk egy függvény szélsőértékének?

7. Egy függvény legnagyobb értéke egy adott intervallumon szükségszerűen egybeesik a függvény maximumponti értékével?

8. A függvény a következőn van definiálva. Lehet, hogy az x=a pont ennek a függvénynek a szélsőpontja?

10. A függvény deriváltja az x 0 pontban nulla. Következik ebből, hogy x 0 ennek a függvénynek a szélsőpontja?

Teszt

1. Keresse meg ezeknek a függvényeknek a származékait:

A)	e)
b)	és)
Val vel)	h)
d)	És)

2. Írja fel az y=x 2 -2x-15 parabola érintőinek egyenleteit: a) az x=0 abszcissza pontban; b) a parabola abszcissza tengellyel való metszéspontjában.

3. Határozza meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

4. Fedezze fel a függvényt, és ábrázolja grafikonját

5. Határozza meg a t=0 időpontban az s =2e 3 t törvény szerint mozgó pont sebességét és gyorsulását

Válaszok a gyakorlatokra

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (az eredményt a hányados derivált képlet alkalmazásával kaptuk). Ezt a példát másképp is megoldhatod:

5.

8. A szorzat akkor lesz a legnagyobb, ha minden tag egyenlő 12-vel.

9. A téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha a téglalap oldalai 10 cm-esek, azaz. ki kell vágnia egy négyzetet.

17. Egy szakaszon a függvény akkor veszi fel a legnagyobb értéket, amikor 3 x=0és a legkisebb érték egyenlő –1 at x=2.

Irodalom

KALININGRADI KERESKEDELMI ÉS GAZDASÁGI FŐISKOLA

a téma tanulmányozásáról

"függvény derivált"

080110 „Közgazdaság és számvitel”, 080106 „Pénzügy” szakos hallgatók számára,
080108 „Banki”, 230103 „Automatizált információfeldolgozó és -kezelő rendszerek”

Összeállította: E. A. Fedorova

KALININGRAD

Lektorok: Natalya Vladimirovna Gorskaya, tanár, Kalinyingrádi Kereskedelmi és Gazdasági Főiskola

Ez a kézikönyv a differenciálszámítás alapfogalmait vizsgálja: a derivált fogalmát, a derivált tulajdonságait, az analitikai geometriában és mechanikában való alkalmazását, az alapvető differenciálképleteket, az elméleti anyag illusztrálására példákat közöl. A kézikönyv az önálló munkavégzéshez szükséges gyakorlatokkal, az azokra adott válaszokkal, kérdésekkel és a középfokú tudáskontroll mintafeladataival egészül ki. A „Matematika” tudományágat középfokú szakosított oktatási intézményekben tanuló, nappali, részmunkaidős, esti, külső, vagy ingyenes részvétellel tanuló hallgatók számára készült.

KTEK
Közgazdasági és Számviteli PCC

15 példány, 2006

Bevezetés. 4

Az ismeretekkel és készségekkel szemben támasztott követelmények... 5

A származék fogalma. 5

A származék geometriai jelentése. 7

A származék mechanikai jelentése. 7

A megkülönböztetés alapszabályai. 8

Képletek az alapfunkciók megkülönböztetésére. 9

Az inverz függvény deriváltja. 9

Összetett függvények differenciálása. 10

Magasabb rendek származékai. tizenegy

Részleges származékok. tizenegy

Függvénytanulmányozás deriváltok segítségével. tizenegy

Növekvő és csökkentő funkció. tizenegy

Maximális és minimális funkciók. 13

A görbe domborúsága és homorúsága. 15

Inflexiós pontok. 16

Függvénytanulmányozás és gráfok felépítésének általános sémája. 17

Megoldandó gyakorlatok. 17

Tesztkérdések és példák.. 20

Teszt. 20

Válaszok a gyakorlatokra.. 21

Irodalom. 23

Bevezetés

A matematikai elemzés számos alapvető fogalmat tartalmaz, amelyekkel a közgazdász dolgozik: függvény, határérték, derivált, integrál, differenciálegyenlet. A közgazdasági kutatásokban gyakran használnak speciális terminológiát a származékos termékekre. Például ha f(x) egy termelési függvény, amely bármely termék kibocsátásának egy tényező költségétől való függőségét fejezi ki x, akkor hívnak határtermék; Ha g(x) van egy költségfüggvény, pl. funkció g(x) az összköltség termelési mennyiségtől való függését fejezi ki x, akkor g′(x) hívott határköltség.

Marginális elemzés a közgazdaságtanban– technikák halmaza a költségek vagy eredmények változó értékeinek tanulmányozására, amikor a termelés, a fogyasztás stb. mennyisége változik. határértékeik elemzése alapján.

Például, munkatermelékenység megtalálása. Legyen ismert a függvény u=u(t), amely az előállított termékek mennyiségét fejezi ki u munka közben t. Számítsuk ki az idő múlásával előállított termékek mennyiségét ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Átlagos munkatermelékenység az előállított termékek mennyiségének és az eltöltött idő arányának nevezzük, i.e. z átl. =

Munkás termelékenység t 0 pillanatban azt a határt hívják, amelyre hajlik z átl. nál nél ∆t→ 0: . A munkatermelékenység kiszámítása tehát a derivált kiszámításához vezet:

Gyártási költségek K a homogén termelés a termelés mennyiségének függvénye x, hogy írhassunk K=K(x). Tegyük fel, hogy a kibocsátás mennyisége növekszik ∆x. Az x+∆x termelési mennyiség megfelel a termelési költségeknek K(x+∆x). Ebből következően a termékek mennyiségének növekedése ∆x a termelési költségek növekedésének felel meg ∆K=K(x+∆x)- K(x).

A termelési költségek átlagos növekedése ∆K/∆x. Ez az egységnyi termelési mennyiség növekedésére vetített termelési költségek növekedése.

Határ hívott termelési határköltségek.