Termekh-tétel a tömegközéppont mozgásáról. A rendszerdinamika általános tételei
Fogalmazzon meg egy tételt a rendszer tömegközéppontjának mozgásáról!
Egy mechanikai rendszer tömegközéppontja az egész rendszer tömegével megegyező tömegű anyagi pontként mozog, amelyre a rendszerre ható összes erő hat.
Egy merev test milyen mozgása tekinthető egy adott test tömegével rendelkező anyagi pont mozgásának, és miért?
A merev test transzlációs mozgását teljes mértékben meghatározza az egyik pontjának mozgása. Következésképpen egy test tömegközéppontjának mozgásának problémáját megoldva egy testtömegű anyagi pont, meg lehet határozni a teljes test transzlációs mozgását.
Milyen feltételek mellett van a rendszer tömegközéppontja nyugalomban, és milyen feltételek mellett mozog egyenletesen, egyenes vonalban?
Ha a külső erők fővektora mindvégig nulla marad, és a tömegközéppont kezdeti sebessége nulla, akkor a tömegközéppont nyugalmi állapotban van.
Ha a külső erők fővektora mindvégig nulla marad és a kezdeti sebesség 
, akkor a tömegközéppont egyenletesen és egyenesen mozog.
Milyen feltételek mellett nem mozog a rendszer tömegközéppontja egy bizonyos tengely mentén?
Ha a külső erők fővektorának bármely tengelyre vetülete mindig nulla marad, és a sebesség vetülete erre a tengelyre egyenlő nullával, akkor a tömegközéppont koordinátája e tengely mentén állandó marad.
Milyen hatással van a rá ható erőpár egy szabad szilárd testre?
Ha egy pár erőt alkalmaz egy szabad merev testre, amely nyugalomban van, akkor ennek az erőpárnak a hatására a test forogni kezd a tömegközéppontja körül.
Tétel a lendület változásáról.
Hogyan határozható meg egy változó erejű impulzus egy véges időtartam alatt? Mi jellemzi az erőimpulzust?
Változó impulzus 
véges ideig 
egyenlő
.
Az erőimpulzus jellemzi a mechanikai mozgásnak a testre történő átadását a rá ható testekből egy adott időtartam alatt.
Melyek az állandó és változó erőimpulzusok vetületei a koordinátatengelyekre?
A változó erőimpulzus vetületei a koordinátatengelyekre egyenlők
,
,
.
Állandó erőimpulzus vetületei a koordináta tengelyekre adott időtartamra 
egyenlő
,
,
.
Mi az eredő impulzusa?
Több erő eredőjének impulzusa egy bizonyos időtartam alatt megegyezik a komponens erőinek ugyanazon időtartam alatti impulzusainak geometriai összegével
.
Hogyan változik egy körben egyenletesen mozgó pont lendülete?
Amikor egy pont egyenletesen mozog egy körben, a lendület iránya megváltozik 
, de a modulja megmarad 
.
Mekkora a mechanikai rendszer lendülete?
Egy mechanikai rendszer mozgásának mértéke egy vektor, amely egyenlő a rendszer összes pontja mozgásmennyiségének geometriai összegével (fővektor).
.
Mekkora impulzusa van annak a lendkeréknek, amely a súlypontján átmenő rögzített tengely körül forog?
A súlypontján átmenő rögzített tengely körül forgó lendkerék mozgása nulla, mert 
.
Fogalmazzon meg tételeket egy anyagi pont és egy mechanikai rendszer impulzusváltozásáról differenciális és véges alakban! Fejezzük ki ezeket a tételeket egy vektoregyenlettel és három egyenlettel a koordinátatengelyekre vonatkozó vetületekben.
Egy anyagi pont differenciális impulzusa egyenlő a pontra ható erők elemi impulzusával
.
Egy pont mozgásszámának változása egy bizonyos idő alatt megegyezik a pontra ugyanazon idő alatt kifejtett erők impulzusainak geometriai összegével
.
A vetületekben ezeknek a tételeknek a formája van
,
,
,
,
.
Egy mechanikai rendszer lendületének időbeli deriváltja geometriailag egyenlő a rendszerre ható külső erők fővektorával
.
Egy mechanikai rendszer lendületének bármely tengelyre vetítésének időbeli deriváltja megegyezik a külső erők fővektorának ugyanarra a tengelyre vetítésével.
,
,
.
A rendszer impulzusának változása egy bizonyos idő alatt megegyezik a rendszerre ugyanazon időszak alatt kifejtett külső erők impulzusainak geometriai összegével.
.
A rendszer impulzusának bármely tengelyre vetített vetületének változása megegyezik a rendszerre ható összes külső erő impulzusának ugyanarra a tengelyre vetített vetületének összegével.
,
,
.
Milyen feltételek mellett nem változik meg egy mechanikai rendszer lendülete? Milyen feltételek mellett nem változik a vetülete egy bizonyos tengelyre?
Ha a külső erők fővektora a vizsgált időtartamra egyenlő nullával, akkor a rendszer impulzusa állandó.
Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely tengelyre nulla, akkor az impulzus vetülete erre a tengelyre állandó.
Miért gurul vissza a fegyver elsütéskor?
A vízszintes lövés esetén a fegyver visszagurulása annak a ténynek köszönhető, hogy a lendület vízszintes tengelyre vetül 
vízszintes erők hiányában nem változik
,
.
Meg tudják-e változtatni a belső erők egy rendszer lendületét vagy egy részének lendületét?
Mivel a belső erők fővektora nulla, nem tudják megváltoztatni a rendszer mozgásának mértékét.
Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma
Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény
"Kubai Állami Műszaki Egyetem"
Elméleti mechanika
2. rész dinamikája
A Szerkesztői és Kiadói Bizottság jóváhagyta
egyetemi tanács as
oktatási segédlet
Krasznodar
UDC 531.1/3 (075)
Elméleti mechanika. 2. rész Dinamika: Tankönyv / Draiko L. I.; Kuban. állapot technol.un-t. Krasznodar, 2011. 123 p.
ISBN 5-230-06865-5
Az elméleti anyagot röviden bemutatjuk, problémamegoldási példákat adunk, amelyek többsége valós technikai kérdéseket tükröz, és figyelmet fordítunk a racionális megoldási mód kiválasztására.
Építőipari, közlekedési és gépészmérnöki levelező és távoktatási alapképzésben résztvevők számára készült.
asztal 1 Ill. 68 Bibliográfia 20 cím
Tudományos szerkesztő a műszaki tudományok kandidátusa, egyetemi docens. V.F.Melnikov
Lektorok: A Kubani Agráregyetem Elméleti Mechanika és Mechanizmus- és Gépelmélet Tanszék vezetője prof. F.M. Kanarev; A Kubani Állami Műszaki Egyetem M.E. Elméleti Mechanikai Tanszékének docense Multykh
A Kubai Állami Műszaki Egyetem Szerkesztői és Kiadói Tanácsának határozata alapján közzétéve.
Újra kiadás
ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998
Előszó
Ez a tankönyv az építőipari, közlekedési és gépészmérnöki szakok részidős hallgatóinak szól, de használható az elméleti mechanika kurzus „Dinamika” szakaszának tanulmányozásakor más szakok részidős hallgatói, valamint nappali tagozatos hallgatók számára. önállóan dolgozik.
A kézikönyv az elméleti mechanika kurzus aktuális tantervének megfelelően készült, és a tantárgy fő részének minden kérdését lefedi. Minden rész rövid elméleti anyagot tartalmaz, illusztrációkkal és módszertani ajánlásokkal a problémamegoldásban való felhasználásához. A kézikönyv 30 probléma megoldását tartalmazza, amelyek valós technikai problémákat tükröznek, és megfelelnek a független megoldást szolgáló tesztfeladatoknak. Minden feladathoz egy számítási diagramot mutatunk be, amely egyértelműen szemlélteti a megoldást. A megoldás formázása megfelel a részidős hallgatók vizsgamunkáinak formázására vonatkozó követelményeknek.
A szerző mély köszönetét fejezi ki a Kubai Agráregyetem Elméleti Mechanika és Mechanizmus- és Gépelmélet Tanszék tanárainak a tankönyv áttekintésében végzett nagyszerű munkájukért, valamint a Kubai Állami Technológiai Egyetem Elméleti Mechanika Tanszékének tanárainak. Egyetemet az értékes megjegyzésekért és tanácsokért a tankönyv kiadásra való előkészítéséhez.
A szerző a jövőben minden kritikai észrevételt és javaslatot köszönettel fogad.
Bevezetés
A dinamika az elméleti mechanika legfontosabb része. A mérnöki gyakorlatban felmerülő specifikus problémák többsége a dinamikához kapcsolódik. A statika és a kinematika következtetéseit felhasználva a dinamika megállapítja az anyagi testek mozgásának általános törvényeit az alkalmazott erők hatására.
A legegyszerűbb anyagi tárgy egy anyagi pont. Anyagi pontnak tetszőleges alakú anyagtestet vehetünk, amelynek méreteit a vizsgált feladatban elhanyagolhatjuk. Egy véges méretű testet akkor vehetünk anyagi pontnak, ha pontjainak mozgásában mutatkozó különbség nem jelentős egy adott feladatnál. Ez akkor fordul elő, ha a test méretei kicsik a test pontjai által megtett távolságokhoz képest. A szilárd test minden részecskéje anyagi pontnak tekinthető.
Egy pontra vagy anyagi testre ható erőket dinamikusan értékeljük dinamikus hatásuk alapján, vagyis az alapján, hogy hogyan változtatják meg az anyagi tárgyak mozgásának jellemzőit.
Az anyagi tárgyak időbeli mozgása a térben egy bizonyos vonatkoztatási rendszerhez képest történik. A klasszikus mechanikában Newton axiómái alapján a teret háromdimenziósnak tekintik, tulajdonságai nem függenek a benne mozgó anyagi tárgyaktól. Egy pont helyzetét egy ilyen térben három koordináta határozza meg. Az idő nem kapcsolódik a térhez és az anyagi tárgyak mozgásához. Minden referenciarendszernél azonosnak tekintendő.
A dinamika törvényei az anyagi tárgyak mozgását írják le az abszolút koordinátatengelyekhez képest, amelyeket hagyományosan állónak tekintenek. Az abszolút koordináta-rendszer origója a Nap középpontjában van, és a tengelyek a távoli, feltételesen álló csillagokra irányulnak. Számos műszaki probléma megoldása során a Földhöz kapcsolódó koordinátatengelyek feltételesen mozdíthatatlannak tekinthetők.
Az anyagi tárgyak mechanikai mozgásának paramétereit a dinamikában a klasszikus mechanika alaptörvényeiből származó matematikai levezetések határozzák meg.
Első törvény (tehetetlenségi törvény):
Egy anyagi pont nyugalmi állapotot vagy egyenletes és lineáris mozgást tart fenn mindaddig, amíg bizonyos erők hatása ki nem mozdítja ebből az állapotból.
Egy pont egyenletes és lineáris mozgását tehetetlenségi mozgásnak nevezzük. A nyugalom a tehetetlenségi mozgás speciális esete, amikor egy pont sebessége nulla.
Minden anyagi pontnak van tehetetlensége, vagyis nyugalmi állapot vagy egyenletes lineáris mozgás fenntartására törekszik. Azt a vonatkoztatási rendszert, amelyre vonatkozóan a tehetetlenségi törvény fennáll, tehetetlenséginek, az ehhez a rendszerhez képest megfigyelt mozgást pedig abszolútnak nevezzük. Minden olyan referenciarendszer, amely egy tehetetlenségi rendszerhez képest egyenes vonalú és egyenletes mozgást hajt végre, szintén tehetetlenségi rendszer lesz.
Második törvény (a dinamika alaptörvénye):
Egy anyagi pont gyorsulása a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez képest arányos a pontra kifejtett erővel, és egybeesik az irányú erővel: 
.
A dinamika alaptörvényéből az következik, hogy erővel 
gyorsulás 
. A pont tömege egy pont sebességének változásaival szembeni ellenállás mértékét jellemzi, vagyis egy anyagi pont tehetetlenségének mértéke.
Harmadik törvény (a cselekvés és reakció törvénye):
Azok az erők, amelyekkel két test hat egymásra, egyenlő nagyságúak, és egy egyenes mentén ellentétes irányúak.
A cselekvésnek és reakciónak nevezett erők különböző testekre vonatkoznak, ezért nem alkotnak kiegyensúlyozott rendszert.
Negyedik törvény (az erők függetlenségének törvénye):
Több erő egyidejű hatására egy anyagi pont gyorsulása egyenlő azoknak a gyorsulásoknak a geometriai összegével, amelyekkel a pont az egyes erők hatására külön-külön rendelkezne:
, Ahol 
,
,…,
.
Az egészségbiztosítás igénybevétele a problémák megoldásában bizonyos nehézségekkel jár. Ezért általában további kapcsolatok jönnek létre a mozgás és az erők jellemzői között, amelyek a gyakorlati alkalmazás szempontjából kényelmesebbek. Az ilyen kapcsolatok általános dinamikai tételek. Ezek az OMS következményeiként kapcsolatot teremtenek egyes speciálisan bevezetett mozgásmértékek változási sebessége és a külső erők jellemzői között.
Tétel az impulzus változásáról. Vezessük be egy anyagi pont lendületvektorának (R. Descartes) fogalmát (3.4. ábra):
I i = t V G (3.9)
Rizs. 3.4.
A rendszerhez bevezetjük a fogalmat a rendszer lendületének fővektora geometriai összegként:
Q = Y, m " V r
Az OZMS-nek megfelelően: Xu, -^=i) vagy X
ÚJRA) .
Figyelembe véve, hogy /w, = const kapjuk: -Ym,!" = ÚJRA) ,
vagy végleges formában
dO/di = A (E (3.11)
azok. a rendszer fő impulzusvektorának időbeli első deriváltja egyenlő a külső erők fővektorával.
Tétel a tömegközéppont mozgásáról. A rendszer tömegközéppontja geometriai pontnak nevezzük, amelynek helyzete attól függ T, stb. a tömegek /g/ eloszlásából a rendszerben, és a tömegközéppont sugárvektorának kifejezése határozza meg (3.5. ábra):
Ahol g s - tömegközéppont sugárvektora.
Rizs. 3.5.
Hívjuk = t a rendszer tömegével. A kifejezés szorzása után
alkalmazva (3.12) a nevezőre és megkülönböztetve az eredmény mindkét oldalát
értékes egyenlőségünk lesz: g s t s = ^t.U. = 0 vagy 0 = t s U s.
Így a rendszer fő impulzusvektora egyenlő a rendszer tömegének és a tömegközéppont sebességének szorzatával. Az impulzus változására vonatkozó tétel (3.11) felhasználásával megkapjuk:
t s dU s / dі = A (E) , vagy
A (3.13) képlet kifejezi a tömegközéppont mozgására vonatkozó tételt: a rendszer tömegközéppontja olyan anyagi pontként mozog, amely rendelkezik a rendszer tömegével, amelyre a külső erők fővektora hat.
Tétel a szögimpulzus változásáról. Vezessük be egy anyagi pont szögimpulzusának fogalmát, mint a sugárvektorának és impulzusának vektorszorzatát:
hogy ó = bl x hogy, (3.14)
Ahol az OI-nak - egy anyagi pont impulzusnyomatéka egy fix ponthoz viszonyítva RÓL RŐL(3.6. ábra).
Most egy mechanikai rendszer impulzusimpulzusát geometriai összegként határozzuk meg:
К() = X ko, = ШУ, ? O-15>
Differenciálva (3.15) a következőket kapjuk:
Ґ sec--- X t i U. + g u x t i
Tekintve, hogy = U G U i x t i u i= 0, és a (3.2) képletet kapjuk:
сіК а /с1ї - ї 0 .
A (3.6) második kifejezése alapján végül lesz egy tételünk a rendszer impulzusimpulzusának változásáról:
Egy mechanikai rendszer impulzusnyomatékának első időbeli deriváltja egy rögzített O középponthoz viszonyítva egyenlő a rendszerre ható külső erők főnyomatékával ugyanazon középponthoz képest.
A (3.16) reláció levezetésénél azt feltételeztük RÓL RŐL- fix pont. Kimutatható azonban, hogy számos más esetben a (3.16) összefüggés formája nem fog változni, különösen, ha síkmozgás esetén a nyomatékpontot a tömegközéppontban, a sebességek vagy a gyorsulások pillanatnyi középpontjában választjuk. Ezen kívül, ha a lényeg RÓL RŐL egybeesik egy mozgó anyagi ponttal, az erre a pontra írt (3.16) egyenlőség 0 = 0 azonossággá változik.
Tétel a mozgási energia változásáról. Amikor egy mechanikus rendszer mozog, a rendszer „külső” és belső energiája is megváltozik. Ha a belső erők jellemzői, a fővektor és a főnyomaték nem befolyásolják a fővektor és a gyorsulások számának főmomentuma változását, akkor a belső erők bevonhatók a rendszer energiaállapotának folyamatainak értékelésébe. Ezért egy rendszer energiaváltozásának mérlegelésekor figyelembe kell venni az egyes pontok mozgását, amelyekre belső erők is hatnak.
Egy anyagi pont kinetikus energiáját mennyiségként határozzuk meg
T^tuTsg. (3.17)
Egy mechanikai rendszer kinetikus energiája egyenlő a rendszer anyagi pontjainak kinetikus energiáinak összegével:
vegye észre, az T > 0.
Határozzuk meg az erő hatványát az erővektor és a sebességvektor skaláris szorzataként:
Szentpétervári Állami Egyetem polgári repülés
6. osztály – „Mechanika”
szakasz III
"DINAMIKA"
Szentpétervár
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Jól
elméleti mechanika. Statika, kinematika,
dinamika. Tankönyv. M.: KNORS. 2011. - 608 p.
2. Mescserszkij I.V. Elméleti problémák
mechanika. Tankönyv Haszon. Szentpétervár: Lan. 2011. - 448 p.
3. Targ M.S. Elméleti mechanika tanfolyam. M.:
Elvégezni az iskolát. 2012. - 548 p.
4. Csernov K.I. A műszaki mechanika alapjai. M.:
Gépészet. 1986. - 256 p.
5. Aret V.A. "Távoktatás
technológia". (elektronikus kézikönyv www.openmechanics.com), 2016 Előadás 1. Bevezetés
a dinamikába. Törvények és axiómák
egy anyagi pont dinamikája. Alapegyenlet
hangszórók. Differenciál- és természetes egyenletek
mozgások. A dinamika két fő problémája. Példák
a dinamika közvetlen problémájának megoldása.
2. előadás A dinamika inverz problémájának megoldása. Gyakoriak
utasítások a dinamika inverz problémájának megoldásához. Példák
a dinamika inverz problémájának megoldása. Testmozgás
a vízszinteshez képest szögben dobva, az ellenállás figyelembevétele nélkül
levegő.
3. előadás Anyagi pont egyenes irányú rezgései.
Feltétel
megjelenése
habozás.
Osztályozás
habozás. Szabad rezgések az erők figyelembevétele nélkül
ellenállás.
Bomló
ingadozások.
Csökkenés
habozás.
4. előadás Anyagi pont kényszerrezgései.
Rezonancia.
Befolyás
ellenállás
mozgalom
nál nél
erőltetett rezgések 5. előadás. Anyagi pont relatív mozgása.
Tehetetlenségi erők. Különleges mozgási esetek különféle
hordozható mozgások típusai. A Föld forgásának hatása a
a testek egyensúlya és mozgása.
6. előadás Mechanikai rendszer dinamikája. Mechanikai
rendszer. Külső és belső erők. A rendszer tömegközéppontja.
Tétel a tömegközéppont mozgásáról. Természetvédelmi törvények.
Példa egy probléma megoldására a kb. tétel használatával
a tömegközéppont mozgása.
7. előadás Erőimpulzus. A mozgás mennyisége. Tétel kb
lendület változása. Természetvédelmi törvények.
Euler-tétel. Példa egy probléma megoldására a használatával
tételek a lendület változásairól. Pillanat
mozgás mennyisége. Nyomatékváltozási tétel
mozgás mennyisége...
8. előadás Természetvédelmi törvények. A pillanatelmélet elemei
tehetetlenség.
Kinetikus
pillanat
szilárd
testek.
Merev test forgásának differenciálegyenlete.
Példa egy probléma megoldására a kb. tétel használatával
változás
pillanat
mennyiségeket
mozgalom
rendszerek.
A giroszkóp elemi elmélete.
BEVEZETÉS A DINAMIKÁBA
1. előadásBEVEZETÉS A DINAMIKÁBA
A dinamika az elméleti mechanika egy része,
a mechanikai mozgás tanulmányozása annak legáltalánosabb pontjáról
látomás. Az előterjesztést az árammal összefüggésben mérlegelik
a tárgyra erőszakkal.
A szakasz három részből áll:
Dinamika
Dinamika
Dinamika
anyagi pont
mechanikus rendszer
Analitikai mechanika
Pont dinamikája – egy anyagi pont mozgását tanulmányozza
figyelembe véve az ezt a mozgást okozó erőket.
A fő tárgy egy anyagi pont – anyag
tömegű test, amelynek méretei lehetnek
elhanyagolás. Mechanikai rendszer dinamikája – mozgást tanulmányoz
anyagi pontok és szilárd testek gyűjteményei,
az interakció általános törvényei egyesítik, figyelembe véve
ezt a mozgást okozó erők.
Analitikus mechanika – a szabad mozgását tanulmányozza
közös használatú mechanikus rendszerek
analitikai módszerek.
Kulcsfontosságú feltételezések:
– abszolút tér van (tiszta
anyagtól független geometriai tulajdonságok és
mozgása);
– abszolút idő létezik (nem függ az anyagtól és
mozdulatait). Ebből következik:
– abszolút mozdulatlan vonatkoztatási rendszer van;
– az idő nem függ a referenciakeret mozgásától;
– a mozgó pontok tömege nem függ a mozgástól
referenciarendszerek.
Ezeket a feltételezéseket használják a klasszikus mechanikában,
Galilei és Newton készítette. Még mindig megvan
elég széles az alkalmazási köre, mert
az alkalmazott tudományokban figyelembe vett mechanikai
rendszerek nem olyan nagy tömegűek és
mozgási sebességek, amelyeknél ezeket figyelembe kell venni
befolyása a tér geometriájára, az időre, a mozgásra, hogyan
ez a relativisztikus mechanikában történik (az elmélet
relativitás). Az erő változó mennyiség, és a következőktől függ:
a) idő - F f (t),
b) az erőkifejtési pont helyzete - F f (r),
c) mozgási sebesség
erőhatáspontok - F f (V).
Egy anyagi pont lehet ingyenes, ha van
A mozgásra nincs korlátozás. Másképp,
az anyagi pontot nem szabadnak nevezzük
A tehetetlenség az anyagi test olyan tulajdonsága, amely gyorsabb ill
lassabban változtassa a sebességét
a rá kifejtett erők hatása alatt
Az inerciális referenciarendszerek azok a rendszerek
ahol a tehetetlenségi törvény teljesül; egyébként a rendszerek
a referenciapontok nem tehetetlenek
13. AZ ERŐK ALAPVETŐ TÍPUSAI
Gravitáció.Fmg
g 9,81 m/s2
a gravitáció gyorsulása
F f N normál reakció.
súrlódási együttható
f 6,673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Csúszó súrlódási erő
A gravitációs erő.
gravitációs állandó
Rugalmas erő
Fc
a rugó megnyúlása (összenyomása) (m)
rugóállandó (N/m).
Viszkózus súrlódási erő. Fv
test sebessége
közepes sűrűségű
lassított felvétel
ellenállás-tényező
1
F cx Sv 2
2
Hidrodinamikai erő
négyzet
oldalirányú légellenállási együttható
ellenállás.
szakaszok
gyors mozgás 14. A párosítási pont dinamikájának törvényei és axiómái
A klasszikus mechanika olyan törvényeken alapul, amelyek először
I. Newton „Mathematical Principles
természetfilozófia" (1687).
A dinamika alaptörvényei – először Galilei és
Newton által megfogalmazott minden módszer alapját képezik
mechanikai rendszerek és azok mozgásának leírása, elemzése
dinamikus kölcsönhatás különféle erők hatására.
Tehetetlenségi törvény (Galileo-Newton törvény) – elszigetelt
anyagi pont test fenntartja nyugalmi állapotát
vagy egyenletes egyenes vonalú mozgást addig
az alkalmazott erők nem kényszerítik ezen állapot megváltoztatására.
Ez magában foglalja a nyugalmi állapot és a mozgás egyenértékűségét
tehetetlenséggel (Galilei relativitástörvénye). Referencia rendszer
amellyel kapcsolatban teljesül a tehetetlenségi törvény,
inerciálisnak nevezzük. Anyagi pont tulajdonsága
törekedjünk az azonos mozgási sebesség fenntartására
(kinematikai állapotát) tehetetlenségnek nevezzük. Az erő és a gyorsulás arányosságának törvénye
(A dinamika alapegyenlete – II. Newton-törvény) –
Egy anyagi pontra erővel adott gyorsulás a
egyenesen arányos az erővel és fordítottan
arányos ennek a pontnak a tömegével: a 1 F vagy ma
m
F.
Itt m a pont tömege (a tehetetlenség mértéke), kg-ban mérve,
számszerűen egyenlő a tömeggel osztva a szabad gyorsulásával
esik:
G
m
g
.
F – effektív erő, N-ben mérve (1 N megmondja a pontot
tömeg 1 kg gyorsulás 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). A cselekvés és a reakció egyenlőségének törvénye (III. törvény
Newton) – Minden cselekvéshez egyenlő
nagysága és ellenkező iránya
ellenzék:
m
F2.1m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
A törvény bármely kinematikai állapotra érvényes
tel. Kölcsönhatásos erők, amelyeket különbözőre alkalmaznak
pontok (testek) nincsenek kiegyensúlyozva.
Az erők független hatásának törvénye – Gyorsulás
anyagi pont több erő hatására
egyenlő egy pont gyorsulásainak geometriai összegével
az egyes erők cselekvései külön-külön:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
vagy
a (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. A dinamika alapegyenlete
A dinamika alaptörvénye: az anyagtömeg szorzata
rámutat a gyorsulására, amit befolyás alatt kap
erő, amely egyenlő ennek az erőnek a modulusával, és a gyorsulás iránya
egybeesik az erővektor irányával
anya F
vagy
ma Fk
n
A dinamika alapegyenlete: ma Fi (1).
- a pont mozgásának megadására szolgáló vektoros módszernek felel meg. 15.1. A mozgás differenciálegyenletei
anyagi pont
Helyettesítsük a pont gyorsulását a vektoros feladatra
mozgalom
d 2r
a
dt
2
.
2
d
a dinamika alapegyenletébe: m r
Fi
2
dt
(2) - differenciálmű
pont mozgásegyenlete in
vektoros formában.
(2).
M
F1
F2
r
O
a Koordináta formában: A sugár-vektor kapcsolatot használjuk -val
koordináták és erővektor vetületekkel:
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
Csoportosítás után
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
vektorarány
dt
szétesik
d 2x
m x Fix ;
Ó
:
m
F
;
ix
2
három skalárba
dt
m y Fiy ;
vagy
2
egyenletek:
d y
z
Oy
:
m
Fiy ;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
én
x
k
igen
fejsze
d 2z
(Oz): m 2 Fiz . - differenciálmű
dt
mozgásegyenletek
z
j
x
y
y
pontok koordinátájában
forma.
Ezt az eredményt lehet elérni
vektor formális vetülete
differenciálegyenlet (1). Anyagi pont természetes mozgásegyenletei
– a vektor kivetítésével kapjuk
a mozgás és a természetes differenciálegyenlete
(mozgó) koordinátatengelyek:
m s Fiτ;
() : maτ τ Fiτ ;
(n) : férfi Fin ; vagy
s 2
m
Uszony.
(b): m 0 Fib.
s
O1 n
F2
- természetes
egyenletek
mozgalom
pontokat.
b
M
a
F1
- természetes
mozgásegyenletek
pontokat. 16. A dinamika két fő problémája
Közvetlen probléma: A mozgás adott (mozgásegyenletek,
röppálya). Meg kell határozni a befolyás alatt álló erőket
amely egy adott mozgás bekövetkezik.
Inverz probléma: Adott az erők hatása alatt
mozgás történik. Meg kell találni a paramétereket
y
mozgalom
(mozgásegyenletek, mozgási pálya).
Mindkét problémát a dinamika és az alapegyenlet segítségével oldjuk meg
vetülete a koordináta tengelyekre. Ha a mozgást figyelembe vesszük
nem szabad pont, akkor a statikához hasonlóan az elvet alkalmazzuk
szabadság a kötelékektől. A reakció eredményeként a kötések bekapcsolódnak
az anyagi pontra ható erőkbe. Megoldás először
kapcsolódó feladatokat
differenciálási műveletekkel. Az inverz megoldása
r
A problemO megköveteli a megfelelő differenciál integrálását
egyenletek és ez sokkal nehezebb, mint a differenciálás.
Az inverz probléma nehezebb, mint a közvetlen probléma A dinamika közvetlen problémájának megoldása - fontolja meg itt
példák:
Példa 1. Egy G súlyú felvonófülkét egy kötéllel emeljük meg
gyorsulás a. Határozza meg a kábel feszességét.
Megoldás: 1. Válasszon ki egy tárgyat (a liftfülke előremegy és
anyagi pontnak tekinthető).
2. A csatlakozást (kábelt) eldobjuk és az R reakcióval helyettesítjük.
3. Összeállítjuk a dinamika alapegyenletét: ma Fi G R
y
4. Vetítse ki a dinamika alapegyenletét az y tengelyre:
R
(Oy) : május R G .
A kabin egyenletes mozgása esetén ay = 0 és a kábel feszessége
egyenlő a tömeggel: T = G.
a
Ha a kábel elszakad, T = 0 és a kabin gyorsulása egyenlő a gyorsulással
szabadesés: ay = -g.
G
igen
G
O
R G ma y G a y G(1).
Meghatározzuk a kábel reakcióját:
g
g
Határozza meg a kábel feszességét:
TR; T R G(1
igen
g
).A dinamika inverz problémájának megoldása – Általánosságban
egy pontra ható erőpont mozgásai olyanok
időtől, koordinátáktól és sebességtől függően változók.
Egy pont mozgását egy hármas rendszer írja le
m x Fix ;
másodrendű differenciálegyenletek: m y F ;
iy
Az integráció után
mindegyik x f1 (t, C1, C 2, C3); x f4 (t, C1, C2,..., C6); m z Fiz .
hat konstans y f 2 (t, C1, C 2, C3); yf (t, C, C,..., C); x x ; y y ; z Z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…, C6:
z f 3 (t, C1, C2, C3).
z f 6 (t, C1, C2,..., C6). x x ; y y ; z Z .
0
0
0
A C1, C2,…., C6 konstansok értékei
hat kezdeti
xf1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x 0, y 0, z 0);
feltételek t = 0-nál:
A talált y f 2 (t, x 0, y 0, z 0) behelyettesítése után; yf 5 (t, x 0, y 0, z 0, x 0, y 0, z 0);
az állandók értékeit kapjuk: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Így
módon, ugyanazon erőrendszer hatása alatt
x
egy anyagi pont egy egész mozgásosztályt képes végrehajtani,
kezdeti feltételek határozzák meg.
A kezdeti koordináták figyelembe veszik a pont kezdeti helyzetét. A kezdeti
a vetületek által meghatározott sebesség figyelembe veszi a mozgásának befolyását
előtti pontra ható erők pályájának figyelembe vett szakasza
érkezés erre az oldalra, i.e. kezdeti kinematikai állapot. 17. Általános utasítások a direkt és inverz megoldáshoz
feladatokat. Megoldási eljárás
1. Mozgásdifferenciálegyenlet felállítása:
1.1. Válasszon ki egy koordinátarendszert – téglalap alakú
(álló) ismeretlen mozgási pályával,
természetes (mozgó) ismert pályával,
például egy kör vagy egy egyenes. Az utóbbi esetben
egy lineáris koordináta használható. Rajt
igazítsa a referenciapontot a pont kezdeti helyzetéhez (t = 0-nál)
vagy a pont egyensúlyi helyzetével, ha létezik,
például amikor egy pont oszcillál. 1.2. Rajzolj egy pontot a megfelelő pozícióba
tetszőleges időpillanatban (t > 0-nál) úgy, hogy
a koordináták pozitívak voltak (s > 0, x > 0). Ahol
Azt is hisszük, hogy a sebesség vetülete ebben a helyzetben
szintén pozitív. Lengések esetén a sebesség vetülete
előjelet vált, például amikor visszatér a pozícióba
egyensúly. Itt el kell fogadni, hogy a figyelembe vett
az időpillanatban a pont eltávolodik az egyensúlyi helyzettől.
Ennek az ajánlásnak a betartása fontos a jövőben
sebességfüggő ellenállási erőkkel dolgozik.
1.3. Szabadítsa meg az anyagpontot a csatlakozásoktól, cserélje ki
cselekvésük reakciók, aktív erőket adnak hozzá.
1.4. Írd le a dinamika alaptörvényét vektoros formában!
a kiválasztott tengelyekre vetít, kifejezi a megadott
vagy reaktív erők változókon keresztül idő, koordináták
vagy a sebesség, ha tőlük függnek. 2. Differenciálegyenletek megoldása:
2.1. Csökkentse a derivált, ha az egyenlet nem
kanonikus (standard) formára redukálva.
Például:
dv x vagy s dv .
x
,
dt
dt
2.2. Külön változók, például:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt ill
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Ha három változó van az egyenletben,
majd módosítsa a változókat, például:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
majd válassza szét a változókat. 2.4. Számítsunk határozatlan integrálokat a bal és
az egyenlet jobb oldalán, például:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Kezdeti feltételekkel, például t = 0, vx = vx0,
határozza meg az integrációs állandót:
1
ln v x v k t 0 C1 ; C1 ln v x 0.
x0
m
Megjegyzés. A határozatlan integrálok kiszámítása helyett megteheti
a változó felsővel rendelkező határozott integrálokat kiértékelni
határ.
Az alsó határok a változók kezdeti értékeit jelentik
(kezdeti feltételek) Ekkor külön lelet nem szükséges
egy állandó, amely automatikusan szerepel a megoldásban, például:
v
t
dv
1
v
m kdt.
v 0
0
ln v
v
v 0
1 t
kt 0 ;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m 2.5. Fejezd ki a sebességet a koordináta deriváltján keresztül
idő pl.
és ismételje meg
1
kt ln v 0
ds
2.2-2.4
m
v
dt
e
Megjegyzés. Ha az egyenletet a kanonikusra redukáljuk
típus, aminek van standard megoldása, akkor ez egy kész
az oldatot használják.
Az állandó integrációk továbbra is megtalálhatók től
kezdeti feltételek. 18. Szabad anyagpont dinamikája
A vízszinteshez képest szögben bedobott pont mozgása
egységes gravitációs mező figyelembevétele nélkül
légellenállás
dv x
0;
Ó
:
m
x
0
;
dt
ma
F G.
én
(Оy): m y G mg ;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos ;
y
v0
O
x
G
x
g;
dx
v0cos ;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 sin t
;
219. Anyagi pont rezgésének fajtái
1. Szabad rezgések (az ellenállás figyelembevétele nélkül
környezet).
2. Szabad rezgések a közeg ellenállását figyelembe véve
x
(csillapított oszcillációk).
3. Kényszerrezgések.
4. Kényszer rezgések az ellenállás figyelembe vételével
környezet.
Szabad rezgések - hatása alatt keletkeznek
csak helyreállító erő.
Írjuk fel a dinamika alaptörvényét: ma G N R .
Válasszunk olyan koordinátarendszert, amelyben a középpont a pozícióban van
egyensúly (O pont) és projekt
egyenlet az x tengelyre:
O
m x R cx.
l
y
N
R
x
x
G
Mutassuk be a kapott egyenletet
c
standard (kanonikus) alakra: x k 2 x 0, ahol k 2.
m Ez az egyenlet homogén lineáris
másodrendű differenciálegyenlet, forma
amelynek megoldását a gyökerek határozzák meg
felhasználásával kapott karakterisztikus egyenlet
univerzális helyettesítés: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
A karakterisztikus egyenlet gyökerei
képzeletbeli és egyenlő: z1, 2 ki.
A differenciálmű általános megoldása
az egyenlet alakja: x C1 cos kt C2 sin kt.
Pontsebesség: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Kiindulási feltételek: t 0 x x0 , x x 0 .
Határozzuk meg
állandók: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k Anyagi pont csillapított rezgései –
anyagi pont lengőmozgása következik be
helyreállító erő és erő jelenlétében
mozgással szembeni ellenállás.
A mozgással szembeni ellenállás erejének az elmozdulástól való függése
vagy a sebességet a közeg fizikai természete határozza meg vagy
mozgást akadályozó csatlakozás. A legegyszerűbb
a függés lineáris a sebességgel
(viszkózus ellenállás).
A rezgések csillapítása nagyon gyorsan megtörténik. Alapok
viszkózus ellenállási erő hatása – csökkenés
az oszcillációk amplitúdója az idő függvényében. 20. Anyagi pont relatív mozgása
Tételezzük fel, hogy az Oxyz mozgó (nem inerciális) koordinátarendszer együtt mozog
valamely rögzített (inerciális) koordináta-rendszerhez viszonyított törvényhez
O1x1y1z1. Anyagi M (x, y, z) pont mozgása egy mozgóhoz képest
Oxyz rendszer – relatív, az álló rendszerhez képest O1x1y1z1–
abszolút. Az Oxyz mobil rendszer mozgása az állóhoz képest
rendszerek O1x1y1z1 – hordozható szerkezet.
Abszolút
A dinamika alapegyenlete: ma Fi. pont gyorsulás:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Vigyük át a feltételeket hordozható és
r
e
c
Coriolis gyorsulás jobb oldalra: ma Fi ma ma .
Az átvitt kifejezések az erők dimenziójával és
releváns erőknek tekintendők
e ma e, c ma c.
tehetetlensége egyenlő:
r
A mozgó rendszer tengelyére vonatkozó vetületekben
ma Fi e c .
koordinátáink vannak:
F
F
(Оz) : m z F
Ekkor a pont relatív mozgása
(Ox): m x
abszolútnak tekinthető
ha a ható erőket hozzáadjuk
(Оy) : m y
hordozható és Coriolis tehetetlenségi erők:
ix
ex cx ;
iy
ey cy ;
iz
ez cz .
Köszönöm a figyelmet!
2. előadás
21. Mechanikai rendszer dinamikájaAnyagpontok rendszere vagy mechanikai rendszer –
Anyagi pontok vagy anyagi testek halmaza,
az interakció általános törvényei egyesítik (pozíció
illetve az egyes pontok vagy testek mozgása a helyzettől függ
és mindenki más mozgása).
Szabad pontok rendszere - amelynek mozgása nem
bármilyen kapcsolat korlátozza (például planetáris
rendszer, amelyben a bolygókat tekintik
anyagi pontok).
Nem ingyenes pontrendszer vagy nem ingyenes
mechanikai rendszer - anyagi pontok mozgása ill
a testeket a rendszerre kényszerített kapcsolatok korlátozzák
(például mechanizmus, gép stb.).
2. előadás
22. A rendszerre ható erőkAz erők korábban létező osztályozása mellett
(aktív és reaktív erők) újat vezetnek be
erő besorolása:
1. Külső erők (e) – pontokra és testekre ható
rendszerben nem szereplő pontokból vagy szervekből
ennek a rendszernek.
2. Belső erők (i) – közötti kölcsönhatás erői
adottban szereplő anyagi pontok vagy testek
rendszer.
Ugyanaz az erő lehet külső és
belső erő. Minden attól függ, hogy milyen mechanikus
a rendszer felülvizsgálata folyamatban van.
Például: A Nap, a Föld és a Hold rendszerben az összes erő
a köztük lévő gravitációs vonzás belső. Nál nél
figyelembe véve a Föld és a Hold gravitációs rendszerét,
a Nap oldaláról alkalmazottak külső. Mindegyik cselekvés és reakció törvénye alapján
Fk belső erő egy másik belső erőnek felel meg
Fk" erő egyenlő nagyságú és ellentétes nagyságú
irány.
Ebből a belső erők két figyelemre méltó tulajdonsága következik:
1. A rendszer összes belső erőjének fővektora egyenlő
én
én
nulla: R Fk 0.
2. A rendszer összes belső erőjének fő pontja
én
én
M
M
kO 0.
bármely középponthoz viszonyítva nulla: O
A
BAN BEN
Z
Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
én
én
én
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
VAL VEL
Megjegyzés: Bár ezek az egyenletek hasonlóak az egyensúlyi egyenletekhez, mégis azok
nem ilyenek, mivel belső erőket alkalmaznak
a rendszer különböző pontjaira vagy testeire, és ezek mozgását idézheti elő
pontok (testek) egymáshoz képest. Ezekből az egyenletekből az következik,
hogy a belső erők nem befolyásolják a vizsgált rendszer mozgását
egy egészként. 23. Anyagi pontrendszer tömegközéppontja
A rendszer egészének mozgásának leírására bemutatjuk
tömegközéppontnak nevezett geometriai pont, amelynek sugárvektorát a kifejezés határozza meg
mk rk
r
,
C
ahol M a teljes rendszer tömege:
Mmk.
M
Vagy koordinátatengelyekre vetítésben:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
x
yC
mk
C r
k
zC
r2
M
rn
xC
mn
y
mk z k
zC
.
M
A tömegközéppont képletei
hasonlóan a középpont képletéhez
gravitáció. A központ fogalma azonban
a tömeg általánosabb, mert nem az
a gravitációs erőkkel kapcsolatos ill
gravitációs erők. 24. Tétel a rendszer tömegközéppontjának mozgásáról
mk a k F k F k vagy mk
e
én
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
Előrejelzésekben tovább
koordináta tengelyek:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. Foglaljuk össze
ezeket az egyenleteket
minden ponton:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Újra
M
d 2 rC
dt 2
Újra
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke ; Tétel: Termék
M y C R ey
M z C R ez
rendszer tömege által
Fike ; középpontjának gyorsulása
tömeg egyenlő a fővel
e
Fzk. külső erők vektora.
e Következmények a rendszer tömegközéppontjának mozgásáról szóló tételből
(védelmi törvények)
nulla, Re = 0, akkor a tömegközéppont sebessége állandó, vC = const (közép
tömeg egyenletesen mozog egyenes vonalban – a mozgás megmaradásának törvénye
a tömeg közepe).
2. Ha az időintervallumban a fővektor vetülete a külső
rendszererők az x tengelyen nulla, Rxe = 0, akkor a tömegközéppont sebessége az x tengely mentén
egyenlő nullával, Re = 0, és a kezdeti pillanatban a tömegközéppont sebessége egyenlő
nulla, vC = 0, akkor a tömegközéppont sugárvektora állandó marad, rC =
const (a tömegközéppont nyugalomban van - a helyzetmegmaradás törvénye
a tömeg közepe).
az x tengelyre ható rendszererő nulla, Rxe = 0, és a kezdeti pillanatban a sebesség
a tömegközéppont e tengely mentén egyenlő nullával, vCx = 0, majd a tömegközéppont koordinátája a tengely mentén
x tengely állandó marad, xC = const (a tömegközéppont nem mozog ennek mentén
tengely).
25. Erőimpulzus
A mechanikai kölcsönhatás jellemző mértéke
mechanikai mozgás átadása a cselekvőből
az erőponthoz egy adott időtartamra:
S F (t 2 t1).
Előrejelzésekben tovább
t
t
t
koordináta (Ox): S x Fx dt; (Oy) : S y Fy dt ; (Oz) : S z Fz dt .
t
t
t
tengelyek:
2
2
2
1
1
1
t2
Állandó erő esetén: S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1);
S y Fy (t 2 t1);
S z Fz (t 2 t1);
Az eredő impulzusa megegyezik a geometriai impulzussal
egy és ugyanazon a ponton kifejtett erők impulzusainak összege
azonos időtartam: R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Integráljunk a t2-re
t2
t2
t2
adott intervallum R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
idő:
S S1 S 2 ... S n . 26. Egy pont mozgása
egyenlő egy pont tömegének és vektorának szorzatával
sebesség: Q mv.
Anyagi pontrendszer mozgásának mértéke –
az anyagmozgás mennyiségeinek geometriai összege
pontok: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
A tömegközéppont meghatározása szerint:
K
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
A rendszer impulzusvektora egyenlő
a teljes rendszer tömegének és a sebességvektornak a szorzata
a rendszer tömegközéppontja.
drC
d
Ezután: Q dt (Mrc) M dt MvC .
Előrejelzésekben tovább
Q Mx C ;
koordinátatengelyek: x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C . 26. Tétel az impulzus változásáról
rendszerek
Tekintsünk egy n anyagpontból álló rendszert. Csatolt
Minden erőpontot felosztunk külső és belső és
Cseréljük le őket a megfelelő Fke és Fki eredővel.
Írjuk fel minden pontra a dinamika alapegyenletét:
mk a k F ke F ki vagy mk dvk Fke Fki .
dt
Foglaljuk össze ezeket
Az egyenlet bal oldalán bemutatjuk
egyenletek
tömegek származékos jele alatt
minden ponton:
és a származékok összegét cseréljük le
dvk
e
én
m
F
F
.
k
k
k
összeg származéka: d (m v) R e .
dt
k k
dt
A meghatározásból
e
én
d
K
e
R
0
R
mennyiségek mk v k Q .
R.
A rendszer impulzusvektorának deriváltja az idő függvényében
dt egyenlő a rendszer külső erőinek fővektorával.
mozgásrendszer:
dQx
A dQx R e F e koordinátákra vetítésekben; dQx R e F e ;
R e F xke .
xk
xk
dt
dt
dt
tengelyek:
x
x
x 26. Következmények a mennyiség változásáról szóló tételből
a rendszer mozgása (védelmi törvények)
:
1. Ha az időintervallumban a fővektor a külső
rendszererők nulla, Re = 0, akkor a mennyiségvektor
a mozgás állandó, Q = const – megmaradási törvény
a rendszer lendülete.
2. Ha az időintervallumban a fővektor vetülete
a rendszer külső erői az x tengelyre egyenlők nullával, Rxe = 0, akkor
a rendszer impulzusának az x tengelyre vetítése
állandó, Qx = állandó.
Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre.
dQ
A tengelyre vetítjük: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Mi megosztjuk
K
t
változók
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
és integrálja: Q0
Innen származik a Qτ Qτ 0 0 vagy Qτ 0 Qτ törvény.
mentés: Mv m v m v.
1 1
2 2
Jobb integrál
majdnem egyenlő
nulla, mert idő
robbanás t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2 27. Egy pont vagy kinetika lendülete
mozgás pillanata valamely középponthoz viszonyítva
A mechanikai mozgás vektor által meghatározott mértéke,
egyenlő a sugárvektor vektorszorzatával
anyagi pont a lendülete vektorával:
K
v
Anyagi pontrendszer kinetikus momentuma
valamilyen középponthoz képest – geometrikus
az összes mozgásmennyiség momentumainak összege
anyagi pontok ugyanahhoz a középponthoz képest:
m
K.O.
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
A szögimpulzusvektor deriváltja
rendszerek valamely időközépponthoz viszonyítva
egyenlő a rendszer külső erőinek főmomentumával
ugyanahhoz a központhoz képest.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
Előrejelzésekben
Kx
a tengelyen:
K
ix
; K y Kiy;
K z Kiy. 28. Tétel a szögimpulzus változásáról
rendszer mozgása
Tekintsünk egy n anyagpontból álló rendszert. Csatolt
Minden erőpontot felosztunk külső és belső és
Cseréljük le őket a megfelelő Fke és Fki eredővel.
Írjuk fel minden pontra a dinamika alapegyenletét:
dvk
e
én
e
én
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
vagy
k
k
dt
Szorozzuk meg vektoriálisan az egyes egyenlőségeket a sugárvektorral
bal:
dv
rk mk
k
dt
Foglaljuk össze ezeket
egyenletek mindenkinek
pontok:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
én
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
én
M.O.
0Lássuk, el tudjuk-e távolítani a derivált jelét
a keresztterméken túl:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk , mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Így kaptuk:
Cseréljük le a deriváltak összegét
az összeg származékához: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
A zárójelben lévő kifejezés a szögimpulzus
rendszerek. Innen:
dK
O
dt
M Oe. A koordináta tengelyekre történő vetítéseknél:
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
Az én;
Mze.
dt
dt
dt
Tétel: A nyomatékvektor deriváltja
a rendszer mozgásának mértéke ahhoz képest
valamelyik középpontja időben egyenlő a fővel
a rendszer külső erőinek nyomatéka ehhez képest
ugyanaz a központ.
dK
O
dt
M Oe.
Tétel: A mennyiségi nyomaték származéka
a rendszer mozgása valamely tengelyhez képest
időben egyenlő a külső főmomentumával
a rendszer ugyanazon tengelyhez viszonyított erői.
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
Az én;
Mze.
dt
dt
dt 29. Következmények a nyomatékváltozási tételből
a rendszer lendülete (védelmi törvények)
1. Ha az időintervallumban a főmomentum vektora
a rendszer külső erői valamely középponthoz viszonyítva
egyenlő nullával, MOe = 0, akkor a mennyiségi momentum vektora
a rendszer mozgása ugyanahhoz a középponthoz képest
állandó, KO = const – a nyomaték megmaradásának törvénye
a rendszer lendülete).
2. Ha az időintervallumban a főpillanat a külső
a rendszer x tengelyhez viszonyított ereje nulla, Mxe = 0, akkor
a rendszer szögimpulzusa az x tengely körül
állandó, Kx = állandó.
Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre. 30. A tehetetlenségi nyomatékok elméletének elemei
Merev test forgó mozgásában a tehetetlenség mértéke
(ellenállás a mozgás változásaival szemben) a pillanat
tehetetlenség a forgástengelyhez képest. Nézzük a főt
definíciós fogalmak és nyomatékszámítási módszerek
tehetetlenség.
30.1. Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka
a tengelyhez képest
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
x
x
y
y
Az anyag tehetetlenségi nyomatéka
pont a tengelyhez képest egyenlő
egy pont tömegének szorzata és
a pont tengelytől mért távolságának négyzete.
A merev test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka mellett
Vannak más típusú tehetetlenségi nyomatékok is:
I xy xydm
- centrifugális tehetetlenségi nyomaték
szilárd test. 30.2. Merev test tehetetlenségi nyomatéka egy tengely körül
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
O
yk
x
Merev test tehetetlenségi nyomatéka
a tengelyhez viszonyítva egyenlő az összeggel
az egyes pontok tömegének szorzata
ennek a pontnak a távolságának négyzetével
a tengelyhez.
Amikor a diszkrétről mozog
kis tömegtől a végtelenül kicsiig
pont tömege, egy ilyen összeg határa
integrál határozza meg:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- axiális tehetetlenségi nyomaték
szilárd test.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- sarki pillanat
szilárd test tehetetlensége. 30.4. Egyenletes állandó rúd tehetetlenségi nyomatéka
tengelyhez viszonyított keresztmetszetek
Válasszuk ki a dV = Adx elemi térfogatot x távolságban:
zС
z
Alapvető
súly:
dm Adx
L
x
x
C
dx
L
3L
L
x
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
A
3
3
tengely elhelyezkedése és integrálási határok beállítása (-L/2,
L/2). Itt bemutatjuk a költözés képletét
párhuzamos tengelyek:
2
2
M.L.
L
I zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
I zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
230.5. Homogén tömör henger tehetetlenségi nyomatéka
a szimmetriatengelyhez képest
Válasszuk ki az elemi térfogatot: dV = 2πrdrH (vékony henger
sugár r
Elemi tömeg:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Mivel a hengerek magassága nincs benne az eredményben
képletek a tehetetlenségi nyomatékokhoz, akkor azok megmaradnak
vékony tömör lemezre és felnire érvényes
kerekek (vékony gyűrű). 31. Merev test mozgási nyomatéka
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
én
Vagy továbblépni
a végtelenül kicsinyekhez:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
A forgás kinetikus nyomatéka
test egyenlő a szög szorzatával
sebesség a tehetetlenségi nyomatékban
a forgástengelyhez képest.
z
z
Szia
Δmi
vi
x
y 32. Forgási differenciálegyenlet
merev test a tengelyhez képest
Írjuk fel a tételt a szögimpulzus változásáról
egy rögzített tengely körül forgó merev test:
dK z
Mze.
dt
Egy forgó merev test kinetikai nyomatéka egyenlő:
z
z
z
Mz
x
K z z I z .
A külső erők tengelyhez viszonyított nyomatéka
forgása megegyezik a nyomatékkal
(reakciók és gravitáció M e M M
z
z
forog
ne teremts esélyt):
Helyettesítjük a kinetikus nyomatékot és
y
forgatónyomatékot a tételbe
d (z I z)
M z M forgás
dt
I z M z M forgás 33. A giroszkóp elemi elmélete
Giroszkóp - egy tengely körül forgó merev test
anyagszimmetria, melynek egyik pontja
mozdulatlan.
Ingyenes giroszkóp - úgy rögzítve, hogy a tömegközéppontja legyen
álló helyzetben marad, és a forgástengely áthalad
tömegközéppont, és bármilyen pozíciót felvehet
tér, azaz a forgástengely megváltoztatja helyzetét
hasonló a test saját forgástengelyéhez at
gömb alakú mozgás.
KC
ω A közelítő (elemi) fő feltételezése
giroszkóp elmélet – a mennyiségi nyomaték vektora
a forgórész mozgását (kinetikus nyomatékát) veszik figyelembe
saját forgástengelye mentén irányítva.
A szabad giroszkóp fő tulajdonsága a forgórész tengelye
mentén állandó irányt tart a térben
az inerciális (csillag) vonatkoztatási rendszerhez képest
(bizonyítja a Foucault-inga, amely megtartja a
a csillagokhoz viszonyítva a lengősík, 1852).
Ez a szögimpulzus megmaradásának törvényéből következik
a forgórész tömegközéppontjához viszonyítva, feltéve
figyelmen kívül hagyva a súrlódást a felfüggesztett tengelyek csapágyaiban
rotor, külső és belső keret:
dK C
M Ce 0;
dt
K C áll. 34. Erőhatás szabad giroszkóp tengelyére
A forgórész tengelyére ható erő esetén
a külső erők tömegközépponthoz viszonyított nyomatéka nem egyenlő
nulla:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F;
C
A szögimpulzus származéka az idő függvényében
egyenlő ennek a vektornak a sebességével (Rézal tétele):
dK C
dr
v K ; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce.
Ez azt jelenti, hogy a rotor tengelye lesz
eltérni a cselekvés irányától
erő, és a nyomatékvektor felé
ez az erő, i.e. nem fog megfordulni
az x tengelyhez képest (belső
felfüggesztés), és az y tengelyhez képest
(külső felfüggesztés).
F
h
vK
y
VAL VEL
M Ce
x
ω
KC Amikor az erő megszűnik, a forgórész tengelye megmarad
megfelelő állandó helyzetben
az erő hatásidejének utolsó pillanata, mert
ettől a pillanattól kezdve újra a külső erők pillanata
nullával egyenlővé válik.
Rövid távú erőhatás (ütés) esetén a tengely
A giroszkóp gyakorlatilag nem változtatja meg a helyzetét.
Így a forgórész gyors forgása kommunikál
giroszkóp képessége a véletlen ellensúlyozására
a tengely helyzetének megváltoztatására hajlamos hatások
a forgórész forgásával és állandó erővel
megtartja a sík helyzetét merőlegesen
a ható erő, amelyben a forgórész tengelye fekszik. Ezeket a tulajdonságokat
inerciális navigációs rendszerek működtetésében használják.
Köszönöm a figyelmet!
Példa: Két m1 és m2 tömegű ember van egy csónakbantömeg m3. A kezdeti pillanatban egy csónak emberekkel
nyugalomban volt. Határozza meg a csónak elmozdulását, ha
egy m2 tömegű személy a csónak orrába költözött a távolságra.
1. Mozgás tárgya
(hajó emberekkel):
x2
y
x1
2. Eldobjuk a csatlakozásokat (víz):
A
G3
3. Cserélje ki a kapcsolatot egy reakcióval:
4. Aktív erők hozzáadása:
G1
R
G2
x
O
Kivetítés az x tengelyre:
M x C 0.
xC const.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
x3
x C állandó 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3
ellenkező irányba.
17
6. előadás (folytatás a 6.2-től)
Tétel egy rendszer tömegközéppontjának mozgásáról – Tekintsünk egy n anyagi pontból álló rendszert. Az egyes pontokra kifejtett erőket elosztjukkülsőre és belsőre, és cserélje ki őket a megfelelő Fke és Fki eredőre. Írjuk fel minden pontra az alapegyenletet
hangszórók:
vagy
d 2 rk
e
én
d 2 rk
Foglaljuk össze ezeket az egyenleteket
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
minden ponton:
dt 2
dt
Az egyenlet bal oldalán tömegeket vezetünk be a derivált jel alá
d2
(m r) R e.
és cserélje ki a származékok összegét az összeg deriváltjával:
2 k k
A tömegközéppont meghatározásából:
A rendszer tömegének eltávolítása után
a származék előjelére kapjuk
A koordináta tengelyekre történő vetítéseknél:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Helyettesítsük be a kapott egyenletbe:
R e vagy:
M x C R ex Xke ;
M y C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Újra
Ri 0
Egy rendszer tömegének és középponti tömegének gyorsulásának szorzata
egyenlő a külső erők fővektorával.
A rendszer tömegközéppontja a tömeggel egyenlő tömegű anyagi pontként mozog
az egész rendszer, amelyre a rendszerre ható összes külső erő hat.
Példa: Két m1 és m2 tömegű ember van egy m3 tömegű csónakban.
A kezdeti pillanatban a hajó az emberekkel nyugalomban volt.
Határozza meg a csónak elmozdulását, ha egy m2 tömegű személy az orrba mozdul!
Következmények a rendszer tömegközéppontjának mozgásáról szóló tételből
csónakok a távolból.
y
(védelmi törvények):
x2
A
1. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektora
x
1. Mozgás tárgya (csónak emberekkel):
1
nulla, Re = 0, akkor a tömegközéppont sebessége állandó, vC = állandó
2. Eldobjuk a csatlakozásokat (víz):
(a tömegközéppont egyenletesen, egyenes vonalban mozog - megmaradási törvény
3.
A kapcsolatot helyettesítjük egy reakcióval:
G1
x
tömegközéppont mozgása).
O
G2
2. Ha az időintervallumban a külső erők fővektorának vetülete 4. Adjunk hozzá aktív erőket:
rendszer az x tengelyen nulla, Rxe = 0, akkor a tömegközéppont sebessége az x tengely mentén
5. Felírjuk a tömegközéppontra vonatkozó tételt:
állandó, vCx = const (a tömegközéppont egyenletesen mozog a tengely mentén).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre.
x3
3. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektora
Vetítés az x tengelyre: M x C 0.
x C állandó 0.
nulla, Re = 0, és a kezdeti pillanatban a tömegközéppont sebessége nulla,
xC const.
vC = 0, akkor a tömegközéppont sugárvektora állandó marad, rC = const (közép
mk xk 0 mk xk .
a tömeg nyugalomban van - a tömegközéppont helyzetének megmaradásának törvénye).
Határozzuk meg, milyen messzire kell egy m1 tömegű embernek helyet cserélnie,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Ha az időintervallumban a fővektor vetülete a külső
erő
hogy a csónak a helyén maradjon:
rendszer az x tengelyen nulla, Rxe = 0, és a kezdeti pillanatban a középsebesség
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1 eszerint
m2 x2 tengely
mequal
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mcenter
l
tömegek
2 koordinátához
x tengely tömege
3x3 nulla,
3x3.
m1 m2 m3
m2
állandó marad, xC = const (a tömegközéppont nem mozog ezen a tengelyen).
A csónak l távolságot fog elmozdulni
b
a
.
0
m
b
m
a
.
Hasonló
érvényes az ym és z tengelyekre.
1 állítás
2
17
ellenkező irányba.
M z C R ez Z ke .
1
8. előadás (folytatás a 8.2-től)
4.Egyenletes állandó rúd tehetetlenségi nyomatéka
szakaszok a tengelyhez képest:
Kiemeljük az elemieket
zС
hangerő dV = Adx
z
L
x távolságon:
5.
Homogén tömör henger tehetetlenségi nyomatéka
a szimmetriatengelyhez képest:
Kiemeljük az elemieket
térfogat dV = 2πrdrH
(r sugarú vékony henger):
Alapvető
súly:
dm 2 rdrH
z
R
x
dx
L
Alapvető
súly:
dm
C
x
L
3L
x
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
A
3
3
y
A középponthoz viszonyított tehetetlenségi nyomaték kiszámításához
tengelyen (a súlyponton áthaladva) elég változtatni
tengely elhelyezkedése és integrációs határok beállítása (-L/2, L/2).
Itt bemutatjuk a párhuzamosra való átmenet képletét
tengelyek:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
I zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
x
r
r
2H
4
dr
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Itt a V=πR2H henger térfogatának képletét használjuk.
Üreges (vastag) henger tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása
elég beállítani az integráció határait R1-ről R2-re (R2>R1):
M.L.
L
I zC M .
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Vékony henger tehetetlenségi nyomatéka a tengelyhez képest Mivel a hengerek magassága ennek eredményeként nem szerepel a nyomatékképletekben
tehetetlenség, akkor érvényesek maradnak vékony tömör korongra és
szimmetria (t<
R
z t
A henger kis vastagsága miatt
feltételezzük, hogy minden pont elhelyezkedik
a tengelytől azonos R távolságra
és nincs szükség integrációra.
V térfogat = 2πRtH. (vékony henger
R sugár t falvastagsággal).
H
y
x
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Válasszunk ki egy diszkrét kis térfogatú mi tömeget:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
Szia
I z R 2 2 RtH MR 2 .
Ugyanezt lehet elérni a használatával
képletek vastag falú hengerhez, figyelembe véve
kicsi t:
A merev test lendülete
Δmi
x
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Vagy továbblépve a végtelen kicsikre:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
Egy forgó test szögimpulzusa egyenlő a szorzattal
szögsebesség a tehetetlenségi nyomatékban a forgástengelyhez képest.
22Euler-tétel
Tételek: A mennyiségváltozás tételének alkalmazása
a rendszer mozgása egy folytonos közeg (víz) mozgására.
(x): M sec (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y) : M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z): Mmotion
Rz található
.
sec (v2 z v1volume
z) Rzwater,
1. Válassza ki objektumként
a turbina íves csatornájában:
2. Eldobjuk az összefüggéseket, és hatásukat reakciókkal helyettesítjük (Rpov a felületi erők eredője)
3. Adja hozzá az aktív erőket (Rob – térfogati erők eredője):
ról ről
v1
F1
A
A
B
B
Rob
A víz mozgásának mennyisége t0 és t1 időpontokban
Az előrejelzésekben mint
összegekhez:
tengelyek:
képzeljük el
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.
Q1 QBC QCD.
,
A víz impulzusának változása az időintervallumban:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Mennyiségi változás
mozgalom
vízvektorok második mennyiségű folyadék mozgása a tengelyen egyenlő
Különbség
előrejelzések
dQ dQCD dQAB , ahol dQAB (F1v1dt)v1;
végtelenül kicsinek
intervallum
idő
dt: vektorok
fő vetületeinek összege
térfogati és felületi erők ugyanazon a tengelyen.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Második tömegként a sűrűség, a keresztmetszeti terület és a sebesség szorzatát véve
kapunk:
dQ (M dt)v;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Felírjuk a tételt a rendszer lendületének változásáról:
RPov
C
D
saját tulajdonú gépjármű
mp
1
dQCD (M sec dt)v2 .
dQ M sec (v2 v1)dt.
M sec F1v1 F2v2,
A rendszer impulzuskülönbségének helyettesítése
a változástételben ezt kapjuk:
M sec (v2 v1) Rrev Rrev.
A folyadékmozgás második mennyiségének vektorai közötti geometriai különbség egyenlő
a térfogati és felületi erők fővektorainak összege.
(MECHANIKAI RENDSZEREK) – IV opció
1. Egy anyagi pont dinamikájának alapegyenletét, mint ismeretes, az egyenlet fejezi ki. Egy nem szabad mechanikai rendszer tetszőleges pontjainak mozgási differenciálegyenletei kétféle erőosztási módszer szerint kétféle formában írhatók fel:
(1) , ahol k=1, 2, 3, … , n – az anyagi rendszer pontjainak száma.
ahol a k-adik pont tömege; - a k-adik pont sugárvektora, - a k-adik pontra ható adott (aktív) erő vagy a k-adik pontra ható összes aktív erő eredője. - a k-adik pontra ható kötésreakcióerők eredője; - a k-adik pontra ható belső erők eredője; - a k-adik pontra ható külső erők eredője.
Az (1) és (2) egyenlet felhasználásával törekedni lehet a dinamika első és második problémájának megoldására is. A dinamika második problémájának megoldása azonban egy rendszerre nagyon bonyolulttá válik, nemcsak matematikai szempontból, hanem azért is, mert alapvető nehézségekkel kell szembenéznünk. Abból állnak, hogy mind az (1), mind a (2) rendszerben az egyenletek száma lényegesen kevesebb, mint az ismeretlenek száma.
Tehát, ha az (1)-et használjuk, akkor a második (inverz) probléma ismert dinamikája és lesz, az ismeretlenek pedig és . A vektoregyenletek a következők lesznek: n”, és az ismeretlenek - „2n”.
Ha a (2) egyenletrendszerből indulunk ki, akkor a külső erők egy része ismert. Miért rész? A tény az, hogy a külső erők számába az ismeretlen kapcsolatok külső reakciói is beletartoznak. Ezenkívül a . is ismeretlen lesz.
Így az (1) és a (2) rendszer is NYITVA van. Egyenleteket kell hozzáadni, figyelembe véve az összefüggések egyenleteit, és talán magukra az összefüggésekre is szükség van bizonyos megszorításokra. Mit kell tenni?
Ha az (1)-ből indulunk ki, akkor az első típusú Lagrange-egyenletek összeállításának útját követhetjük. De ez az út nem racionális, mert minél egyszerűbb a probléma (kevesebb szabadsági fok), annál nehezebb matematikai szempontból megoldani.
Ezután fordítsuk figyelmünket a (2) rendszerre, ahol a - mindig ismeretlen. A rendszer megoldásának első lépése ezen ismeretlenek kiküszöbölése. Szem előtt kell tartani, hogy a rendszer mozgása során általában nem érdekelnek bennünket a belső erők, vagyis amikor a rendszer mozog, nem szükséges tudni, hogy a rendszer egyes pontjai hogyan mozognak, de ez elég tudni, hogyan mozog a rendszer egésze.
Így, ha a (2) rendszerből különböző módon kizárunk ismeretlen erőket, akkor néhány összefüggést kapunk, azaz megjelennek a rendszerre vonatkozó általános jellemzők, amelyek ismerete lehetővé teszi a rendszer általános mozgásának megítélését. Ezeket a jellemzőket az ún általános dinamikai tételek. Négy ilyen tétel létezik:
1. Tétel kb mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgása;
2. Tétel kb mechanikai rendszer lendületének változása;
3. Tétel kb a mechanikai rendszer kinetikai nyomatékának változása;
4. Tétel kb mechanikai rendszer kinetikus energiájának változása.