Navedite tablične metode za određivanje zakona raspodjele St. Zakon raspodjele slučajnih varijabli i metode za njegovo određivanje

Bernoullijeva formula (poseban teorem o ponavljanju pokusa)

Primjer 23

Tri su srećke. Vjerojatnost dobitka za bilo koji listić je ista i jednaka je R. Vjerojatnost da listić neće dobiti q = 1 – str– kao vjerojatnost suprotnog događaja. Odredite vjerojatnost da će od tri listića točno dva dobiti.

Željenu vjerojatnost označavamo s .

Događaj koji nas zanima dogodit će se ako prvi I drugi listić dobije A treći ne dobije ILI prvi listić ne dobije A drugi I treći dobije ILI drugi listić ne dobije A prvi I treći dobije . Vjerojatnost svake od ovih opcija može se pronaći pomoću formule množenja, a odgovor se izračunava pomoću formule zbrajanja za nekompatibilne događaje:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizirajući rješenje zadatka, saznajemo da je riješen sljedećim redoslijedom:

Sastavljene su različite opcije za provedbu događaja od interesa;

Broj ovih opcija se broji;

Određuje se vjerojatnost događanja događaja implementacijom bilo koje opcije;

Tražena vjerojatnost dobiva se množenjem vjerojatnosti događanja događaja prema jednoj od opcija s ukupnim brojem opcija.

Zapravo, problem je riješen korištenjem tzv Bernoullijeva formula. Zapišimo to u općenitom obliku.

Neka niz n pokusi (ispitivanja). Eksperimenti se provode opetovano, neovisno jedan o drugom i pod istim uvjetima, tako da je vjerojatnost da se događaj dogodi A ne mijenja se od iskustva do iskustva i jednako je R. Označimo vjerojatnost da se događaj neće dogoditi A u jednom eksperimentu - q = 1-p. Potrebno je odrediti vjerojatnost da u nizu n doživljaji događaj A ponovit će se k puta – označimo ovaj događaj kao U.

Događaj U može se ostvariti na razne načine (opcije). Na primjer, ovako:

ili ovako:

Važno je da u bilo kojoj varijanti broj pojavljivanja događaja A jednaki n, i broj pojavljivanja događaja jednaki n–k, iako će se pojaviti i neće pojaviti u različitim verzijama u različitim sekvencama.

Da biste odredili broj takvih opcija, možete koristiti formulu kombinatorika- broj kombinacija od n elementi po k.

Kombinacije - ovo su kombinacije k objekti (elementi) odabrani iz određenog skupa n objekti koji sadrže isti broj objekata, ali se međusobno razlikuju barem u jednom od njih.

Broj kombinacija od n elementi po k označen kao što se može pronaći formulom: = . (15)

Važno svojstvo određivanja broja kombinacija je sljedeće:

U razmatranom problemu elementi koji se međusobno razlikuju su brojevi pokusa. Ukupan broj opcija je .

Vjerojatnost nastanka događaja A n vremena za svaku opciju je isto i može se pronaći pomoću formule za množenje vjerojatnosti na temelju izraza "Događaj A se dogodio k nikada se nije dogodilo n–k jednom": p k q n - k

Zbrajanjem ovih identičnih puta vjerojatnosti dobivamo formulu tzv Bernoullijeva formula:

= p k q n - k . (16)

Mora se zapamtiti da p je vjerojatnost pojave događaj koji nas zanima u iskustvu, i q – vjerojatnost nepojavljivanja ovaj događaj u iskustvu.

Bernoullijeva formula (Jacob Bernoulli ju je istražio u svojoj knjizi The Art of Conjecture) također se naziva privatna teorem o ponavljanju pokusa. To znači da se svaki sljedeći eksperiment provodi pod istim uvjetima kao i svi prethodni, tj. vjerojatnost događanja događaja ne mijenja se od eksperimenta do eksperimenta i ostaje jednaka R.

Uz privatno postoji opći teorem o ponavljanju eksperimenata (vjerojatnosti da se događaj mijenja od eksperimenta do eksperimenta), čije razmatranje je izvan okvira ovog kolegija.

Primjer 24

U radionici se nalazi 10 elektromotora, vjerojatnost da će svaki od njih biti isključen je 0,1 Motori su spojeni na mrežu neovisno jedan o drugom. Odredite vjerojatnost da se tri elektromotora ugase odjednom.

Riješenje. Uvjet zadatka odgovara shemi ponovljenih testova J. Bernoullija. Zadatak rješavamo pomoću posebnog teorema o ponavljanju pokusa, uzimajući u obzir da postoje tri ugašena motora (vjerojatnost ugašenog stanja je 0,1), a 7 uključenih (vjerojatnost upaljenog stanja je 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Slučajne varijable i njihovi zakoni raspodjele

Uz slučajne događaje, još jedan važan koncept u teoriji vjerojatnosti je koncept "slučajne varijable" (RV).

Veličina je kvantitativna karakteristika rezultata pokusa.

Sve veličine su podijeljene u dvije velike skupine: neslučajne i slučajne.

Neslučajno (determinističko) - to su veličine koje kao rezultat iskustva poprimaju unaprijed određenu, poznatu vrijednost. Na primjer, vrijeme izlaska i zalaska sunca, datum nove godine, broj prstiju na rukama novorođenčeta, broj ispita i kolokvija u semestru.

Slučajno (stohastički)- to su veličine za koje se unaprijed ne zna koju će vrijednost poprimiti kao rezultat pokusa.

Slučajne varijable pak mogu biti diskretne ili kontinuirane.

Diskretna su one SV koje u iskustvu poprimaju jednu od mnogih mogućih vrijednosti, a te se vrijednosti po želji mogu navesti ili numerirati, tj. ovaj skup je konačan. Najčešće (iako ne nužno) to su cjelobrojne, nenegativne vrijednosti. Na primjer, O ocjena studenta na ispitu; broj vlasi na glavi, broj radnika u ED radionici.

Stalan nazivaju takve SV koje u iskustvu poprimaju jednu od mogućih vrijednosti, a broj tih vrijednosti, čak i u vrlo malom intervalu, beskonačno je velik. Drugim riječima, skup mogućih vrijednosti kontinuiranog SV je neprebrojiv. Na primjer, razina napona u mreži, trajanje rada dalekovoda prije kvara, visina i težina osobe, težina nalivpera.

Imena slučajnih varijabli obično označeno velikim slovima latinica - X, Y; A vrijednosti , koje slučajne varijable uzimaju u eksperimentu, – mala slova - x, y.

Različite vrijednosti iste slučajne varijable ne promatraju se jednako često. Na primjer, muškarci mnogo češće nose broj 42 nego broj 46; Mrežni napon je mnogo češće u rasponu od 215-225 V nego u rasponu od 225-235 V.

Odnos između vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti njihovog pojavljivanja utvrđuje se pomoću zakon distribucije slučajne varijable. Kažu da se SV distribuira (podliježe) prema jednom ili drugom zakonu raspodjele. Postoji nekoliko oblika određivanja zakona raspodjele:

· u obliku tablice (tabularno);

· u obliku crteža (grafički);

formula (analitički).

Metode za određivanje zakona raspodjele slučajnih varijabli

Sve metode za određivanje zakona distribucije SW mogu se uvjetno podijeliti na teorijske i statističke. Teorijski zakoni distribucije odražavaju prave zakone koji postoje u prirodi. Za njihovo uspostavljanje, prema zakonu velikih brojeva, potrebno je obraditi gotovo beskonačnu količinu informacija. U praksi se takvi zakoni uspostavljaju na temelju ograničene količine statističkih podataka i formalizira ih jedan ili drugi statistički načine. Statistika se često naziva eksperimentalni (empirijski)). Svaka teorijska metoda određivanja zakona distribucije (DLR) ima statističke analogije (STL). Razmotrimo ove metode.

TZR-1. SV serija distribucije

Serija distribucije je tablica u kojoj su s jedne strane naznačene vrijednosti slučajne varijable, a s druge njihove vjerojatnosti (tablica 2). U nizu distribucije, vrijednosti SV raspoređene su na uredan način - kako rastu.

Ukupna vjerojatnost ovih vrijednosti, jednaka jedan, podijeljena je između svih mogućih vrijednosti SV. Stoga je zbroj svih vjerojatnosti niza distribucije jednak jedan: = 1

Tablica 2. Serije raspodjele SV

Osnovne distribucije

Slučajne varijable

Smjernice za samostalan rad studenata

sve oblike obrazovanja

Sastavio V.A. Bobkova

Ivanovo 2005

Sastavio V.A. Bobkova

Osnovne distribucije slučajnih varijabli: Smjernice za samostalan rad studenata svih oblika obrazovanja / Komp. V. A. Bobkova; GOUVPO Ivan. država kemijska tehnologija sveuč. – Ivanovo, 2005. 32 str.

Smjernice su posvećene jednom od važnih dijelova kolegija “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika”, a to su: osnovne distribucije slučajnih varijabli. Dan je pojam slučajne varijable, opisane su metode za određivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli te su dane definicije matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije. Zatim se razmatraju glavne distribucije diskretnih slučajnih varijabli: Bernoullijeva distribucija, binomna distribucija, Poissonova distribucija, geometrijske i hipergeometrijske distribucije, kao i glavne distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli: uniformna, eksponencijalna, normalna distribucija. Izvedene su formule za numeričke karakteristike razmatranih razdioba, grafički ilustracije i primjeri rješavanja problema. Zadaci su dani za samostalno rješavanje.

Smjernice su namijenjene samostalnom radu studenata svih sveučilišnih specijalnosti.

Bibliografija: 4 naslova.

Recenzent doktor tehničkih znanosti, prof. A. N. Labutin

(Državno kemijsko tehnološko sveučilište Ivanovo)

Osnovne informacije o slučajnim varijablama

Pojam slučajne varijable

Slučajno je veličina koja će kao rezultat ispitivanja poprimiti jednu i samo jednu moguću vrijednost, koja nije unaprijed poznata i ovisi o slučajnim razlozima koji se ne mogu uzeti u obzir.

Slučajne varijable označene su velikim latiničnim slovima X,Y, Z, ..., a njihove moguće vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima x, y, z, ....

Primjeri slučajnih varijabli:

1) broj poziva primljenih od pretplatnika na telefonsku centralu u određenom vremenu;

2) težinu nasumce uzetog zrna pšenice;

3) broj odličnih ocjena studenata jedne skupine na ispitu;

4) udaljenost od mjesta bacanja diska do mjesta udara;

5) broj tipfelera u knjizi.

Raznolikost slučajnih varijabli je velika. Broj vrijednosti koje prihvaćaju može biti konačan, prebrojiv ili nebrojiv; te se vrijednosti mogu nalaziti diskretno ili ispuniti intervale (konačne ili beskonačne).

Diskretne slučajne varijable – To su slučajne varijable koje mogu poprimiti samo konačan ili prebrojiv skup vrijednosti. Na primjer, koliko se puta grb pojavljuje u pet bacanja novčića (moguće vrijednosti su 0, 1, 2, 3, 4, 5); broj hitaca prije prvog pogotka u metu (moguće vrijednosti 1, 2, ..., n, gdje je n broj dostupnih patrona); broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od tri elementa (moguće vrijednosti 0, 1, 2, 3) su diskretne slučajne varijable.

Kontinuirane slučajne varijable– to su slučajne varijable, čije moguće vrijednosti tvore određeni konačni ili beskonačni interval. Na primjer, vrijeme rada uređaja, domet leta projektila, vrijeme čekanja autobusa kontinuirane su slučajne varijable.

Metode zadavanja slučajnih varijabli

Kako biste odredili slučajnu varijablu, morate znati vrijednosti koje ona može poprimiti i vjerojatnosti s kojima slučajna varijabla poprima svoje vrijednosti. Svako pravilo (tablica, funkcija, grafikon) koje vam omogućuje pronalaženje vjerojatnosti pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable ili skupa tih vrijednosti naziva se zakon distribucije slučajne varijable (ili jednostavno distribucija ). Za slučajnu varijablu kažu da se "pokorava danom zakonu distribucije".

Neka je X diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti (skup tih vrijednosti je konačan ili prebrojiv) s određenim vjerojatnostima . Zakon distribucije diskretne slučajne varijable pogodan za postavljanje pomoću formule i = 1, 2, 3, … , n, … , što određuje vjerojatnost da će, kao rezultat eksperimenta, slučajna varijabla X poprimiti vrijednost . Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon distribucije može se specificirati kao razdjelne tablice :

Ovdje prvi redak sadrži sve moguće vrijednosti (obično uzlaznim redoslijedom) slučajne varijable, a drugi redak sadrži njihove vjerojatnosti. Ova tablica se zove blizu distribucije .

Budući da su događaji nekompatibilni i čine potpunu skupinu događaja, zbroj njihovih vjerojatnosti jednak je jedan.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može se grafički odrediti ako se na apscisnu os nanesu moguće vrijednosti slučajne varijable, a na ordinatnu os njihove vjerojatnosti. Polilinija koja povezuje uzastopno dobivene točke naziva se distribucijski poligon .

Očito je da se serija distribucije može konstruirati samo za diskretne slučajne varijable. Za kontinuirane slučajne varijable nije čak ni moguće navesti sve moguće vrijednosti.

Univerzalni način određivanja zakona distribucije vjerojatnosti, prikladan i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable, je distribucijska funkcija.

Neka je X slučajna varijabla, x realan broj. Funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X je vjerojatnost da će ova slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x:

(1)

Geometrijski, ova se jednakost može protumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja je na numeričkoj osi predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x, odnosno da će slučajna varijabla X točka X će pasti u interval.

Svojstva funkcije distribucije:

1. Vrijednosti funkcije distribucije pripadaju segmentu:

2. F(x) je neopadajuća funkcija tj ako .

Korolar 1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu Ako se moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nalaze na cijeloj x-osi, tada vrijede sljedeće granične relacije: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+