Termekhov teorem o kretanju središta mase. Opći teoremi dinamike sustava
Formulirajte teorem o gibanju središta mase sustava.
Središte mase mehaničkog sustava kreće se kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog sustava, na koju djeluju sve sile koje djeluju na sustav.
Koje se gibanje krutog tijela može smatrati gibanjem materijalne točke koja ima masu danog tijela i zašto?
Translatorno gibanje krutog tijela potpuno je određeno kretanjem jedne njegove točke. Posljedično, rješavanjem problema gibanja centra mase tijela kao materijalne točke s masom tijela, moguće je odrediti translatorno gibanje cijelog tijela.
Pod kojim uvjetima središte mase sustava miruje, a pod kojim se giba jednoliko i pravocrtno?
Ako glavni vektor vanjskih sila cijelo vrijeme ostaje jednak nuli, a početna brzina centra mase je nula, tada centar mase miruje.
Ako glavni vektor vanjskih sila cijelo vrijeme ostaje jednak nuli i početna brzina 
, tada se centar mase giba jednoliko i pravocrtno.
Pod kojim uvjetima se središte mase sustava ne pomiče duž određene osi?
Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju os cijelo vrijeme jednaka nuli, a projekcija brzine na tu os jednaka nuli, tada koordinata središta mase duž te osi ostaje konstantna.
Kakav učinak ima par sila na slobodno čvrsto tijelo?
Ako na slobodno kruto tijelo koje miruje primijenite par sila, tada će se pod djelovanjem tog para sila tijelo početi okretati oko svog središta mase.
Teorem o promjeni količine gibanja.
Kako se određuje impuls promjenjive sile u konačnom vremenskom razdoblju? Što karakterizira impuls sile?
Promjenjivi impuls 
na određeno vrijeme 
jednaki
.
Impuls sile karakterizira prijenos mehaničkog gibanja na tijelo od tijela koja na njega djeluju tijekom određenog vremenskog razdoblja.
Koje su projekcije konstantnih i promjenljivih impulsa sile na koordinatne osi?
Projekcije promjenljivog impulsa sile na koordinatne osi jednake su
,
,
.
Projekcije konstantnog impulsa sile na koordinatne osi u nekom vremenskom razdoblju 
jednak
,
,
.
Koliki je impuls rezultante?
Impuls rezultante više sila u određenom vremenskom razdoblju jednak je geometrijskom zbroju impulsa komponenata sila u istom vremenskom razdoblju.
.
Kako se mijenja količina gibanja točke koja se jednoliko giba po kružnici?
Kada se točka jednoliko giba po kružnici, mijenja se smjer količine gibanja 
, ali je njegov modul sačuvan 
.
Što je moment količine gibanja mehaničkog sustava?
Količina gibanja mehaničkog sustava je vektor jednak geometrijskom zbroju (glavni vektor) količina gibanja svih točaka sustava.
.
Koliki je moment zamašnjaka koji rotira oko nepomične osi koja prolazi kroz njegovo težište?
Količina gibanja zamašnjaka koji rotira oko fiksne osi koja prolazi kroz njegovo težište jednaka je nuli, jer 
.
Formulirati teoreme o promjeni količine gibanja materijalne točke i mehaničkog sustava u diferencijalnom i konačnom obliku. Svaki od ovih teorema izrazite vektorskom jednadžbom i trima jednadžbama u projekcijama na koordinatne osi.
Diferencijalna količina gibanja materijalne točke jednaka je elementarnom impulsu sila koje djeluju na točku
.
Promjena broja pomaka točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa sila primijenjenih na točku u istom vremenskom razdoblju.
.
U projekcijama ovi teoremi imaju oblik
,
,
,
,
.
Vremenska derivacija količine gibanja mehaničkog sustava geometrijski je jednaka glavnom vektoru vanjskih sila koje djeluju na sustav
.
Vremenska derivacija projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os jednaka je projekciji glavnog vektora vanjskih sila na istu os
,
,
.
Promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa vanjskih sila primijenjenih na sustav u istom razdoblju
.
Promjena projekcije količine gibanja sustava na bilo koju os jednaka je zbroju projekcija impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na sustav na istu os.
,
,
.
Pod kojim uvjetima se količina gibanja mehaničkog sustava ne mijenja? Pod kojim uvjetima se njegova projekcija na neku os ne mijenja?
Ako je glavni vektor vanjskih sila za razmatrano vremensko razdoblje jednak nuli, tada je moment količine gibanja sustava konstantan.
Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju os nula, tada je projekcija količine gibanja na tu os konstantna.
Zašto se pištolj kotrlja unatrag kad se opali?
Povratak pištolja kada se ispali u vodoravnom smjeru posljedica je činjenice da je projekcija momenta na vodoravnu os 
ne mijenja se u odsutnosti horizontalnih sila
,
.
Mogu li unutarnje sile promijeniti zamah sustava ili zamah njegovog dijela?
Budući da je glavni vektor unutarnjih sila nula, one ne mogu promijeniti količinu gibanja sustava.
Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije
Savezna državna proračunska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja
"Kubanjsko državno tehnološko sveučilište"
Teorijska mehanika
Dio 2 dinamike
Odobreno od strane Uredničkog i izdavačkog odbora
sveučilišno vijeće kao
pomoć u nastavi
Krasnodar
UDK 531.1/3 (075)
Teorijska mehanika. Dio 2. Dinamika: udžbenik / L. I. Draiko; Kuban. država tehnol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 str.
ISBN 5-230-06865-5
Teorijska građa je predstavljena u sažetom obliku, navedeni su primjeri rješavanja problema, od kojih većina odražava realne tehničke probleme, a pozornost je posvećena izboru racionalnog načina rješavanja.
Namijenjen prvostupnicima dopisnog i studijskog obrazovanja na daljinu u građevinarstvu, prometu i strojarstvu.
Stol 1 ilustr. 68 Bibliografija 20 naslova
Znanstveni urednik Kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor. V.F.Melnikov
Recenzenti: Predstojnik Zavoda za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i strojeva Kubanjskog agrarnog sveučilišta prof. F.M. Kanarev; Izvanredni profesor, Odsjek za teorijsku mehaniku, Kubansko državno tehnološko sveučilište M.E. Multih
Objavljeno odlukom Uredničkog i izdavačkog vijeća Kubanskog državnog tehnološkog sveučilišta.
Ponovno izdavanje
ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998
Predgovor
Ovaj udžbenik namijenjen je izvanrednim studentima građevinarstva, prometa i strojarstva, ali ga mogu koristiti tijekom proučavanja odjeljka "Dinamika" kolegija teorijske mehanike izvanredni studenti drugih specijalnosti, kao i redovni studenti radeći samostalno.
Priručnik je sastavljen u skladu s važećim nastavnim programom kolegija Teorijska mehanika i pokriva sva pitanja glavnog dijela kolegija. Svaki dio sadrži kratku teoretsku građu, popraćenu ilustracijama i metodološkim preporukama za njezinu primjenu u rješavanju problema. Priručnik sadrži rješenja za 30 problema koji odražavaju stvarne tehničke probleme i odgovaraju testnim zadacima za samostalno rješavanje. Za svaki problem prikazan je proračunski dijagram koji jasno prikazuje rješenje. Oblikovanje rješenja zadovoljava uvjete za oblikovanje ispitnih radova za izvanredne studente.
Autor izražava duboku zahvalnost nastavnicima Katedre za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i strojeva Kubanskog agrarnog sveučilišta za njihov veliki rad u recenziji udžbenika, kao i nastavnicima Katedre za teorijsku mehaniku Kubanskog državnog tehnološkog Sveučilištu na vrijednim komentarima i savjetima u pripremi udžbenika za tisak.
Sve kritičke primjedbe i sugestije autor će ubuduće prihvaćati sa zahvalnošću.
Uvod
Dinamika je najvažniji dio teorijske mehanike. Većina specifičnih problema s kojima se susreće u inženjerskoj praksi odnosi se na dinamiku. Koristeći se zaključcima statike i kinematike, dinamika utvrđuje opće zakonitosti gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem primijenjenih sila.
Najjednostavniji materijalni objekt je materijalna točka. Kao materijalna točka može se uzeti materijalno tijelo bilo kojeg oblika, čije se dimenzije u razmatranom problemu mogu zanemariti. Tijelo konačnih dimenzija može se uzeti kao materijalna točka ako razlika u kretanju njegovih točaka nije značajna za dani problem. To se događa kada su dimenzije tijela male u usporedbi s udaljenostima koje pokrivaju točke tijela. Svaku česticu čvrstog tijela možemo smatrati materijalnom točkom.
Sile koje djeluju na točku ili materijalno tijelo dinamički se procjenjuju po njihovom dinamičkom utjecaju, tj. po tome kako mijenjaju karakteristike gibanja materijalnih objekata.
Kretanje materijalnih objekata tijekom vremena događa se u prostoru u odnosu na određeni referentni okvir. U klasičnoj mehanici, na temelju Newtonovih aksioma, prostor se smatra trodimenzionalnim, njegova svojstva ne ovise o materijalnim objektima koji se u njemu kreću. Položaj točke u takvom prostoru određen je s tri koordinate. Vrijeme nije povezano s prostorom i kretanjem materijalnih objekata. Smatra se istim za sve referentne sustave.
Zakoni dinamike opisuju kretanje materijalnih objekata u odnosu na apsolutne koordinatne osi, koje se konvencionalno prihvaćaju kao stacionarne. Ishodište apsolutnog koordinatnog sustava uzima se u središtu Sunca, a osi su usmjerene na udaljene, uvjetno nepomične zvijezde. Pri rješavanju mnogih tehničkih problema, koordinatne osi povezane sa Zemljom mogu se smatrati uvjetno nepokretnima.
Parametri mehaničkog gibanja materijalnih objekata u dinamici utvrđeni su matematičkim izvodima iz osnovnih zakona klasične mehanike.
Prvi zakon (zakon inercije):
Materijalna točka održava stanje mirovanja ili jednolikog i pravocrtnog gibanja sve dok je djelovanje nekih sila ne izvede iz tog stanja.
Jednoliko i pravocrtno gibanje točke naziva se gibanje po inerciji. Mirovanje je poseban slučaj gibanja po inerciji, kada je brzina točke nula.
Svaka materijalna točka ima inerciju, odnosno nastoji održati stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja. Referentni sustav u odnosu na koji vrijedi zakon tromosti zove se inercijalni, a gibanje promatrano u odnosu na taj sustav naziva se apsolutnim. Svaki referentni sustav koji izvodi translatorno pravocrtno i jednoliko gibanje u odnosu na inercijalni sustav također će biti inercijalni sustav.
Drugi zakon (osnovni zakon dinamike):
Ubrzanje materijalne točke u odnosu na inercijski referentni okvir proporcionalno je sili koja djeluje na točku i podudara se sa silom u smjeru: 
.
Iz osnovnog zakona dinamike proizlazi da sa silom 
ubrzanje 
. Masa točke karakterizira stupanj otpornosti točke na promjene njezine brzine, odnosno mjera je tromosti materijalne točke.
Treći zakon (Zakon akcije i reakcije):
Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su veličine i usmjerene duž jedne ravne crte u suprotnim smjerovima.
Sile koje se nazivaju akcija i reakcija djeluju na različita tijela i stoga ne tvore uravnoteženi sustav.
Četvrti zakon (zakon neovisnosti sila):
Uz istovremeno djelovanje više sila, ubrzanje materijalne točke jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja koje bi točka imala pod djelovanjem svake sile zasebno:
, Gdje 
,
,…,
.
Korištenje zdravstvenog osiguranja u rješavanju problema povezano je s određenim poteškoćama. Stoga se između karakteristika gibanja i sila obično uspostavljaju dodatni odnosi koji su pogodniji za praktičnu primjenu. Takvi odnosi su opći teoremi dinamike. Oni, kao posljedice OMS-a, uspostavljaju odnose između brzine promjene nekih posebno uvedenih mjera kretanja i karakteristika vanjskih sila.
Teorem o promjeni količine gibanja. Uvedimo pojam vektora količine gibanja (R. Descartes) materijalne točke (sl. 3.4):
I i = t V G (3.9)
Riža. 3.4.
Za sustav uvodimo koncept glavni vektor impulsa sustava kao geometrijski zbir:
Q = Y, m " V r
U skladu s OZMS: Xu, -^=i) ili X
R (E) .
Uzimajući u obzir da je /w, = const dobivamo: -Ym,!" = R (E),
ili u konačnom obliku
dO/di = A (E (3.11)
oni. prva derivacija po vremenu glavnog vektora količine gibanja sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila.
Teorem o gibanju centra mase. Središte mase sustava zove se geometrijska točka čiji položaj ovisi o T, itd. iz raspodjele masa /g/, u sustavu i određuje se izrazom za radijus vektor centra mase (sl. 3.5):
Gdje g s - radijus vektor centra mase.
Riža. 3.5.
Nazovimo = t s masom sustava. Nakon množenja izraza
primjenom (3.12) na nazivnik i diferenciranjem obje strane dobivenog
imat ćemo vrijednu jednakost: g s t s = ^t.U. = 0, ili 0 = t s U s.
Dakle, glavni vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase sustava i brzine centra mase. Koristeći teorem o promjeni količine gibanja (3.11), dobivamo:
t s dU s / dí = A (E) , ili
Formula (3.13) izražava teorem o kretanju središta mase: središte mase sustava kreće se kao materijalna točka koja ima masu sustava, na koju djeluje glavni vektor vanjskih sila.
Teorem o promjeni kutne količine gibanja. Uvedimo pojam kutne količine gibanja materijalne točke kao vektorskog umnoška njezina radijus vektora i količine gibanja:
za oh = bl x da, (3.14)
Gdje za OI - kutni moment materijalne točke u odnosu na fiksnu točku OKO(Slika 3.6).
Sada definiramo kutni moment mehaničkog sustava kao geometrijski zbroj:
K() = X ko, = ŠU, ? O-15>
Diferenciranjem (3.15) dobivamo:
Ґ sek--- X t i U. + g u x t i
S obzirom na to = U G U i x t i u i= 0 i formule (3.2) dobivamo:
síK a /s1í̈ - í̈ 0 .
Na temelju drugog izraza u (3.6) konačno ćemo imati teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava:
Prva vremenska derivacija momenta količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na nepomično središte O jednaka je glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na taj sustav u odnosu na isto središte.
Pri izvođenju relacije (3.16) pretpostavljeno je da OKO- fiksna točka. Međutim, može se pokazati da se u nizu drugih slučajeva oblik relacije (3.16) neće promijeniti, osobito ako je u ravninskom gibanju trenutna točka odabrana u središtu mase, trenutnom središtu brzina ili ubrzanja. Osim toga, ako je točka OKO poklapa s pokretnom materijalnom točkom, jednakost (3.16) zapisana za tu točku pretvorit će se u identitet 0 = 0.
Teorem o promjeni kinetičke energije. Kada se mehanički sustav kreće, mijenjaju se i "vanjska" i unutarnja energija sustava. Ako karakteristike unutarnjih sila, glavni vektor i glavni moment, ne utječu na promjenu glavnog vektora i glavnog momenta broja ubrzanja, tada unutarnje sile mogu se uključiti u ocjenu procesa energetskog stanja sustava. Stoga, kada se razmatraju promjene energije sustava, potrebno je uzeti u obzir kretanja pojedinih točaka, na koje također djeluju unutarnje sile.
Kinetička energija materijalne točke definirana je kao veličina
T^tuTsg. (3.17)
Kinetička energija mehaničkog sustava jednaka je zbroju kinetičkih energija materijalnih točaka sustava:
primijeti da T > 0.
Definirajmo snagu sile kao skalarni umnožak vektora sile i vektora brzine:
Državno sveučilište St. Petersburg civilno zrakoplovstvo
Odjel br. 6 - “Mehanika”
odjeljak III
"DINAMIKA"
Sankt Peterburg
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Dobro
teorijska mehanika. Statika, kinematika,
dinamika. Udžbenik. M.: KNORS. 2011. - 608 str.
2. Meshchersky I.V. Problemi na teoretskom
mehanika. Udžbenik Korist. Sankt Peterburg: Lan. 2011. - 448 str.
3. Targ M.S. Kolegij teorijske mehanike. M.:
Postdiplomske studije. 2012. - 548 str.
4. Chernov K.I. Osnove tehničke mehanike. M.:
Strojarstvo. 1986. - 256 str.
5. Aret V.A. "Učenje na daljinu
tehnologija". (elektronički priručnik www.openmechanics.com), 2016. Predavanje 1. Uvod
u dinamiku. Zakoni i aksiomi
dinamika materijalne točke. Osnovna jednadžba
zvučnici. Diferencijalne i prirodne jednadžbe
pokreta. Dva glavna problema dinamike. Primjeri
rješavanje izravnog problema dinamike.
Predavanje 2. Rješavanje inverznog problema dinamike. Su česti
upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri
rješavanje inverznog problema dinamike. Kretanje tijela
bačen pod kutom prema horizontali, ne uzimajući u obzir otpor
zrak.
Predavanje 3. Pravocrtne oscilacije materijalne točke.
Stanje
nastanak
oklijevanje.
Klasifikacija
oklijevanje. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila
otpornost.
Raspadajući se
fluktuacije.
Smanjenje
oklijevanje.
Predavanje 4. Prisilne oscilacije materijalne točke.
Rezonancija.
Utjecaj
otpornost
pokret
na
prisilne vibracije Predavanje 5. Relativno gibanje materijalne točke.
Sile inercije. Posebni slučajevi gibanja za razne
vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na
ravnotežu i kretanje tijela.
Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sustava. Mehanički
sustav. Vanjske i unutarnje sile. Središte mase sustava.
Teorem o gibanju centra mase. Zakoni očuvanja.
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o
kretanje centra mase.
Predavanje 7. Impuls sile. Količina kretanja. Teorem o
promjena zamaha. Zakoni očuvanja.
Eulerov teorem. Primjer rješavanja problema pomoću
teoreme o promjenama količine gibanja. Trenutak
količina kretanja. Teorem o promjeni momenta
količina kretanja...
Predavanje 8. Zakoni očuvanja. Elementi teorije momenata
inercija.
Kinetička
trenutak
čvrsta
tijela.
Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela.
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o
promijeniti
trenutak
količinama
pokret
sustava.
Elementarna teorija žiroskopa.
UVOD U DINAMICU
Predavanje 1UVOD U DINAMICU
Dinamika je dio teorijske mehanike,
proučavajući mehaničko gibanje s njegove najopćenitije točke
vizija. Prijedlog se razmatra u vezi sa strujom
na objekt silom.
Sekcija se sastoji od tri cjeline:
Dinamika
Dinamika
Dinamika
materijalna točka
mehanički sustav
Analitička mehanika
Dinamika točke – proučava kretanje materijalne točke
uzimajući u obzir sile koje uzrokuju ovo kretanje.
Glavni objekt je materijalna točka – materijal
tijelo s masom čije dimenzije mogu biti
zanemariti. Dinamika mehaničkog sustava – proučava kretanje
zbirke materijalnih točaka i čvrstih tijela,
ujedinjeni općim zakonima interakcije, uzimajući u obzir
sile koje uzrokuju ovo kretanje.
Analitička mehanika – proučava kretanje neslobod
mehanički sustavi koji koriste uobičajene
analitičke metode.
Ključne pretpostavke:
– postoji apsolutni prostor (ima čist
geometrijska svojstva neovisna o materiji i
njezini pokreti);
– postoji apsolutno vrijeme (ne ovisi o materiji i
njezini pokreti). Iz ovoga slijedi:
– postoji apsolutno nepomičan referentni sustav;
– vrijeme ne ovisi o kretanju referentnog okvira;
– mase pokretnih točaka ne ovise o kretanju
referentni sustavi.
Ove pretpostavke se koriste u klasičnoj mehanici,
stvorili Galileo i Newton. Još uvijek ima
prilično širok raspon primjene, jer
mehanički razmatran u primijenjenim znanostima
sustavi nemaju tako velike mase i
brzine kretanja za koje ih je potrebno uzeti u obzir
utjecaj na geometriju prostora, vremena, kretanja, kako
to se radi u relativističkoj mehanici (teoriji
relativnost). Čvrstoća je promjenjiva veličina i ovisi o:
a) vrijeme - F f (t),
b) položaj točke primjene sile - F f (r),
c) brzinu kretanja
točke primjene sile - F f (V).
Materijalna točka može biti besplatna ako postoji
Nema ograničenja kretanja. Inače,
materijalnu točku nazivamo neslobodnom
Tromost je svojstvo materijalnog tijela da je brže odn
sporije mijenjajte brzinu
pod utjecajem sila koje na njega djeluju
Inercijalni referentni sustavi su oni sustavi
gdje je zakon inercije zadovoljen; inače, sustavi
referentne točke su neinercijalne
13. OSNOVNE VRSTE SILA
Gravitacija.Fmg
g 9,81 m/s2
ubrzanje gravitacije
F f N normalna reakcija.
koeficijent trenja
f 6,673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Sila trenja klizanja
Sila gravitacije.
gravitacijska konstanta
Elastična sila
F c
istezanje (sabijanje) opruge (m)
konstanta opruge (N/m).
Sila viskoznog trenja. Fv
brzina tijela
srednje gustoće
usporeni film
koeficijent otpora
1
F cx Sv 2
2
Hidrodinamička sila
kvadrat
koeficijent bočnog otpora
otpornost.
odjeljci
brzo kretanje 14. Zakoni i aksiomi dinamike točke parenja
Klasična mehanika temelji se na zakonima koji po prvi put
iznio I. Newton u svom djelu “Matematički principi
prirodna filozofija" (1687).
Osnovni zakoni dinamike – prvi otkrili Galileo i
koje je formulirao Newton čine temelj svih metoda
opis i analiza gibanja mehaničkih sustava i njihovih
dinamička interakcija pod utjecajem različitih sila.
Zakon inercije (Galileo-Newtonov zakon) – Izolirano
tijelo materijalne točke održava stanje mirovanja
odnosno jednoliko pravocrtno gibanje do
primijenjene sile ga neće prisiliti da promijeni ovo stanje.
To podrazumijeva istovjetnost stanja mirovanja i gibanja
inercijom (Galilejev zakon relativnosti). Referentni sustav
u odnosu na koje je zadovoljen zakon inercije,
nazivaju inercijskim. Svojstvo materijalne točke
nastojati održati istu brzinu kretanja
(njegovo kinematičko stanje) naziva se inercija. Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja
(Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) –
Akceleracija koju sila prenosi materijalnoj točki je
izravno proporcionalna sili i obrnuto
proporcionalna masi ove točke: a 1 F ili ma
m
F.
Ovdje je m masa točke (mjera tromosti), mjerena u kg,
brojčano jednaka težini podijeljenoj s akceleracijom slobodnog
Slapovi:
G
m
g
.
F – efektivna sila, mjerena u N (1 N govori bit
masa 1 kg ubrzanje 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). Zakon jednakosti akcije i reakcije (III zakon
Newton) - Svakoj akciji odgovara jednako
veličine i suprotnog smjera
opozicija:
m
F2.1m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
Zakon vrijedi za svako kinematičko stanje
tel. Interakcijske sile, koje se primjenjuju na različite
točke (tijela) nisu uravnotežene.
Zakon neovisnog djelovanja sila – Ubrzanje
materijalna točka pod utjecajem više sila
jednaka geometrijskom zbroju ubrzanja točke od
djelovanja svake sile posebno:
a (F1 , F2 ,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
ili
a (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. Osnovna jednadžba dinamike
Osnovni zakon dinamike: proizvod materijalne mase
točke na njegovu akceleraciju, koju dobiva pod utjecajem
sila, jednaka modulu te sile, i smjer ubrzanja
poklapa se sa smjerom vektora sile
ma F
ili
ma Fk
n
Osnovna jednadžba dinamike: ma Fi (1).
- odgovara vektorskoj metodi zadavanja kretanja točke. 15.1. Diferencijalne jednadžbe gibanja
materijalna točka
Zamijenimo akceleraciju točke za vektorski zadatak
pokret
d 2r
a
dt
2
.
2
d
u osnovnu jednadžbu dinamike: m r
Fi
2
dt
(2) - diferencijal
jednadžba gibanja točke u
vektorski oblik.
(2).
M
F1
F2
r
O
a U koordinatnom obliku: Koristimo vezu radijus-vektora sa
koordinate i vektor sile s projekcijama:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
Nakon grupiranja
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
vektorski omjer
dt
raspada se
d 2x
m x Popravi ;
Oh
:
m
F
;
ix
2
u tri skalara
dt
m y Fiy ;
ili
2
jednadžbe:
d g
z
Joj
:
m
Fiy;
2
az
m z Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
O
ja
x
k
da
sjekira
d 2z
(Oz) : m 2 Fiz. - diferencijal
dt
jednadžbe gibanja
z
j
x
g
g
točaka u koordinati
oblik.
Ovaj rezultat se može dobiti
formalna projekcija vektora
diferencijalna jednadžba (1). Prirodne jednadžbe gibanja materijalne točke
– dobivaju se projiciranjem vektora
diferencijalna jednadžba gibanja prema prirodnom
(pokretne) koordinatne osi:
m s Fiτ ;
() : maτ τ Fiτ ;
(n) : čovjek Fin ; ili
s 2
m
Peraje.
(b) : m 0 Fib .
s
O1 n
F2
- prirodno
jednadžbe
pokret
bodova.
b
M
a
F1
- prirodno
jednadžbe gibanja
bodova. 16. Dva glavna problema dinamike
Izravni problem: Zadano je gibanje (jednadžbe gibanja,
putanja). Potrebno je odrediti sile pod utjecajem
do kojih dolazi određeno kretanje.
Obrnuti problem: Date su sile pod čijim utjecajem
dolazi do kretanja. Treba pronaći parametre
g
pokret
(jednadžbe gibanja, putanje gibanja).
Oba problema rješavaju se pomoću osnovne jednadžbe dinamike i
njegovu projekciju na koordinatne ose. Ako se uzme u obzir kretanje
neslobodna točka, tada se kao i u statici koristi princip
sloboda od veza. Kao rezultat reakcije, veze se uključuju
u sile koje djeluju na materijalnu točku. Prvo rješenje
zadaci povezani
s operacijama diferenciranja. Rješenje inverza
r
ProblemO zahtijeva integraciju odgovarajućeg diferencijala
jednadžbe i to je puno teže od diferencijacije.
Inverzni problem je teži od izravnog problema Rješenje izravnog problema dinamike - razmotrite na
primjeri:
Primjer 1. Kabina dizala težine G podiže se užetom s
ubrzanje a. Odredite napetost kabela.
Rješenje: 1. Odaberite objekt (kabina dizala se pomiče naprijed i
može se smatrati materijalnom točkom).
2. Bacimo spoj (kabel) i zamijenimo ga reakcijom R.
3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: ma Fi G R
g
4. Projicirajte osnovnu jednadžbu dinamike na y-os:
R
(Oy) : može R G .
Kod jednolikog gibanja kabine ay = 0 i napetost sajle
jednako težini: T = G.
a
Ako sajla pukne, T = 0 i ubrzanje kabine je jednako ubrzanju
slobodni pad: ay = -g.
G
da
G
O
R G svibanj G a y G(1).
Određujemo reakciju kabela:
g
g
Odredite napetost kabela:
TR; T R G (1
da
g
).Rješenje inverznog problema dinamike – Općenito
gibanja točke sila koja djeluje na točku su
varijable koje ovise o vremenu, koordinatama i brzini.
Gibanje točke opisuje se sustavom trojki
m x Popravi ;
diferencijalne jednadžbe drugog reda: m y F ;
iy
Nakon integracije
svaki od njih će biti x f1 (t, C1, C 2, C3); x f 4 (t, C1, C 2,..., C 6); m z Fiz .
šest konstanti y f 2 (t, C1, C 2, C3); y f (t, C, C,..., C); x x ; y y ; z z ;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
z f 3 (t, C1, C2, C3).
z f 6 (t, C1, C 2,..., C 6). x x ; y y ; z z .
0
0
0
Vrijednosti konstanti C1, C2,…., C6
su od šest početnih
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
uvjeti pri t = 0:
Nakon zamjene pronađenog y f 2 (t, x 0, y 0, z 0); y f 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
vrijednosti konstanti dobivamo: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Tako
način, pod utjecajem istog sustava sila
x
materijalna točka može izvesti cijeli niz kretanja,
određena početnim uvjetima.
Početne koordinate uzimaju u obzir početni položaj točke. Početna
brzina određena projekcijama uzima u obzir utjecaj na njegovo kretanje duž
razmatrani odsjek putanje sila koje djeluju na točku prije
dolaska na ovo mjesto, tj. početno kinematičko stanje. 17. Opće upute za rješavanje direktnih i inverznih
zadaci. Postupak rješenja
1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe gibanja:
1.1. Odaberite koordinatni sustav – pravokutni
(stacionarno) s nepoznatom putanjom kretanja,
prirodni (pokretni) s poznatom putanjom,
na primjer, krug ili ravna linija. U potonjem slučaju
može se koristiti jedna linearna koordinata. Početak
poravnajte referentnu točku s početnim položajem točke (na t = 0)
ili s ravnotežnim položajem točke, ako postoji,
npr. kad točka oscilira. 1.2. Nacrtajte točku na mjestu koje odgovara
u proizvoljnom trenutku vremena (pri t > 0) tako da
koordinate su bile pozitivne (s > 0, x > 0). pri čemu
Također vjerujemo da projekcija brzine u ovom položaju
također je pozitivan. U slučaju oscilacija, projekcija brzine
mijenja predznak, na primjer, pri povratku na poziciju
ravnoteža. Ovdje treba prihvatiti da u razmatranom
trenutku u vremenu točka se udaljava od ravnotežnog položaja.
Pridržavanje ove preporuke važno je u budućnosti
rad sa silama otpora ovisnim o brzini.
1.3. Oslobodite materijalnu točku od spojeva, zamijenite
njihovo djelovanje su reakcije, dodajte aktivne sile.
1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku,
projicirati na odabrane osi, izraziti navedeno
ili reaktivne sile kroz varijable vrijeme, koordinate
ili brzinu, ako ovise o njima. 2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi:
2.1. Smanjite derivaciju ako jednadžba nije
sveden na kanonski (standardni) oblik.
Na primjer:
dv x ili s dv .
x
,
dt
dt
2.2. Odvojite varijable, na primjer:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt ili
gv2,
kvx,
vx
m
dt
m
dt
m
dv
dt.
k 2
g v
m
2.3. Ako u jednadžbi postoje tri varijable,
zatim napravite promjenu varijabli, na primjer:
dv x
1
cx,
dt
m
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
m
a zatim razdvojite varijable. 2.4. Izračunajte neodređene integrale u lijevoj i
na desnoj strani jednadžbe, na primjer:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
m
Koristeći početne uvjete, na primjer t = 0, vx = vx0,
odrediti konstantu integracije:
1
ln v x v k t 0 C1; C1 ln v x 0 .
x0
m
Komentar. Umjesto izračunavanja neodređenih integrala, možete
izračunati određene integrale s varijablom upper
ograničiti.
Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli
(početni uvjeti).Tada poseban nalaz nije potreban
konstanta koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer:
v
t
dv
1
v
m kdt.
v 0
0
u v
v
v 0
1 t
kt 0;
m
ln v ln v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
m
m 2.5. Izrazite brzinu kroz derivaciju koordinate u odnosu na
vrijeme npr.
i ponoviti
1
kt ln v 0
ds
stavci 2.2 -2.4
m
v
dt
e
Komentar. Ako se jednadžba svede na kanonsku
tipa koji ima standardno rješenje, onda je ovo konfekcijsko rješenje
koristi se otopina.
Konstantne integracije još uvijek se nalaze iz
početni uvjeti. 18. Dinamika slobodne materijalne točke
Kretanje točke bačene pod kutom u odnosu na horizontalu
uniformno polje gravitacije bez uzimanja u obzir
otpor zraka
dv x
0;
Oh
:
m
x
0
;
dt
ma
F G.
ja
(Oy) : m y G mg ;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos;
g
v0
O
x
G
x
g;
dx
v0cos;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt 2
y v0 sin t
;
219. Vrste vibracija materijalne točke
1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora
okoliš).
2. Slobodne vibracije uzimajući u obzir otpor medija
x
(prigušene oscilacije).
3. Prisilne vibracije.
4. Prisilne oscilacije uzimajući u obzir otpor
okoliš.
Slobodne vibracije - nastaju pod utjecajem
samo obnavljajuća moć.
Zapišimo osnovni zakon dinamike: ma G N R .
Odaberimo koordinatni sustav sa središtem na poziciji
ravnoteža (točka O) i projekt
jednadžba za x os:
O
m x R cx.
l
g
N
R
x
x
G
Predstavimo dobivenu jednadžbu
c
standardnom (kanonskom) obliku: x k 2 x 0, gdje je k 2.
m Ova jednadžba je homogena linearna
diferencijalna jednadžba drugog reda, oblik
čije je rješenje određeno korijenima
karakteristična jednadžba dobivena pomoću
univerzalna supstitucija: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Korijeni karakteristične jednadžbe
imaginarni i jednaki: z1, 2 ki.
Opće rješenje diferencijala
jednadžba ima oblik: x C1 cos kt C2 sin kt.
Brzina točke: x kC sin kt kC cos kt.
1
2
Početni uvjeti: t 0 x x0 , x x 0 .
Idemo definirati
konstante: x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k Prigušene oscilacije materijalne točke –
dolazi do oscilirajućeg gibanja materijalne točke
u prisutnosti obnavljajuće moći i snage
otpor kretanju.
Ovisnost sile otpora gibanju o pomaku
ili je brzina određena fizičkom prirodom medija ili
veza koja onemogućuje kretanje. Najjednostavniji
ovisnost je linearna o brzini
(viskozna otpornost).
Do prigušenja oscilacija dolazi vrlo brzo. Osnove
utjecaj sile otpora viskoznosti – smanjenje
amplitude oscilacija tijekom vremena. 20. Relativno gibanje materijalne točke
Pretpostavimo da se pokretni (neinercijalni) koordinatni sustav Oxyz giba duž
na neki zakon u odnosu na fiksni (inercijalni) koordinatni sustav
O1x1y1z1. Gibanje materijalne točke M (x, y, z) u odnosu na pokretnu
sustav Oxyz– relativno, relativno u odnosu na stacionarni sustav O1x1y1z1–
apsolutni. Gibanje mobilnog sustava Oxyz u odnosu na stacionarni
sustavi O1x1y1z1 – prijenosni pokret.
Apsolutno
Osnovna jednadžba dinamike: ma Fi. ubrzanje točke:
m(a a a) Fi .
r
e
c
a a a r a e a c.
Premjestimo termine s prijenosnim i
r
e
c
Coriolisovo ubrzanje na desnu stranu: ma Fi ma ma .
Preneseni članovi imaju dimenziju sila i
smatraju se relevantnim silama
e ma e, c ma c.
inercija jednaka:
r
U projekcijama na os gibljivog sustava
ma Fi e c .
koordinate koje imamo:
F
F
(Oz) : m z F
Zatim relativno gibanje točke
(Ox) : m x
može se smatrati apsolutnim
dodamo li djelujućim silama
(Oy) : m y
prijenosna i Coriolisova inercijska sila:
ix
ex cx;
iy
ej cy;
iz
ez cz .
Hvala na pozornosti!
Predavanje 2
21. Dinamika mehaničkog sustavaSustav materijalnih točaka ili mehanički sustav –
Skup materijalnih točaka ili materijalnih tijela,
ujedinjeni općim zakonima međudjelovanja (položaj
ili kretanje svake od točaka ili tijela ovisi o položaju
i kretanja svih ostalih).
Sustav slobodnih bodova – kretanje kojih nije
ograničen bilo kakvim vezama (na primjer, planetarnim
sustav u kojem se planeti smatraju
materijalne točke).
Neslobodni bodovni sustav ili neslobodni
mehanički sustav – kretanje materijalnih točaka odn
tijela su ograničena vezama nametnutim sustavu
(na primjer, mehanizam, stroj itd.).
Predavanje 2
22. Sile koje djeluju na sustavUz prethodno postojeću klasifikaciju snaga
(aktivne i reaktivne sile) uvodi se nova
klasifikacija sila:
1. Vanjske sile (e) – djeluju na točke i tijela
sustav iz točaka ili tijela koja nisu uključena u
ovog sustava.
2. Unutarnje sile (i) – sile međudjelovanja između
materijalne točke ili tijela uključena u dato
sustav.
Ista sila može biti i vanjska i
unutarnja snaga. Sve ovisi kakva je mehanika
sustav se preispituje.
Na primjer: U sustavu Sunce, Zemlja i Mjesec sve sile
gravitacijska sila između njih je unutarnja. Na
uzimajući u obzir sustav gravitacije Zemlje i Mjeseca,
oni koji se primjenjuju sa strane Sunca su vanjski. Na temelju zakona akcije i reakcije svake
unutarnja sila Fk odgovara drugoj unutarnjoj
sila Fk" jednaka po veličini i suprotna po veličini
smjer.
Iz ovoga slijede dva izvanredna svojstva unutarnjih sila:
1. Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava jednak je
ja
ja
nula: R Fk 0.
2. Glavna točka svih unutarnjih sila sustava
ja
ja
M
M
kO 0.
u odnosu na bilo koji centar je nula: O
A
U
Z
Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
ja
ja
ja
M
0
;
M
0
;
M
kx
ky
kz 0.
S
Napomena: Iako su ove jednadžbe slične jednadžbama ravnoteže, jesu
nisu takvi jer se na njih primjenjuju unutarnje sile
na različite točke ili tijela sustava i može uzrokovati njihovo kretanje
točke (tijela) jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednadžbi slijedi,
da unutarnje sile ne utječu na gibanje promatranog sustava
kao jednu cjelinu. 23. Središte mase sustava materijalnih točaka
Da bismo opisali gibanje sustava kao cjeline, uvodimo
geometrijska točka koja se naziva centar mase, čiji je radijus vektor određen izrazom
mk rk
r
,
C
gdje je M masa cijelog sustava:
Mmk.
M
Ili u projekcijama na koordinatne osi:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
M
z m1
r1
rC
m2
O
x
yC
mk
Kr
k
zC
r2
M
rn
xC
mn
g
mk z k
zC
.
M
Formule za centar mase
slično formulama za centar
gravitacija. Međutim, koncept centra
misa je općenitija jer nije
vezano uz gravitacijske sile ili
sile gravitacije. 24. Teorem o gibanju središta mase sustava
mk a k F k F k ili mk
e
ja
2
d
e
m
r
R
.
2 k k
dt
U projekcijama na
koordinatne osi:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. Sažmimo to
ove jednadžbe
na svim točkama:
MrC mk rk .
d2
e
M
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Ponovno
M
d 2 rC
dt 2
Ponovno
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke; Teorem: Produkt
Moj C R ey
M z C R ez
masa sustava po
Fike; ubrzanje njegovog središta
masa je jednaka glavnoj
e
Fzk. vektor vanjskih sila.
e Korolari iz teorema o gibanju središta mase sustava
(zakoni očuvanja)
je nula, Re = 0, tada je brzina centra mase konstantna, vC = const (centar
masa se giba jednoliko pravocrtno – zakon očuvanja gibanja
centar mase).
2. Ako se u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih
sila sustava na osi x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je brzina centra mase duž osi x
jednaka je nuli, Re = 0, au početnom trenutku brzina centra mase jednaka je
nula, vC = 0, tada radijus vektor centra mase ostaje konstantan, rC =
const (centar mase miruje – zakon održanja položaja
centar mase).
sila sustava na x os je nula, Rxe = 0, a u početnom trenutku brzina
centar mase duž ove osi jednak nuli, vCx = 0, tada je koordinata centra mase duž
x os ostaje konstantna, xC = const (središte mase se ne pomiče duž nje
os).
25. Impuls sile
Mjera mehaničke interakcije koja karakterizira
prijenos mehaničkog kretanja s glume
do točke sile za određeno vremensko razdoblje:
S F (t 2 t1).
U projekcijama na
t
t
t
koordinata (Ox): S x Fx dt; (Oy) : S y Fy dt ; (Oz) : S z Fz dt .
t
t
t
osovine:
2
2
2
1
1
1
t2
U slučaju konstantne sile: S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1);
S y Fy (t 2 t1);
S z Fz (t 2 tl);
Impuls rezultante jednak je geometrijskom
zbroj impulsa sila primijenjenih na točku tijekom jednog te istog
isti vremenski period: R F1 F2 ... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
Integrirajmo na t2
t2
t2
t2
zadani interval R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
vrijeme:
S S1 S 2 ... S n . 26. Gibanje točke
jednak umnošku mase točke i njezina vektora
brzina: Q mv.
Količina gibanja sustava materijalnih točaka –
geometrijski zbroj količina kretanja materijala
točke: Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Prema definiciji centra mase:
Q
m
v
Q Qk mk vk mk
drk
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk .
Vektor količine gibanja sustava jednak je
umnožak mase cijelog sustava i vektora brzine
centar mase sustava.
drC
d
Tada je: Q dt (Mrc) M dt MvC .
U projekcijama na
Q Mx C;
koordinatne osi: x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C . 26. Teorem o promjeni količine gibanja
sustava
Promotrimo sustav od n materijalnih točaka. U prilogu
Svaku točku sile dijelimo na vanjsku i unutarnju i
Zamijenimo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki.
Zapišimo osnovnu jednadžbu dinamike za svaku točku:
mk a k F ke F ki ili mk dvk Fke Fki .
dt
Sažmimo ove
Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo
jednadžbe
mise pod znakom izvedenice
na svim točkama:
a zbroj izvedenica zamijeniti sa
dvk
e
ja
m
F
F
.
k
k
k
izvod zbroja: d (m v) R e .
dt
k k
dt
Iz definicije
e
ja
d
Q
e
R
0
R
količine mk v k Q .
R.
Derivacija vektora količine gibanja sustava u odnosu na vrijeme
dt jednak je glavnom vektoru vanjskih sila sustava.
sustav kretanja:
dQx
U projekcijama na koordinate dQx R e F e ; dQx R e F e ;
R e F xke.
xk
xk
dt
dt
dt
osovine:
x
x
x 26. Korolari iz teorema o promjeni količine
gibanje sustava (zakoni očuvanja)
:
1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih
sile sustava je nula, Re = 0, zatim vektor količine
gibanje je konstantno, Q = const – zakon očuvanja
zamah sustava.
2. Ako se u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora
vanjske sile sustava na osi x jednake nuli, Rxe = 0, tada
projekcija količine gibanja sustava na x-os
je konstantan, Qx = const.
Slične tvrdnje vrijede za osi y i z.
dQ
Projiciramo na os: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Mi dijelimo
Q
t
varijable
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
i integrirati: Q0
Odatle zakon Qτ Qτ 0 0 ili Qτ 0 Qτ.
spremanje: Mv m v m v .
1 1
2 2
Desni integral
gotovo jednaka
nula, jer vrijeme
eksplozija t<<1.
v2
Mv m1v1
v2.
m2 27. Moment točke ili kinetički
moment gibanja u odnosu na neko središte
Mjera mehaničkog gibanja definirana vektorom,
jednak vektorskom umnošku radijus vektora
materijalna točka vektorom njezine količine gibanja:
Q
v
Kinetički moment sustava materijalnih točaka
u odnosu na neko središte – geometrijski
zbroj momenata količina gibanja svih
materijalne točke u odnosu na isto središte:
m
K.O.
r
O
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Derivacija vektora kutne količine gibanja
sustava u odnosu na neko središte u vremenu
jednak glavnom momentu vanjskih sila sustava
u odnosu na isti centar.
KO K1O K2O ... KnO KiO ri mi vi .
U projekcijama
Kx
na osi:
K
ix
; K y Kiy;
K z Kiy. 28. Teorem o promjeni kutne količine gibanja
kretanje sustava
Promotrimo sustav od n materijalnih točaka. U prilogu
Svaku točku sile dijelimo na vanjsku i unutarnju i
Zamijenimo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki.
Zapišimo osnovnu jednadžbu dinamike za svaku točku:
dvk
e
ja
e
ja
m
F
F
.
mk a k F k F k
k
ili
k
k
dt
Vektorski pomnožimo svaku od jednakosti s radijus vektorom
lijevo:
dv
rk mk
k
dt
Sažmimo ove
jednadžbe za sve
bodovi:
rk Fke rk Fki .
dvk
e
ja
r
m
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
e
M.O.
ja
M.O.
0Da vidimo možemo li ukloniti predznak izvoda
izvan unakrsnog umnoška:
drk
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk , mk vk) 0)
dvk
rk mk
.
dt
d
e
r
m
v
M
k
k k
O.
dt
Dakle, dobili smo:
Zamijenimo zbroj derivacija
izvodu zbroja: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
Izraz u zagradama je kutni moment
sustava. Odavde:
dK
O
dt
M Oe. U projekcijama na koordinatne osi:
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt
Teorem: Derivacija vektora momenta
količina gibanja sustava u odnosu na
nekog centra vremenski je jednaka glavnom
moment vanjskih sila sustava u odnosu na
isti centar.
dK
O
dt
M Oe.
Teorem: Derivacija momenta količine
kretanje sustava u odnosu na neku os
vremenski jednaka glavnom trenutku vanjskog
sile sustava u odnosu na istu os.
dKy
dK x
dK z
e
e
Mx;
M y;
Mze.
dt
dt
dt 29. Korolari iz teorema o promjeni momenta
moment količine gibanja sustava (zakoni očuvanja)
1. Ako u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta
vanjske sile sustava u odnosu na neko središte
je jednak nuli, MOe = 0, tada je vektor momenta kvant
gibanja sustava u odnosu na isto središte
konstanta, KO = const – zakon održanja momenta
impuls sustava).
2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment vanjskog
sila sustava u odnosu na os x je nula, Mxe = 0, tada
kutni moment sustava oko x-osi
konstanta, Kx = konst.
Slične tvrdnje vrijede za osi y i z. 30. Elementi teorije momenata tromosti
U rotacijskom gibanju krutog tijela, mjera tromosti
(otpor promjenama u kretanju) je trenutak
inercija u odnosu na os rotacije. Pogledajmo glavno
pojmovi definicije i metode za izračunavanje momenata
inercija.
30.1. Moment tromosti materijalne točke
u odnosu na os
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
m
z
r
O
h
x
x
g
g
Moment tromosti materijala
točka u odnosu na os jednaka
umnožak mase točke i
kvadrat udaljenosti točke od osi.
Osim aksijalnog momenta tromosti krutog tijela
Postoje i druge vrste momenata inercije:
I xy xydm
- centrifugalni moment tromosti
čvrsto tijelo. 30.2. Moment tromosti krutog tijela oko osi
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
g
O
yk
x
Moment tromosti krutog tijela
u odnosu na os jednak je zbroju
produkti mase svake točke
kvadratom udaljenosti ove točke
do osi.
Pri prelasku iz diskretnog
male mase do infinitezimalne
masa točke, granica takvog zbroja
određuje se integralom:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- aksijalni moment tromosti
čvrsto tijelo.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- polarni trenutak
tromost čvrstog tijela. 30.4. Moment tromosti jednoličnog konstantnog štapa
presjeci u odnosu na os
Izaberimo elementarni volumen dV = Adx na udaljenosti x:
zS
z
Osnovno
težina:
dm Adx
L
x
x
C
dx
L
3L
L
x
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3 ML2
A
3
3
položaj osi i postavljanje granica integracije (-L/2,
L/2). Ovdje demonstriramo formulu za prelazak na
paralelne osi:
2
2
M.L.
L
I zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
I zC
2
ML L
ML2
M
.
3
12
2
230.5. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra
u odnosu na os simetrije
Izaberimo elementarni volumen: dV = 2πrdrH (tanki cilindar
radijus r
Elementarna masa:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 MR 2
2H
4
2
MR 2
Iz
2
Budući da visina cilindara nije uključena u rezultat
formule za momente tromosti, onda ostaju
vrijedi za tanki čvrsti disk i rub
kotači (tanki prsten). 31. Kinetički moment krutog tijela
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi h Δmi .
2
z i
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
ja
Ili ide dalje
na infinitezimalne:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
Kinetički moment rotacije
tijelo je jednako umnošku kutnih
brzina u trenutku inercije
u odnosu na os rotacije.
z
z
bok
Δmi
vi
x
g 32. Diferencijalna jednadžba rotacije
kruto tijelo u odnosu na os
Zapišimo teorem o promjeni kutne količine gibanja
kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi:
dK z
Mze.
dt
Kinetički moment rotirajućeg krutog tijela jednak je:
z
z
z
Mz
x
K z z I z .
Moment vanjskih sila u odnosu na os
rotacija je jednaka momentu
(reakcije i gravitacija M e M M
z
z
rotirati
ne stvarati šanse):
Zamijenimo kinetički moment i
g
moment u teoremu
d (z I z)
M z M rotacija
dt
I z M z M rotacija 33. Elementarna teorija žiroskopa
Žiroskop - kruto tijelo koje rotira oko osi
materijalna simetrija, čija je jedna od točaka
nepomična.
Slobodni žiroskop – fiksiran tako da mu je središte mase
ostaje nepomična, a os rotacije prolazi
centar mase i može zauzeti bilo koji položaj
prostor, tj. os rotacije mijenja svoj položaj
slično osi vlastite rotacije tijela pri
sferno kretanje.
KC
ω Glavna pretpostavka približne (elementarne)
teorija žiroskopa – vektor momenta količine
razmatra se kretanje (kinetički moment) rotora
usmjeren duž vlastite osi rotacije.
Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je os rotora
održava stalan smjer u prostoru duž
u odnosu na inercijalni (zvjezdani) referentni okvir
(demonstrirano Foucaultovim njihalom, koje održava
u odnosu na zvijezde ravnina ljuljačke, 1852).
To slijedi iz zakona održanja kutne količine gibanja
u odnosu na središte mase rotora, pod uvjetom
zanemarujući trenje u ležajevima ovjesnih osovina
rotor, vanjski i unutarnji okvir:
dK C
M Ce 0;
dt
K C konst. 34. Djelovanje sile na os slobodnog žiroskopa
U slučaju sile koja se primjenjuje na os rotora,
moment vanjskih sila u odnosu na centar mase nije jednak
nula:
dK
M e Fh.
C
dt
M Ce r F;
C
Derivacija kutne količine gibanja u odnosu na vrijeme
jednaka brzini kraja ovog vektora (Rézalov teorem):
dK C
dr
v K ; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce .
To znači da će os rotora biti
skrenuti s pravca djelovanja
sile, a prema vektoru momenta
ova sila, tj. neće okrenuti
u odnosu na os x (unutarnji
ovjes), i u odnosu na y-os
(vanjski ovjes).
F
h
vK
g
S
M Ce
x
ω
KC Kada sila prestane, os rotora će ostati
u stalnom položaju koji odgovara
posljednji trenutak vremena djelovanja sile, jer
od ovog trenutka u vremenu ponovno trenutak vanjskih sila
postaje jednaka nuli.
U slučaju kratkotrajne sile (udarca) os
Žiroskop praktički ne mijenja svoj položaj.
Dakle, brza rotacija rotora komunicira
sposobnost žiroskopa da se suprotstavi slučajnim
utjecaji koji teže promjeni položaja osi
rotacije rotora, i to konstantnom silom
održava položaj ravnine okomit na
djelujuća sila u kojoj leži os rotora. Ova svojstva
koristi se u radu inercijskih navigacijskih sustava.
Hvala na pozornosti!
Primjer: U čamcu su dvije osobe masa m1 i m2masa m3. U početnom trenutku, brod s ljudima
bio u mirovanju. Odredite deplasman čamca ako
osoba mase m2 kretala se prema pramcu čamca na udaljenosti a.
1. Predmet kretanja
(čamac s ljudima):
x2
g
x1
2. Odbacujemo priključke (voda):
A
G3
3. Zamijenite vezu reakcijom:
4. Dodajte aktivne sile:
G1
R
G2
x
O
Projicirajte na x os:
M x C 0.
xC konst.
MaC R e G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
x3
x C const 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
l
m1 m2 m3
u suprotnom smjeru.
17
Predavanje 6 (nastavak od 6.2)
Teorem o gibanju središta mase sustava – Promatrajmo sustav od n materijalnih točaka. Podijelimo sile primijenjene na svaku točkuna vanjske i unutarnje i zamijeniti ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Napišimo osnovnu jednadžbu za svaku točku
zvučnici:
ili
d 2 rk
e
ja
d 2 rk
Sažmimo ove jednadžbe
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
m
k 2 Fke Fki .
k
k
na svim točkama:
dt 2
dt
Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo mase pod predznakom derivacije
d2
(m r) R e.
i zbroj derivacija zamijenimo derivacijom zbroja:
2 k k
Iz definicije centra mase:
Nakon uklanjanja mase sustava
za predznak izvoda dobivamo
U projekcijama na koordinatne osi:
MrC mk rk .
M
d 2 rC
dt
2
dt
Zamijenimo u dobivenu jednadžbu:
R e ili:
M x C R ex X ke;
M y C R ey Yke ;
MaC R e
d2
(MrC) R e .
2
dt
Ponovno
Ri 0
Umnožak mase sustava i ubrzanja njegova središta mase
jednak glavnom vektoru vanjskih sila.
Središte mase sustava giba se kao materijalna točka s masom jednakom masi
cijeli sustav na koji se primjenjuju sve vanjske sile koje djeluju na sustav.
Primjer: U čamcu mase m3 nalaze se dvije osobe masa m1 i m2.
U početnom trenutku brod s ljudima je mirovao.
Odredi deplasman čamca ako se osoba mase m2 kreće prema pramcu
Korolari iz teorema o gibanju središta mase sustava
brodovi na daljinu.
g
(zakoni očuvanja):
x2
A
1. Ako u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava
x
1. Objekt kretanja (čamac s ljudima):
1
je nula, Re = 0, tada je brzina centra mase konstantna, vC = const
2. Odbacujemo priključke (voda):
(središte mase se giba ravnomjerno pravocrtno – zakon očuvanja
3.
Vezu zamjenjujemo reakcijom:
G1
x
kretanje centra mase).
O
G2
2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila 4. Dodati aktivne sile:
sustava na x osi je nula, Rxe = 0, tada je brzina centra mase duž x osi
5. Zapisujemo teorem o centru mase:
konstanta, vCx = const (središte mase jednoliko se giba po osi).
G3
R
MaC R e G1 G2 G3 N
Slične tvrdnje vrijede za osi y i z.
x3
3. Ako u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava
Projicirajte na x os: M x C 0.
x C const 0.
je nula, Re = 0, au početnom trenutku brzina centra mase je nula,
xC konst.
vC = 0, tada radijus vektor centra mase ostaje konstantan, rC = const (centar
mk xk 0 mk xk .
masa miruje – zakon o očuvanju položaja centra mase).
Odredimo koliko udaljenost treba osobi mase m1 da promijeni sjedalo,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Ako se u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih
snaga
kako bi čamac ostao na mjestu:
sustava na x osi je nula, Rxe = 0, au početnom trenutku središnja brzina
m2 a
0 m1l m2 (l a) m3l
m1 x1prema ovome
m2 x2 osi
mequal
m1 (x1v Cxb=) 0,
m
(x2 a) mcentar
l
mase
to2 koordinirati
masa osi x
3 x 3 nula,
3 x 3 .
m1 m2 m3
m2
ostaje konstantna, xC = const (središte mase se ne pomiče duž ove osi).
Brod će prijeći udaljenost l
b
a
.
0
m
b
m
a
.
Sličan
vrijedi za ym i z osi.
1 izjave
2
17
u suprotnom smjeru.
M z C R ez Z ke .
1
Predavanje 8 (nastavak od 8.2)
4.Moment tromosti jednoličnog konstantnog štapa
presjeci u odnosu na os:
Istaknimo elementarno
zS
volumen dV = Adx
z
L
na udaljenosti x:
5.
Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra
u odnosu na os simetrije:
Istaknimo elementarno
volumen dV = 2πrdrH
(tanki cilindar radijusa r):
Osnovno
težina:
dm 2 rdrH
z
R
x
dx
L
Osnovno
težina:
dm
C
x
L
3L
x
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
Adx
H
R
L3 ML2
A
3
3
g
Za izračunavanje momenta tromosti u odnosu na središnji
os (prolazi kroz težište) dovoljno je promijeniti
položaj osi i postavljanje granica integracije (-L/2, L/2).
Ovdje demonstriramo formulu za prijelaz na paralelu
sjekire:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
I zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
0
0
4R
x
r
r
2H
4
dr
0
R 4 MR 2
2H
4
2
Ovdje koristimo formulu za volumen cilindra V=πR2H.
Za izračunavanje momenta tromosti šupljeg (debelog) cilindra
dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1):
M.L.
L
I zC M .
3
2
r4
I z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Moment tromosti tankog cilindra u odnosu na os Budući da visina cilindara kao rezultat nije uključena u formule momenta
inercija, onda ostaju važeći za tanki čvrsti disk i
simetrija (t<
R
z t
Zbog male debljine cilindra
pretpostavljamo da su sve točke locirane
na istoj udaljenosti R od osi
i nije potrebna nikakva integracija.
Volumen V = 2πRtH. (tanki cilindar
polumjer R s debljinom stijenke t).
H
g
x
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Izaberimo diskretni mali volumen mase mi:
ΔK zi hi Δmi vi hi Δmi z hi z hi2 Δmi .
z
bok
I z R 2 2 RtH MR 2 .
Isto se može postići korištenjem
formule za cilindar debelih stijenki, uzimajući u obzir
mali t:
Impuls krutog tijela
Δmi
x
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
Ili prijeći na infinitezimale:
g
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
Kutni moment rotacijskog tijela jednak je umnošku
kutna brzina u trenutku tromosti u odnosu na os rotacije.
22Eulerov teorem
Teoremi: Primjena teorema o promjeni količine
kretanja sustava na kretanje kontinuiranog medija (vode).
(x) : M sec (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y) : M sec (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z) : Mkretanje
Rz nalazi
.
sek (v2 z v1 volumen
z) Rzvoda,
1.Odaberi kao objekt
u zakrivljenom kanalu turbine:
2. Odbacujemo veze i njihovo djelovanje zamjenjujemo reakcijama (Rpov je rezultanta površinskih sila)
3. Dodati aktivne sile (Rob – rezultanta volumetrijskih sila):
oko
v1
F1
A
A
B
B
Opljačkati
Količina kretanja vode u trenucima t0 i t1
U projekcijama kao
za iznose:
osovine:
zamislimo se
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
prije Krista
Q1 QBC QCD .
,
Promjena količine gibanja vode u vremenskom intervalu:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
Promjena količine
pokret
vodni vektori sekundnih količina gibanja fluida po osi jednaka je
Razlika
projekcije
dQ dQCD dQAB , gdje je dQAB (F1v1dt)v1;
za infinitezimalno
interval
vrijeme
dt: vektori
zbroj projekcija glavnog
zapreminske i površinske sile na istoj osi.
dQCD (F2v2 dt)v2 .
Uzimajući umnožak gustoće, površine poprečnog presjeka i brzine kao drugu masu
dobivamo:
dQ (M dt)v;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Zapisujemo teorem o promjeni količine gibanja sustava:
RPov
C
D
pov
sek
1
dQCD (M sec dt)v2 .
dQ M sec (v2 v1)dt.
M sek F1v1 F2v2,
Zamjena diferencijala impulsa sustava
u teoremu promjene dobivamo:
M sec (v2 v1) Rrev Rrev.
Geometrijska razlika između vektora drugih veličina gibanja fluida jednaka je
zbroj glavnih vektora volumenskih i površinskih sila.
(MEHANIČKI SUSTAVI) – IV opcija
1. Osnovna jednadžba dinamike materijalne točke, kao što je poznato, izražava se jednadžbom. Diferencijalne jednadžbe gibanja proizvoljnih točaka neslobodnog mehaničkog sustava prema dva načina dijeljenja sila mogu se napisati u dva oblika:
(1) , gdje je k=1, 2, 3, … , n – broj točaka materijalnog sustava.
gdje je masa k-te točke; - radijus vektor k-te točke, - zadana (aktivna) sila koja djeluje na k-tu točku ili rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na k-tu točku. - rezultanta sila reakcije veze koje djeluju na k-tu točku; - rezultanta unutarnjih sila koje djeluju na k-tu točku; - rezultanta vanjskih sila koje djeluju na k-tu točku.
Pomoću jednadžbi (1) i (2) može se nastojati riješiti i prvi i drugi problem dinamike. Međutim, rješavanje drugog problema dinamike za sustav postaje vrlo komplicirano, ne samo s matematičkog gledišta, već i zato što smo suočeni s temeljnim poteškoćama. One se sastoje u tome da je i za sustav (1) i za sustav (2) broj jednadžbi znatno manji od broja nepoznanica.
Dakle, ako koristimo (1), tada će poznata dinamika za drugi (inverzni) problem biti i , a nepoznata će biti i . Vektorske jednadžbe bit će " n“, a nepoznati - „2n”.
Ako pođemo od sustava jednadžbi (2), onda su neke od vanjskih sila poznate. Zašto se rastati? Činjenica je da broj vanjskih sila uključuje i vanjske reakcije veza koje su nepoznate. Osim toga, . će također biti nepoznat.
Dakle, i sustav (1) i sustav (2) su NEZATVORENI. Potrebno je dodati jednadžbe, uzimajući u obzir jednadžbe veza, a možda je također potrebno nametnuti neka ograničenja na same veze. Što uraditi?
Ako pođemo od (1), onda možemo ići putem sastavljanja Lagrangeovih jednadžbi prve vrste. Ali taj put nije racionalan jer što je problem jednostavniji (manje stupnjeva slobode), to ga je teže riješiti s matematičkog gledišta.
Zatim obratimo pozornost na sustav (2), gdje su - uvijek nepoznate. Prvi korak u rješavanju sustava je eliminirati te nepoznanice. Treba imati na umu da nas u pravilu ne zanimaju unutarnje sile kada se sustav giba, odnosno kada se sustav giba nije potrebno znati kako se koja točka sustava giba, već je dovoljno znati kako se sustav kreće kao cjelina.
Dakle, ako iz sustava (2) na različite načine isključimo nepoznate sile, dobivamo neke odnose, tj. pojavljuju se neke opće karakteristike sustava čije poznavanje omogućuje prosuđivanje o kretanju sustava općenito. Ove karakteristike uvode se pomoću tzv opći teoremi dinamike. Postoje četiri takva teoreme:
1. Teorem o kretanje središta mase mehaničkog sustava;
2. Teorem o promjena količine gibanja mehaničkog sustava;
3. Teorem o promjena kinetičkog momenta mehaničkog sustava;
4. Teorem o promjena kinetičke energije mehaničkog sustava.