Creați un model matematic pentru definiție. Modele matematice ale problemelor de programare liniară

MODEL MATEMATIC - reprezentare a unui fenomen sau proces studiat în cunoștințe științifice concrete în limbajul conceptelor matematice. În acest caz, se așteaptă să se obțină o serie de proprietăți ale fenomenului studiat prin studiul caracteristicilor matematice reale ale modelului. Construcția lui M.m. este dictată cel mai adesea de necesitatea de a avea o analiză cantitativă a fenomenelor și proceselor studiate, fără de care, la rândul său, este imposibil să se facă predicții verificabile experimental despre cursul acestora.

Procesul de modelare matematică, de regulă, trece prin următoarele etape. În prima etapă sunt identificate conexiuni între principalii parametri ai viitorului M.m. Vorbim în primul rând despre o analiză calitativă a fenomenelor studiate și formularea de modele care leagă principalele obiecte de cercetare. Pe această bază sunt identificate obiectele care pot fi descrise cantitativ. Etapa se încheie cu construirea unui model ipotetic, cu alte cuvinte, înregistrarea în limbajul conceptelor matematice a ideilor calitative despre relațiile dintre principalele obiecte ale modelului, care pot fi caracterizate cantitativ.

În a doua etapă are loc cercetarea în sine probleme matematice, la care duce modelul ipotetic construit. Principalul lucru în această etapă este obținerea unor consecințe teoretice verificabile empiric (rezolvarea problemei directe) ca rezultat al analizei matematice a modelului. În același timp, sunt adesea cazuri când, pentru a construi și a studia M.m. în diferite domenii în special cunoștințe științifice se folosește același aparat matematic (de exemplu, ecuații diferențiale) și apar probleme matematice de același tip, deși foarte netriviale în fiecare caz concret. În plus, în această etapă, utilizarea de acțiune rapidă tehnologia calculatoarelor(calculator), care face posibilă obținerea unei soluții aproximative a problemelor, adesea imposibile în cadrul matematicii pure, cu un grad de precizie inaccesibil anterior (fără utilizarea unui computer).

A treia etapă se caracterizează prin activități de identificare a gradului de adecvare a M.M. ipotetic construit. acele fenomene și procese pentru care s-a intenționat să se studieze. Și anume, dacă toți parametrii modelului au fost specificați, cercetătorii încearcă să afle în ce măsură, în limitele acurateței observaționale, rezultatele lor sunt în concordanță cu consecințele teoretice ale modelului. Abaterile dincolo de acuratețea observațiilor indică inadecvarea modelului. Cu toate acestea, există adesea cazuri când, la construirea unui model, rămân o serie de parametri ai acestuia

incert. Problemele în care caracteristicile parametrice ale modelului sunt stabilite în așa fel încât consecințele teoretice să fie comparabile, în limitele acurateței observaționale, cu rezultatele testelor empirice se numesc probleme inverse.

În a patra etapă, ținând cont de identificarea gradului de adecvare a modelului ipotetic construit și apariția de noi date experimentale asupra fenomenelor studiate, are loc analiza și modificarea ulterioară a modelului. Aici decizia luată variază de la respingerea necondiționată a instrumentelor matematice aplicate până la acceptarea modelului construit ca fundament pentru construirea unei teorii științifice fundamental noi.

Mai întâi M.m. a apărut în știința antică. Da, pentru modelare sistem solar Matematicianul și astronomul grec Eudoxus a dat fiecărei planete patru sfere, a căror combinație a mișcărilor a creat un hipoped - o curbă matematică similară cu mișcarea observată a planetei. Deoarece, totuși, acest model nu a putut explica toate anomaliile observate în mișcarea planetelor, a fost ulterior înlocuit cu modelul epiciclic al lui Apollonius din Perga. Cel mai recent model folosit în cercetările sale de Hiparh și apoi, după ce l-a supus unor modificări, de Ptolemeu. Acest model, ca și predecesorii săi, s-a bazat pe credința că planetele suferă mișcări circulare uniforme, a căror suprapunere a explicat neregulile aparente. De remarcat că modelul copernican era fundamental nou doar în sens calitativ (dar nu ca M.M.). Și numai Kepler, pe baza observațiilor lui Tycho Brahe, a construit un nou M.M. Sistemul solar, dovedind că planetele se mișcă nu în orbite circulare, ci pe orbite eliptice.

În prezent, cele mai adecvate sunt considerate a fi cele construite pentru a descrie fenomene mecanice și fizice. Cu privire la adecvarea lui M.m. în afara fizicii se poate, cu unele excepții, să vorbească cu multă prudență. Cu toate acestea, fixarea naturii ipotetice și, adesea, pur și simplu inadecvarea lui M.m. în diverse domenii ale cunoașterii, rolul lor în dezvoltarea științei nu trebuie subestimat. Există adesea cazuri când chiar și modele care sunt departe de a fi adecvate au organizat și stimulat în mod semnificativ cercetările ulterioare, alături de concluzii eronate care conțineau și grăunte de adevăr care justificau pe deplin eforturile depuse pentru dezvoltarea acestor modele.

Literatură:

Modelare matematică. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematizarea cunoștințelor științifice. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Ecuații diferențiale în ecologie: reflecție istorică și metodologică // Întrebări ale istoriei științelor naturale și tehnologiei. 1997. Nr. 3.

Dicţionar de termeni filosofici. Ediția științifică a profesorului V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

Exemplul 1.5.1.

Fie ca o anumită regiune economică să producă mai multe (n) tipuri de produse exclusiv pe cont propriu și numai pentru populația acestei regiuni. Se presupune că procesul tehnologic a fost elaborat, iar cererea populației pentru aceste bunuri a fost studiată. Este necesar să se determine volumul anual de producție de produs, ținând cont de faptul că acest volum trebuie să asigure atât consumul final, cât și cel industrial.

Să creăm un model matematic al acestei probleme. În funcție de condițiile sale, se dau următoarele: tipuri de produse, cererea pentru acestea și procesul tehnologic; trebuie să găsiți volumul de ieșire al fiecărui tip de produs.

Să notăm mărimile cunoscute:

c i– cererea populaţiei pentru i produsul ( i=1,...,n); A ij- cantitate i al-lea produs necesar pentru a produce o unitate de j--lea produs folosind o tehnologie dată ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i – volumul de ieșire i- al-lea produs ( i=1,...,n); totalitate Cu =(c 1 ,..., c n ) numit vector cerere, numere A ij– coeficienții tehnologici, și totalitatea X =(X 1 ,..., X n ) – vector de eliberare.

În funcție de condițiile problemei, vectorul X distribuit în două părți: pentru consum final (vector Cu ) și pentru reproducere (vector x-s ). Să calculăm acea parte a vectorului X care intră în reproducere. Conform denumirilor noastre pentru producție X j cantitatea de al j-lea produs merge A ij · X j cantități i-al-lea produs.

Apoi suma A i1 · X 1 +...+ A în · X n arată această valoare i-al-lea produs, care este necesar pentru întreaga lansare X =(X 1 ,..., X n ).

Prin urmare, egalitatea trebuie satisfăcută:

Extinzând acest raționament la toate tipurile de produse, ajungem la modelul dorit:

Rezolvarea acestui sistem de n ecuații liniare pentru X 1 ,...,X nși găsiți vectorul de eliberare necesar.

Pentru a scrie acest model într-o formă mai compactă (vectorală), introducem următoarea notație:

pătrat (
) -matrice A numită matricea tehnologiei. Este ușor să verificați dacă modelul nostru va fi scris acum astfel: x-s=Ah sau

(1.6)

Am primit modelul clasic " Intrare ieșire „, al cărui autor este celebrul economist american V. Leontiev.

Exemplul 1.5.2.

Rafinăria de petrol are două grade de petrol: grad A in valoare de 10 unitati, grad ÎN- 15 unitati. La rafinarea petrolului se obțin două materiale: benzină (notăm B) și păcură ( M). Există trei opțiuni pentru procesul tehnologic de procesare:

eu: 1 unitate A+ 2 unitati ÎN da 3 unitati. B+ 2 unitati M

II: 2 unități. A+ 1 unitate ÎN da 1 unitate. B+ 5 unități M

III: 2 unitati A+ 2 unitati ÎN da 1 unitate. B+ 2 unitati M

Prețul benzinei este de 10 USD pe unitate, păcură este de 1 USD pe unitate.

Este necesar să se determine cea mai avantajoasă combinație de procese tehnologice pentru prelucrarea cantității disponibile de ulei.

Înainte de modelare, să clarificăm următoarele puncte. Din condițiile problemei rezultă că „rentabilitatea” procesului tehnologic pentru uzină trebuie înțeleasă în sensul obținerii unui venit maxim din vânzarea produselor sale finite (benzină și păcură). În acest sens, este clar că „decizia de alegere (luare)” a fabricii constă în a determina ce tehnologie să aplice și de câte ori. Evident, există destul de multe astfel de opțiuni posibile.

Să notăm mărimile necunoscute:

X i– cantitatea de utilizare i al-lea proces tehnologic (i=1,2,3). Alți parametri ai modelului (rezervele de petrol, prețurile la benzină și la păcură) cunoscut.

Acum, o decizie specifică a plantei se rezumă la alegerea unui vector X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , pentru care venitul fabricii este egal cu (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolari Aici, 32 de dolari este venitul primit dintr-o aplicație a primului proces tehnologic (10 3 unități. B+ 1 dolar ·2 unități. M= 32 USD). Coeficienții 15 și 12 pentru al doilea și, respectiv, al treilea proces tehnologic, au o semnificație similară. Contabilitatea rezervelor de petrol conduce la următoarele condiții:

pentru varietate A:

pentru varietate ÎN:,

unde în primii coeficienți de inegalitate 1, 2, 2 sunt ratele de consum de ulei de calitate A pentru utilizarea unică a proceselor tehnologice eu,II,III respectiv. Coeficienții celei de-a doua inegalități au o semnificație similară pentru uleiul de grad B.

Modelul matematic în ansamblu are forma:

Găsiți un astfel de vector x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) pentru a maximiza

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

sub rezerva următoarelor condiții:

Forma prescurtată a acestei intrări este:

sub restricții

(1.7)

Avem așa-numita problemă de programare liniară.

Modelul (1.7.) este un exemplu de model de optimizare de tip determinist (cu elemente bine definite).

Exemplul 1.5.3.

Un investitor trebuie să determine cea mai bună combinație de acțiuni, obligațiuni și alte titluri de cumpărat pentru o anumită sumă pentru a obține un anumit profit cu risc minim pentru el însuși. Profit pe dolar investit într-un titlu j- tip, caracterizat prin doi indicatori: profitul așteptat și profitul real. Pentru un investitor, este de dorit ca profitul așteptat per dolar de investiție să nu fie mai mic decât o valoare dată pentru întregul set de titluri. b.

Rețineți că pentru a modela corect această problemă, un matematician este necesar să aibă anumite cunoștințe de bază în domeniul teoriei portofoliului de valori mobiliare.

Să notăm parametrii cunoscuți ai problemei:

n– numărul de tipuri de titluri de valoare; A j– profit real (număr aleatoriu) din al j-lea tip de titlu; – profitul așteptat din j-al-lea tip de securitate.

Să notăm mărimile necunoscute :

y j - fonduri alocate pentru achiziționarea de titluri de valoare de acest tip j.

Folosind notația noastră, întreaga sumă investită este exprimată ca . Pentru a simplifica modelul, introducem cantități noi

.

Prin urmare, X i- aceasta este ponderea tuturor fondurilor alocate pentru achiziționarea titlurilor de valoare de acest tip j.

Este clar că

Din condițiile problemei reiese clar că scopul investitorului este atingerea unui anumit nivel de profit cu risc minim. În esență, riscul este o măsură a abaterii profitului real de la cel așteptat. Prin urmare, poate fi identificat cu covarianța profiturilor pentru titlurile de valoare de tip i și tip j. Aici M este desemnarea așteptării matematice.

Modelul matematic al problemei originale are forma:

sub restricții

,
,
,
. (1.8)

Avem model celebru Markowitz pentru optimizarea structurii unui portofoliu de valori mobiliare.

Modelul (1.8.) este un exemplu de model de optimizare de tip stocastic (cu elemente de aleatorietate).

Exemplul 1.5.4.

Pe baza unei organizații comerciale există n tipuri de unul dintre produsele din sortimentul minim. Un singur tip de produs trebuie adus în magazin. Trebuie să alegeți tipul de produs care este potrivit pentru a aduce în magazin. Dacă tipul de produs j va fi la cerere, magazinul va obține un profit din vânzarea sa R j, dacă nu este în cerere - o pierdere q j .

Înainte de modelare, vom discuta câteva puncte fundamentale. În această problemă, factorul de decizie (DM) este magazinul. Cu toate acestea, rezultatul (profitul maxim) depinde nu numai de decizia sa, ci și de faptul dacă produsul importat va fi solicitat, adică dacă va fi achiziționat de către populație (se presupune că din anumite motive magazinul nu au posibilitatea de a studia cererea populației). Prin urmare, populația poate fi considerată ca un al doilea factor de decizie, alegând tipul de produs în funcție de preferințele lor. Cea mai proastă „decizie” a populației pentru un magazin este: „mărfurile importate nu sunt la cerere”. Așadar, pentru a ține cont de toate situațiile posibile, magazinul trebuie să considere populația drept „inamicul” său (condițional), urmărind obiectivul opus - minimizarea profitului magazinului.

Deci, avem o problemă de luare a deciziilor cu doi participanți care urmăresc obiective opuse. Să lămurim că magazinul alege unul dintre tipurile de mărfuri de vânzare (există n opțiuni de decizie), iar populația alege unul dintre tipurile de mărfuri care are cea mai mare cerere ( n opțiuni de soluție).

A compila model matematic hai să desenăm o masă cu n linii şi n coloane (total n 2 celule) și sunt de acord că rândurile corespund alegerii magazinului, iar coloanele alegerii populației. Apoi celula (i, j) corespunde situației în care magazinul alege i al-lea tip de produs ( i-a linie), iar populația alege j al-lea tip de produs ( j- a coloana). În fiecare celulă notăm o evaluare numerică (profit sau pierdere) a situației corespunzătoare din punctul de vedere al magazinului:

Numerele q i scris cu un minus pentru a reflecta pierderea magazinului; în fiecare situație, „câștigul” populației (condițional) este egal cu „câștigul” magazinului, luat cu semnul opus.

O formă prescurtată a acestui model este:

(1.9)

Avem așa-numitul joc de matrice. Modelul (1.9.) este un exemplu de modele de luare a deciziilor de joc.

În acest articol, oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele probleme asociate modelării matematice.

O altă întrebare pe care o avem sunt modelele matematice în economie, exemple ale cărora ne vom uita la definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea lor și să trecem la întrebările noastre principale.

Conceptul de „model”

Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:

• un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici etc. ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în forme diferite: mental, descriere folosind semne și așa mai departe);
• Un model înseamnă și o reprezentare a unei anumite situații, viață sau management;
• un model poate fi o copie redusă a unui obiect (sunt create pentru un studiu și o analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).

Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați un sistem sau un obiect complex în detaliu.

Toate modelele pot fi clasificate în funcție de o serie de caracteristici:

• după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
• după dinamică (statică și dinamică);
• pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
• prin metoda de prezentare (materială şi informaţională).

Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în simbolice și verbale. Și cele simbolice - în computere și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor de model matematic.

Model matematic

După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă orice caracteristică a unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela tiparele lumii înconjurătoare în propriul limbaj specific.

Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Cu toate acestea, imboldul pentru dezvoltare aceasta metoda modelarea a dat naștere apariției calculatoarelor (calculatoare electronice).

Acum să trecem la clasificare. De asemenea, poate fi efectuată după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă la cea mai recentă clasificare, deoarece reflectă modelele generale de modelare și obiectivele modelelor create.

Modele descriptive

În acest capitol ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, va fi dat un exemplu.

Să începem cu faptul că acest tip poate fi numit descriptiv. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.

Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei și distanței față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze de orice pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.

Modele de optimizare

Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot servi ca situații curente diferite. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului corect în anumite condiții. Cu siguranță au niște parametri. Pentru a fi complet clar, să ne uităm la un exemplu din sectorul agricol.

Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem condițiile potrivite de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.

Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Ne-am uitat la un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să adaug: acest tip aparține clasei de probleme extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.

Să remarcăm încă o nuanță: modelele pot fi de natură diferită (vezi tabelul de mai jos).

Modele multicriteriale

Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multicriteriale. Înainte de aceasta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces conform oricărui criteriu, dar dacă există multe dintre ele?

Un exemplu izbitor de sarcină cu mai multe criterii este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice pentru grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantinele școlare, Tabara de vara, spitale și așa mai departe.

Ce criterii ne sunt date în această sarcină?

1. Alimentația ar trebui să fie sănătoasă.
2. Cheltuielile cu mâncarea ar trebui să fie minime.

După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că atunci când se rezolvă o problemă, este necesar să se caute o soluție optimă, un echilibru între două criterii.

Modele de jocuri

Când vorbim despre modele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Trebuie doar să înțelegi că, spre deosebire de un conflict real, modelul matematic al jocului are propriile reguli specifice.

Acum vă vom oferi un minim de informații din teoria jocurilor care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și astfel, modelul conține în mod necesar petreceri (două sau mai multe), care de obicei sunt numite jucători.

Toate modelele au anumite caracteristici.

Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă sunt mai mulți, este multiplu. De asemenea, puteți distinge un joc antagonic, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.

Modele de simulare

În această secțiune vom acorda atenție modelelor matematice de simulare. Exemple de sarcini includ:

• modelul dinamicii populației de microorganisme;
• modelul mișcării moleculare și așa mai departe.

În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. În general, ei imită o anumită manifestare în natură. În primul caz, de exemplu, putem simula dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În același timp, puteți observa soarta fiecărui individ în parte. În acest caz, o descriere matematică este folosită rar, condițiile scrise sunt mai des prezente:

• după cinci zile femela depune ouă;
• după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.

Astfel, ele sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. O concluzie matematică este prelucrarea datelor statistice obținute.

Cerințe

Este foarte important de stiut ca acest tip de model are cateva cerinte, inclusiv cele enumerate in tabelul de mai jos.

Etape de modelare

În total, modelarea matematică este de obicei împărțită în patru etape.

1. Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
2. Studiul problemelor matematice.
3. Determinarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
4. Analiza si modernizarea modelului.

Model economic și matematic

În această secțiune vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini includ:

• formarea unui program de producție pentru producția de produse din carne care să asigure profituri maxime de producție;
• maximizarea profitului organizației prin calcularea cantității optime de mese și scaune produse la o fabrică de mobilă și așa mai departe.

Modelul economico-matematic prezintă abstractizarea economică, care este exprimată folosind termeni și simboluri matematice.

Model matematic pe calculator

Exemple de model matematic pe calculator sunt:

• probleme hidraulice folosind organigrame, diagrame, tabele etc.;
• probleme la mecanica solidă și așa mai departe.

Un model de computer este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată sub forma:

• Mese;
• diagrame bloc;
• diagrame;
• grafică și așa mai departe.

Mai mult, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.

Construirea unui model economic și matematic

Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica o rezervă pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.

Nu vom lua în considerare pe deplin problema, ci vom construi doar un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: А=р1*х1+р2*х2..., tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate și x este numărul de unități produse. În continuare, pe baza modelului construit, este necesar să faceți calcule și să rezumați.

Un exemplu de construire a unui model matematic simplu

Sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:

• 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
• 20% din captură sunt locuitori din mările sudice;
• Nu a fost găsit niciun pește din râul local.

Câți pești a cumpărat de la magazin?

Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0.2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: a cumpărat 10 pești din magazin.

Imaginați-vă un avion: aripi, fuselaj, coadă, toate acestea împreună - un adevărat avion imens, imens, întreg. Sau poti realiza o macheta de avion, mica, dar exact ca in viata reala, aceleasi aripi etc., dar compacte. La fel și modelul matematic. Există o problemă de text, greoaie, poți să o privești, să o citești, dar să nu o înțelegi prea bine și, cu atât mai mult, nu este clar cum să o rezolvi. Ce se întâmplă dacă faci un model mic al unei probleme mari de cuvinte, un model matematic? Ce înseamnă matematică? Aceasta înseamnă, folosind regulile și legile notației matematice, să transformăm textul într-o reprezentare logic corectă folosind numere și semne aritmetice. Asa de, un model matematic este o reprezentare a unei situații reale folosind limbajul matematic.

Să începem cu unul simplu: numărul este mai mare decât numărul cu. Trebuie să scriem acest lucru fără a folosi cuvinte, ci doar limbajul matematicii. Dacă există mai multe, atunci se dovedește că dacă scadem din, atunci aceeași diferență a acestor numere va rămâne egală. Acestea. sau. Înțelegi ideea?

Acum este mai dificil, acum va exista un text pe care ar trebui să încerci să-l reprezinți sub forma unui model matematic, nu citi încă cum o voi face, încearcă și tu! Există patru numere: , și. Produsul este de două ori mai mare decât produsul.

Ce s-a întâmplat?

Sub forma unui model matematic va arăta astfel:

Acestea. produsul este legat de doi la unu, dar acest lucru poate fi simplificat și mai mult:

Bine, aici mergem exemple simpleînțelegi ideea, cred. Să trecem la probleme cu drepturi depline în care trebuie rezolvate și aceste modele matematice! Iată provocarea.

Model matematic în practică

Problema 1

După ploaie, nivelul apei din fântână poate crește. Băiatul măsoară timpul de cădere a pietricelelor mici în fântână și calculează distanța până la apă folosind formula, unde este distanța în metri și este timpul căderii în secunde. Înainte de ploaie, timpul de cădere a pietricelelor era s. Cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s? Exprimați răspunsul în metri.

Oh Doamne! Ce formule, ce fel de puț, ce se întâmplă, ce să faci? Ți-am citit gândurile? Relaxează-te, în probleme de acest tip există condiții și mai groaznice, principalul lucru este să reții că în această problemă te interesează formulele și relațiile dintre variabile, iar ceea ce înseamnă toate acestea în majoritatea cazurilor nu este foarte important. Ce vi se pare util aici? Eu o vad personal. Principiul pentru rezolvarea acestor probleme este următorul: luați toate cantitățile cunoscute și le înlocuiți.DAR, uneori trebuie să te gândești!

Urmând primul meu sfat și înlocuind tot ce se știe în ecuație, obținem:

Eu am înlocuit timpul secundului și am găsit înălțimea pe care a zburat piatra înaintea ploii. Acum trebuie să numărăm după ploaie și să găsim diferența!

Acum, ascultați al doilea sfat și gândiți-vă, întrebarea specifică „cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s”. Trebuie să vă dați seama imediat că, după ploaie, nivelul apei crește, ceea ce înseamnă că timpul în care piatra cade la nivelul apei este mai scurt, iar aici expresia ornamentată „pentru ca timpul măsurat să se schimbe” capătă un sens specific: căderea. timpul nu crește, ci se reduce cu secundele indicate. Aceasta înseamnă că, în cazul unei aruncări după ploaie, trebuie doar să scădem c din momentul inițial c și obținem ecuația pentru înălțimea la care piatra va zbura după ploaie:

Și, în sfârșit, pentru a afla cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s., trebuie doar să scădeți al doilea din prima înălțime de cădere!

Primim răspunsul: pe metru.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat, principalul lucru este să nu vă deranjați prea mult de unde a venit o astfel de ecuație de neînțeles și uneori complexă în condiții și ce înseamnă totul în ea, credeți-mă pe cuvânt, majoritatea aceste ecuații sunt luate din fizică și acolo jungla este mai rea decât în ​​algebră. Uneori mi se pare că aceste sarcini au fost inventate pentru a intimida elevul la examenul de stat unificat cu o abundență de formule și termeni complexi și, în majoritatea cazurilor, nu necesită aproape nicio cunoaștere. Citiți cu atenție condiția și înlocuiți cantitățile cunoscute în formulă!

Iată o altă problemă, nu din fizică, ci din lume teorie economică, deși cunoștințele de alte științe decât matematică nu sunt din nou necesare aici.

Problema 2

Dependența volumului cererii (unități pe lună) pentru produsele unei întreprinderi monopoliste de preț (mii de ruble) este dată de formula

Venitul întreprinderii pentru luna (în mii de ruble) este calculat folosind formula. Determinați cel mai mare preț la care veniturile lunare vor fi de cel puțin mii de ruble. Dați răspunsul în mii de ruble.

Ghici ce voi face acum? Da, voi începe să conectez ceea ce știm, dar, din nou, va trebui să mă mai gândesc puțin. Să mergem de la final, trebuie să aflăm la care. Deci, există, este egal cu ceva, aflăm cu ce altceva este egal și este egal cu el, așa că îl notăm. După cum puteți vedea, nu prea mă deranjez cu semnificația tuturor acestor cantități, mă uit doar din condiții pentru a vedea ce este egal cu ce, asta este ceea ce trebuie să faceți. Să revenim la problemă, o ai deja, dar după cum îți amintești dintr-o ecuație cu două variabile, nu poți găsi nici una dintre ele, ce ar trebui să faci? Da, mai avem o bucată nefolosită în stare. Acum, există deja două ecuații și două variabile, ceea ce înseamnă că acum pot fi găsite ambele variabile - grozav!

– poți rezolva un astfel de sistem?

Rezolvăm prin substituție; este deja exprimat, așa că să o înlocuim în prima ecuație și să o simplificăm.

Obținem această ecuație pătratică: , rezolvăm, rădăcinile sunt așa, . Sarcina necesită găsirea celui mai mare preț la care vor fi îndeplinite toate condițiile pe care le-am luat în considerare la crearea sistemului. Oh, se pare că acesta a fost prețul. Cool, așa că am găsit prețurile: și. Cel mai mare preț, zici? Bine, cel mai mare dintre ei, evident, îl scriem ca răspuns. Ei bine, este greu? Cred că nu, și nu este nevoie să aprofundăm prea mult în asta!

Și iată o fizică terifiantă, sau mai degrabă o altă problemă:

Problema 3

Pentru a determina temperatura efectivă a stelelor, se folosește legea Stefan-Boltzmann, conform căreia, unde este puterea de radiație a stelei, este o constantă, este aria suprafeței stelei și este temperatura. Se știe că aria suprafeței unei anumite stele este egală, iar puterea sa de radiație este egală cu W. Găsiți temperatura acestei stele în grade Kelvin.

Cum este clar? Da, condiția spune ce este egal cu ce. Anterior, recomandam înlocuirea tuturor necunoscutelor deodată, dar aici este mai bine să exprimăm mai întâi necunoscutul căutat. Uite ce simplu este: există o formulă și în ea știm, și (aceasta este litera greacă „sigma”. În general, fizicienii iubesc literele grecești, se obișnuiesc cu ea). Și temperatura este necunoscută. Să o exprimăm sub forma unei formule. Sper că știi cum să faci asta? Astfel de sarcini pentru examenul de stat din clasa a IX-a sunt de obicei date:

Acum, tot ce rămâne este să înlocuiți numerele în loc de litere din partea dreaptă și să simplificați:

Iată răspunsul: grade Kelvin! Și ce sarcină groaznică a fost!

Continuăm să chinuim problemele de fizică.

Problema 4

Înălțimea deasupra solului unei mingi aruncate se modifică conform legii, unde este înălțimea în metri și este timpul în secunde care a trecut de la momentul aruncării. Câte secunde va rămâne mingea la o înălțime de cel puțin trei metri?

Toate acestea au fost ecuații, dar aici trebuie să stabilim cât de lungă era mingea la o înălțime de cel puțin trei metri, adică la o înălțime. Ce vom inventa? Inegalitate, exact! Avem o funcție care descrie cum zboară mingea, unde - aceasta este exact aceeași înălțime în metri, avem nevoie de înălțime. Mijloace

Și acum rezolvi pur și simplu inegalitatea, principalul lucru este să nu uiți să schimbi semnul inegalității de la mai mult sau egal la mai mic sau egal atunci când înmulți cu ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de minusul din față.

Acestea sunt rădăcinile, construim intervale pentru inegalitate:

Ne interesează intervalul în care este semnul minus, deoarece inegalitatea ia valori negative acolo, acesta este de la la ambele inclusiv. Acum să ne pornim creierul și să ne gândim cu atenție: pentru inegalitate am folosit o ecuație care descrie zborul mingii, ea zboară cumva de-a lungul unei parabole, de exemplu. decolează, atinge un vârf și cade, cum să înțelegi cât timp va rămâne la o altitudine de cel puțin metri? Am găsit 2 puncte de cotitură, adică momentul în care se înalță deasupra metrilor și momentul în care, căzând, atinge același reper, aceste două puncte sunt exprimate sub formă de timp, adică. știm în ce secundă de zbor a intrat în zona de interes pentru noi (peste metri) și în ce secundă a părăsit-o (a căzut sub marcajul metrului). Câte secunde a fost în această zonă? Este logic să luăm timpul de ieșire din zonă și să scădem din el timpul de intrare în această zonă. În consecință: - a fost atât de mult timp în zona peste metri, acesta este răspunsul.

Ai noroc că majoritatea exemplelor pe această temă pot fi luate din categoria problemelor de fizică, așa că mai prinde unul, este cel final, așa că împinge-te, a mai rămas puțin!

Problema 5

Pentru elementul de încălzire al unui anumit dispozitiv, dependența temperaturii de timpul de funcționare a fost obținută experimental:

Unde este timpul în minute, . Se știe că dacă temperatura elementului de încălzire este mai mare, dispozitivul se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Află care cel mai lung timp După începerea lucrului, trebuie să opriți dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.

Acționăm după o schemă bine stabilită, mai întâi notăm tot ce este dat:

Acum luăm formula și o echivalăm cu valoarea temperaturii la care dispozitivul poate fi încălzit cât mai mult posibil până când se arde, adică:

Acum înlocuim numerele unde sunt cunoscute în loc de litere:

După cum puteți vedea, temperatura în timpul funcționării dispozitivului este descrisă de ecuație pătratică, ceea ce înseamnă că este distribuit de-a lungul unei parabole, adică Dispozitivul se încălzește până la o anumită temperatură și apoi se răcește. Am primit răspunsuri și, prin urmare, la și la minute de încălzire temperatura este egală cu critică, dar între și minute - este chiar mai mare decât limita!

Aceasta înseamnă că trebuie să opriți dispozitivul după câteva minute.

MODELE MATEMATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Cel mai adesea, modelele matematice sunt folosite în fizică: probabil a trebuit să memorezi zeci de formule fizice. Iar formula este o reprezentare matematică a situației.

În OGE și Unified State Exam există sarcini exact pe acest subiect. În examenul de stat unificat (profil) aceasta este sarcina numărul 11 ​​(fostă B12). În OGE - sarcina numărul 20.

Schema soluției este evidentă:

1) Din textul condiției este necesar să „izolăm” informații utile - ceea ce în problemele de fizică scriem sub cuvântul „Dat”. Acest Informatii utile sunt:

• Formulă
• Mărimi fizice cunoscute.

Adică, fiecare literă din formulă trebuie să fie asociată cu un anumit număr.

2) Luați toate cantitățile cunoscute și înlocuiți-le în formulă. Cantitatea necunoscută rămâne sub forma unei litere. Acum trebuie doar să rezolvați ecuația (de obicei destul de simplă), iar răspunsul este gata.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Patru elevi de clasa a VII-a.

Sunt 15 fete și 13 băieți în 7A,

în 7B - 12 fete și 12 băieți,

în 7B - 9 fete și 18 băieți,

în 7G - 20 de fete și 10 băieți.

Dacă trebuie să răspundem la întrebarea câți elevi sunt în fiecare din clasa a șaptea, atunci va trebui să facem aceeași operație de adunare de 4 ori:

în 7A 15 + 13 = 28 elevi;
în 7B 12 +12 = 24 elevi;
în 7B 9 + 18 = 27 elevi;
în 7G 20 + 10 = 30 de elevi.

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ