Visoka topnička poljoprivredna škola pod predsj. Kalinjingradska trgovačko-ekonomska škola - podružnica Ruske akademije za nacionalno gospodarstvo i javnu upravu pod predsjednikom Ruske Federacije

Povijest Kalinjingradske trgovačko-ekonomske škole je stranica u povijesti regije, koja je napisana od 1946. godine. U proteklom vremenu više od 25 tisuća stručnjaka diplomiralo je na fakultetu.

Od 2004. godine koledž je postao eksperimentalna platforma za Moskovski institut za razvoj srednjeg strukovnog obrazovanja na temu "Širenje europskog iskustva u stvaranju i organizaciji centara za obrazovanje odraslih i centara za otvoreno obrazovanje u regiji." Već deset godina član je Ruske marketinške udruge i ima status društvenog učilišta. Potonju je učilištu dodijelila regionalna uprava za stalnu potporu socijalno ugroženim studentima, nastavnicima, umirovljenicima, vojnim osobama i članovima njihovih obitelji, zaposlenim nastavnicima i osoblju.

Studenti se obučavaju na Trgovačkom i ekonomskom fakultetu u Kaliningradu na pet fakulteta: tehnologija i usluge, marketing menadžment, pravo, ekonomija i računovodstvo te netradicionalni oblici obrazovanja. Obrazovno polje koledža uključuje šesnaest specijalnosti. To uključuje tehnologiju pripreme hrane, trgovinu hranom, trgovačku trgovinu, menadžment, marketing, računovođu-odvjetnika, bankarstvo, organizaciju usluga u hotelskom naselju, financije, turizam i još mnogo toga.

Učilište ima Centar za profesionalno usmjeravanje i osposobljavanje kandidata. Na fakultetu netradicionalnih oblika obrazovanja ne samo da možete poboljšati svoje kvalifikacije, već i steći novu specijalnost bez prekidanja posla. Sadašnji Otvoreni obrazovni centar usmjeren je na pružanje pomoći u stručnom usavršavanju u više od dvadeset specijalnosti. Ovdje možete poboljšati svoje vještine i proći prekvalifikaciju. Metode su različite: poslovne igre, treninzi, seminari, vježbe, otvoreni sastanci, konferencije, rad na projektima.Sve to omogućuje studentima da asimiliraju predloženi materijal što je više moguće.

Suradnja s Kalinjingradskim državnim sveučilištem, Kalinjingradskim državnim tehničkim sveučilištem i Baltičkom državnom akademijom omogućuje koledžu da obučava stručnjake čije znanje postaje kapital i glavni resurs za gospodarski razvoj regije. Tijekom godina te interakcije više od dvjesto diplomanata steklo je visoko obrazovanje na posebnom fakultetu sa skraćenim rokom studija. Svi su oni traženi od strane gospodarskog kompleksa regije; mnogi su ušli u elitu poduzetničkog korpusa regije.

Kaliningradsko trgovačko i ekonomsko učilište uspostavilo je komunikaciju i aktivno surađuje s Danskom, Švedskom, Njemačkom, Poljskom i Finskom. Tim sudjeluje u međunarodnim obrazovnim projektima. Njihove teme su raznolike, uključuju tako važne teme kao što su „Pomoć kalinjingradskim vlastima u razvoju malih i srednjih poduzeća“, „Pomoć časnicima i nezaposlenim članovima njihovih obitelji u stjecanju civilnih specijalnosti za kasnije zapošljavanje“, „Obuka nastavnika u andragogija i razvijanje programa poduzetničkog osposobljavanja u Kalinjingradu" i slično.

Godine 1999., kao dio međunarodnog projekta, zahvaljujući naporima Lydije Ivanovne Motolyanets, zamjenice ravnatelja za nastavu, stvorena je simulacijska tvrtka - model poduzeća koji odražava aktivnosti stvarne trgovačke organizacije, učinkovit specijalizirani oblik usavršavanja kadrova na svim razinama koji rade u području malog gospodarstva.

Misija tima - jamčiti obrazovanje koje će zadovoljiti potrebe društva i pridonijeti formiranju cjelovite osobnosti - u potpunosti je ispunjena. Kaliningrad Trade and Economic College je profesionalizam, odgovornost, prestiž.

KTEK
PCC ekonomije i računovodstva

15 primjeraka, 2006

Uvod. 4

Pojam derivata. 5

Parcijalne derivacije. jedanaest

Točke infleksije. 16

Vježbe za rješavanje. 17

Test. 20

Odgovori na vježbe.. 21

Književnost. 23

Uvod

f(x x, onda zovu granični proizvod; Ako g(x) g(x) g'(x) nazvao granični trošak.

Na primjer, Neka je funkcija poznata u=u(t) u tijekom rada t. ∆t=t 1 - t 0:

z prosj. =

z prosj. na ∆t→ 0: .

Troškovi proizvodnje K x, pa možemo pisati K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Ograničiti nazvao

Pojam derivata

Derivacija funkcije u točki x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, uz uvjet da priraštaj argumenta teži nuli.

Oznaka derivacije funkcije:

Da. a-priory:

Algoritam za pronalaženje derivacije:

Neka funkcija y=f(x) kontinuirano na segmentu , x

1. Pronađite prirast argumenta:

x– nova vrijednost argumenta

x 0- početna vrijednost

2. Nađi inkrement funkcije:

f(x)– nova vrijednost funkcije

f(x 0)- početna vrijednost funkcije

3. Pronađite omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

4. Nađi granicu pronađenog omjera pri

Odredite derivaciju funkcije na temelju definicije derivacije.

Riješenje:

Dajmo x prirast Δh, tada će nova vrijednost funkcije biti jednaka:

Nađimo prirast funkcije kao razliku između nove i početne vrijednosti funkcije:

Nalazimo omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

.

Nađimo granicu ovog omjera pod uvjetom da je:

Prema tome, prema definiciji derivata: .

Pronalaženje derivacije funkcije naziva se diferencijacija.

Funkcija y=f(x) nazvao diferencijabilan na intervalu (a;b), ako ima derivaciju u svakoj točki intervala.

Teorema Ako je funkcija diferencijabilna u danoj točki x 0, onda je kontinuirana u ovoj točki.

Obrnuta izjava je lažna, jer Postoje funkcije koje su kontinuirane u nekom trenutku, ali nisu diferencijabilne u tom trenutku. Na primjer, funkcija u točki x 0 =0.

Naći derivacije funkcija

1) .

2) .

Provedimo identične transformacije funkcije:

Izvodnice višeg reda

Izvodnica drugog reda naziva se derivacija prve derivacije. Određeni

Derivacija n-reda naziva se izvod izvoda (n-1) reda.

Na primjer,

Parcijalne derivacije

Parcijalna derivacija funkcija nekoliko varijabli u odnosu na jednu od tih varijabli naziva se derivacija uzeta u odnosu na tu varijablu, pod uvjetom da sve ostale varijable ostaju konstantne.

Na primjer, za funkciju parcijalne derivacije prvog reda bit će jednake:

Maksimalna i minimalna funkcija

Poziva se vrijednost argumenta pri kojoj funkcija ima najveću vrijednost maksimalna točka.

Poziva se vrijednost argumenta pri kojoj funkcija ima najmanju vrijednost minimalna točka.

Točka maksimuma funkcije je granična točka prijelaza funkcije s rastućeg na padajuće, točka minimuma funkcije je granična točka prijelaza s padajućeg na rastući.

Funkcija y=f(x) ima (lokalno) maksimum u trenutku ako za sve x

Funkcija y=f(x) ima (lokalno) minimum u trenutku ako za sve x, dovoljno blizu nejednakosti

Maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije zajednički se nazivaju krajnosti, a točke u kojima se oni postižu nazivaju se ekstremne točke.

Teorema (nužan uvjet za postojanje ekstrema) Neka je funkcija definirana na intervalu i neka ima najveću (najmanju) vrijednost u točki . Tada, ako u nekoj točki postoji derivacija te funkcije, onda je ona jednaka nuli, tj. .

Dokaz:

Neka funkcija ima najveću vrijednost u točki x 0, tada za bilo koju vrijedi nejednakost: .

Za bilo koju točku

Ako je x > x 0, tada, tj.

Ako je x< x 0 , то , т.е.

Jer postoji , nešto što je moguće samo ako su jednaki nuli, dakle, .

Posljedica:

Ako u nekoj točki diferencijabilna funkcija poprimi najveću (najmanju) vrijednost, tada je u toj točki tangenta na graf te funkcije paralelna s osi Ox.

Točke u kojima je prva derivacija nula ili ne postoji nazivaju se kritično - to su moguće točke ekstrema.

Imajte na umu da, budući da je jednakost prve derivacije nuli samo nužan uvjet za ekstrem, potrebno je dalje istražiti pitanje prisutnosti ekstremuma u svakoj točki mogućeg ekstremuma.

Teorema(dovoljan uvjet za postojanje ekstrema)

Neka funkcija y = f(x) kontinuirana je i diferencijabilna u nekoj okolini točke x 0. Ako se pri prolasku kroz točku x 0 s lijeva na desno prva derivacija mijenja predznak s plusa na minus (s minusa na plus), zatim u točki x 0 funkcija y = f(x) ima maksimum (minimum). Ako prva derivacija ne mijenja predznak, tada ova funkcija nema ekstrem u točki x 0 .

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1. Pronađite prvu derivaciju funkcije.

2. Izjednačiti prvu derivaciju s nulom.

3. Riješite jednadžbu. Pronađeni korijeni jednadžbe su kritične točke.

4. Pronađene kritične točke nanesite na numeričku os. Dobivamo niz intervala.

5. Odredite predznak prve derivacije u svakom od intervala i označite ekstreme funkcije.

6. Za iscrtavanje grafikona:

Ø odrediti vrijednosti funkcije u ekstremnim točkama

Ø pronaći točke presjeka s koordinatnim osima

Ø pronaći dodatne bodove

Limenka ima oblik okruglog valjka radijusa r i visine h. Pod pretpostavkom da se za izradu limenke koristi jasno određena količina kositra, odredite u kojem omjeru između r I h staklenka će imati najveći volumen.

Količina korištenog kositra bit će jednaka ukupnoj površini limenke, tj. . (1)

Iz ove jednakosti nalazimo:

Zatim se volumen može izračunati pomoću formule: . Problem će se svesti na pronalaženje maksimuma funkcije V(r). Nađimo prvu derivaciju ove funkcije: . Izjednačimo prvu derivaciju s nulom:

. Pronašli smo: . (2)

Ova točka je najveća točka, jer prva derivacija je pozitivna na i negativna na .

Ustanovimo sada u kojem će se omjeru polumjera i visine obale pojaviti najveći volumen. Da biste to učinili, podijelite jednakost (1) sa r 2 i koristiti relaciju (2) za S. Dobivamo: . Tako će staklenka čija je visina jednaka promjeru imati najveći volumen.

Ponekad je prilično teško proučavati predznak prve derivacije lijevo i desno od moguće točke ekstrema, tada možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem:

Teorema Neka funkcija y = f(x) ima u točki x 0 moguća ekstremna konačna druga derivacija. Zatim funkcija y = f(x) ima u točki x 0 maksimalno ako , a minimum ako .

Napomena Ovaj teorem ne rješava pitanje ekstrema funkcije u točki ako je druga derivacija funkcije u danoj točki jednaka nuli ili ne postoji.

Točke infleksije

Točke krivulje u kojima se konveksnost odvaja od konkavnosti nazivaju se točke infleksije.

Teorema (nužan uvjet za točku infleksije): Neka graf funkcije ima točku infleksije i funkcija ima kontinuiranu drugu derivaciju u točki x 0, tada

Teorema (dovoljan uvjet za točku infleksije): Neka funkcija ima drugu derivaciju u nekoj okolini točke x 0, koja ima različite predznake lijevo i desno od x 0. tada graf funkcije ima infleksiju u točki .

Algoritam za pronalaženje točaka infleksije:

1. Pronađite drugu derivaciju funkcije.

2. Drugu derivaciju izjednačiti s nulom i riješiti jednadžbu: . Nacrtajte dobivene korijene na brojevnu crtu. Dobivamo niz intervala.

3. Pronađite predznak druge derivacije u svakom od intervala. Ako su predznaci druge derivacije u dva susjedna intervala različiti, tada imamo infleksijsku točku za danu vrijednost korijena; ako su predznaci isti, tada nema infleksijskih točaka.

4. Odredite ordinate točaka infleksije.

Ispitajte krivulju na konveksnost i konkavnost. Pronađite točke infleksije.

1) pronađite drugu derivaciju:

2) Riješite nejednadžbu 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Riješite nejednadžbu 2x>0 x>0 za x krivulja je konkavna

4) Nađimo točke infleksije za koje drugu derivaciju izjednačavamo s nulom: 2x=0 x=0. Jer u točki x=0 druga derivacija ima različite predznake lijevo i desno, tada je x=0 apscisa točke infleksije. Nađimo ordinatu točke infleksije:

(0;0) točka infleksije.

Vježbe za rješavanje

Br. 1 Nađite derivacije ovih funkcija, izračunajte vrijednost derivacija za zadanu vrijednost argumenta:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

Br. 2 Nađi derivacije složenih funkcija:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Br. 3 Riješite probleme:

1. Odredite kutni koeficijent tangente povučene na parabolu u točki x=3.

2. Na parabolu y=3x 2 -x u točki x=1 povučene su tangenta i normala. Sastavite njihove jednadžbe.

3. Odredite koordinate točke u kojoj tangenta na parabolu y=x 2 +3x-10 s osi OX zatvara kut od 135 0 .

4. Napravite jednadžbu za tangentu na graf funkcije y=4xx2 u točki presjeka s osi OX.

5. Za koje vrijednosti x je tangenta na graf funkcije y=x 3 -x paralelna s pravcem y=x.

6. Točka se giba pravocrtno po zakonu S=2t 3 -3t 2 +4. nađi akceleraciju i brzinu točke na kraju 3. sekunde. U kojem trenutku će ubrzanje biti nula?

7. Kada je brzina točke koja se giba po zakonu S=t 2 -4t+5 jednaka nuli?

#4 Istražite funkcije pomoću izvedenica:

1. Ispitati monotonost funkcije y = x 2

2. Odredite intervale rastućih i padajućih funkcija .

3. Odredite intervale rasta i opadanja funkcije.

4. Istražite maksimalnu i minimalnu funkciju .

5. Ispitajte funkciju za ekstrem .

6. Istražite funkciju y=x3 za ekstrem

7. Ispitajte funkciju za ekstrem .

8. Broj 24 podijeli na dva člana tako da njihov umnožak bude najveći.

9. Potrebno je izrezati pravokutnik površine 100 cm 2 s lista papira tako da opseg tog pravokutnika bude najmanji. Kolike bi trebale biti stranice ovog pravokutnika?

10. Ispitajte funkciju y=2x 3 -9x 2 +12x-15 za ekstremum i konstruirajte njezin graf.

11. Ispitajte krivulju na konkavnost i konveksnost.

12. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje .

13. Odredite točke infleksije funkcija: a) ; b) .

14. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

15. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

16. Istražite funkciju i zacrtajte ga.

17. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=x 2 -4x+3 na segmentu

Testna pitanja i primjeri

1. Definirajte derivaciju.

2. Što se naziva povećanjem argumenta? povećanje funkcije?

3. Koji je geometrijski smisao derivacije?

4. Što se naziva diferencijacijom?

5. Navedite glavna svojstva derivata.

6. Koja se funkcija naziva složenom? obrnuto?

7. Dajte pojam derivacije drugog reda.

8. Formulirajte pravilo za razlikovanje složene funkcije?

9. Tijelo se giba pravocrtno po zakonu S=S(t). Što možete reći o kretanju ako:

5. Funkcija raste u određenom intervalu. Slijedi li iz ovoga da je njegova derivacija pozitivna na tom intervalu?

6. Što se nazivaju ekstremima funkcije?

7. Poklapa li se najveća vrijednost funkcije na nekom intervalu s vrijednošću funkcije u točki maksimuma?

8. Funkcija je definirana na . Može li točka x=a biti točka ekstrema ove funkcije?

10. Derivacija funkcije u točki x 0 je nula. Slijedi li iz toga da je x 0 točka ekstrema te funkcije?

Test

1. Pronađite derivacije ovih funkcija:

A)	e)
b)	i)
S)	h)
d)	I)

2. Napiši jednadžbe tangenti na parabolu y=x 2 -2x-15: a) u točki s apscisom x=0; b) u točki presjeka parabole s osi apscisa.

3. Odredite intervale rastuće i opadajuće funkcije

4. Istražite funkciju i nacrtajte je grafički

5. Odredite u trenutku t=0 brzinu i akceleraciju točke koja se giba po zakonu s =2e 3 t

Odgovori na vježbe

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultat je dobiven primjenom formule izvoda kvocijenta). Ovaj primjer možete riješiti drugačije:

5.

8. Umnožak će biti najveći ako je svaki član jednak 12.

9. Opseg pravokutnika bit će najmanji ako su stranice pravokutnika 10 cm,tj. morate izrezati kvadrat.

17. Na segmentu funkcija poprima najveću vrijednost jednaku 3 kada x=0 a najmanja vrijednost jednaka –1 at x=2.

Književnost

KALINJINGRADSKA TRGOVAČKA I EKONOMSKA ŠKOLA

na proučavanje teme

"derivacija funkcije"

za studente specijalnosti 080110 “Ekonomija i računovodstvo”, 080106 “Financije”,
080108 “Bankarstvo”, 230103 “Automatizirana obrada informacija i sustavi upravljanja”

Sastavila E.A. Fedorova

KALINJINGRAD

Recenzenti: Natalya Vladimirovna Gorskaya, učiteljica, Kaliningrad Trade and Economic College

U ovom priručniku obrađeni su osnovni pojmovi diferencijalnog računa: pojam derivacije, svojstva derivacija, primjena u analitičkoj geometriji i mehanici, dane su osnovne formule diferenciranja, navedeni su primjeri za ilustraciju teorijskog gradiva. Priručnik je dopunjen vježbama za samostalan rad, odgovorima na njih, pitanjima i primjerima zadataka za srednju provjeru znanja. Namijenjen studentima koji studiraju disciplinu "Matematika" u srednjim specijaliziranim obrazovnim ustanovama, studiraju s punim radnim vremenom, izvanrednim, večernjim, vanjskim ili imaju besplatno pohađanje.

KTEK
PCC ekonomije i računovodstva

15 primjeraka, 2006

Uvod. 4

Uvjeti znanja i vještina... 5

Pojam derivata. 5

Geometrijsko značenje derivacije. 7

Mehaničko značenje derivata. 7

Osnovna pravila razlikovanja. 8

Formule za razlikovanje osnovnih funkcija. 9

Derivacija inverzne funkcije. 9

Diferencijacija složenih funkcija. 10

Derivati ​​viših redova. jedanaest

Parcijalne derivacije. jedanaest

Proučavanje funkcija pomoću derivacija. jedanaest

Rastuća i opadajuća funkcija. jedanaest

Maksimalne i minimalne funkcije. 13

Konveksnost i konkavnost krivulje. 15

Točke infleksije. 16

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova. 17

Vježbe za rješavanje. 17

Probna pitanja i primjeri.. 20

Test. 20

Odgovori na vježbe.. 21

Književnost. 23

Uvod

Matematička analiza pruža niz temeljnih koncepata s kojima ekonomist operira: funkcija, granica, derivacija, integral, diferencijalna jednadžba. U ekonomskim se istraživanjima često koristi posebna terminologija za označavanje izvedenica. Na primjer, ako f(x) je proizvodna funkcija koja izražava ovisnost outputa bilo kojeg proizvoda o trošku faktora x, onda zovu granični proizvod; Ako g(x) postoji troškovna funkcija, tj. funkcija g(x) izražava ovisnost ukupnih troškova o obimu proizvodnje x, zatim g'(x) nazvao granični trošak.

Marginalna analiza u ekonomiji– skup tehnika za proučavanje promjena vrijednosti troškova ili rezultata kada se mijenja obujam proizvodnje, potrošnje itd. na temelju analize njihovih graničnih vrijednosti.

Na primjer, nalaženje produktivnosti rada. Neka je funkcija poznata u=u(t), izražavajući količinu proizvedenih proizvoda u tijekom rada t. Izračunajmo količinu proizvedenih proizvoda tijekom vremena ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Prosječna produktivnost rada naziva se omjer količine proizvedenih proizvoda i utrošenog vremena, tj. z prosj. =

Produktivnost radnika u trenutku t 0 naziva se granica kojoj teži z prosj. na ∆t→ 0: . Izračun produktivnosti rada se stoga svodi na izračun derivata:

Troškovi proizvodnje K homogena proizvodnja je funkcija količine proizvodnje x, pa možemo pisati K=K(x). Pretpostavimo da se količina outputa poveća za ∆x. Količina proizvodnje x+∆x odgovara troškovima proizvodnje K(x+∆x). Posljedično, povećanje količine proizvoda ∆x odgovara povećanju troškova proizvodnje ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Prosječno povećanje troškova proizvodnje je ∆K/∆x. To je povećanje troškova proizvodnje po jedinici povećanja količine proizvodnje.

Ograničiti nazvao granični troškovi proizvodnje.