Teorema de Termekh sobre el movimiento del centro de masas. Teoremas generales de la dinámica de sistemas.
Formule un teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema.
El centro de masa de un sistema mecánico se mueve como un punto material con una masa igual a la masa de todo el sistema, al que se aplican todas las fuerzas que actúan sobre el sistema.
¿Qué movimiento de un cuerpo rígido puede considerarse como el movimiento de un punto material que tiene la masa de un cuerpo dado y por qué?
El movimiento de traslación de un cuerpo rígido está completamente determinado por el movimiento de uno de sus puntos. En consecuencia, resolviendo el problema del movimiento del centro de masa de un cuerpo como punto material con una masa corporal, es posible determinar el movimiento de traslación de todo el cuerpo.
¿En qué condiciones el centro de masa del sistema está en reposo y en qué condiciones se mueve uniformemente y en línea recta?
Si el vector principal de fuerzas externas permanece igual a cero todo el tiempo y la velocidad inicial del centro de masa es cero, entonces el centro de masa está en reposo.
Si el vector principal de fuerzas externas permanece igual a cero todo el tiempo y la velocidad inicial 
, entonces el centro de masa se mueve de manera uniforme y rectilínea.
¿En qué condiciones el centro de masa del sistema no se mueve a lo largo de un eje determinado?
Si la proyección del vector principal de fuerzas externas sobre cualquier eje permanece igual a cero todo el tiempo y la proyección de la velocidad sobre este eje es igual a cero, entonces la coordenada del centro de masa a lo largo de este eje permanece constante.
¿Qué efecto tiene un par de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo sólido libre?
Si aplica un par de fuerzas a un cuerpo rígido libre que está en reposo, entonces, bajo la acción de este par de fuerzas, el cuerpo comenzará a girar alrededor de su centro de masa.
Teorema sobre el cambio de impulso.
¿Cómo se determina un impulso de fuerza variable durante un período de tiempo finito? ¿Qué caracteriza a un impulso de fuerza?
impulso variable 
por un periodo de tiempo finito 
es igual
.
El impulso de fuerza caracteriza la transferencia de movimiento mecánico a un cuerpo desde los cuerpos que actúan sobre él durante un período de tiempo determinado.
¿Cuáles son las proyecciones de impulsos de fuerza constantes y variables sobre los ejes de coordenadas?
Las proyecciones del impulso de fuerza variable sobre los ejes de coordenadas son iguales a
,
,
.
Proyecciones de un impulso de fuerza constante sobre los ejes de coordenadas durante un período de tiempo 
igual
,
,
.
¿Cuál es el impulso de la resultante?
El impulso de la resultante de varias fuerzas durante un cierto período de tiempo es igual a la suma geométrica de los impulsos de las fuerzas componentes durante el mismo período de tiempo.
.
¿Cómo cambia el impulso de un punto que se mueve uniformemente alrededor de un círculo?
Cuando un punto se mueve uniformemente alrededor de un círculo, la dirección del impulso cambia 
, pero su módulo se conserva 
.
¿Cuál es el momento de un sistema mecánico?
La cantidad de movimiento de un sistema mecánico es un vector igual a la suma geométrica (vector principal) de las cantidades de movimiento de todos los puntos del sistema.
.
¿Cuál es el momento de un volante que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de gravedad?
La cantidad de movimiento de un volante que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de gravedad es cero, porque 
.
Formular teoremas sobre el cambio de momento de un punto material y de un sistema mecánico en formas diferenciales y finitas. Exprese cada uno de estos teoremas con una ecuación vectorial y tres ecuaciones en proyecciones sobre los ejes de coordenadas.
El momento diferencial de un punto material es igual al impulso elemental de las fuerzas que actúan sobre el punto.
.
El cambio en el número de movimientos de un punto durante un cierto período de tiempo es igual a la suma geométrica de los impulsos de fuerzas aplicadas al punto durante el mismo período de tiempo.
.
En proyecciones, estos teoremas tienen la forma
,
,
,
,
.
La derivada temporal del momento de un sistema mecánico es geométricamente igual al vector principal de fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
.
La derivada temporal de la proyección del impulso de un sistema mecánico sobre cualquier eje es igual a la proyección del vector principal de fuerzas externas sobre el mismo eje.
,
,
.
El cambio en el impulso del sistema durante un cierto período de tiempo es igual a la suma geométrica de los impulsos de fuerzas externas aplicadas al sistema durante el mismo período.
.
El cambio en la proyección del impulso del sistema sobre cualquier eje es igual a la suma de las proyecciones de los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema sobre el mismo eje.
,
,
.
¿En qué condiciones no cambia el momento de un sistema mecánico? ¿En qué condiciones no cambia su proyección sobre un determinado eje?
Si el vector principal de fuerzas externas durante el período de tiempo considerado es igual a cero, entonces la cantidad de movimiento del sistema es constante.
Si la proyección del vector principal de fuerzas externas sobre cualquier eje es cero, entonces la proyección del impulso sobre este eje es constante.
¿Por qué el arma retrocede cuando se dispara?
El retroceso de un arma cuando se dispara en dirección horizontal se debe al hecho de que la proyección del impulso sobre el eje horizontal 
no cambia en ausencia de fuerzas horizontales
,
.
¿Pueden las fuerzas internas cambiar el impulso de un sistema o el impulso de una parte de él?
Dado que el vector principal de las fuerzas internas es cero, no pueden cambiar la cantidad de movimiento del sistema.
Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia
Institución Educativa Presupuestaria del Estado Federal de Educación Profesional Superior
"Universidad Tecnológica Estatal de Kuban"
Mecánica teórica
dinámica parte 2
Aprobado por el Comité Editorial y Editorial
consejo universitario como
ayuda para enseñar
Krasnodar
CDU 531.1/3 (075)
Mecánica teórica. Parte 2. Dinámica: Libro de texto / L.I. Draiko; Kubán. estado technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 p.
ISBN 5-230-06865-5
El material teórico se presenta de forma breve, se dan ejemplos de resolución de problemas, la mayoría de los cuales reflejan cuestiones técnicas reales, y se presta atención a la elección de un método racional de solución.
Diseñado para licenciados en educación por correspondencia y a distancia en construcción, transporte e ingeniería mecánica.
Mesa 1 enfermo. 68 Bibliografía 20 títulos
Editor científico Candidato de Ciencias Técnicas, Profesor Asociado. V.F.Melnikov
Revisores: Jefe del Departamento de Mecánica Teórica y Teoría de Mecanismos y Máquinas, Universidad Agraria de Kuban prof. FM Kanarev; Profesor asociado, Departamento de Mecánica Teórica, Universidad Tecnológica Estatal de Kuban M.E. Multykh
Publicado por decisión del Consejo Editorial y Editorial de la Universidad Tecnológica Estatal de Kuban.
Reedición
ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998
Prefacio
Este libro de texto está destinado a estudiantes a tiempo parcial de las especialidades de construcción, transporte e ingeniería mecánica, pero puede ser utilizado al estudiar la sección "Dinámica" del curso de mecánica teórica por estudiantes a tiempo parcial de otras especialidades, así como por estudiantes a tiempo completo. trabajando de forma independiente.
El manual está elaborado de acuerdo con el plan de estudios actual del curso de mecánica teórica y cubre todos los temas de la parte principal del curso. Cada sección contiene breve material teórico, acompañado de ilustraciones y recomendaciones metodológicas para su uso en la resolución de problemas. El manual contiene soluciones a 30 problemas que reflejan problemas técnicos reales y corresponden a tareas de prueba para una solución independiente. Para cada problema se presenta un diagrama de cálculo que ilustra claramente la solución. El formato de la solución cumple con los requisitos para el formato de exámenes para estudiantes a tiempo parcial.
El autor expresa su profundo agradecimiento a los profesores del Departamento de Mecánica Teórica y Teoría de Mecanismos y Máquinas de la Universidad Agraria de Kuban por su gran trabajo en la revisión del libro de texto, así como a los profesores del Departamento de Mecánica Teórica de la Universidad Tecnológica del Estado de Kuban. University por sus valiosos comentarios y consejos sobre la preparación del libro de texto para su publicación.
Todos los comentarios críticos y sugerencias serán aceptados con gratitud por el autor en el futuro.
Introducción
La dinámica es la sección más importante de la mecánica teórica. La mayoría de los problemas específicos encontrados en la práctica de la ingeniería se relacionan con la dinámica. Utilizando las conclusiones de la estática y la cinemática, la dinámica establece las leyes generales del movimiento de los cuerpos materiales bajo la acción de fuerzas aplicadas.
El objeto material más simple es un punto material. Un cuerpo material de cualquier forma se puede tomar como un punto material, cuyas dimensiones pueden despreciarse en el problema considerado. Un cuerpo de dimensiones finitas puede tomarse como un punto material si la diferencia en el movimiento de sus puntos no es significativa para un problema determinado. Esto sucede cuando las dimensiones del cuerpo son pequeñas en comparación con las distancias recorridas por los puntos del cuerpo. Cada partícula de un cuerpo sólido puede considerarse un punto material.
Las fuerzas aplicadas a un punto o a un cuerpo material se evalúan dinámicamente por su impacto dinámico, es decir, por cómo cambian las características del movimiento de los objetos materiales.
El movimiento de objetos materiales a lo largo del tiempo ocurre en el espacio con respecto a un determinado marco de referencia. En la mecánica clásica, basada en los axiomas de Newton, el espacio se considera tridimensional y sus propiedades no dependen de los objetos materiales que se mueven en él. La posición de un punto en dicho espacio está determinada por tres coordenadas. El tiempo no está relacionado con el espacio y el movimiento de los objetos materiales. Se considera igual para todos los sistemas de referencia.
Las leyes de la dinámica describen el movimiento de objetos materiales en relación con ejes de coordenadas absolutos, convencionalmente aceptados como estacionarios. Se supone que el origen del sistema de coordenadas absoluto está en el centro del Sol y los ejes se dirigen a estrellas distantes y condicionalmente estacionarias. Al resolver muchos problemas técnicos, los ejes de coordenadas conectados a la Tierra pueden considerarse condicionalmente inamovibles.
Los parámetros del movimiento mecánico de objetos materiales en dinámica se establecen mediante derivaciones matemáticas de las leyes básicas de la mecánica clásica.
Primera ley (ley de inercia):
Un punto material mantiene un estado de reposo o movimiento uniforme y lineal hasta que la acción de algunas fuerzas lo sacan de este estado.
El movimiento lineal y uniforme de un punto se llama movimiento por inercia. El reposo es un caso especial de movimiento por inercia, cuando la velocidad de un punto es cero.
Todo punto material tiene inercia, es decir, se esfuerza por mantener un estado de reposo o movimiento lineal uniforme. El sistema de referencia respecto del cual se cumple la ley de inercia se llama inercial, y el movimiento observado en relación con este sistema se llama absoluto. Cualquier sistema de referencia que realice un movimiento traslacional rectilíneo y uniforme con respecto a un sistema inercial también será un sistema inercial.
Segunda ley (ley básica de la dinámica):
La aceleración de un punto material con respecto al sistema de referencia inercial es proporcional a la fuerza aplicada al punto y coincide con la fuerza en la dirección: 
.
De la ley básica de la dinámica se deduce que con fuerza 
aceleración 
. La masa de un punto caracteriza el grado de resistencia de un punto a los cambios en su velocidad, es decir, es una medida de la inercia de un punto material.
Tercera Ley (Ley de Acción y Reacción):
Las fuerzas con las que dos cuerpos actúan entre sí son iguales en magnitud y están dirigidas a lo largo de una línea recta en direcciones opuestas.
Las fuerzas llamadas acción y reacción se aplican a cuerpos diferentes y por tanto no forman un sistema equilibrado.
Cuarta ley (ley de independencia de fuerzas):
Con la acción simultánea de varias fuerzas, la aceleración de un punto material es igual a la suma geométrica de las aceleraciones que tendría el punto bajo la acción de cada fuerza por separado:
, Dónde 
,
,…,
.
El uso del seguro médico para la resolución de problemas está asociado a ciertas dificultades. Por lo tanto, generalmente se establecen relaciones adicionales entre las características del movimiento y las fuerzas, que son más convenientes para la aplicación práctica. Tales relaciones son Teoremas generales de la dinámica. Ellos, al ser consecuencias de OMS, establecen relaciones entre la velocidad de cambio de algunas medidas de movimiento especialmente introducidas y las características de las fuerzas externas.
Teorema sobre el cambio de impulso. Introduzcamos el concepto de vector de impulso (R. Descartes) de un punto material (Fig. 3.4):
Yo yo = t V GRAMO (3.9)
Arroz. 3.4.
Para el sistema introducimos el concepto. vector principal del impulso del sistema como suma geométrica:
Q = Y, m " V r
De acuerdo con OZMS: Xu, -^=i) o X
RE) .
Teniendo en cuenta que /w, = const obtenemos: -Ym,!" = RE) ,
o en forma final
dO/di = A (E (3.11)
aquellos. la primera derivada con respecto al tiempo del principal vector de impulso del sistema es igual al principal vector de fuerzas externas.
Teorema sobre el movimiento del centro de masa. Centro de masa del sistema. llamado punto geométrico cuya posición depende de T, etc. a partir de la distribución de masas /g/, en el sistema y está determinada por la expresión para el vector radio del centro de masa (Fig. 3.5):
Dónde g s - vector de radio del centro de masa.
Arroz. 3.5.
llamemos = t con la masa del sistema. Después de multiplicar la expresión
aplicando (3.12) al denominador y diferenciando ambos lados del resultado resultante
tendremos una valiosa igualdad: gsts = ^t.U. = 0, o 0 = ts nosotros.
Por tanto, el vector de impulso principal del sistema es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad del centro de masa. Utilizando el teorema del cambio de momento (3.11), obtenemos:
t s dU s / dі = A (E) , o
La fórmula (3.13) expresa el teorema sobre el movimiento del centro de masa: el centro de masa del sistema se mueve como un punto material que tiene la masa del sistema, sobre el cual actúa el vector principal de fuerzas externas.
Teorema sobre el cambio de momento angular. Introduzcamos el concepto de momento angular de un punto material como el producto vectorial de su vector de radio y su momento:
a oh = licenciado en Derecho X eso, (3.14)
Dónde a OI - Momento angular de un punto material con respecto a un punto fijo. ACERCA DE(Figura 3.6).
Ahora definimos el momento angular de un sistema mecánico como una suma geométrica:
К() = X ko, = ШУ, ? O-15>
Derivando (3.15), obtenemos:
ы segundo--- X t i U. + Gu X yo
Teniendo en cuenta que = U G U i X t i u i= 0, y la fórmula (3.2), obtenemos:
сіК а /с1ї - ї 0 .
Con base en la segunda expresión de (3.6), finalmente tendremos un teorema sobre el cambio en el momento angular del sistema:
La primera derivada del momento del momento de un sistema mecánico con respecto a un centro fijo O es igual al momento principal de las fuerzas externas que actúan sobre este sistema con respecto al mismo centro.
Al derivar la relación (3.16), se supuso que ACERCA DE- punto fijo. Sin embargo, se puede demostrar que en otros casos la forma de la relación (3.16) no cambiará, en particular, si en un movimiento plano el punto de momento se elige en el centro de masa, el centro instantáneo de velocidades o aceleraciones. Además, si el punto ACERCA DE coincide con un punto material en movimiento, la igualdad (3.16) escrita para este punto se convertirá en la identidad 0 = 0.
Teorema sobre el cambio de energía cinética. Cuando un sistema mecánico se mueve, cambia tanto la energía “externa” como la interna del sistema. Si las características de las fuerzas internas, el vector principal y el momento principal, no afectan el cambio en el vector principal y el momento principal del número de aceleraciones, entonces Las fuerzas internas se pueden incluir en la evaluación de los procesos del estado energético del sistema. Por lo tanto, al considerar los cambios en la energía de un sistema, es necesario considerar los movimientos de puntos individuales, a los que también se aplican fuerzas internas.
La energía cinética de un punto material se define como la cantidad
T^tuTsg. (3.17)
La energía cinética de un sistema mecánico es igual a la suma de las energías cinéticas de los puntos materiales del sistema:
Darse cuenta de T > 0.
Definamos la potencia de la fuerza como el producto escalar del vector fuerza y el vector velocidad:
Universidad Estatal de San Petersburgo aviación Civil
Departamento No. 6 - “Mecánica”
Sección III
"DINÁMICA"
San Petersburgo
- 2016 -1. Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Bien
mecánica teórica. Estática, cinemática,
dinámica. Libro de texto. M.: KNORS. 2011. - 608 p.
2. Meshchersky I.V. Problemas teóricos.
mecánica. Libro de texto Beneficio. San Petersburgo: Lan. 2011. - 448 p.
3. Targ M.S. Curso de mecánica teórica. METRO.:
Escuela de posgrado. 2012. - 548 p.
4. Chernov K.I. Fundamentos de la mecánica técnica. METRO.:
Ingeniería Mecánica. 1986. - 256 p.
5. Aret V.A. "La educación a distancia
tecnología". (manual electrónico www.openmechanics.com), 2016 Conferencia 1. Introducción
en dinámica. Leyes y axiomas
dinámica de un punto material. Ecuación básica
Altavoces. Ecuaciones diferenciales y naturales.
movimientos. Dos problemas principales de la dinámica. Ejemplos
resolviendo el problema directo de la dinámica.
Tema 2. Resolución del problema inverso de la dinámica. Son comunes
Instrucciones para resolver el problema inverso de la dinámica. Ejemplos
Resolviendo el problema inverso de la dinámica. Movimiento corporal
lanzado en ángulo con la horizontal, sin tener en cuenta la resistencia
aire.
Tema 3. Oscilaciones rectilíneas de un punto material.
Condición
aparición
vacilación.
Clasificación
vacilación. Vibraciones libres sin tener en cuenta fuerzas.
resistencia.
decadente
fluctuaciones.
Decremento
vacilación.
Tema 4. Oscilaciones forzadas de un punto material.
Resonancia.
Influencia
resistencia
movimiento
en
vibraciones forzadas Tema 5. Movimiento relativo de un punto material.
Fuerzas de inercia. Casos especiales de moción por diversos
tipos de movimiento portátil. La influencia de la rotación de la Tierra sobre
equilibrio y movimiento de los cuerpos.
Tema 6. Dinámica de un sistema mecánico. Mecánico
sistema. Fuerzas externas e internas. Centro de masa del sistema.
Teorema sobre el movimiento del centro de masa. Leyes de conservación.
Un ejemplo de resolución de un problema utilizando el teorema sobre
movimiento del centro de masas.
Tema 7. Impulso de fuerza. Cantidad de movimiento. Teorema sobre
cambio de impulso. Leyes de conservación.
Teorema de Euler. Un ejemplo de resolución de un problema usando
Teoremas sobre cambios en el impulso. Momento
cantidad de movimiento. Teorema de cambio de par
cantidad de movimiento...
Tema 8. Leyes de conservación. Elementos de la teoría del momento.
inercia.
Cinético
momento
sólido
cuerpos.
Ecuación diferencial para la rotación de un cuerpo rígido.
Un ejemplo de resolución de un problema utilizando el teorema sobre
cambiar
momento
cantidades
movimiento
sistemas.
Teoría elemental del giroscopio.
INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA
Conferencia 1INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA
La dinámica es una sección de la mecánica teórica,
estudiar el movimiento mecánico desde su punto más general
visión. La moción se está considerando en relación con la actual
al objeto por la fuerza.
La sección consta de tres secciones:
Dinámica
Dinámica
Dinámica
punto material
sistema mecánico
Mecánica analítica
Dinámica de un punto: estudia el movimiento de un punto material.
teniendo en cuenta las fuerzas que provocan este movimiento.
El objeto principal es un punto material – material
un cuerpo con masa cuyas dimensiones pueden ser
descuido. Dinámica de un sistema mecánico – estudia el movimiento.
colecciones de puntos materiales y cuerpos sólidos,
unidos por leyes generales de interacción, teniendo en cuenta
fuerzas que provocan este movimiento.
Mecánica analítica: estudia el movimiento de los seres no libres.
sistemas mecánicos que utilizan común
métodos analíticos.
Supuestos clave:
– hay espacio absoluto (tiene puro
propiedades geométricas independientes de la materia y
sus movimientos);
– existe el tiempo absoluto (no depende de la materia y
sus movimientos). De esto se desprende:
– existe un sistema de referencia absolutamente inmóvil;
– el tiempo no depende del movimiento del sistema de referencia;
– las masas de los puntos en movimiento no dependen del movimiento
sistemas de referencia.
Estos supuestos se utilizan en la mecánica clásica,
creado por Galileo y Newton. ella todavía tiene
una gama bastante amplia de aplicaciones, porque
mecánica considerada en las ciencias aplicadas
Los sistemas no tienen masas tan grandes y
velocidades de movimiento para las que es necesario tenerlas en cuenta
influencia en la geometría del espacio, el tiempo, el movimiento, cómo
Esto se hace en la mecánica relativista (la teoría
relatividad). La fuerza es una cantidad variable y depende de:
a) tiempo - F f (t),
b) posición del punto de aplicación de la fuerza - F f (r),
c) velocidad de movimiento
puntos de aplicación de fuerza - F f (V).
Un punto material puede quedar libre si hay
No hay restricciones de movimiento. De lo contrario,
el punto material se llama no libre
La inercia es una propiedad de un cuerpo material que es más rápido o
cambia tu velocidad más lentamente
bajo la influencia de fuerzas que se le aplican
Los sistemas de referencia inercial son aquellos sistemas
donde se cumple la ley de inercia; de lo contrario, los sistemas
Los puntos de referencia no son inerciales.
13. TIPOS BÁSICOS DE FUERZAS
Gravedad.fmg
gramos 9,81 m/s2
aceleración de la gravedad
F f N reacción normal.
coeficiente de fricción
f 6,673 10-11 m3/(kg s2).
F f m1m2 r 2
Fuerza de fricción deslizante
La fuerza de la gravedad.
constante gravitacional
fuerza elástica
fc
alargamiento (compresión) del resorte (m)
constante del resorte (N/m).
Fuerza de fricción viscosa. fv
velocidad del cuerpo
densidad media
camara lenta
coeficiente de arrastre
1
F cx Sv 2
2
fuerza hidrodinámica
cuadrado
coeficiente de arrastre lateral
resistencia.
secciones
movimiento rápido 14. Leyes y axiomas de la dinámica del punto de apareamiento.
La mecánica clásica se basa en leyes que por primera vez
expuesto por I. Newton en su obra “Principios matemáticos
Filosofía natural” (1687).
Leyes básicas de la dinámica: descubiertas por primera vez por Galileo y
formulado por Newton forman la base de todos los métodos.
descripción y análisis del movimiento de sistemas mecánicos y sus
interacción dinámica bajo la influencia de diversas fuerzas.
Ley de Inercia (Ley de Galileo-Newton) – Aislada
El cuerpo del punto material mantiene su estado de reposo.
o movimiento rectilíneo uniforme hasta
las fuerzas aplicadas no lo obligarán a cambiar este estado.
Esto implica la equivalencia del estado de reposo y movimiento.
por inercia (ley de la relatividad de Galileo). Sistema de referencia
en relación con el cual se cumple la ley de inercia,
llamado inercial. Propiedad de un punto material
esforzarse por mantener la misma velocidad de movimiento
(su estado cinemático) se llama inercia. Ley de proporcionalidad de fuerza y aceleración.
(Ecuación básica de la dinámica - Ley II de Newton) –
La aceleración impartida a un punto material por la fuerza es
directamente proporcional a la fuerza e inversamente
proporcional a la masa de este punto: a 1 F o ma
metro
F.
Aquí m es la masa del punto (una medida de inercia), medida en kg,
numéricamente igual al peso dividido por la aceleración del libre
caídas:
GRAMO
metro
gramo
.
F – fuerza efectiva, medida en N (1 N indica el punto
masa 1 kg aceleración 1 m/s2, 1 N = 1/9,81 kgf). Ley de igualdad de acción y reacción (III ley
Newton) - A cada acción le corresponde una igual
magnitud y dirección opuesta
oposición:
metro
F2,1m
F1,2
F1, 2 F2,1
1
2
La ley es válida para cualquier estado cinemático.
tel. Fuerzas de interacción, aplicadas a diferentes
Los puntos (cuerpos) no están equilibrados.
Ley de acción independiente de fuerzas – Aceleración
Punto material bajo la influencia de varias fuerzas.
igual a la suma geométrica de las aceleraciones de un punto desde
acciones de cada fuerza por separado:
a (F1, F2,...) a1 (F1) a2 (F2) ....
o
a (R) a1 (F1) a2 (F2) .... 15. Ecuación básica de dinámica.
Ley básica de la dinámica: producto de la masa material.
puntos sobre su aceleración, que recibe bajo la influencia
fuerza, igual al módulo de esta fuerza, y la dirección de la aceleración
coincide con la dirección del vector de fuerza
mamá F
o
mamá fk
norte
Ecuación básica de la dinámica: ma Fi (1).
- corresponde al método vectorial para especificar el movimiento de un punto. 15.1. Ecuaciones diferenciales de movimiento.
punto material
Sustituyamos la aceleración del punto por la tarea vectorial.
movimiento
re 2r
a
dt
2
.
2
d
en la ecuación básica de la dinámica: m r
fi
2
dt
(2) - diferencial
ecuación de movimiento de un punto en
forma vectorial.
(2).
METRO
F1
F2
r
oh
a En forma de coordenadas: utilizamos la conexión radio-vector con
coordenadas y vector de fuerza con proyecciones:
r (t) x(t)i y(t) j z (t)k
Fi Fixi Fiy j Fiz k
d2
Después de agrupar
m 2 (xi yj zk) (Fixi Fiy j Fiz k).
relación vectorial
dt
se desintegra
re 2x
mx Fijar;
Oh
:
metro
F
;
ix
2
en tres escalares
dt
mi Fiy;
o
2
ecuaciones:
d y
z
Oye
:
metro
Fy;
2
Arizona
mz Fiz .
dt
M(x,y,z)
r
oh
i
X
k
sí
hacha
re 2z
(Oz): m 2 Fiz . - diferencial
dt
ecuaciones de movimiento
z
j
X
y
y
puntos en coordenadas
forma.
Este resultado se puede obtener
proyección formal de vector
ecuación diferencial (1). Ecuaciones naturales de movimiento de un punto material.
– se obtienen proyectando el vector
ecuación diferencial de movimiento a natural
(en movimiento) ejes de coordenadas:
m s Fiτ ;
() : maτ τ Fiτ ;
(n): hombre Fin; o
t 2
metro
Aleta.
(b) : m 0 Fib .
s
O1 sustantivo, masculino—
F2
- natural
ecuaciones
movimiento
puntos.
b
METRO
a
F1
- natural
ecuaciones de movimiento
puntos. 16. Dos problemas principales de la dinámica.
Problema directo: el movimiento está dado (ecuaciones de movimiento,
trayectoria). Se requiere determinar las fuerzas bajo la influencia.
que se produce un movimiento determinado.
Problema inverso: Dadas las fuerzas bajo cuya influencia
se produce el movimiento. Necesidad de encontrar parámetros
y
movimiento
(ecuaciones de movimiento, trayectoria de movimiento).
Ambos problemas se resuelven utilizando la ecuación básica de dinámica y
su proyección sobre los ejes de coordenadas. Si se considera movimiento
punto no libre, entonces, como en estática, se utiliza el principio
libertad de ataduras. Como resultado de la reacción, los enlaces se activan.
en las fuerzas que actúan sobre un punto material. Solución primero
tareas relacionadas
con operaciones de diferenciación. Solución de la inversa
r
El problema O requiere la integración del diferencial correspondiente.
ecuaciones y esto es mucho más difícil que la diferenciación.
El problema inverso es más difícil que el problema directo. La solución al problema directo de la dinámica: considérelo en
ejemplos:
Ejemplo 1. Una cabina de ascensor de peso G se levanta mediante un cable con
aceleración A. Determine la tensión del cable.
Solución: 1. Seleccione un objeto (la cabina del ascensor avanza y
puede ser considerado como un punto material).
2. Desechamos la conexión (cable) y la sustituimos por la reacción R.
3. Redactamos la ecuación básica de la dinámica: ma Fi G R
y
4. Proyecte la ecuación básica de la dinámica en el eje y:
R
(Oy): mayo R G .
Con movimiento uniforme de la cabina, ay = 0 y la tensión del cable
igual al peso: T = G.
a
Si el cable se rompe, T = 0 y la aceleración de la cabina es igual a la aceleración
caída libre: ay = -g.
GRAMO
sí
GRAMO
oh
R G mayo y G a y G(1).
Determinamos la reacción del cable:
gramo
gramo
Determine la tensión del cable:
TR; TRG(1
sí
gramo
).Solución del problema inverso de la dinámica – En general
Los movimientos de un punto de fuerza que actúa sobre un punto son
variables en función del tiempo, las coordenadas y la velocidad.
El movimiento de un punto se describe mediante un sistema de tres
mx Fijar;
ecuaciones diferenciales de segundo orden: m y F ;
yo
Después de la integración
cada uno de ellos será x f1 (t, C1, C 2, C3); x f 4 (t, C1, C 2,..., C 6); mz Fiz .
seis constantes y f 2 (t, C1, C 2, C3); y f (t, C, C,..., C); x x ; y y; zz;
5
1
2
6
0
0
0
C1, C2,…., C6:
z f 3 (t, C1, C 2, C3).
z f 6 (t, C1, C 2,..., C 6). x x ; y y; z z .
0
0
0
Valores de las constantes C1, C2,…., C6
son de seis iniciales
x f1 (t, x 0, y 0, z 0); x f 4 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
condiciones en t = 0:
Después de sustituir el encontrado y f 2 (t, x 0, y 0, z 0); y f 5 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0);
valores de constantes obtenemos: z f (t, x, y, z). z f 6 (t, x 0, y 0, z 0, x0, y 0, z 0).
3
0
0
0
Entonces
manera, bajo la influencia del mismo sistema de fuerzas
X
un punto material puede realizar toda una clase de movimientos,
determinado por las condiciones iniciales.
Las coordenadas iniciales tienen en cuenta la posición inicial del punto. Inicial
la velocidad especificada por las proyecciones tiene en cuenta la influencia en su movimiento a lo largo
la sección considerada de la trayectoria de las fuerzas que actúan sobre el punto antes
llegada a este sitio, es decir estado cinemático inicial. 17. Instrucciones generales para resolver directa e inversa.
tareas. Procedimiento de solución
1. Elaboración de una ecuación diferencial de movimiento:
1.1. Seleccione un sistema de coordenadas: rectangular
(estacionario) con una trayectoria de movimiento desconocida,
natural (en movimiento) con una trayectoria conocida,
por ejemplo, un círculo o una línea recta. En este último caso
Se puede utilizar una coordenada lineal. Comenzar
alinear el punto de referencia con la posición inicial del punto (en t = 0)
o con la posición de equilibrio del punto, si existe,
por ejemplo, cuando un punto oscila. 1.2. Dibuja un punto en una posición correspondiente a
en un momento arbitrario en el tiempo (en t > 0) de modo que
las coordenadas eran positivas (s > 0, x > 0). Donde
También creemos que la proyección de la velocidad en esta posición
también es positivo. En caso de oscilaciones, la proyección de velocidad.
cambia de signo, por ejemplo, al volver a la posición
balance. Aquí debe aceptarse que en el considerado
momento en el tiempo el punto se aleja de la posición de equilibrio.
Seguir esta recomendación es importante en el futuro.
trabajar con fuerzas de resistencia dependientes de la velocidad.
1.3. Libere el punto de material de las conexiones, reemplace
su acción son reacciones, agregan fuerzas activas.
1.4. Escriba la ley básica de la dinámica en forma vectorial,
proyectar sobre los ejes seleccionados, expresar el valor especificado
o fuerzas reactivas a través de variables tiempo, coordenadas
o velocidad, si de ellos dependen. 2. Resolver ecuaciones diferenciales:
2.1. Reducir la derivada si la ecuación no es
reducido a la forma canónica (estándar).
Por ejemplo:
dv x o s dv .
X
,
dt
dt
2.2. Variables separadas, por ejemplo:
dvx
1
dvx
1
dv
k
kdt o
gv2,
kvx,
vx
metro
dt
metro
dt
metro
dv
dt.
k 2
gv
metro
2.3. Si hay tres variables en la ecuación,
luego haz un cambio de variables, por ejemplo:
dv x
1
cx,
dt
metro
dv x dx v x dv x
1
cx
dtdx
dx
metro
y luego separar las variables. 2.4. Calcular integrales indefinidas a la izquierda y
en el lado derecho de la ecuación, por ejemplo:
dv x
1
vx m kdt
1
ln v x kt C1
metro
Usando condiciones iniciales, por ejemplo t = 0, vx = vx0,
determinar la constante de integración:
1
ln v x v k t 0 C1 ; C1 en v x 0 .
x0
metro
Comentario. En lugar de calcular integrales indefinidas, puedes
evaluar integrales definidas con variable superior
límite.
Los límites inferiores representan los valores iniciales de las variables.
(condiciones iniciales) Entonces no se requiere una conclusión separada
una constante que se incluye automáticamente en la solución, por ejemplo:
v
t
dv
1
v
mkdt.
v 0
0
lnv
v
v 0
1 tonelada
kt0;
metro
en v en v 0
1
1
kt 0; ln v kt ln v 0 .
metro
metro 2.5. Expresar la velocidad a través de la derivada de la coordenada con respecto a
tiempo, por ejemplo,
y repetir
1
kt ln v 0
ds
párrafos 2.2 -2.4
metro
v
dt
mi
Comentario. Si la ecuación se reduce a la canónica
tipo que tiene una solución estándar, entonces este es un ya preparado
se utiliza la solución.
Todavía se encuentran integraciones constantes desde
condiciones iniciales. 18. Dinámica de un punto material libre.
El movimiento de un punto lanzado formando un ángulo con la horizontal en
campo de gravedad uniforme sin tener en cuenta
resistencia del aire
dv x
0;
Oh
:
metro
X
0
;
dt
mamá
F G.
i
(Оy): m y G mg ;
dv y
dt
dv x 0; dv y gdt;
vx
vy
t
vx 0
vy0
0
dv x 0; dv y gdt;
v x v x0 v0 cos ;
y
v0
oh
X
GRAMO
X
gramo;
dx
v0cos;
dt
x v0 cos t;
v y v y 0 gt v0 sin gt ;
dy
v0 sin gt;
dt
gt2
y v0 sen t
;
219. Tipos de vibraciones de un punto material.
1. Vibraciones libres (sin tener en cuenta la resistencia
ambiente).
2. Vibraciones libres teniendo en cuenta la resistencia del medio.
X
(oscilaciones amortiguadas).
3. Vibraciones forzadas.
4. Oscilaciones forzadas teniendo en cuenta la resistencia.
ambiente.
Vibraciones libres: ocurren bajo la influencia de
sólo poder restaurador.
Anotemos la ley básica de la dinámica: ma G N R .
Elijamos un sistema de coordenadas con el centro en la posición
equilibrio (punto O) y proyecto
ecuación para el eje x:
oh
mx R cx.
yo
y
norte
R
X
X
GRAMO
Presentemos la ecuación resultante.
C
a la forma estándar (canónica): x k 2 x 0, donde k 2.
metro Esta ecuación es lineal homogénea.
ecuación diferencial de segundo orden, forma
cuya solución está determinada por las raíces
ecuación característica obtenida usando
sustitución universal: x e zt .
x zx2 e zt .
z 2 k 2 0.
Raíces de la ecuación característica.
imaginario e igual: z1, 2 ki.
Solución general de diferencial.
La ecuación tiene la forma: x C1 cos kt C2 sen kt.
Velocidad puntual: x kC sen kt kC cos kt.
1
2
Condiciones iniciales: t 0 x x0 , x x 0 .
definamos
constantes: x0 C1 cos k 0 C2 sen k 0 C11 C2 0.
x kC1 sen k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1x0.
C2
x0
.
k Oscilaciones amortiguadas de un punto material –
Se produce un movimiento oscilatorio de un punto material.
en presencia de poder y fuerza restauradores
resistencia al movimiento.
Dependencia de la fuerza de resistencia al movimiento del desplazamiento.
o la velocidad está determinada por la naturaleza física del medio o
Conexión que impide el movimiento. Lo más simple
la dependencia es lineal con la velocidad
(resistencia viscosa).
La amortiguación de las oscilaciones se produce muy rápidamente. Lo esencial
influencia de la fuerza de resistencia viscosa – disminución
amplitudes de oscilaciones en el tiempo. 20. Movimiento relativo de un punto material.
Supongamos que el sistema de coordenadas en movimiento (no inercial) Oxyz se mueve a lo largo
a alguna ley relativa a un sistema de coordenadas fijo (inercial)
O1x1y1z1. Movimiento de un punto material M (x, y, z) con respecto a uno en movimiento
sistema Oxyz– relativo, relativo al sistema estacionario O1x1y1z1–
absoluto. Movimiento del sistema móvil Oxyz con respecto al estacionario.
sistemas O1x1y1z1 – movimiento portátil.
Absoluto
Ecuación básica de la dinámica: ma Fi. aceleración puntual:
m(a a a) Fi .
r
mi
C
a a a r a e a c.
Movamos los términos con portátil y
r
mi
C
Aceleración de Coriolis hacia el lado derecho: ma Fi ma ma.
Los términos transferidos tienen la dimensión de fuerzas y
son consideradas fuerzas relevantes
mi ma e, c ma c.
inercia igual a:
r
En proyecciones sobre el eje del sistema en movimiento.
ma Fi e c .
coordenadas tenemos:
F
F
(Оz) : m z F
Entonces el movimiento relativo del punto
(Buey): mx
puede considerarse como absoluto
si sumamos a las fuerzas actuantes
(Оy): mi y
Fuerzas de inercia portátiles y de Coriolis:
ix
excx;
yo
ey cy ;
es
ezcz.
¡Gracias por su atención!
Conferencia 2
21. Dinámica de un sistema mecánico.Sistema de puntos materiales o sistema mecánico –
Un conjunto de puntos materiales o cuerpos materiales,
unidos por leyes generales de interacción (posición
o el movimiento de cada uno de los puntos o cuerpo depende de la posición
y los movimientos de todos los demás).
Un sistema de puntos gratuitos cuyo movimiento no está
limitado por cualquier conexión (por ejemplo, planetaria
sistema en el que los planetas son considerados como
puntos materiales).
Sistema de puntos no gratuito o no gratuito
sistema mecánico - movimiento de puntos materiales o
Los cuerpos están limitados por las conexiones impuestas al sistema.
(por ejemplo, mecanismo, máquina, etc.).
Conferencia 2
22. Fuerzas que actúan sobre el sistema.Además de la clasificación de fuerzas previamente existente
(fuerzas activas y reactivas) se introduce una nueva
clasificación de fuerza:
1. Fuerzas externas (e) – que actúan sobre puntos y cuerpos
sistema desde puntos u cuerpos no incluidos en el
de este sistema.
2. Fuerzas internas (i) – fuerzas de interacción entre
puntos o cuerpos materiales incluidos en un determinado
sistema.
La misma fuerza puede ser tanto externa como
fuerza interior. Todo depende de qué tipo de mecánica.
el sistema está siendo revisado.
Por ejemplo: En el sistema Sol, Tierra y Luna todas las fuerzas
la atracción gravitacional entre ellos es interna. En
considerando el sistema de gravedad de la Tierra y la Luna,
los aplicados desde el lado del Sol son externos. Basado en la ley de acción y reacción de cada uno.
fuerza interna Fk corresponde a otra fuerza interna
fuerza Fk" igual en magnitud y opuesta en magnitud
dirección.
De esto se desprenden dos propiedades notables de las fuerzas internas:
1. El vector principal de todas las fuerzas internas del sistema es igual a
i
i
cero: R Fk 0.
2. El punto principal de todas las fuerzas internas del sistema.
i
i
METRO
METRO
kO 0.
relativo a cualquier centro es cero: O
A
EN
z
Xki 0; Yki 0; Z ki 0.
i
i
i
METRO
0
;
METRO
0
;
METRO
kx
Kentucky
kz 0.
CON
Nota: Aunque estas ecuaciones son similares a las ecuaciones de equilibrio, son
no son tales, ya que se aplican fuerzas internas a
a varios puntos o cuerpos del sistema y puede provocar el movimiento de estos
puntos (cuerpos) entre sí. De estas ecuaciones se deduce,
que las fuerzas internas no afectan el movimiento del sistema bajo consideración
como un todo. 23. Centro de masa de un sistema de puntos materiales.
Para describir el movimiento del sistema en su conjunto, introducimos
un punto geométrico llamado centro de masa, cuyo vector de radio está determinado por la expresión
mk rk
r
,
C
donde M es la masa de todo el sistema:
Mmk.
METRO
O en proyecciones sobre ejes de coordenadas:
mk xk
xC
,
mk y k
yC
,
METRO
m1
r1
RC
m2
oh
X
yC
mk
cr
k
zC
r2
METRO
rn
xC
Minnesota
y
mk z k
zC
.
METRO
Fórmulas para el centro de masa.
similar a las fórmulas para el centro
gravedad. Sin embargo, el concepto de centro
la masa es más general porque no es
relacionados con fuerzas gravitacionales o
fuerzas de gravedad. 24. Teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema.
mk a k F k F k o mk
mi
i
2
d
mi
metro
r
R
.
2kk
dt
En proyecciones sobre
ejes de coordenadas:
d 2 rk
dt
2
Fke Fki. resumámoslo
estas ecuaciones
en todos los puntos:
MrC mk rk.
d2
mi
METRO
r
R
.
C
2
dt
mk
d 2 rk
dt 2
Fke Fki.
Re
METRO
d2rC
dt 2
Re
Ri 0
MAC R
M x C R ex Fxke ; Teorema: Producto
M y C R ey
M z C R ez
masa del sistema por
Fike; aceleración de su centro
la masa es igual a la principal
mi
Fzk. vector de fuerzas externas.
mi Corolarios del teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema.
(leyes de conservación)
es cero, Re = 0, entonces la velocidad del centro de masa es constante, vC = const (centro
La masa se mueve uniformemente en línea recta: la ley de conservación del movimiento.
centro de masa).
2. Si en el intervalo de tiempo la proyección del vector principal de exterior
las fuerzas del sistema en el eje x son cero, Rxe = 0, entonces la velocidad del centro de masa a lo largo del eje x
es igual a cero, Re = 0, y en el momento inicial la velocidad del centro de masa es igual a
cero, vC = 0, entonces el radio vector del centro de masa permanece constante, rC =
const (el centro de masa está en reposo - la ley de conservación de la posición
centro de masa).
la fuerza del sistema sobre el eje x es cero, Rxe = 0, y en el momento inicial la velocidad
centro de masa a lo largo de este eje es igual a cero, vCx = 0, entonces la coordenada del centro de masa a lo largo
El eje x permanece constante, xC = const (el centro de masa no se mueve a lo largo de este
eje).
25. Impulso de fuerza
Una medida de interacción mecánica que caracteriza
transmisión del movimiento mecánico desde el mecanismo
al punto de fuerza durante un período de tiempo determinado:
SF (t 2 t1).
En proyecciones sobre
t
t
t
coordenada (Ox): S x Fx dt; (Oy): S y Fy dt; (Oz): S z Fz dt.
t
t
t
ejes:
2
2
2
1
1
1
t2
En caso de fuerza constante: S F dt
t1
S x Fx (t 2 t1);
S y Fy (t 2 t1);
S z Fz (t 2 t1);
El impulso de la resultante es igual a la geométrica.
la suma de impulsos de fuerzas aplicadas a un punto durante un mismo
mismo periodo de tiempo: R F1 F2... Fn.
R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
integremos en t2
t2
t2
t2
intervalo dado R dt F1dt F2 dt ... Fn dt.
t1
t1
t1
t1
tiempo:
S S1 S 2 ... S norte . 26. Movimiento de un punto
igual al producto de la masa de un punto por su vector
velocidad: Qmv.
La cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales.
suma geométrica de cantidades de movimiento material
puntos: Q Q1 Q2... Qn Qk.
Por definición del centro de masa:
q
metro
v
Q Qk mk vk mk
beber
d
(mk rk).
dt
dt
MrC mk rk.
El vector de impulso del sistema es igual a
producto de la masa de todo el sistema y el vector velocidad
centro de masa del sistema.
drC
d
Entonces: Q dt (Mrc) M dt MvC.
En proyecciones sobre
Q Mx C ;
ejes de coordenadas: x
QMvC.
Q y Mx C ;
Q y Mx C . 26. Teorema sobre el cambio de impulso
sistemas
Consideremos un sistema de n puntos materiales. Adjunto a
Dividimos cada punto de fuerza en externo e interno y
Reemplacémoslos con las resultantes correspondientes Fke y Fki.
Anotemos la ecuación básica de dinámica para cada punto:
mk a k F ke F ki o mk dvk Fke Fki .
dt
Resumamos estos
En el lado izquierdo de la ecuación introducimos
ecuaciones
masas bajo el signo de la derivada
en todos los puntos:
y reemplazar la suma de las derivadas con
dvk
mi
i
metro
F
F
.
k
k
k
derivada de la suma: d (m v) R e .
dt
k k
dt
De la definición
mi
i
d
q
mi
R
0
R
cantidades mk v k Q .
r.
Derivada del vector momento del sistema con respecto al tiempo
dt es igual al vector principal de fuerzas externas del sistema.
sistema de movimiento:
dqx
En proyecciones sobre coordenadas dQx R e F e ; dQx R mi F mi ;
R y F xke .
xk
xk
dt
dt
dt
ejes:
X
X
X 26. Corolarios del teorema del cambio de cantidad
movimiento del sistema (leyes de conservación)
:
1. Si en el intervalo de tiempo el vector principal de externa
fuerzas del sistema es cero, Re = 0, entonces el vector de cantidad
el movimiento es constante, Q = const – ley de conservación
impulso del sistema.
2. Si en el intervalo de tiempo la proyección del vector principal
las fuerzas externas del sistema en el eje x son iguales a cero, Rxe = 0, entonces
proyección del momento del sistema sobre el eje x
es constante, Qx = const.
Afirmaciones similares son válidas para los ejes y y z.
dQ
Proyectamos sobre el eje: τ m1 g cos m2 g cos 0.
dt
Compartimos
q
t
variables
dQτ (m1 g cos m2 g cos)dt 0.
0
e integrar: Q0
De ahí la ley Qτ Qτ 0 0 o Qτ 0 Qτ.
guardando: Mv m v m v .
1 1
2 2
Integral derecha
casi igual
cero, porque tiempo
explosión<<1.
v2
mv m1v1
v2.
m2 27. Momento de un punto o cinético
momento de movimiento relativo a algún centro
Una medida de movimiento mecánico definida por un vector,
igual al producto vectorial del vector radio
punto material por el vector de su impulso:
q
v
Momento cinético de un sistema de puntos materiales.
relativo a algún centro – geométrico
la suma de los momentos de las cantidades de movimientos de todos
puntos materiales relativos al mismo centro:
metro
K.O.
r
oh
K O r Q r mv .
K x y (mv z) z (mv y);
K y z (mv x) x (mv z);
K z x (mv y) y (mv x).
Derivada del vector de momento angular
sistemas relativos a algún centro en el tiempo
igual al momento principal de las fuerzas externas del sistema
respecto al mismo centro.
KO K1O K2O... KnO KiO ri mi vi.
En proyecciones
kx
en el eje:
k
ix
; K y Kiy;
K z Kiy. 28. Teorema sobre el cambio de momento angular
movimiento del sistema
Consideremos un sistema de n puntos materiales. Adjunto a
Dividimos cada punto de fuerza en externo e interno y
Reemplacémoslos con las resultantes correspondientes Fke y Fki.
Anotemos la ecuación básica de dinámica para cada punto:
dvk
mi
i
mi
i
metro
F
F
.
mk a k F k F k
k
o
k
k
dt
Multipliquemos vectorialmente cada una de las igualdades por el vector radio
izquierda:
dv
mk
k
dt
Resumamos estos
ecuaciones para todos
puntos:
rk Fke rk Fki .
dvk
mi
i
r
metro
r
F
r
F
k
k k k k.
k
dt
mi
MES.
i
MES.
0Veamos si podemos quitar el signo de la derivada.
más allá del producto cruzado:
beber
dvk
d
(rk mk vk)
mk vk rk mk
dt
dt
dt
vk mk vk 0 (sin(vk, mk vk) 0)
dvk
mk
.
dt
d
mi
r
metro
v
METRO
k
k k
o.
dt
Así, obtuvimos:
Reemplacemos la suma de derivadas.
a la derivada de la suma: d
(rk mk v k) M Oe .
dt
La expresión entre paréntesis es el momento angular.
sistemas. De aquí:
dK
oh
dt
M Oe. En proyecciones sobre ejes de coordenadas:
dky
dkx
dk z
mi
mi
MX;
Mi;
Mze.
dt
dt
dt
Teorema: Derivada del vector de torsión
la cantidad de movimiento del sistema en relación con
de algún centro es igual en tiempo al principal
momento de las fuerzas externas del sistema con respecto a
el mismo centro.
dK
oh
dt
M Oe.
Teorema: Derivada del momento de la cantidad
movimiento del sistema con respecto a algún eje
igual en el tiempo al momento principal de la externa.
fuerzas del sistema con respecto al mismo eje.
dky
dkx
dk z
mi
mi
MX;
Mi;
Mze.
dt
dt
dt 29. Corolarios del teorema de cambio de par
impulso del sistema (leyes de conservación)
1. Si en el intervalo de tiempo el vector del momento principal
Fuerzas externas del sistema con respecto a algún centro.
es igual a cero, MOe = 0, entonces el vector del momento de la cantidad
Movimiento del sistema con respecto al mismo centro.
constante, KO = const – ley de conservación del par
impulso del sistema).
2. Si en el intervalo de tiempo el momento principal de acción externa
la fuerza del sistema relativa al eje x es cero, Mxe = 0, entonces
momento angular del sistema con respecto al eje x
constante, Kx = constante.
Afirmaciones similares son válidas para los ejes y y z. 30. Elementos de la teoría de los momentos de inercia.
En el movimiento de rotación de un cuerpo rígido, la medida de inercia
(resistencia al cambio de movimiento) es el momento
Inercia respecto al eje de rotación. Veamos los principales
definición de conceptos y métodos para calcular momentos.
inercia.
30.1. Momento de inercia de un punto material.
relativo al eje
2
2
2
I z mh m(x y)
z
h
metro
z
r
oh
h
X
X
y
y
Momento de inercia del material.
punto relativo al eje es igual
el producto de la masa de un punto y
cuadrado de la distancia del punto al eje.
Además del momento de inercia axial de un cuerpo rígido
Existen otros tipos de momentos de inercia:
yo xy xydm
- momento de inercia centrífugo
cuerpo solido. 30.2. Momento de inercia de un cuerpo rígido respecto de un eje.
z
I z mk hk2 mk (xk2 yk2)
hk
rk
mk
z
y
oh
yk
X
Momento de inercia de un cuerpo rígido.
con respecto al eje es igual a la suma
productos de la masa de cada punto
por el cuadrado de la distancia de este punto
al eje.
Al pasar de discreto
masa pequeña a infinitesimal
masa de un punto, el límite de tal suma
está determinada por la integral:
xk
I z h 2 dm (x 2 y 2)dm
- momento de inercia axial
cuerpo solido.
I O r dm (x y z)dm
2
2
2
2
- momento polar
Inercia de un cuerpo sólido. 30.4. Momento de inercia de una varilla constante uniforme.
secciones transversales relativas al eje
Seleccionemos el volumen elemental dV = Adx a una distancia x:
zС
z
Elemental
peso:
dm-adx
l
X
X
C
dx
l
3L
l
X
I z x 2 dm x 2 Adx A
3
0
0
0
L3ML2
A
3
3
ubicación del eje y establecer límites de integración (-L/2,
L/2). Aquí demostramos la fórmula para pasar a
ejes paralelos:
2
2
M.L.
l
Yo zC M .
3
2
I z I zC d M .
2
Yo zC
2
ML L
ML2
METRO
.
3
12
2
230.5. Momento de inercia de un cilindro sólido homogéneo.
relativo al eje de simetría
Seleccionemos el volumen elemental: dV = 2πrdrH (cilindro delgado
radio r
Masa elemental:
dm 2 rdrH
R
R
I z r dm r 2 2 rdrH
2
0
0
4R
r
2H
4
0
R 4 SEÑOR 2
2H
4
2
Señor 2
Iz
2
Dado que la altura de los cilindros no está incluida en el resultado.
fórmulas para momentos de inercia, entonces permanecen
Válido para disco macizo fino y llanta.
ruedas (anillo fino). 31. Momento cinético de un cuerpo rígido.
ΔK zi hola Δmi vi hola Δmi z hola h Δmi .
2
z yo
K z ΔK zi z h Δmi z I z .
2
i
O seguir adelante
a infinitesimales:
dK z hdmv hdm z h z h dm.
2
K z dK z z h 2 dm z I z .
Momento cinético de la rotación.
cuerpo es igual al producto de la angular
velocidad en el momento de inercia
respecto al eje de rotación.
z
z
Hola
Δmi
vi
X
y 32. Ecuación diferencial de rotación.
cuerpo rígido con respecto al eje
Escribamos el teorema sobre el cambio de momento angular.
un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo:
dk z
Mze.
dt
El momento cinético de un cuerpo rígido en rotación es igual a:
z
z
z
mz
X
K z z I z .
Momento de fuerzas externas con respecto al eje.
la rotación es igual al par
(reacciones y gravedad M e M M
z
z
girar
no crear oportunidades):
Sustituimos el momento cinético y
y
par en el teorema
d (z yo z)
Rotación M z M
dt
I z M z M rotación 33. Teoría elemental del giroscopio.
Giroscopio: un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje.
simetría material, uno de cuyos puntos
inmóvil.
Giroscopio libre: fijado de modo que su centro de masa
permanece estacionario y el eje de rotación pasa por
centro de masa y puede tomar cualquier posición en
espacio, es decir el eje de rotación cambia de posición
similar al eje de rotación del propio cuerpo en
movimiento esférico.
kc
ω El supuesto principal de lo aproximado (elemental)
teoría del giroscopio – vector de momento de cantidad
Se considera el movimiento (momento cinético) del rotor.
dirigido a lo largo de su propio eje de rotación.
La propiedad principal de un giroscopio libre es el eje del rotor.
mantiene una dirección constante en el espacio a lo largo
en relación con el marco de referencia inercial (estelar)
(demostrado por el péndulo de Foucault, que mantiene la
en relación con las estrellas el plano oscilante, 1852).
Esto se desprende de la ley de conservación del momento angular.
relativo al centro de masa del rotor, siempre que
despreciando la fricción en los cojinetes de los ejes de suspensión
rotor, marco exterior e interior:
dKC
M Ce 0;
dt
KC constante. 34. Acción de la fuerza sobre el eje de un giroscopio libre.
En el caso de una fuerza aplicada al eje del rotor,
el momento de las fuerzas externas con respecto al centro de masa no es igual
cero:
dK
Yo y Fh.
C
dt
M Ce r F ;
C
Derivada del momento angular con respecto al tiempo
igual a la velocidad del final de este vector (teorema de Rézal):
dKC
dr.
vK; (v).
dt
dt
vK
z
M Ce.
Esto significa que el eje del rotor será
desviarse de la dirección de acción
fuerza, y hacia el vector de momento
esta fuerza, es decir no girará
relativo al eje x (interno
suspensión), y en relación con el eje y
(suspensión externa).
F
h
vK
y
CON
Mce
X
ω
kc Cuando la fuerza cesa, el eje del rotor permanecerá
en una posición constante correspondiente a
el último momento del tiempo de acción de la fuerza, porque
A partir de este momento en el tiempo el momento de las fuerzas externas nuevamente.
se vuelve igual a cero.
En caso de una fuerza breve (impacto), el eje
El giroscopio prácticamente no cambia de posición.
Así, la rápida rotación del rotor comunica
Capacidad del giroscopio para contrarrestar el azar.
influencias que tienden a cambiar la posición del eje
rotación del rotor y con fuerza constante.
mantiene la posición del plano perpendicular a
la fuerza actuante en la que se encuentra el eje del rotor. Estas propiedades
utilizado en el funcionamiento de sistemas de navegación inercial.
¡Gracias por su atención!
Ejemplo: Dos personas de masas m1 y m2 están en un barco.masa m3. En el momento inicial, un barco con gente
estaba en reposo. Determine el desplazamiento del barco si
una persona de masa m2 se desplazó hasta la proa del barco a una distancia a.
1. Objeto de movimiento
(barco con gente):
x2
y
x1
2. Desechamos conexiones (agua):
A
G3
3. Reemplace la conexión con una reacción:
4. Agregue fuerzas activas:
G1
R
G2
X
oh
Proyectar sobre el eje x:
M x C 0.
constante xC.
MaC R y G1 G2 G3 N
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
x3
x C constante 0.
mk xk 0 mk xk .
m2 un
0 m1l m2 (la) m3l
yo
m1 m2 m3
en la dirección opuesta.
17
Conferencia 6 (continuación de 6.2)
Teorema sobre el movimiento del centro de masa de un sistema – Considere un sistema de n puntos materiales. Dividimos las fuerzas aplicadas a cada punto.en externo e interno y reemplácelos con los correspondientes resultantes Fke y Fki. Escribamos la ecuación básica para cada punto.
Altavoces:
o
d 2 rk
mi
i
d 2 rk
Resumamos estas ecuaciones
mk a k F ke F ki
mk
F
F
.
metro
k 2 Fke Fki .
k
k
en todos los puntos:
dt 2
dt
En el lado izquierdo de la ecuación introducimos masas bajo el signo de la derivada
d2
(mr) R mi.
y reemplazamos la suma de las derivadas por la derivada de la suma:
2kk
De la definición del centro de masa:
Después de retirar la masa del sistema.
para el signo de la derivada obtenemos
En proyecciones sobre ejes de coordenadas:
MrC mk rk.
METRO
d2rC
dt
2
dt
Sustituyamos en la ecuación resultante:
R e o:
M x C R ex X ke ;
M y C Rey Yke ;
MacRe
d2
(MrC) R e .
2
dt
Re
Ri 0
El producto de la masa de un sistema por la aceleración de su centro de masa.
igual al vector principal de fuerzas externas.
El centro de masa del sistema se mueve como un punto material con una masa igual a la masa
el sistema completo al que se aplican todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
Ejemplo: Dos personas de masas m1 y m2 están en un barco de masa m3.
En el momento inicial, el barco con la gente estaba en reposo.
Determine el desplazamiento del barco si una persona de masa m2 se mueve hacia la proa.
Corolarios del teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema.
barcos a distancia.
y
(leyes de conservación):
x2
A
1. Si en el intervalo de tiempo el vector principal de fuerzas externas del sistema
X
1. Objeto de movimiento (barco con gente):
1
es cero, Re = 0, entonces la velocidad del centro de masa es constante, vC = const
2. Desechamos conexiones (agua):
(el centro de masa se mueve uniformemente en línea recta - ley de conservación
3.
Reemplazamos la conexión con una reacción:
G1
X
movimiento del centro de masa).
oh
G2
2. Si en el intervalo de tiempo la proyección del vector principal de fuerzas externas 4. Sumar fuerzas activas:
sistema en el eje x es cero, Rxe = 0, entonces la velocidad del centro de masa a lo largo del eje x
5. Anotamos el teorema sobre el centro de masa:
constante, vCx = const (el centro de masa se mueve uniformemente a lo largo del eje).
G3
R
MaC R y G1 G2 G3 N
Afirmaciones similares son válidas para los ejes y y z.
x3
3. Si en el intervalo de tiempo el vector principal de fuerzas externas del sistema
Proyectar sobre el eje x: M x C 0.
x C constante 0.
es cero, Re = 0, y en el momento inicial la velocidad del centro de masa es cero,
constante xC.
vC = 0, entonces el radio vector del centro de masa permanece constante, rC = const (centro
mk xk 0 mk xk .
masa está en reposo: la ley de conservación de la posición del centro de masa).
Determinemos hasta qué punto una persona de masa m1 necesita cambiar de asiento,
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 (x1 l) m2 (x2 l a) m3 (x3 l)
4. Si en el intervalo de tiempo la proyección del vector principal de exterior
fortaleza
para mantener el barco en su lugar:
sistema en el eje x es cero, Rxe = 0, y en el momento inicial la velocidad central
m2 un
0 m1l m2 (la) m3l
m1 x1según esto
m2 x2ejes
mequal
m1 (x1v Cxb=) 0,
metro
(x2 a) mcentro
yo
masas
coordenada to2
masa del eje x
3x3 cero,
3x3.
m1 m2 m3
m2
permanece constante, xC = const (el centro de masa no se mueve a lo largo de este eje).
El barco se moverá una distancia l.
b
a
.
0
metro
b
metro
a
.
Similar
válido para los ejes ym y z.
1 declaraciones
2
17
en la dirección opuesta.
M z C R ez Z ke .
1
Conferencia 8 (continuación de 8.2)
4.Momento de inercia de una varilla constante uniforme.
secciones relativas al eje:
Destaquemos lo elemental.
zС
volumen dV = Adx
z
l
a distancia x:
5.
Momento de inercia de un cilindro sólido homogéneo.
relativo al eje de simetría:
Destaquemos lo elemental.
volumen dV = 2πrdrH
(cilindro delgado de radio r):
Elemental
peso:
dm 2 rdrH
z
R
X
dx
l
Elemental
peso:
DM
C
X
l
3L
X
I z x dm x Adx A
3
0
0
2
2
0
adx
h
R
L3ML2
A
3
3
y
Para calcular el momento de inercia relativo al centro.
eje (que pasa por el centro de gravedad) basta con cambiar
ubicación del eje y establecer límites de integración (-L/2, L/2).
Aquí demostramos la fórmula para la transición al paralelo.
ejes:
2
2
I z I zC d 2 M .
2
Yo zC
6.
ML2L
ML2
METRO
.
3
12
2
0
0
4R
X
r
r
2H
4
dr.
0
R 4 SEÑOR 2
2H
4
2
Aquí usamos la fórmula para el volumen de un cilindro V=πR2H.
Calcular el momento de inercia de un cilindro hueco (grueso)
basta con establecer los límites de integración de R1 a R2 (R2>R1):
M.L.
l
Yo zC M .
3
2
r4
yo z 2 H
4
R2
R1
2
2
R24 R14 M (R 2 R1)
2H
.
4
4
2
Momento de inercia de un cilindro delgado con respecto al eje. Dado que, como resultado, la altura de los cilindros no está incluida en las fórmulas de momento.
inercia, entonces siguen siendo válidos para un disco sólido delgado y
simetría (t<
R
z t
Debido al pequeño espesor del cilindro.
Suponemos que todos los puntos están ubicados.
a la misma distancia R del eje
y no se requiere integración.
Volumen V = 2πRtH. (cilindro delgado
radio R con espesor de pared t).
h
y
X
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
■
z
2
M ((R 2 (R t) 2) M (2 R 2 2 Rt t 2) 2R .
Iz
.
2
2
Seleccionemos un pequeño volumen discreto de masa mi:
ΔK zi hola Δmi vi hola Δmi z hola z hi2 Δmi .
z
Hola
I z R 2 2 RtH MR 2 .
Lo mismo se puede lograr usando
Fórmulas para un cilindro de paredes gruesas, teniendo en cuenta.
t pequeña:
Momento de un cuerpo rígido
Δmi
X
K z ΔK zi z hi2 Δmi z I z .
vi
O pasando a infinitesimales:
y
dK z hdmv hdm z h z h 2 dm.
K z dK z z h 2 dm z I z .
El momento angular de un cuerpo en rotación es igual al producto
Velocidad angular en el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
22teorema de euler
Teoremas: Aplicación del teorema del cambio de cantidad
movimiento del sistema al movimiento de un medio continuo (agua).
(x) : M seg (v2 x v1x) Rxrev Rxrev;
(y) : M seg (v2 y v1 y) R yob R ypov;
(z) : Mmovimiento
Rz ubicado
.
seg (v2 z v1volumen
z) Rzagua,
1.Seleccionar como objeto
en el canal curvo de la turbina:
2. Descartamos las conexiones y reemplazamos su acción por reacciones (Rpov es la resultante de las fuerzas superficiales)
3. Sumar fuerzas activas (Rob – resultante de fuerzas volumétricas):
acerca de
v1
F1
A
A
B
B
Robar
La cantidad de movimiento del agua en los momentos t0 y t1.
En proyecciones como
para cantidades:
ejes:
imaginemos
Q Q Q .
0
C
D
F2
v2
AB
ANTES DE CRISTO.
Q1 QBC QCD .
,
Cambio en el impulso del agua en el intervalo de tiempo:
Q Q1 Q0 QCD QAB .
cambio de cantidad
movimiento
Los vectores de agua de las segundas cantidades de movimiento del fluido a lo largo del eje son iguales a
Diferencia
proyecciones
dQ dQCD dQAB , donde dQAB (F1v1dt)v1;
por infinitesimal
intervalo
tiempo
dt: vectores
la suma de las proyecciones de los principales
Fuerzas volumétricas y superficiales sobre el mismo eje.
dQCD (F2v2 dt)v2.
Tomando el producto de la densidad, el área de la sección transversal y la velocidad como la segunda masa
obtenemos:
dQ (M dt)v ;
AB
dQ
Rob Rp.
dt
4. Anotamos el teorema sobre el cambio en el impulso del sistema:
RPov
C
D
punto de vista
segundo
1
dQCD (M seg dt)v2.
dQ M seg (v2 v1)dt.
M seg F1v1 F2v2,
Sustituyendo el diferencial de momento del sistema
en el teorema del cambio obtenemos:
M seg (v2 v1) Rrev Rrev.
La diferencia geométrica entre los vectores de las segundas cantidades de movimiento del fluido es igual a
la suma de los principales vectores de fuerzas volumétricas y superficiales.
(SISTEMAS MECÁNICOS) – IV opción
1. La ecuación básica de la dinámica de un punto material, como se sabe, se expresa mediante la ecuación. Las ecuaciones diferenciales de movimiento de puntos arbitrarios de un sistema mecánico no libre según dos métodos de división de fuerzas se pueden escribir de dos formas:
(1) , donde k=1, 2, 3, … , n – número de puntos del sistema material.
¿Dónde está la masa del k-ésimo punto? - vector de radio del k-ésimo punto, - una fuerza dada (activa) que actúa sobre el k-ésimo punto o la resultante de todas las fuerzas activas que actúan sobre el k-ésimo punto. - resultante de las fuerzas de reacción del enlace que actúan sobre el k-ésimo punto; - resultante de fuerzas internas que actúan sobre el k-ésimo punto; - resultante de fuerzas externas que actúan sobre el k-ésimo punto.
Utilizando las ecuaciones (1) y (2), uno puede esforzarse por resolver tanto el primer como el segundo problema de dinámica. Sin embargo, resolver el segundo problema de la dinámica de un sistema se vuelve muy complicado, no sólo desde un punto de vista matemático, sino también porque nos enfrentamos a dificultades fundamentales. Consisten en el hecho de que tanto para el sistema (1) como para el sistema (2) el número de ecuaciones es significativamente menor que el número de incógnitas.
Entonces, si usamos (1), entonces la dinámica conocida para el segundo problema (inverso) será y, y las desconocidas serán y. Las ecuaciones vectoriales serán " norte”, y desconocidos - “2n”.
Si partimos del sistema de ecuaciones (2), entonces se conocen algunas de las fuerzas externas. ¿Por qué separarse? El hecho es que el número de fuerzas externas también incluye reacciones externas de conexiones que se desconocen. Además, también será una incógnita.
Por lo tanto, tanto el sistema (1) como el sistema (2) están SIN CERRAR. Es necesario agregar ecuaciones, teniendo en cuenta las ecuaciones de las conexiones, y quizás también sea necesario imponer algunas restricciones a las propias conexiones. ¿Qué hacer?
Si partimos de (1), entonces podemos seguir el camino de componer ecuaciones de Lagrange del primer tipo. Pero este camino no es racional porque cuanto más simple es el problema (menos grados de libertad), más difícil es resolverlo desde un punto de vista matemático.
Luego dirijamos nuestra atención al sistema (2), donde - siempre son desconocidos. El primer paso para resolver un sistema es eliminar estas incógnitas. Hay que tener en cuenta que, por regla general, no nos interesan las fuerzas internas cuando el sistema se mueve, es decir, cuando el sistema se mueve, no es necesario saber cómo se mueve cada punto del sistema, pero sí basta. saber cómo se mueve el sistema en su conjunto.
Por lo tanto, si excluimos las fuerzas desconocidas del sistema (2) de varias maneras, obtenemos algunas relaciones, es decir, aparecen algunas características generales del sistema, cuyo conocimiento nos permite juzgar cómo se mueve el sistema en general. Estas características se introducen mediante el llamado Teoremas generales de la dinámica. Hay cuatro teoremas de este tipo:
1. Teorema sobre movimiento del centro de masa de un sistema mecánico;
2. Teorema sobre Cambio en el impulso de un sistema mecánico.;
3. Teorema sobre cambio en el momento cinético del sistema mecánico;
4. Teorema sobre cambio en la energía cinética de un sistema mecánico.