Как найти угол если известны стороны. Площадь треугольника

Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону \(c \), углы \(\alpha \) и \(\beta \) по заданным пользователем сторонам \(a, b \) и углу между ними \(\gamma \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Теорема синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Теорема косинусов

Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Дано: \(a, b, \angle C \). Найти \(c, \angle A, \angle B \)

Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Дано: \(a, \angle B, \angle C \). Найти \(\angle A, b, c \)

Решение
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

Решение треугольника по трём сторонам

Дано: \(a, b, c \). Найти \(\angle A, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$

2. Аналогично находим угол B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны

Дано: \(a, b, \angle A \). Найти \(c, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме синусов находим \(\sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$

Введём обозначение: \(D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \(\sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D Если D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90º. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, используются некоторые свойства прямоугольных треугольников, а именно: то, что сумма острых углов равна 90º, а также то, что напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы, лежит угол, равный 30º.

Быстрая навигация по статье

Равнобедренный треугольник

Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:

• Прямой угол равен 90º.
• Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.

Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.

Ключевые понятия

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Так как один угол прямой, два оставшихся будут острыми. Для их нахождения необходимо знать, что:

Другие способы

Величины острых углов прямоугольного треугольника можно вычислить, зная значение медианы – линии, проведенной из вершины к противоположной стороне треугольника, и высоты – прямой, представляющей собой перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу. Пусть s – медиана, проведенная из прямого угла к середине гипотенузы, h — высота. В таком случае получается, что:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

Две стороны

Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и одного из катетов, либо две стороны, для нахождения значений острых углов используются тригонометрические тождества:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

В математике при рассмотрении треугольника обязательно уделяют много внимание его сторонам. Поскольку данные элементы формируют эту геометрическую фигуру. Стороны треугольника используются для решения многих задач по геометрии.

Определение понятия

Отрезки, соединяющие три точки, которые не лежат на одной прямой, называются сторонами треугольника. Рассматриваемые элементы ограничивают часть плоскости, что называют внутренностью данной геометрической фигуры.

Математики в своих расчетах допускают обобщения, касающиеся сторон геометрических фигур. Так, в вырожденном треугольнике три его отрезка лежат на одной прямой.

Характеристики понятия

Расчет сторон треугольника предполагает определение всех остальных параметров фигуры. Зная длину каждого из этих отрезков можно легко вычислить периметр, площадь и даже углы треугольника.

Рис. 1. Произвольный треугольник.

Суммировав стороны данной фигуры можно определить периметр.

P=a+b+c, где a, b, c – стороны треугольника

А для нахождения площади треугольника тогда следует использовать формулу Герона.

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Где p – полупериметр.

Углы данной геометрической фигуры вычисляют через теорему косинусов.

$$cos α={{b^2+c^2-a^2}\over{2bc}}$$

Значение

Через соотношение сторон треугольника выражают некоторые свойства этой геометрической фигуры:

• Напротив наименьшей стороны треугольника находится его наименьший угол.
• Внешний угол рассматриваемой геометрической фигуры получают, продлевая одну из сторон.
• Напротив равных углов треугольника лежат равные стороны.
• В любом треугольнике одна из сторон всегда больше разности двух других отрезков. А сумма любых двух сторон этой фигуры больше третьей.

Один из признаков равенства двух треугольников является соотношение суммы всех сторон геометрической фигуры. Если эти значения одинаковые, то и треугольники будут равными.

Некоторые свойства треугольника зависят от его типа. Поэтому вначале следует учитывать величину сторон или углов этой фигуры.

Формирование треугольников

Если две стороны рассматриваемой геометрической фигуры будут одинаковыми, то этот треугольник называют равнобедренным.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

Когда все отрезки в треугольнике будут равны, то получится равносторонний треугольник.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Любое вычисление удобнее проводить в тех случаях, когда произвольный треугольник можно отнести к определенному типу. Поскольку тогда нахождение требуемого параметра этой геометрической фигуры значительно упростится.

Хотя правильно подобранное тригонометрическое уравнение позволяет решить многие задачи, в которых рассматривается произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Три отрезка, которые соединены между собой точками и не принадлежат одной прямой, формируют треугольник. Эти стороны образуют геометрическую плоскость, что используется при определении площади. С помощью данных отрезков можно найти много таких важных характеристик фигуры, как периметр и углы. Соотношение сторон в треугольнике помогает найти его тип. Некоторыми свойствами данной геометрической фигуры можно воспользоваться только, если известны размеры каждой из ее сторон.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 142.

АНДРЕЙ ПРОКИП: «МОЯ ЛЮБОВНИЦА – РОССИЙСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ВКЛАДЫВАТЬ НУЖНО В НЕЕ!»
4-5 сентября прошел экологический форум «Климатический форму городов». Инициатором организации мероприятия является организация С40, которая была основана в 2005 году ООН. Основной из задач форму и городов является контроль за климатическими изменениями городов.
Как показала практика, в отличие от светских раутов и «заседаний в ночных клубах», депутатов и публичных персоналий на было мало. Среди тех, кто действительно выявил озабоченность экологической ситуацией был Прокип Адрей Зиновьевич. Он взял активное участие во всех пленарных заседаниях вместе со специальным представителем Президента Российской Федерации по вопросам климата Русланом Эдельгериевым, заместителем мера Москвы по вопросам жилищно-коммунального хозяйства Петром Бирюковым, а также иностранными представителями – мэром итальянского города Савона – Иларио Каприоглио. Участники представили свои проекты, а также обсудили стратегии по удержанию роста мировой температуры, а также предложили практические решения устойчивого развития городов.
АНДРЕЙ ПРОКИП ПРО ШАШЛЫКИ, ДЕПУТАТОВ И ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
Особый интерес у Российской стороны вызвало выступление спикеров, среди которых были европейские архитекторы, ученые и мер Савона. Темой выступления стало ТОПовое направление – «зеленое строительство». Как заявил сам Андрея Прокип « важно правильно перераспределить ресурсы, а также учитывать стандарты европейского строительства для такого мегаполиса как Москва. Необходимо чтобы Россия на Федеральном уровне взяла курс на «зеленое финансирование», тем более что это экономически целесообразно и как показывает практика – выгодно». Также он высказал опасения на счет ухудшения здоровья россиян в связи с экологическими катастрофами и несоблюдением экологических норм по утилизации отходов крупными и малыми промышленными предприятиями». Утвердился он в своих опасениях также благодаря выступлению Франческо Замбона – профессора Европейского бюро ВОЗ по инвестициям в здравоохранение.
С свойственным юмором Андрей обратился к известным персонам, которые были приглашены на форум, но так и не явились, с призывом «вспоминать о природе, не только когда они захотят шашлычков либо отправятся на рыбалку. Ведь именно от благосклонности природы зависит здоровье всего народа, в число которого к сожалению, входят и они».
Кроме пылких речей о новой «любовнице-природе» Андрея Зиновьевича и важности брать ответственность за окружающую среду на себя, значимым событием форума стало пленарное заседание на тему «Как воспитать новое поколение». Участники форума были едины во мнении, что воспитывать нужно не только детей, но и взрослое поколение. Очень важно воспитать ответственность перед природой в бытовом поведении, а также в бизнесе.
Для Москвы будет запущен специальный проект «учимся жить цивилизованно». Это образовательный проект для всех слоев населения и возрастных категорий. Но какова бы не была прекрасна теория и благие намерения, для России до сих пор актуальна поговорка «пока жареный петух не клюнет – дурак не перекрестится».
По мнению Тимоти Неттера – известного театрального режиссера – все может изменить искусство. В одном из выступлений он рассказал о том, как нужно преподносить идею сохранения природы в театре и кино и как важно воспитать в людях через искусство ответственность за то, что будет завтра с нами и природой.
Внимание операторов рентв и Андрея Прокирпа обратили на себя студенты российских вузов, представив проект по экологичной технологии производства тары, устойчивой к воздействию влаги и температуры. Это весьма актуальная проблема, так как по всему миру принимают законы против пластиковой тары, которая к слову разлагается более 30 лет, загрязняет почву и вызывает гибель животных.
Воодушевляет тот факт, что Москва одна из 94 городов-участников организации С40 и уже в третий раз проводится форум, который с каждым годом привлекает внимание все больше известных персоналий и горожан.