Indicați metode tabelare de precizare a legii de distribuție a St. Legea distribuției variabilelor aleatoare și metode de specificare a acesteia

Formula lui Bernoulli (teoremă specială privind repetarea experimentelor)

Exemplul 23

Există trei bilete de loterie. Probabilitatea de a câștiga pentru orice bilet este aceeași și este egală cu R. Probabilitatea ca biletul să nu câștige q = 1 – p– ca probabilitate a evenimentului opus. Determinați probabilitatea ca din trei bilete exact două să câștige.

Notăm probabilitatea dorită cu .

Evenimentul care ne interesează va avea loc dacă primul ȘI al doilea bilet câștigă ȘI al treilea nu câștigă SAU primul bilet nu câștigă ȘI al doilea ȘI al treilea câștig SAU al doilea bilet nu câștigă ȘI primul ȘI al treilea câștig . Probabilitatea fiecăreia dintre aceste opțiuni poate fi găsită folosind formula de înmulțire, iar răspunsul este calculat folosind formula de adunare pentru evenimente incompatibile:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizând soluția problemei, aflăm că aceasta a fost rezolvată în următoarea ordine:

Au fost compilate diverse opțiuni pentru implementarea evenimentului de interes;

Numărul acestor opțiuni este contorizat;

Se determină probabilitatea ca un eveniment să se producă prin implementarea oricărei opțiuni;

Probabilitatea cerută se găsește înmulțind probabilitatea ca un eveniment să se producă conform uneia dintre opțiuni cu numărul total de opțiuni.

De fapt, problema a fost rezolvată folosind așa-numitul formula lui Bernoulli. Să o scriem în formă generală.

Lasă o serie de n experimente (teste). Experimentele sunt efectuate în mod repetat, independent unul de celălalt și în aceleași condiții, astfel încât probabilitatea apariției unui eveniment A nu se schimba de la experienta la experienta si este egal cu R. Să notăm probabilitatea ca evenimentul să nu se producă Aîntr-un singur experiment - q = 1-p. Este necesar să se determine probabilitatea ca într-o serie de n eveniment experiențe A se va întâmpla din nou k ori – să notăm acest eveniment ca ÎN.

Eveniment ÎN poate fi realizat în diverse moduri (opțiuni). De exemplu, așa:

sau cam asa:

Important este ca în orice variantă numărul de apariții ale evenimentului A egală n, și numărul de apariții ale evenimentului egală n–k, deși vor apărea și nu vor apărea în versiuni diferite în secvențe diferite.

Pentru a determina numărul de astfel de opțiuni, puteți utiliza formula combinatorică- numărul de combinații de n elemente prin k.

Combinații - acestea sunt combinații de k obiecte (elemente) selectate dintr-un anumit set în n obiecte care conțin același număr de obiecte, dar diferă unele de altele în cel puțin unul dintre ele.

Numărul de combinații de n elemente prin k notat după cum poate fi găsit prin formula: = . (15)

O proprietate importantă în determinarea numărului de combinații este următoarea:

În problema luată în considerare, elementele care diferă unele de altele sunt numărul de experimente. Numărul total de opțiuni este de .

Probabilitatea producerii evenimentului A n timpii pentru fiecare opțiune este același și poate fi găsit folosind formula de înmulțire a probabilităților pe baza expresiei „Evenimentul A a avut loc k nu s-a întâmplat niciodată n–k o singura data": p k q n - k

Însumând aceste probabilități identice ori obținem o formulă numită formula lui Bernoulli:

=p k q n - k . (16)

Trebuie amintit că p este probabilitatea de a avea loc eveniment care ne interesează prin experiență și q – probabilitatea de neapariție acest eveniment din experiență.

Formula lui Bernoulli (Jacob Bernoulli a explorat-o în cartea sa The Art of Conjecture) se mai numește privat teorema repetarii experimentelor. Aceasta înseamnă că fiecare experiment ulterior se desfășoară în aceleași condiții ca toate experimentele anterioare, adică. probabilitatea ca un eveniment să se producă nu se modifică de la experiment la experiment și rămâne egală R.

Alături de privat există teorema generala despre repetarea experimentelor (probabilitatea ca un eveniment să se schimbe de la experiment la experiment), a căror luare în considerare depășește scopul acestui curs.

Exemplul 24

În atelier există 10 motoare electrice, probabilitatea ca fiecare dintre ele să fie oprit este de 0,1 Motoarele sunt conectate la rețea independent unul de celălalt. Determinați probabilitatea ca trei motoare electrice să fie oprite simultan.

Soluţie. Condiția problemei corespunde schemei testelor repetate de J. Bernoulli. Rezolvăm problema folosind o teoremă specială privind repetarea experimentelor, ținând cont de faptul că există trei motoare oprite (probabilitatea stării oprite este de 0,1) și 7 pornite (probabilitatea stării de pornire este de 0,1). 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Variabile aleatoare și legile lor de distribuție

Alături de evenimentele aleatoare, un alt concept important în teoria probabilității este conceptul de „variabilă aleatoare” (RV).

Magnitudinea este o caracteristică cantitativă a rezultatului unui experiment.

Toate cantitățile sunt împărțite în două grupe mari: non-aleatoare și aleatoare.

Non-aleatoriu (determinist) - sunt cantități care, ca urmare a experienței, capătă o valoare predeterminată, cunoscută. De exemplu, ora răsăritului și apusului, data noului an, numărul de degete pe mâinile unui nou-născut, numărul de examene și teste într-un semestru.

Aleatoriu (stochastic)- sunt cantități despre care nu se știe dinainte ce valoare vor lua în urma experimentului.

Variabilele aleatoare, la rândul lor, pot fi discrete sau continue.

Discret sunt acele SV care, din experiență, iau una dintre multele valori posibile, iar aceste valori, dacă se dorește, pot fi enumerate sau numerotate, de exemplu. acest set este finit. Cel mai adesea (deși nu neapărat) acestea sunt valori întregi, nenegative. De exemplu, O nota studentului la examen; numarul de fire de par de pe cap, numarul de lucratori in atelierul DE.

Continuu ei numesc astfel de SV care, din experiență, iau una dintre valorile posibile, iar numărul acestor valori, chiar și într-un interval foarte mic, este infinit de mare. Cu alte cuvinte, setul de valori posibile ale unui SV continuu este de nenumărat. De exemplu, nivelul de tensiune din rețea, durata de funcționare a unei linii electrice înainte de defecțiune, înălțimea și greutatea unei persoane, greutatea unui stilou.

Numele variabilelor aleatoare de obicei notate cu litere mari alfabet latin - X Y; A valorile , pe care variabilele aleatoare le iau în experiment, – litere mici - X y.

Diferite valori ale aceleiași variabile aleatoare nu sunt observate la fel de des. De exemplu, bărbații poartă marimea 42 mult mai des decât mărimea 46; Tensiunea din rețea este mult mai des în intervalul 215-225 V decât în ​​intervalul 225-235 V.

Relația dintre valorile unei variabile aleatoare și probabilitățile de apariție a acestora este stabilită de legea de distribuție a unei variabile aleatoare. Ei spun că SV este distribuit (sub rezerva) conform uneia sau altei legi de distribuție. Există mai multe forme de precizare a legii distribuției:

· sub formă de tabel (tabular);

· sub forma unui desen (grafic);

formula (analitic).

Metode de precizare a legilor de distribuție a variabilelor aleatoare

Toate metodele de specificare a legilor distribuției SW pot fi împărțite condiționat în teoretice și statistice. Legi teoretice distribuțiile reflectă adevăratele legi existente în natură. Pentru a le stabili, conform legii numerelor mari, este necesar să se prelucreze o cantitate aproape infinită de informații. În practică, astfel de legi sunt stabilite pe baza unui număr limitat de date statistice și sunt formalizate de unul sau altul statistic moduri. Statisticile sunt adesea numite experimental (empiric)). Fiecare metodă teoretică de specificare a legii de distribuție (DLR) are analogii statistice (STL). Să luăm în considerare aceste metode.

TZR-1. Seria de distribuție SV

O serie de distribuție este un tabel în care, pe de o parte, sunt indicate valorile unei variabile aleatoare, iar pe de altă parte, probabilitățile acestora (Tabelul 2). În seria de distribuție, valorile SV sunt aranjate ordonat - pe măsură ce cresc.

Probabilitatea totală a acestor valori, egală cu unu, este împărțită între toate valorile posibile ale SV. Prin urmare, suma tuturor probabilităților seriei de distribuție este egală cu unu: = 1

Tabelul 2. Seria de distribuție SV

Distribuții de bază

Variabile aleatoare

Orientări pentru munca independentă a elevilor

toate formele de educație

Întocmit de V.A. Bobkova

Ivanovo 2005

Întocmit de V.A. Bobkova

Distribuții de bază ale variabilelor aleatoare: Ghid pentru munca independentă a elevilor de toate formele de învățământ / Comp. V. A. Bobkova; GOUVPO Ivan. stat tehnologie chimică univ. – Ivanovo, 2005. 32 p.

Orientările sunt dedicate uneia dintre secțiunile importante ale cursului „Teoria probabilității și statistică matematică”, și anume: distribuțiile de bază ale variabilelor aleatoare. Este dat conceptul de variabilă aleatoare, sunt descrise metode pentru specificarea variabilelor aleatoare discrete și continue și sunt date definiții ale așteptărilor matematice, dispersiei și abaterii standard. În continuare, sunt luate în considerare principalele distribuții ale variabilelor aleatoare discrete: distribuția Bernoulli, distribuția binomială, distribuția Poisson, distribuțiile geometrice și hipergeometrice, precum și principalele distribuții ale variabilelor aleatoare continue: distribuții uniforme, exponențiale, normale. Sunt derivate formule pentru caracteristicile numerice ale distribuțiilor considerate, sunt date ilustrații grafice și exemple de rezolvare a problemelor. Problemele sunt date pentru rezolvare independentă.

Orientările sunt destinate muncii independente ale studenților din toate specialitățile universitare.

Bibliografie: 4 titluri.

Referent Doctor în științe tehnice, profesor A. N. Labutin

(Universitatea de Stat de Tehnologie Chimică Ivanovo)

Informații de bază despre variabile aleatoare

Conceptul de variabilă aleatoare

Aleatoriu este o cantitate care, în urma testării, va lua una și o singură valoare posibilă, necunoscută dinainte și în funcție de motive aleatorii care nu pot fi luate în considerare.

Variabilele aleatoare sunt notate cu litere mari latine X,Y, Z, ..., iar valorile lor posibile sunt notate cu literele mici corespunzătoare x, y, z, ....

Exemple de variabile aleatoare:

1) numărul de apeluri primite de la abonații la centrala telefonică într-un anumit timp;

2) greutatea unui bob de grâu luat la întâmplare;

3) numărul de note excelente de la elevii unei grupe la examen;

4) distanța de la punctul de aruncare a discului până la punctul de impact;

5) numărul de greșeli de scriere din carte.

Varietatea variabilelor aleatoare este mare. Numărul de valori pe care le acceptă poate fi finit, numărabil sau nenumărabil; aceste valori pot fi localizate discret sau intervale de umplere (finite sau infinite).

Variabile aleatoare discrete - Acestea sunt variabile aleatoare care pot lua doar un set finit sau numărabil de valori. De exemplu, de câte ori stema apare în cinci aruncări de monede (valorile posibile sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5); numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei (valori posibile 1, 2, ..., n, unde n este numărul de cartușe disponibile); numărul de elemente eșuate dintr-un dispozitiv format din trei elemente (valori posibile 0, 1, 2, 3) sunt variabile aleatoare discrete.

Variabile aleatoare continue– acestea sunt variabile aleatoare ale căror posibile valori formează un anumit interval finit sau infinit. De exemplu, timpul de funcționare al unui dispozitiv, raza de zbor a unui proiectil, timpul de așteptare pentru un autobuz sunt variabile aleatorii continue.

Metode de specificare a variabilelor aleatoare

Pentru a specifica o variabilă aleatoare, trebuie să cunoașteți valorile pe care le poate lua și probabilitățile cu care variabila aleatoare își ia valorile. Orice regulă (tabel, funcție, grafic) care vă permite să găsiți probabilitățile valorilor individuale ale unei variabile aleatorii sau ale unui set de aceste valori se numește legea distribuției variabilelor aleatoare (sau pur și simplu distributie ). Ei spun despre o variabilă aleatorie că „se supune unei anumite legi de distribuție”.

Fie X o variabilă aleatoare discretă care ia valori (mulțimea acestor valori este finită sau numărabilă) cu anumite probabilități . Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete convenabil de setat folosind formula i = 1, 2, 3, … , n, … , ceea ce determină probabilitatea ca în urma experimentului variabila aleatoare X să ia valoarea . Pentru o variabilă aleatorie discretă, legea distribuției poate fi specificată ca tabele de distributie :

Aici, prima linie conține toate valorile posibile (de obicei în ordine crescătoare) ale variabilei aleatoare, iar a doua linie conține probabilitățile acestora. Acest tabel este numit aproape de distribuție .

Deoarece evenimentele sunt incompatibile și formează un grup complet de evenimente, suma probabilităților lor este egală cu unu.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată grafic dacă valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt reprezentate pe axa absciselor, iar probabilitățile lor sunt reprezentate pe axa ordonatelor. Se numește o polilinie care leagă punctele obținute succesiv poligon de distribuție .

Evident, o serie de distribuție poate fi construită numai pentru variabile aleatoare discrete. Pentru variabile aleatoare continue, nici măcar nu este posibilă listarea tuturor valorilor posibile.

O modalitate universală de a specifica legea distribuției probabilităților, potrivită atât pentru variabile aleatoare discrete, cât și pentru variabile aleatoare continue, este functie de distributie.

Fie X o variabilă aleatoare, x un număr real. Funcția de distribuție a probabilității a variabilei aleatoare X este probabilitatea ca această variabilă aleatoare să ia o valoare mai mică decât x:

(1)

Din punct de vedere geometric, această egalitate poate fi interpretată astfel: F(x) este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea care este reprezentată pe axa numerică de un punct situat în stânga punctului x, adică punctul X va intra în interval.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului:

2. F(x) este o funcție nedescrescătoare, adică Dacă .

Corolarul 1. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în interval Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare continue sunt situate pe toată axa x, atunci sunt valabile următoarele relații limită: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+