Definiţia hexagon. Hexagon obișnuit: de ce este interesant și cum să îl construiți

Tema poligoanelor este tratată în curiculumul scolar, dar nu-i acordați suficientă atenție. Între timp, este interesant și acest lucru este valabil mai ales pentru un hexagon sau un hexagon obișnuit - la urma urmei, multe obiecte naturale au această formă. Acestea includ faguri și multe altele. Această formă funcționează foarte bine în practică.

Definiție și construcție

Un hexagon obișnuit este o figură plană care are șase laturi de lungime egală și același număr de unghiuri egale.

Dacă ne amintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon

rezultă că în această cifră este egal cu 720°. Ei bine, deoarece toate unghiurile figurii sunt egale, nu este greu de calculat că fiecare dintre ele este egal cu 120°.

Desenarea unui hexagon este foarte simplă; tot ce aveți nevoie este o busolă și o riglă.

Instrucțiunile pas cu pas vor arăta astfel:

Dacă doriți, puteți face fără o linie desenând cinci cercuri de rază egală.

Cifra astfel obținută va fi un hexagon obișnuit, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.

Proprietățile sunt simple și interesante

Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să îl împărțim în șase triunghiuri:

Acest lucru va ajuta pe viitor să-și afișeze mai clar proprietățile, dintre care principalele sunt:

  1. diametrul cercului circumscris;
  2. diametrul cercului înscris;
  3. pătrat;
  4. perimetru.

Cercul circumscris și construcție

Un cerc poate fi descris în jurul unui hexagon și numai unul. Deoarece această cifră este obișnuită, o puteți face destul de simplu: trageți o bisectoare din două colțuri adiacente în interior. Se intersectează în punctul O, iar împreună cu latura dintre ele formează un triunghi.

Unghiurile dintre latura hexagonului și bisectoare vor fi de 60°, așa că putem spune cu siguranță că un triunghi, de exemplu, AOB, este isoscel. Și din moment ce al treilea unghi va fi, de asemenea, egal cu 60°, este și echilateral. Rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că pot servi drept raza unui cerc.

După aceasta, puteți să vă deplasați în partea următoare și, de asemenea, să desenați o bisectoare din unghiul din punctul C. Se va dovedi a fi altul triunghi echilateral, iar latura AB va fi comună ambelor, iar OS va fi următoarea rază prin care trece același cerc. Vor fi șase astfel de triunghiuri în total și vor avea un vârf comun în punctul O. Se dovedește că va fi posibil să se descrie un cerc și există doar unul dintre ele, iar raza lui este egală cu latura lui hexagonul:

De aceea, este posibil să construiți această figură folosind o busolă și o riglă.

Ei bine, aria acestui cerc va fi standard:

Cerc înscris

Centrul cercului circumspectiv va coincide cu centrul cercului înscris. Pentru a verifica acest lucru, puteți desena perpendiculare din punctul O pe laturile hexagonului. Ele vor fi înălțimile triunghiurilor care alcătuiesc hexagonul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este mediana față de latura pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este altceva decât bisectoarea perpendiculară, care este raza cercului înscris.

Înălțimea unui triunghi echilateral se calculează simplu:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

Și deoarece R=a și r=h, se dovedește că

r=R(√3)/2.

Astfel, cercul trece prin centrele laturilor unui hexagon obișnuit.

Zona sa va fi:

S=3πa²/4,

adică trei sferturi din ceea ce este descris.

Perimetrul și zona

Totul este clar cu perimetrul, este suma lungimilor laturilor:

P=6a, sau P=6R

Dar aria va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri în care poate fi împărțit hexagonul. Deoarece aria unui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei și înălțimii, atunci:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 sau

S=3R²(√3)/2

Cei care doresc să calculeze această zonă prin raza cercului înscris pot face acest lucru:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Construcții distractive

Puteți potrivi un triunghi într-un hexagon, ale cărui laturi vor conecta vârfurile printr-unul:

Vor fi doi în total, iar suprapunerea lor va da Steaua lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru nu este greu de verificat. Dacă te uiți la partea AC, aparține la două triunghiuri simultan - BAC și AEC. Dacă în prima dintre ele AB = BC, iar unghiul dintre ele este de 120°, atunci fiecare dintre cele rămase va fi de 30°. De aici putem trage concluzii logice:

  1. Înălțimea ABC de la vârful B va fi egală cu jumătate din latura hexagonului, deoarece sin30°=1/2. Cei care doresc să verifice acest lucru pot fi sfătuiți să recalculeze folosind teorema lui Pitagora se potrivește perfect aici.
  2. Latura AC va fi egală cu două raze ale cercului înscris, care se calculează din nou folosind aceeași teoremă. Adică AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
  3. Triunghiurile ABC, CDE și AEF sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele, iar de aici rezultă că laturile AC, CE și EA sunt egale.

Intersectându-se, triunghiurile formează un nou hexagon și este, de asemenea, regulat. Acest lucru este dovedit simplu:

Astfel, figura îndeplinește caracteristicile unui hexagon obișnuit - are șase laturi și unghiuri egale. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri este ușor să deducem lungimea laturii noului hexagon:

d=a(√3)/3

Va fi, de asemenea, raza cercului descris în jurul lui. Raza înscrisă va fi jumătate din dimensiunea laturii unui hexagon mare, ceea ce a fost dovedit când luăm în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este exact jumătate din latură, prin urmare, a doua jumătate este raza cercului înscris în hexagonul mic:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Se pare că aria hexagonului din interiorul Stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea a celui mare în care este înscrisă steaua.

De la teorie la practică

Proprietățile hexagonului sunt foarte activ utilizate atât în ​​natură, cât și în diverse domenii ale activității umane. În primul rând, acest lucru se aplică șuruburilor și piulițelor - capetele primului și celui de-al doilea nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de teșituri. Mărimea cheilor corespunde diametrului cercului înscris - adică distanța dintre marginile opuse.

Placile hexagonale și-au găsit și aplicația. Este mult mai puțin obișnuită decât cea patruunghiulară, dar este mai convenabil să o așezi: trei plăci se întâlnesc la un moment dat, mai degrabă decât patru. Compozițiile se pot dovedi a fi foarte interesante:

Se produc și plăci de beton pentru pavaj.

Prevalența hexagoanelor în natură este explicată simplu. Astfel, cel mai ușor este să potriviți cercuri și bile strâns pe un plan dacă au același diametru. Din această cauză, fagurii au această formă.

Hexagon regulat Un hexagon este un poligon cu șase colțuri. Orice obiect de această formă se mai numește și hexagon. Suma unghiurilor interne ale unui hexagon convex p ... Wikipedia

Hexagonul lui Saturn- O formațiune atmosferică stabilă hexagonală la polul nord al lui Saturn, descoperită de Voyager 1 și observată din nou în 2006 și ... Wikipedia

Poligon regulat- Heptagon regulat Un poligon regulat este un poligon convex în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Definiția unui poligon obișnuit poate depinde de definiția... Wikipedia

Heptagon obișnuit- Un heptagon obișnuit este un poligon regulat cu șapte laturi. Cuprins... Wikipedia

Triunghi regulat- Triunghi regulat. Un triunghi regulat (sau echilateral) este un poligon regulat cu trei laturi, primul dintre poligoane regulate. Toate părțile... Wikipedia

Hexagon obișnuit este un poligon regulat cu nouă laturi. Proprietățile regulilor ... Wikipedia

17-gon obișnuit- Decidagonul regulat este o figură geometrică aparținând grupului de poligoane regulate. Are șaptesprezece laturi și șaptesprezece unghiuri, toate unghiurile și laturile sale sunt egale între ele, toate vârfurile se află pe același cerc. Cuprins 1... ...Wikipedia

Hexagon obișnuit- o figură geometrică aparținând grupului poligoanelor regulate. Are șaptesprezece laturi și șaptesprezece unghiuri, toate unghiurile și laturile sale sunt egale între ele, toate vârfurile se află pe același cerc. Cuprins... Wikipedia

Octogon obișnuit- (octogon) o figură geometrică dintr-un grup de poligoane regulate. Are opt laturi și opt unghiuri și toate unghiurile și laturile sunt egale între ele... Wikipedia

65537-gon obișnuit- 65537 pătrat sau cerc? Triunghiul obișnuit 65537 (șaizeci și cinci de mii cinci sute treizeci și șapte de triunghi) este o figură geometrică dintr-un grup de poligoane regulate, constând din 65537 ... Wikipedia

Cărți

  • Seturile „Magic Edges” nr. 25, . Set pentru asamblarea a 3 cuburi cu sectiuni. Fiecare cub are părți mobile pe unde trece secțiunea. Acest lucru vă permite să vedeți cubul ca întreg și în secțiune transversală. Trei cuburi colectate vă permit să rezolvați probleme...

Știți cum arată un hexagon obișnuit?
Această întrebare nu a fost pusă întâmplător. Majoritatea elevilor de clasa a XI-a nu știu răspunsul la asta.

Un hexagon regulat este unul în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt, de asemenea, egale..

Nucă de fier. Fulg de nea. O celulă a unui fagure în care trăiesc albinele. Moleculă de benzen. Ce au aceste obiecte în comun? - Faptul că toate au o formă hexagonală regulată.

Mulți școlari devin confuzi când văd probleme care implică un hexagon obișnuit și cred că sunt necesare niște formule speciale pentru a le rezolva. E chiar asa?

Să desenăm diagonalele unui hexagon obișnuit. Avem șase triunghiuri echilaterale.

Știm că aria unui triunghi regulat este: .

Atunci aria unui hexagon obișnuit este de șase ori mai mare.

Unde este latura unui hexagon obișnuit.

Vă rugăm să rețineți că într-un hexagon obișnuit, distanța de la centrul său la oricare dintre vârfuri este aceeași și este egală cu latura hexagonului obișnuit.

Aceasta înseamnă că raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon obișnuit este egală cu latura acestuia.
Raza unui cerc înscris într-un hexagon obișnuit nu este greu de găsit.
Este egal.
Acum puteți rezolva cu ușurință orice probleme de USE care implică un hexagon obișnuit.

Aflați raza unui cerc înscris într-un hexagon regulat cu latura .

Raza unui astfel de cerc este egală cu .

Răspuns: .

Care este latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc a cărui rază este 6?

Știm că latura unui hexagon obișnuit este egală cu raza cercului circumscris în jurul lui.

Există un creion lângă tine? Uitați-vă la secțiunea sa transversală - este un hexagon obișnuit sau, așa cum se mai numește, un hexagon. Secțiunea transversală a unei nuci, un câmp de șah hexagonal, unele molecule complexe de carbon (de exemplu, grafit), un fulg de zăpadă, un fagure și alte obiecte au, de asemenea, această formă. Un hexagon regulat gigant a fost descoperit recent în Nu pare ciudat că natura folosește atât de des structuri cu această formă specială pentru creațiile sale? Să aruncăm o privire mai atentă.

Un hexagon obișnuit este un poligon cu șase laturi și unghiuri egale. Din curs şcolarȘtim că are următoarele proprietăți:

  • Lungimea laturilor sale corespunde razei cercului circumscris. Dintre toate, numai hexagonul obișnuit are această proprietate.
  • Unghiurile sunt egale între ele și fiecare măsură este de 120°.
  • Perimetrul unui hexagon poate fi găsit folosind formula Р=6*R, dacă este cunoscută raza cercului descris în jurul lui, sau Р=4*√(3)*r, dacă cercul este înscris în el. R și r sunt razele cercului circumscris și înscris.
  • Aria ocupată de un hexagon regulat se determină astfel: S=(3*√(3)*R 2)/2. Dacă raza este necunoscută, înlocuiți lungimea uneia dintre laturi - după cum se știe, aceasta corespunde cu lungimea razei cercului circumscris.

Un hexagon obișnuit are unul caracteristică interesantă, datorită căruia a devenit atât de răspândit în natură, este capabil să umple orice suprafață a planului fără suprapuneri sau goluri. Există chiar și așa-numita lemă Pal, conform căreia un hexagon regulat, a cărui latură este egală cu 1/√(3), este un capac universal, adică poate acoperi orice set cu un diametru de o unitate. .

Acum să ne uităm la construirea unui hexagon obișnuit. Există mai multe moduri, dintre care cea mai simplă implică utilizarea unei busole, creion și riglă. Mai întâi, desenăm un cerc arbitrar cu o busolă, apoi facem un punct într-un loc arbitrar pe acest cerc. Fără a schimba unghiul busolei, plasăm vârful în acest punct, marchem următoarea crestătură pe cerc și continuăm asta până când obținem toate cele 6 puncte. Acum tot ce rămâne este să le conectați împreună cu segmente drepte și veți obține figura dorită.

În practică, există momente când trebuie să desenați un hexagon mare. De exemplu, pe un tavan din gips-carton cu două niveluri, în jurul locului unde este atașat candelabru central, trebuie să instalați șase lămpi mici la nivelul inferior. Compasele de această dimensiune vor fi foarte, foarte greu de găsit. Ce să faci în acest caz? Cum desenezi un cerc mare? Foarte simplu. Trebuie să luați un fir puternic de lungimea necesară și să legați unul dintre capete opus creionului. Acum tot ce rămâne este să găsești un asistent care să apese al doilea capăt al firului de tavan în punctul dorit. Desigur, în acest caz, sunt posibile erori minore, dar este puțin probabil să fie vizibile pentru un străin.

Cea mai faimoasă figură cu mai mult de patru colțuri este un hexagon obișnuit. În geometrie este adesea folosit în probleme. Și în viață, exact așa arată fagurii când sunt tăiați.

Cum este diferit de cel greșit?

În primul rând, un hexagon este o figură cu 6 vârfuri. În al doilea rând, poate fi convex sau concav. Primul diferă prin faptul că patru vârfuri se află pe o parte a unei linii drepte trasate prin celelalte două.

În al treilea rând, un hexagon obișnuit se caracterizează prin faptul că toate laturile sale sunt egale. Mai mult, fiecare colț al figurii are și el același sens. Pentru a determina suma tuturor unghiurilor sale, va trebui să utilizați formula: 180º * (n - 2). Aici n este numărul de vârfuri ale figurii, adică 6. Un calcul simplu dă o valoare de 720º. Adică, fiecare unghi este egal cu 120 de grade.

În activitățile de zi cu zi, hexagonul obișnuit se găsește în fulgi de zăpadă și nucă. Chimiștii îl văd chiar și în molecula de benzen.

Ce proprietăți trebuie să știți când rezolvați probleme?

La cele menționate mai sus trebuie adăugat:

  • diagonalele figurii trasate prin centru o împart în șase triunghiuri, care sunt echilaterale;
  • latura unui hexagon regulat are o valoare care coincide cu raza cercului circumscris în jurul lui;
  • Folosind o astfel de cifră, este posibil să umpleți planul și nu vor exista goluri între ele și nici suprapuneri.

Denumiri introduse

În mod tradițional, latura unei figuri geometrice obișnuite este desemnată prin litera latină „a”. Pentru rezolvarea problemelor sunt necesare, de asemenea, aria și perimetrul, acestea fiind S și, respectiv, P. Un cerc poate fi înscris într-un hexagon obișnuit sau descris în jurul lui. Apoi sunt introduse valorile pentru razele lor. Ele sunt desemnate prin literele r, respectiv R.

Unele formule includ colț interior, semiperimetru și apotema (care este perpendiculară pe mijlocul oricărei laturi din centrul poligonului). Literele folosite pentru ele sunt: ​​α, р, m.

Formule care descriu o figură

Pentru a calcula raza unui cerc înscris veți avea nevoie de următoarele: r = (a * √3) / 2, cu r = m. Adică aceeași formulă va fi și pentru apotema.

Deoarece perimetrul unui hexagon este suma tuturor laturilor, se va determina astfel: P = 6 * a. Ținând cont de faptul că latura este egală cu raza cercului înscris, pentru perimetru există următoarea formulă pentru un hexagon regulat: P = 6 * R. Din cea dată pentru raza cercului înscris, se derivă relația dintre a și r. Atunci formula ia următoarea formă: P = 4 r * √3.

Pentru aria unui hexagon obișnuit, următoarele pot fi utile: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Sarcini

Nr. 1. Stare. Există o prismă hexagonală obișnuită, fiecare margine este de 4 cm în ea este înscris un cilindru, al cărui volum trebuie găsit.

Soluţie. Volumul unui cilindru este definit ca produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Acesta din urmă coincide cu marginea prismei. Și este egal cu latura unui hexagon obișnuit. Adică și înălțimea cilindrului este de 4 cm.

Pentru a afla aria bazei sale, va trebui să calculați raza cercului înscris în hexagon. Formula pentru aceasta este dată mai sus. Aceasta înseamnă r = 2√3 (cm). Apoi aria cercului: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).

Răspuns. V = 150,72 cm 3.

Nr. 2. Stare. Calculați raza unui cerc înscris într-un hexagon regulat. Se știe că latura lui este √3 cm Cu ce ​​va fi perimetrul său?

Soluţie. Această problemă necesită utilizarea a două dintre următoarele formule. Mai mult, acestea trebuie aplicate fără măcar a le modifica, doar înlocuiți valoarea laturii și calculați.

Astfel, raza cercului înscris este egală cu 1,5 cm Pentru perimetru, următoarea valoare se dovedește a fi corectă: 6√3 cm.

Răspuns. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.

Nr. 3. Stare. Raza cercului circumscris este de 6 cm Ce valoare va avea latura unui hexagon regulat?

Soluţie. Din formula pentru raza unui cerc înscris într-un hexagon, se obține cu ușurință cea prin care trebuie să calculezi latura. Este clar că raza se înmulțește cu doi și se împarte la rădăcina a trei. Este necesar să scăpăm de iraționalitatea în numitor. Prin urmare, rezultatul acțiunilor ia următoarea formă: (12 √3) / (√3 * √3), adică 4√3.

Răspuns. a = 4√3 cm.