Aria unui triunghi echilateral Formula lui Heron. Aria unui triunghi

Rezumatul lecției

Subiect: „Formula lui Heron și alte formule pentru aria unui triunghi”.

Tipul de lecție : o lecție de descoperire a cunoștințelor noi.

Clasă: 10.

Obiectivele lecției: în timpul lecției, asigurați repetarea conștientă a formulelor pentru calcularea ariei unui triunghi, care sunt studiate în curiculumul scolar. Arătați necesitatea de a cunoaște formula II a lui Heron, formula pentru aria unui triunghi dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Asigurați asimilarea și aplicarea conștientă a acestor formule în rezolvarea problemelor.

Sarcini:

Educational: dezvoltarea gândirii logice, capacitatea de a rezolva în mod independent problemele educaționale; curiozitatea de dezvoltareelevi, interes cognitiv pentru subiect; dezvoltare gândire creativă, discursul matematic al elevilor;

Educational: stimularea interesului pentru matematică; creând condiţii pentruformarea abilităților de comunicare și a calităților volitive ale individului.

Educational: aprofundarea cunoștințeloral-lea modul al unui număr real; preda abilitatea de a rezolva probleme tipice.

Activități de învățare universală:

Personal: respectul pentru individ și demnitatea acestuia; interes cognitiv durabil; capacitatea de a conduce dialogul pe baza unor relații egale și a respectului reciproc.

de reglementare: stabiliți obiective pentru activitățile din lecție; planifică modalități de atingere a scopului; ia decizii într-o situație problemă pe baza negocierilor.

Cognitiv: V stăpânește tehnici generale de rezolvare a problemelor, efectuarea de sarcini și calcule; efectua sarcini bazate pe utilizarea proprietăților modulului numărului real.

Comunicativ: A folosiți în mod adecvat vorbirea pentru a-și planifica și regla activitățile; formulați-vă propria părere.

Suport tehnic : calculator, proiector, tablă interactivă.

Structura lecției

Etapa motivațională – 2 min.

Tema pentru acasă – 1 min.

Etapa de actualizare a cunoștințelor pe tema propusă și realizarea primei acțiuni de probă - 10 minute.

Identificarea dificultăților: care este complexitatea noului material, ce anume creează problema, căutarea contradicțiilor - 4 min.

Dezvoltarea unui proiect, un plan de rezolvare a dificultăților existente, luarea în considerare a mai multor opțiuni, căutarea soluției optime - 2 min.

Implementarea planului ales pentru rezolvarea dificultatii - 5 min.

Consolidarea primară a noilor cunoștințe - 10 min.

Lucru independent și verificare față de un standard – 5 min.

Reflecție, care include reflecție asupra activităților de învățare, autoanaliză și reflecție asupra sentimentelor și emoțiilor – 1 min.

În timpul orelor.

Etapa motivațională.

Bună băieți, luați loc. Astăzi lecția noastră va urma următorul plan: în timpul lecției vom studia subiect nou: « Formula lui Heron și alte formule pentru aria unui triunghi "; Să repetăm ​​formulele pe care le cunoști; Să învățăm cum să aplicăm aceste formule atunci când rezolvăm probleme. Deci, să trecem la treabă.

Etapa de actualizare a cunoștințelor pe tema propusă și realizarea primei acțiuni de încercare.

Slide 1.

Notează subiectul lecției. Înainte de a trece direct la formule, să ne amintim ce formule pentru calcularea ariei unui triunghi cunoașteți?

Slide 2.

Scrie aceste formule.

Ce formule știi pentru a calcula aria unui triunghi?(elevii își amintesc toate formulele pe care le-au învățat)

Slide 3.

Aria unui triunghi dreptunghic. S=ab. Scrieți formula

Slide 4.

Aria oricărui triunghi. S= A . A = , = Scrieți formula.

Slide 5. Aria unui triunghi bazat pe două laturi și unghiul dintre ele.

S=½·ab·sinα. Scrieți formula.

Acum vom studia noi formule pentru găsirea zonei.

Slide 6.

Aria unui triunghi în funcție de raza cercului înscris. S= Relatii cu publicul. Scrieți formula.

Slide 7.

Aria unui triunghi în termeni de rază R a cercului circumferitor.

Scrieți formula.

Slide 8.

Formula lui Heron.

Înainte de a începe demonstrația, să ne amintim două teoreme ale geometriei - teorema sinusurilor și teorema cosinusurilor.

1, a=2R; b=2R; c=2R

2.,cosγ = .

Slide 9-10

Dovada formulei lui Heron. Scrieți formula.

Slide 11.

Formula pentru aria unui triunghi bazat pe trei laturi a fost descoperită de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. Cu toate acestea, lucrarea corespunzătoare nu a ajuns în zilele noastre. Această formulă este conținută în „Metrica” lui Heron din Alexandria (secolul I d.Hr.) și poartă numele lui. Heron a fost interesat de triunghiuri cu laturi întregi ale căror zone sunt, de asemenea, întregi. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri heroniene. Cel mai simplu triunghi heronian este triunghiul egiptean

Identificarea dificultății: care este complexitatea noului material, ce anume creează problema, căutarea unei contradicții.

Slide 12.

Aflați aria unui triunghi cu laturile date: 4,6,8. Există suficiente informații pentru a rezolva problema? Ce formulă poți folosi pentru a rezolva această problemă?

Dezvoltarea unui proiect, un plan de rezolvare a dificultăților existente, luarea în considerare a mai multor opțiuni, căutarea unei soluții optime.

Această problemă poate fi rezolvată folosind formula lui Heron. Mai întâi, trebuie să găsiți semi-perimetrul triunghiului și apoi să înlocuiți valorile rezultate în formulă.

Implementarea planului ales pentru rezolvarea dificultății.

Constatarea p

p=(13+14+15)/2=21

p- A=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Răspuns :84

Sarcina nr. 2

Aflați laturile triunghiuluiABC, dacă aria triunghiurilorABO, BCO, ACO, unde O este centrul cercului înscris, egal cu 17,65,80 dc 2 .

Soluţie:

S=17+65+80=162 – se adună ariile triunghiurilor. Conform formulei

S ABO =1/2 AB* r, prin urmare 17=1/2AB* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r

34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC

Găsiți p

p= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2

(R- b)=162-130=32

Conform formulei lui HeronS=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Deoarece S=162, prin urmarer =  1152/162=3128/18

Răspuns: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Consolidarea primară a noilor cunoștințe.

№10(1)

Găsiți aria unui triunghi cu laturile date:

№12

Lucru independent și testare conform standardului.

№10.(2)

Teme pentru acasă . P.83, Nr.10(3), Nr.15

Reflecția, care include reflecția asupra activităților educaționale, introspecția și reflecția asupra sentimentelor și emoțiilor.

Ce formule ai repetat azi?

Ce formule ai învățat chiar azi?

Această formulă vă permite să calculați aria unui triunghi pe baza laturilor sale a, b și c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),unde p este semiperimetrul triunghiului, i.e. p = (a + b + c)/2.
Formula este numită după matematicianul grec antic Heron din Alexandria (circa secolul I). Heron a considerat triunghiuri cu laturile întregi ale căror zone sunt tot numere întregi. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri heroniene. De exemplu, acestea sunt triunghiuri cu laturile 13, 14, 15 sau 51, 52, 53.

Există analogi ai formulei lui Heron pentru patrulatere. Datorită faptului că problema construirii unui patrulater de-a lungul laturilor sale a, b, c și d are nr singura decizie, pentru a calcula aria unui patrulater în cazul general, nu este suficient doar să cunoașteți lungimile laturilor. Trebuie să introduceți parametri suplimentari sau să impuneți restricții. De exemplu, aria unui patrulater înscris se găsește prin formula: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)

Dacă un patrulater este înscris și circumscris în același timp, aria lui este folosind o formulă mai simplă: S=√(abcd).

Stârcul Alexandriei - matematician și mecanic grec.

El a fost primul care a inventat uși automate, un teatru automat de păpuși, un automat de vânzări, o arbaletă cu autoîncărcare cu foc rapid, o turbină cu abur, decorațiuni automate, un dispozitiv pentru măsurarea lungimii drumurilor (un odometru antic) etc. El a fost primul care a creat dispozitive programabile (un arbore cu știfturi cu o frânghie înfășurată în jurul lui).

A studiat geometria, mecanica, hidrostatica și optica. Lucrări principale: Metrica, Pneumatică, Automatopoetică, Mecanică (opera se păstrează integral în traducere arabă), Catoptrics (știința oglinzilor; păstrată doar în traducere latină) etc. În 1814 a fost găsit eseul lui Heron „Despre dioptrie”, care stabilește regulile de topografie, de fapt bazate pe utilizarea coordonatelor dreptunghiulare. Heron a folosit realizările predecesorilor săi: Euclid, Arhimede, Strato de Lampsacus. Multe dintre cărțile sale sunt pierdute iremediabil (sulele au fost păstrate în Biblioteca din Alexandria).

În tratatul său „Mecanică”, Heron a descris cinci tipuri de mașini simple: pârghie, poartă, pană, șurub și bloc.

În tratatul său „Pneumatică”, Heron a descris diverse sifoane, vase proiectate inteligent și automate conduse de aer comprimat sau abur. Aceasta este o eolipilă, care a fost prima turbină cu abur - o bilă rotită de forța jeturilor de vapori de apă; o mașină pentru deschiderea ușilor, o mașină pentru vânzarea apei „sfânte”, o pompă de incendiu, o orgă de apă, un teatru de păpuși mecanic.

Cartea „Despre dioptrie” descrie dioptria - cel mai simplu dispozitiv folosit pentru lucrări geodezice. Heron stabilește în tratatul său regulile de topografie a terenurilor, bazate pe utilizarea coordonatelor dreptunghiulare.

În Catoptrics, Heron justifică dreptatea razelor de lumină cu o viteză de propagare infinit de mare. Heron ia în considerare diferite tipuri de oglinzi, Atentie speciala concentrându-se pe oglinzi cilindrice.

„Metrica” lui Heron și „Geometria” și „Stereometria” extrase din acesta sunt cărți de referință despre matematică aplicată. Printre informațiile conținute în Metrica:

Formule pentru ariile poligoanelor regulate.


Volume de poliedre regulate, piramidă, con, trunchi de con, tor, segment sferic.


Formula lui Heron pentru calcularea ariei unui triunghi din lungimile laturilor sale (descoperită de Arhimede).


Reguli pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor pătratice.


Algoritmi pentru extragerea rădăcinilor pătrate și cubice.

Cartea lui Heron „Definiții” este o colecție extinsă de definiții geometrice, în cea mai mare parte coincid cu definițiile „Elementelor” lui Euclid.

Poate fi găsit cunoscând baza și înălțimea. Întreaga simplitate a diagramei constă în faptul că înălțimea împarte baza a în două părți a 1 și a 2, iar triunghiul însuși în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror zonă este și. Atunci aria întregului triunghi va fi suma celor două zone indicate, iar dacă scoatem o secundă din înălțime din paranteză, atunci în suma vom obține înapoi baza:

O metodă mai dificilă de calcul este formula lui Heron, pentru care trebuie să cunoașteți toate cele trei părți. Pentru această formulă, mai întâi trebuie să calculați semiperimetrul triunghiului: Formula lui Heron în sine implică rădăcina pătrată a semiperimetrului, înmulțită pe rând cu diferența sa de fiecare parte.

Următoarea metodă, relevantă și pentru orice triunghi, vă permite să găsiți aria triunghiului prin două laturi și unghiul dintre ele. Dovada acestui lucru vine din formula cu înălțimea - desenăm înălțimea pe oricare dintre laturile cunoscute și prin sinusul unghiului α obținem că h=a⋅sinα. Pentru a calcula suprafața, înmulțiți jumătate din înălțime cu a doua latură.

O altă modalitate este de a găsi aria unui triunghi, cunoscând 2 unghiuri și latura dintre ele. Dovada acestei formule este destul de simplă și poate fi văzută clar din diagramă.

Coborâm înălțimea de la vârful celui de-al treilea unghi până la latura cunoscută și numim segmentele rezultate x în consecință. Din triunghiuri dreptunghiulare este clar că primul segment x este egal cu produsul

Informații preliminare

Mai întâi, să introducem informațiile și notațiile de care vom avea nevoie mai târziu.

Vom considera un triunghi $ABC$ cu unghiuri ascuțite $A$ și $C$. Să desenăm înălțimea $BH$ în ea. Să introducem următoarea notație: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(Fig. 1).

Poza 1.

Să introducem fără dovezi teorema asupra aria unui triunghi.

Teorema 1

Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul dintre lungimea laturii sale și înălțimea trasă la acesta, adică

Formula lui Heron

Să introducem și să demonstrăm o teoremă despre găsirea ariei unui triunghi din trei laturi cunoscute. Această formulă se numește Formulele lui Heron.

Teorema 2

Să ne dăm trei laturi ale unui triunghi $a,\ b\ și\ c$. Apoi aria acestui triunghi este exprimată după cum urmează

unde $p$ este semiperimetrul triunghiului dat.

Dovada.

Vom folosi notația introdusă în figura 1.

Luați în considerare triunghiul $ABH$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem

Este evident că $HC=AC-AH=b-x$

Luați în considerare triunghiul $\CBH$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem

\ \ \

Să echivalăm valorile înălțimii pătrate din cele două rapoarte obținute

\ \ \

Din prima egalitate găsim înălțimea

\ \ \ \ \ \

Deoarece semiperimetrul este egal cu $p=\frac(a+b+c)(2)$, adică $a+b+c=2p$, atunci

\ \ \ \

Prin teorema 1, obținem

Teorema este demonstrată.

Exemple de probleme folosind formula lui Heron

Exemplul 1

Aflați aria unui triunghi dacă laturile sale sunt $3$ cm, $6$ cm și $7$ cm.

Soluţie.

Să găsim mai întâi semiperimetrul acestui triunghi

Prin teorema 2, obținem

Răspuns:$4\sqrt(5)$.

Formula lui Heron Formula lui Heron

exprimă zonă s a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale A, bȘi Cuși semiperimetrul R = (A + b + Cu)/2: . Numit după Heron din Alexandria.

FORMULA HERONA, zona exprima S a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale A, bȘi cși semiperimetrul P = (A + b + c)/2
Numit după Heron din Alexandria.

Dicţionar enciclopedic. 2009 .

Vedeți ce este „formula lui Heron” în alte dicționare:

Exprimă aria S a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul P = (a + b + c)/2Numit după Heron din Alexandria... Dicţionar enciclopedic mare

Formula care exprimă aria unui triunghi prin cele trei laturi ale sale. Și anume, dacă a, b, C sunt lungimea laturilor unui triunghi și S este aria acestuia, atunci G. f. are forma: unde p reprezintă semiperimetrul triunghiului G. f.... ...

O formulă care exprimă aria unui triunghi prin laturile sale a, b, c: unde este numit după Heron (c. secolul I d.Hr.), A. B. Ivanov ... Enciclopedie matematică

Exprimă aria 5 a unui triunghi prin lungimile celor trei laturi ale sale a, b și c și semiperimetrul p = (a + b + c)/2: s = pătrat. rădăcină p(p a)(p b)(p c). Numit după Heron din Alexandria... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

- ... Wikipedia

Vă permite să calculați aria unui triunghi (S) pe baza laturilor sale a, b, c: unde p este semiperimetrul triunghiului: . Dovada unde unghiul este triunghiular... Wikipedia

Exprimă aria unui patrulater înscris într-un cerc în funcție de lungimile laturilor sale. Dacă un patrulater înscris are lungimi de laturi și un semiperimetru, atunci aria lui este ... Wikipedia

Acest articol nu are link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și șterse. Puteți edita acest articol pentru a include link-uri către surse autorizate. Acest marcaj... ... Wikipedia

- (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuti, probabil secolul I), om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul mecanicii aplicate, V... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (ani de naștere și de moarte necunoscuți, probabil secolul I), om de știință grec antic care a lucrat în Alexandria. Autorul unor lucrări în care a conturat sistematic principalele realizări ale lumii antice în domeniul... ... Marea Enciclopedie Sovietică