Proprietățile puterilor cu exponent natural al regulii. Proprietățile gradelor: formulări, dovezi, exemple

Dirijare sesiune de instruire

Clasa a VII-a Lecția nr 38

Tema: Grad cu indicator natural

2. Să promoveze formarea deprinderilor de aplicare a tehnicilor de generalizare, comparație, evidențierea principalului lucru, să promoveze interesul pentru transferul de cunoștințe către noua situatie, dezvoltarea perspectivei matematice, a vorbirii, a atenției și a memoriei, dezvoltarea activității educaționale și cognitive;

3. Să promoveze interesul pentru matematică, activitate, organizare, să dezvolte abilitățile de control reciproc și de autocontrol al activităților proprii, formarea unei motivații pozitive pentru învățare și o cultură a comunicării.

Conceptele de bază ale lecției

Gradul, baza unui grad, exponentul, proprietățile unui grad, produsul unui grad, împărțirea gradelor, ridicarea unui grad la o putere.

Rezultat planificat

Ei vor învăța să opereze cu conceptul de grad, să înțeleagă semnificația scrierii unui număr ca grad și să efectueze transformări simple ale expresiilor care conțin grade cu un exponent natural.

Ei vor avea ocazia să învețe cum să efectueze transformări ale expresiilor întregi care conțin un grad cu un exponent natural

Abilități de subiect, UUD

UUD personal:

capacitatea de autoevaluare pe baza criteriului succesului în activităţile educaţionale.

UUD cognitiv:

capacitatea de a naviga prin sistemul propriu de cunoștințe și abilități: de a distinge lucruri noi de ceea ce este deja cunoscut cu ajutorul unui profesor; găsiți răspunsuri la întrebări folosind informațiile învățate în clasă.

Generalizare și sistematizare material educațional, opereaza cu notatie simbolica a gradelor, substitutii, reproduc din memorie informatiile necesare solutionarii unei probleme educationale

Subiect UUD:

Aplicați proprietățile puterii pentru a transforma expresii care conțin exponenți cu exponenți naturali

UUD de reglementare:

Capacitatea de a determina și formula un scop într-o lecție cu ajutorul unui profesor; evaluează-ți munca la clasă. Exercitați control reciproc și autocontrol atunci când îndepliniți sarcini

ComunicativeUUD:
Fiți capabil să vă exprimați gândurile oral și în scris, să ascultați și să înțelegeți vorbirea altora

Conexiuni metasubiecte

Fizica, astronomia, medicina, viata de zi cu zi

Tipul de lecție

Repetarea, generalizarea și aplicarea cunoștințelor și aptitudinilor.

Forme de lucru și metode de lucru

Frontal, baie de aburi, individual. Explicativ - ilustrativ, verbal, situație problemă, atelier, verificare reciprocă, control

Suport de resurse

Componentele materialelor didactice ale lui Makarychev Manual, proiector, ecran, computer, prezentare, teme pentru elevi, fișe de autoevaluare

Tehnologii utilizate pe sesiune de instruire

Tehnologia lecturii semantice, învățare bazată pe probleme, abordare individuală și diferențiată, TIC

Buna ziua prieteni. Bună ziua, dragi colegi! Bun venit tuturor la lecția deschisă de astăzi. Băieți, aș dori să vă urez să lucrați fructuos la clasă, să luați în considerare cu atenție răspunsurile la întrebările puse, să vă luați timp, să nu întrerupeți, să vă respectați colegii și răspunsurile lor. Și vă doresc tuturor să primiți numai note bune. Multă baftă!

Intră în ritmul de afaceri al lecției

Ei verifică disponibilitatea a tot ceea ce este necesar pentru lucru în lecție și ordinea aranjamentului Elementelor. Abilitatea de a te organiza și de a te pregăti de muncă.

2.Actualizarea cunoștințelor de bază și intrarea în tema lecției

3. Lucrări orale

Băieți, fiecare dintre voi are foi de scor pe birou.Acestea vor fi folosite pentru a vă evalua munca la clasă.Astăzi, la clasă, vi se oferă posibilitatea de a primi nu una, ci două note: pentru munca la clasă și pentru munca independentă.
Răspunsurile tale corecte, complete vor fi și ele notate cu „+”, dar într-o altă coloană voi acorda și această notă.

Pe ecran vezi puzzle-uri în care cuvintele cheie ale lecției de astăzi sunt criptate. Rezolvă-le. (Diapozitivul 1)

grad

repetiţie

generalizare

Băieți, ați ghicit corect puzzle-urile. Aceste cuvinte sunt: ​​grad, repetare și generalizare. Acum, folosind cuvintele ghicit - indicii, formulați subiectul lecției de astăzi.

Dreapta. Deschideți caietele și notați numărul și tema lecției „Repetiție și generalizare pe tema „Proprietăți ale unui grad cu exponent natural” (Diapozitivul 2)

Am stabilit tema lecției, dar ce credeți că vom face în timpul lecției, ce obiective ne vom stabili? (Diapozitivul 3)

Să ne repetăm ​​și să ne generalizăm cunoștințele pe această temă, să umplem golurile existente și să ne pregătim pentru studiul următorului subiect „Monoame”.

Băieți, proprietățile unui grad cu un exponent natural sunt destul de des folosite la găsirea valorilor expresiilor și la transformarea expresiilor. Viteza calculelor și transformărilor asociate cu proprietățile unui grad cu exponent natural este dictată de introducerea examenului de stat unificat.

Așadar, astăzi vă vom repeta și vă vom rezuma cunoștințele și abilitățile pe această temă. Pe cale orală trebuie să rezolvați o serie de probleme și să vă amintiți gruparea verbală a proprietăților și definițiilor gradului cu un exponent natural.

Epigraf pentru lecție cuvintele marelui om de știință rus M.V Lomonosov „Lasă pe cineva să încerce să ștergă grade din matematică și va vedea că fără ele nu poți merge departe”

(Diapozitivul 4)

Crezi că omul de știință are dreptate?

De ce avem nevoie de diplome?

Unde sunt utilizate pe scară largă? (în fizică, astronomie, medicină)

Așa este, acum să repetăm ​​ce este o diplomă?

Care sunt numele unui șinin carnetul de studii?

Ce activități poți face cu diplome? (Diapozitive 5 -11)

Acum să rezumam. Pe biroul tău sunt foi de hârtie cu sarcini. .

1. În stânga sunt începuturile definițiilor, în dreapta sunt terminațiile definițiilor. Conectați enunțurile corecte cu rânduri (Diapozitivul 12)

a) La înmulțirea puterilor cu aceleași baze...

1) baza gradului

b) La împărțirea puterilor cu aceleași baze....

2) Exponent

c) Se numește numărul a

3) produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a.

d) Când ridicați o putere la o putere...

4)... baza rămâne aceeași, dar indicatorii se adună.

e) Se numește o putere a unui număr a cu exponent natural n mai mare decât 1

5)... baza rămâne aceeași, dar indicatorii se înmulțesc.

e)Numărnnumit

6) După grad

și)Expresia a nnumit

7)...baza rămâne aceeași, dar indicatorii sunt scăzuți.

2.Acum, schimbă lucrări cu vecinul tău de birou, evaluează-i munca și acordă-i o notă. Puneți această evaluare pe foaia de punctaj.

Acum haideți să verificăm dacă ați finalizat sarcina corect.

Ei rezolvă puzzle-uri, definesc cuvinte - indicii.

Se încearcă stabilirea subiectului lecției.

Notați data și subiectul lecției în caiet.

Răspundeți la întrebări

Ei lucrează în perechi. Ei citesc sarcina și își amintesc.

Conectați părți ale definițiilor

Ei fac schimb de caiete.

Ei verifică reciproc rezultatele și acordă note colegului lor de birou.

4. Minutul de educație fizică

Mâinile ridicate și tremurate -

aceștia sunt copacii din pădure,

Brațele îndoite, mâinile strânse -

Vântul rupe frunzele.

Să ne fluturăm mâinile în lateral, lin -

Păsările zboară astfel spre sud

Le vom arăta în liniște cum se așează -

Mâinile încrucișate așa!

Efectuați acțiuni în paralel cu profesorul

5. Transferul cunoștințelor dobândite, aplicarea lor primară în condiții noi sau modificate, cu scopul de a dezvolta competențe.

1. Va ofer urmatoarea lucrare: aveti carti pe birouri. Trebuie să îndepliniți sarcini, de ex. scrieți răspunsul sub forma unei puteri cu baza c și veți afla numele și prenumele marelui matematician francez care a introdus notația general acceptată pentru puteri (Diapozitivul 14).

CU 8 : CU 6

(CU 4 ) 3 CU

(CU 4 ) 3

CU 4 CU 5 CU 0

CU 5 CU 3 : CU 6

CU 16 : CU 8

CU 14 CU 8

10.

(CU 3 ) 5

Răspuns: Rene Descartes.

O poveste despre biografia lui Rene Descartes (diapozitivele 15 – 17)

Băieți, acum să finalizăm următoarea sarcină.

2. O stabiliți care răspunsuri sunt corecte și care sunt false. (Diapozitivul 18 – 19)

Atribuiți un 1 unui răspuns adevărat și 0 unui răspuns fals.

După ce ați primit un set ordonat de unu și zero, veți afla răspunsul corect și veți determina numele și prenumele primei rusoaice - un matematician.

A)X 2 X 3 =x 5

b)s 3 s 5 s 8 = s 16

V)X 7 : X 4 = x 28

G) (c+ d) 8 : ( c+ d) 7 = c+ d

d) (X 5 ) 6 = X 30

Alege-i numele dintre patru nume femei celebre, fiecare dintre acestea corespunde unui set de unu și zerouri:

Ada Augusta Lovelace – 11001

Sophie Germain - 10101

Ekaterina Dashkova - 11101

Sofia Kovalevskaya - 11011

Din biografia Sofiei Kovalevskaya (Diapozitivul 20)

Finalizați sarcina, stabiliți numele și prenumele matematicianului francez

Ascultați și priviți diapozitivele

Se notează răspunsurile corecte și incorecte, se notează codul rezultat, care este folosit pentru a determina numele primei femei ruse - un matematician.

6. Monitorizarea și evaluarea cunoștințelor Realizarea independentă a sarcinilor de către elevi sub supravegherea unui profesor.

Acum trebuie să faci un test. În fața ta sunt cărți cu sarcini de diferite culori. Culoarea corespunde nivelului de dificultate al sarcinii (la „3”, la „4”, la „5”) Alegeți singur sarcina pentru care nota veți finaliza și treceți la treabă. (Diapozitivul 21)

Pe „3”

1. Exprimați produsul ca putere:

A) ; b) ;

V) ; G) .

2. Urmați acești pași:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( A X ) y

Pe „4”

1. Prezentați produsul ca o putere.

a) x 5 X 8 ; hui 2 la 9 ; la 2 6 · 2 4 ; G)m 2 m 5 m 4 ;

d)X 6 ∙ X 3 ∙ X 7 ; e) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Exprimați coeficientul ca putere:

A)X 8 : X 4 ; b) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : X 3 ; d) la 10 : y 10 ; D 2 6 : 2 4 ; e) ;

la "5"

1. Urmați acești pași:

a) a 4 · A · A 3 a b) (7 X ) 2 c) p · R 2 · R 0

d) cu · Cu 3 · s d) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

e) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 și) -X 3 · (– X ) 4

h) (R 2 ) 4 : R 5 și)(3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Simplificați:

A) X 3 ( X 2 ) 5 c) ( A 2 ) 3 · ( A 4 ) 2

b) ( A 3 ) 2 · A 5 g) ( X 2 ) 5 · ( X 5 )

Muncă independentă

Faceți sarcini în caiete

7. Rezumatul lecției

Rezumarea informațiilor primite în timpul lecției.Verificarea lucrărilor, notarea. Identificarea dificultăților întâmpinate în lecție

8. Reflecție

Ce s-a întâmplat cu conceptul de grad înXVIIsecol, tu și cu mine ne putem prezice. Pentru a face acest lucru, încercați să răspundeți la întrebarea: poate un număr să fie ridicat la o putere negativă sau o fracție? Dar acesta este subiectul viitorului nostru studiu.

Notele lecției

Băieți, vreau să închei lecția noastră cu următoarea pildă.

Parabolă. Un înțelept a mers și l-au întâmpinat trei persoane, cărând căruțe cu pietre pentru construcție sub soarele fierbinte. Înțeleptul s-a oprit și a pus fiecăruia câte o întrebare. L-a întrebat pe primul: „Ce ai făcut toată ziua?” Și a răspuns cu un zâmbet că a purtat pietrele blestemate toată ziua. Înțeleptul l-a întrebat pe al doilea: „Ce ai făcut toată ziua?”, iar el a răspuns: „Și mi-am făcut treaba cu conștiință”. Iar al treilea a zâmbit, chipul i s-a luminat de bucurie și plăcere: „Și am luat parte la construcția templului!”

Băieți, răspundeți-mi, ce ați făcut în clasă azi? Fă-o doar pe foaia de autoevaluare. Încercuiește afirmația în fiecare coloană care se aplică în cazul tău.

În fișa de autoevaluare, trebuie să subliniați fraze care caracterizează munca elevului la lecție în trei domenii.

Lecția noastră s-a terminat. Mulțumesc tuturor pentru munca depusă la clasă!

Răspundeți la întrebări

Evaluați munca lor în clasă.

Marcați pe card expresiile care le caracterizează munca în lecție.

algebră clasa a 7-a

profesor de matematică

filiala MBOUTSOSH nr 1

în satul Poletaevo Zueva I.P.

Poletaevo 2016

Subiect: « Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali»

ŢINTĂ

1. Repetarea, generalizarea și sistematizarea materialului studiat pe tema „Proprietăți ale unui grad cu exponent natural”.
2. Testarea cunoștințelor elevilor pe această temă.
3. Aplicarea cunoștințelor dobândite la îndeplinirea diferitelor sarcini.

SARCINI

subiect :

repeta, rezuma si sistematiza cunostintele pe tema; crearea condițiilor de control (control reciproc) al asimilării cunoștințelor și aptitudinilor;continuă să construiască motivația elevilor de a studia materia;

meta-subiect:

dezvoltarea unui stil operațional de gândire; promovează dobândirea de către elevi a abilităților de comunicare atunci când lucrează împreună; activați-le gândire creativă; Psă continue dezvoltarea anumitor competențe ale elevilor care vor contribui la socializarea efectivă a acestora;autoeducare și abilități de autoeducare.

personal:

cultiva cultura, contribuie la formare calitati personale care vizează o atitudine prietenoasă, tolerantă unul față de celălalt, oameni, viață; să cultive inițiativa și independența în activități; conduce la înțelegerea necesității temei studiate pentru pregătirea cu succes pentru certificarea finală de stat.

TIP DE LECȚIE

lectie de generalizare si sistematizare ZUN.

Echipament: calculator, proiector,ecran de proiectie,tablă, fișe.

Software: OS Windows 7: MS Office 2007 (cerere obligatorie - Power point).

Etapa pregătitoare:

prezentarea „Proprietăți ale unui grad cu exponent natural”;

Înmânează;

foaie de punctaj.

Structura

Organizarea timpului. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție - 3 minute.

Actualizarea, sistematizarea cunoștințelor de bază - 8 minute.

Partea practică - 28 de minute.

Generalizare, ieșire -3 minute.

Teme pentru acasă- 1 minut.

Reflecție - 2 minute.

Ideea de lecție

Testarea cunoștințelor elevilor pe această temă într-o formă interesantă și eficientă.

Organizarea lecției Lecția se predă în clasa a VII-a. Copiii lucrează în perechi, independent, profesorul acționând ca consultant-observator.

În timpul orelor

Timp de organizare:

Buna baieti! Astăzi avem o lecție de joc neobișnuită. Fiecare dintre voi are o oportunitate minunată de a vă dovedi și de a vă arăta cunoștințele. Poate că în timpul lecției vei descoperi abilități ascunse care îți vor fi utile în viitor.

Fiecare dintre voi are o fișă de notă și cartonașe pe masă pentru a îndeplini sarcinile de pe ele. Luați foaia de test în mâini, aveți nevoie de ea pentru a vă evalua singur cunoștințele în timpul lecției. Semnează.

Așadar, vă invit la lecție!

Băieți, uitați-vă la ecran și ascultați poezia.

Slide nr. 1

Înmulțiți și împărțiți

Ridicați grad în grad...

Aceste proprietăți ne sunt familiare

Și nu mai sunt noi.

Cinci reguli simple ale acestora

Toți cei din clasă au răspuns deja

Dar dacă ai uitat proprietățile,

Luați în considerare că nu ați rezolvat exemplul!

Și să trăiești fără probleme la școală

Vă dau câteva sfaturi practice:

Nu vrei să uiți regula?

Încearcă doar să-l memorezi!

Răspunde la întrebare:

1) Ce acțiuni menționează?

2) Despre ce crezi că vom vorbi astăzi în clasă?

Astfel, subiectul lecției noastre:

„Proprietăți ale unui grad cu exponent natural” (Diapozitivul 3).

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției

În lecție vom repeta, generaliza și sistematiza materialul studiat pe tema „Proprietăți ale unui grad cu exponent natural”

Să vedem cum ați învățat să înmulțiți și să împărțiți puterile cu aceleași baze, precum și să ridicați puterile la puteri

Actualizarea cunoștințelor de bază. Sistematizarea materialului teoretic.

1) Lucru oral

Să lucrăm oral

1) Formulați proprietățile unui grad cu exponent natural.

2) Completați spațiile libere: (Diapozitivul 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Care este valoarea expresiei:(Diapozitivul 5-9)

a m ∙ a n; (a m+n) a m: a n (a m-n); (a m) n; a 1; a 0 .

2) Verificarea părţii teoretice (Cartea nr. 1)

Acum luați cardul numărul 1 în mâini șicompletează spațiile

1) Dacă exponentul este un număr par, atunci valoarea gradului este întotdeauna _______________

2) Dacă exponentul este un număr impar, atunci valoarea gradului coincide cu semnul ____.

3) Produsul puterilor a n · a k = a n + k
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie ____________, iar exponenții ________.

4) Grade parțiale a n : a k = a n - k
La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie să fie _____, iar din exponentul dividendului ____________________________.

5) Ridicarea unei puteri la o putere ( a n ) k = a nk
Când ridicați o putere la o putere, baza trebuie să fie _______, iar exponenții sunt _____.

Verificarea răspunsurilor. (Diapozitive 10-13)

Parte principală

3) Acum deschide caietele, notează numărul 28.01.14, mare lucru

Jocul „Clapperboard” » (Diapozitivul 14)

Finalizați singur sarcinile din caiete

Urmați acești pași: a)X11 ∙x∙x2 b)X14 : X5 c) (a4 ) 3 d) (-Pentru)2 .

Comparați valoarea unei expresii cu zero: a)(- 5)7 , b)(-6)18 ,

la 4)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d)-(- 4)8 .

Calculați valoarea unei expresii:

a)-1∙ 3 2, b)(-1 ∙ 3) 2 c)1∙(-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e)1 2 ∙ (-3) 2

Verificăm, dacă răspunsul nu este corect, batem din palme o dată.

Calculați numărul de puncte și introduceți-le pe foaia de punctaj.

4) Acum să facem câteva exerciții pentru ochi, să eliberăm tensiunea și să mergem mai departe. Monitorizăm cu atenție mișcarea obiectelor

ÎNCEPE! (Diapozitivul 15,16,17,18).

5) Acum să trecem la următorul tip de muncă. (Cartea 2)

Scrieți răspunsul ca o putere cu o bază CU și vei recunoaște numele și prenumele marelui matematician francez care a introdus primul conceptul de putere a unui număr.

Ghiciți numele matematicianului de știință.

DESPRE răspuns: RENEE DESCARTES

Acum să ascultăm mesajul elevului despre „René Descartes”

Rene Descartes s-a născut la 21 martie 1596 în micul oraș La Gaye din Touraine. Familia Descartes aparținea modestei nobilimi birocratice. Rene și-a petrecut copilăria în Touraine. În 1612, Descartes a absolvit școala. A petrecut acolo opt ani și jumătate. Descartes nu și-a găsit imediat locul în viață. Nobil prin naștere, după ce a absolvit facultatea din La Flèche, se cufundă cu capul cap în viața socială a Parisului, apoi renunță la tot pentru a urma știința. Descartes a acordat matematicii un loc special în sistemul său, a considerat principiile ei de stabilire a adevărului ca un model pentru alte științe. Meritul considerabil al lui Descartes a fost introducerea unor notații convenabile care au supraviețuit până în zilele noastre: literele latine x, y, z pentru necunoscute; a, b, c - pentru coeficienți, pentru grade. Interesele lui Descartes nu se limitează la matematică, ci includ mecanică, optică și biologie. În 1649, Descartes, după multă ezitare, s-a mutat în Suedia. Această decizie s-a dovedit a fi fatală pentru sănătatea lui. Şase luni mai târziu, Descartes a murit de pneumonie.

6) Lucru la bord:

1. Rezolvați ecuația

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t 7 ∙ t 17 ): (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.Calculați valoarea expresiei:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

a) la x=-1

b) la x=2 Independent

7) Ridicați cardul nr. 3 și faceți testul

Verificați-vă munca reciproc și evaluați-vă camarazii pe foaia de calificare.

Sarcini suplimentare pentru studenți puternici

Fiecare sarcină este evaluată separat.

Găsiți sensul expresiei:

8) Acum să vedem eficacitatea lecției noastre ( Slide 19)

Pentru a face acest lucru, în timp ce finalizați sarcina, bifați literele corespunzătoare răspunsurilor.

AOWSTLKRICHGNMO

Simplificați expresia:

Cifru: A - C 7 ÎN- De la 15 G - CU ȘI - De la 30 LA - De la 9 M - De la 14 N - De la 13 DESPRE - De la 12 R - De la 11 CU - C 5 T - De la 8 H - C 3

Cu ce ​​cuvânt ai venit? RĂSPUNS: EXCELENT! (Diapozitivul 20)

Însumarea, evaluarea, notarea (Diapozitivul 21)

Să rezumam lecția noastră, cât de mult am repetat, generalizat și sistematizat cunoștințele pe tema „Proprietăți ale unui grad cu exponent natural”

Luăm fișele de testare și calculăm numărul total de puncte și le notăm în linia finală de calificare

Stand up care a marcat 29-32 de puncte: excelent

25-28 puncte: rating - bine

20-24 puncte: evaluare - satisfăcător

Voi verifica din nou corectitudinea îndeplinirii sarcinilor de pe cărți și voi compara rezultatele dvs. cu punctele date pe foaia de punctaj. Voi pune notele în jurnal

Și pentru munca activă în lecția de evaluare:

Băieți, vă rog să vă evaluați activitățile din clasă. Marcați pe foaia de dispoziție.

Teme pentru acasă (Diapozitivul 22)

Realizați un puzzle de cuvinte încrucișate cu cuvântul cheie GRAD. În lecția următoare ne vom uita la cele mai interesante lucrări.

№ 567

Lista surselor utilizate

1. Manual „Algebră clasa a VII-a”.
2. Poem. http://yandex.ru/yandsearch
3. NU. Shchurkova. Cultură lecție modernă. M.: Agenția Pedagogică Rusă, 1997.
4. A.V. Petrov. Bazele metodologice și metodologice ale educației informatice pentru dezvoltare personală. Volgograd. „Schimbarea”, 2001.
5. LA FEL DE. Belkin. O situație de succes. Cum să-l creeze. M.: „Iluminismul”, 1991.
6. Informatica si Educatie Nr. 3. Stilul de gândire operațional, 2003

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor

Tip de lecție: combinate

Forme de lucru: individual, frontal, lucru în perechi

Echipament: computer, produs media (prezentare în programMicrosoftBirouPower Point 2007); carduri cu sarcini pentru munca independentă

Obiectivele lecției:

Educational : dezvoltarea capacității de sistematizare și generalizare a cunoștințelor despre grade cu exponent natural, consolidarea și îmbunătățirea abilităților de transformări simple ale expresiilor care conțin grade cu exponent natural.

- în curs de dezvoltare: contribuie la formarea deprinderilor de aplicare a tehnicilor de generalizare, comparare, evidențiere a principalului, dezvoltarea orizonturilor matematice, gândire, vorbire, atenție și memorie.

- educational: promovează interesul pentru matematică, activitate, organizare, formează un motiv pozitiv pentru învățare, dezvoltă abilități în activități educaționale și cognitive

Notă explicativă.

Această lecție este predată într-o clasă de învățământ general cu un nivel mediu de pregătire matematică. Obiectivul principal al lecției este dezvoltarea capacității de sistematizare și generalizare a cunoștințelor despre o diplomă cu un indicator natural, care se realizează în procesul de efectuare a diferitelor exerciții.

Natura de dezvoltare se manifestă în selecția exercițiilor. Utilizarea unui produs multimedia vă permite să economisiți timp, să faceți materialul mai vizual și să prezentați exemple de soluții în timpul lecției pe care o folosim tipuri diferite munca, care ameliorează oboseala copiilor.

Structura lecției:

1. Organizarea timpului.

2. Raportarea subiectului, stabilirea obiectivelor lecției.

4. Lucrări orale.

5. Sistematizarea cunoștințelor suport.

6. Elemente ale tehnologiilor de salvare a sănătății.

7. Executarea unei sarcini de testare

9. Rezumatul lecției.

10. Teme pentru acasă.

În timpul orelor:

eu.Organizarea timpului

Profesor: Bună, băieți! Mă bucur să vă urez bun venit la lecția noastră de astăzi. Aşezaţi-vă. Sper că atât succesul, cât și bucuria ne așteaptă în lecția de astăzi. Și noi, lucrând în echipă, ne vom arăta talentul.

Acordați atenție în timpul lecției. Gândește, întreabă, sugerează - pentru că vom merge împreună pe drumul către adevăr.

Deschide-ți caietele și notează numărul, grozav

II. Comunicarea subiectului, stabilirea obiectivelor lecției

1) Tema lecției. Epigraful lecției.(Diapozitivul 2, 3)

„Lasă pe cineva să încerce să ștergă din matematică

grade și va vedea că nu vei ajunge departe fără ele” M.V. Lomonosov

2) Stabilirea obiectivelor lecției.

Profesor: Deci, în timpul lecției vom repeta, generaliza și sistematiza materialul pe care l-am studiat. Sarcina dvs. este să vă arătați cunoștințele despre proprietățile gradelor cu un exponent natural și capacitatea de a le aplica atunci când efectuați diverse sarcini.

III. Repetarea conceptelor de bază ale temei, proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

1) rezolvați anagrama: (diapozitivul 4)

Nspete (grad)

Curveoză (segment)

Hovhaniosne (bază)

Casapotel (indicator)

Înmulțire (înmulțire)

2) Ce este un grad cu exponent natural?(Diapozitivul 5)

(Puterea numărului A cu indicator natural n , mai mare decât 1, se numește expresie A n , egal cu produsul n factori, fiecare fiind egal A înjosi, n -index)

3) Citiți expresia, denumiți baza și exponentul: (Diapozitivul 6)

4) Proprietățile de bază ale gradului (adăugați partea dreaptă a egalității)(Diapozitivul 7)

• A n A m =

• A n :A m =

• (A n ) m =

• (ab) n =

• ( A / b ) n =

• A 0 =

• A 1 =

IV U Grozav Loc de munca

1) numărarea orală (diapozitivul 8)

Profesor: Acum haideți să verificăm cum puteți aplica aceste formule atunci când rezolvați.

1)x 5 X 7 ; 2) a 4 A 0 ;

3) la 9 : La 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) cu 4 : Cu; 8) 7 3 : 49;

9) y 4 la 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13)sss 3 ; 14) a 2 n A n ;

15) x 9 : X m ; 16) y n : y

2) jocul „Eliminați ceea ce nu este necesar” ((-1) 2 )(diapositiva 9)

-1

Bine făcut. A făcut o treabă bună. În continuare rezolvăm următoarele exemple.

VSistematizarea cunoștințelor de referință

1. Conectați expresiile care corespund între ele cu linii:(diapozitivul 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Aranjați numerele în ordine crescătoare:(diapozitivul 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3. Finalizarea sarcinii urmată de autotestare(diapozitivul 12)

• A1, imaginați-vă produsul ca o putere:

a) a) x 5 X 4 ; b) 3 7 3 9 ; la 4) 3 (-4) 8 .

• Și 2 simplifică expresia:

a) x 3 X 7 X 8 ; b) 2 21 :2 19 2 3

• Și 3 faceți exponențiația:

a) (a 5 ) 3 ; b) (-c 7 ) 2

VIElemente ale tehnologiilor de salvare a sănătății (diapozitivul 13)

Lecția de educație fizică: repetarea puterilor numerelor 2 și 3

VIISarcină de testare (diapozitivul 14)

Răspunsurile la test sunt scrise pe tablă: 1 d 2 o 3b 4y 5 h 6a (pradă)

VIII Munca independentă folosind carduri

Pe fiecare birou există carduri cu o sarcină în funcție de opțiuni după finalizarea lucrării, acestea sunt depuse pentru verificare

Opțiunea 1

1) Simplificați expresiile:

A) b)

V) G)

A) b)

V) G)

Opțiunea 2

1) Simplificați expresiile:

A) b)

V) G)

2) Găsiți sensul expresiei:

A)b)

V) G)

3) Folosiți o săgeată pentru a arăta dacă valoarea expresiei este zero, un număr pozitiv sau negativ:

Rezultatele lecției IX

Nu.

Tipul muncii

Stimă de sine

Evaluarea profesorului

1

Anagramă

2

Citiți expresia

3

Reguli

4

Numărarea verbală

5

Conectați-vă cu liniile

6

Aranjați în ordine crescătoare

7

Tesiuni de autotestare

8

Test

9

Munca independentă folosind carduri

X Tema pentru acasă

Carduri de testare

A1. Găsiți sensul expresiei: .

Mai devreme am vorbit deja despre ce este o putere a unui număr. Are anumite proprietăți care sunt utile în rezolvarea problemelor: le vom analiza și pe toți exponenții posibili în acest articol. De asemenea, vom arăta clar, prin exemple, cum pot fi dovedite și aplicate corect în practică.

Să ne amintim conceptul formulat anterior al unui grad cu exponent natural: acesta este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. De asemenea, va trebui să ne amintim cum să înmulțim corect numerele reale. Toate acestea ne vor ajuta să formulăm următoarele proprietăți pentru un grad cu exponent natural:

Definiția 1

1. Proprietatea principală a gradului: a m · a n = a m + n

Poate fi generalizat la: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Proprietatea câtului pentru grade având aceleași baze: a m: a n = a m − n

3. Proprietatea puterii produsului: (a · b) n = a n · b n

Egalitatea poate fi extinsă la: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Proprietatea coeficientului la gradul natural: (a: b) n = a n: b n

5. Ridicați puterea la putere: (a m) n = a m n ,

Poate fi generalizat la: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Comparați gradul cu zero:

• dacă a > 0, atunci pentru orice număr natural n, a n va fi mai mare decât zero;
• cu a egal cu 0, a n va fi de asemenea egal cu zero;
• la o< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• la o< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Egalitatea a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Inegalitatea a m > a n va fi adevărată cu condiția ca m și n să fie numere naturale, m este mai mare decât n și a este mai mare decât zero și nu mai mic decât unu.

Drept urmare, am obținut mai multe egalități; dacă sunt îndeplinite toate condițiile menționate mai sus, acestea vor fi identice. Pentru fiecare dintre egalități, de exemplu, pentru proprietatea principală, puteți schimba părțile din dreapta și din stânga: a m · a n = a m + n - la fel ca a m + n = a m · a n. În această formă este adesea folosit pentru a simplifica expresii.

1. Să începem cu proprietatea de bază a gradului: egalitatea a m · a n = a m + n va fi adevărată pentru orice m natural și n și a real. Cum să dovedesc această afirmație?

Definiția de bază a puterilor cu exponenți naturali ne va permite să transformăm egalitatea într-un produs de factori. Vom obține o înregistrare ca aceasta:

Acest lucru poate fi scurtat la (amintiți-vă proprietățile de bază ale înmulțirii). Ca rezultat, am obținut puterea numărului a cu exponent natural m + n. Astfel, a m + n, ceea ce înseamnă că proprietatea principală a gradului a fost dovedită.

Să ne uităm la un exemplu specific care confirmă acest lucru.

Exemplul 1

Deci avem două puteri cu baza 2. Indicatorii lor naturali sunt 2, respectiv 3. Avem egalitatea: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Să calculăm valorile pentru a verifica validitatea acestei egalități.

Să efectuăm operațiile matematice necesare: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ca rezultat, am obținut: 2 2 · 2 3 = 2 5. Proprietatea a fost dovedită.

Datorită proprietăților înmulțirii, putem generaliza proprietatea formulând-o sub forma a trei sau mai multe puteri, în care exponenții sunt numere naturale și bazele sunt aceleași. Dacă notăm numărul de numere naturale n 1, n 2 etc. cu litera k, obținem egalitatea corectă:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Exemplul 2

2. În continuare, trebuie să demonstrăm următoarea proprietate, care se numește proprietatea coeficientului și este inerentă puterilor cu aceleași baze: aceasta este egalitatea a m: a n = a m − n, care este valabilă pentru orice m și n natural (și m este mai mare decât n)) și orice real diferit de zero a .

Pentru început, să clarificăm care este sensul exact al condițiilor care sunt menționate în formulare. Dacă luăm un egal cu zero, atunci ajungem la împărțirea la zero, ceea ce nu putem face (la urma urmei, 0 n = 0). Condiția ca numărul m să fie mai mare decât n este necesară pentru a putea rămâne în limitele exponenților naturali: scăzând n din m, obținem un număr natural. Dacă condiția nu este îndeplinită, vom ajunge cu un număr negativ sau zero și din nou vom trece dincolo de studiul grade cu exponenți naturali.

Acum putem trece la dovadă. Din ceea ce am studiat anterior, să ne amintim proprietățile de bază ale fracțiilor și să formulăm egalitatea după cum urmează:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Din ea putem deduce: a m − n · a n = a m

Să ne amintim legătura dintre împărțire și înmulțire. Din aceasta rezultă că a m − n este câtul puterilor a m și a n . Aceasta este dovada celei de-a doua proprietăți de grad.

Exemplul 3

Pentru claritate, să substituim numere specifice în exponenți și să notăm baza gradului ca π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. În continuare vom analiza proprietatea puterii unui produs: (a · b) n = a n · b n pentru orice a și b real și n natural.

Conform definiției de bază a unei puteri cu exponent natural, putem reformula egalitatea după cum urmează:

Reamintind proprietățile înmulțirii, scriem: . Aceasta înseamnă la fel ca a n · b n .

Exemplul 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Dacă avem trei sau mai mulți factori, atunci această proprietate se aplică și în acest caz. Introducem notatia k pentru numarul de factori si scriem:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Exemplul 5

Cu numere specifice obținem următoarea egalitate corectă: (2 · (- 2 , 3) ​​​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. După aceasta, vom încerca să demonstrăm proprietatea coeficientului: (a: b) n = a n: b n pentru orice a și b real, dacă b nu este egal cu 0 și n este un număr natural.

Pentru a demonstra acest lucru, puteți folosi proprietatea anterioară a gradului. Dacă (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n și (a: b) n · b n = a n , atunci rezultă că (a: b) n este câtul împărțirii a n de b n.

Exemplul 6

Să calculăm un exemplu: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Exemplul 7

Să începem imediat cu un exemplu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Acum să formulăm un lanț de egalități care ne vor dovedi că egalitatea este adevărată:

Dacă avem grade de grade în exemplu, atunci această proprietate este valabilă și pentru ei. Dacă avem numere naturale p, q, r, s, atunci va fi adevărat:

a p q y s = a p q y s

Exemplul 8

Să adăugăm câteva detalii: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. O altă proprietate a puterilor cu exponent natural pe care trebuie să o dovedim este proprietatea comparației.

Mai întâi, să comparăm gradul cu zero. De ce a n > 0, cu condiția ca a să fie mai mare decât 0?

Dacă înmulțim un număr pozitiv cu altul, obținem și un număr pozitiv. Cunoscând acest fapt, putem spune că nu depinde de numărul de factori - rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive este un număr pozitiv. Ce este un grad dacă nu rezultatul înmulțirii numerelor? Atunci, pentru orice putere a n cu o bază pozitivă și exponent natural, acest lucru va fi adevărat.

Exemplul 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 și 34 9 13 51 > 0

De asemenea, este evident că o putere cu o bază egală cu zero este ea însăși zero. Indiferent la ce putere ridicăm zero, aceasta va rămâne zero.

Exemplul 10

0 3 = 0 și 0 762 = 0

Dacă baza gradului este un număr negativ, atunci demonstrația este puțin mai complicată, deoarece conceptul de exponent par/impar devine important. Să luăm mai întâi cazul în care exponentul este par și să-l notăm 2 · m, unde m este un număr natural.

Să ne amintim cum să înmulțim corect numerele negative: produsul a · a este egal cu produsul modulelor și, prin urmare, va fi un număr pozitiv. Apoi iar gradul a 2 m sunt de asemenea pozitive.

Exemplul 11

De exemplu, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 și - 2 9 6 > 0

Ce se întâmplă dacă exponentul cu bază negativă este un număr impar? Să-l notăm 2 · m − 1 .

Apoi

Toate produsele a · a, conform proprietăților înmulțirii, sunt pozitive, la fel și produsul lor. Dar dacă o înmulțim cu singurul număr rămas a, atunci rezultatul final va fi negativ.

Atunci obținem: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Cum să dovedesc asta?

un n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Exemplul 12

De exemplu, următoarele inegalități sunt adevărate: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Trebuie doar să dovedim ultima proprietate: dacă avem două puteri ale căror baze sunt identice și pozitive și ai căror exponenți sunt numere naturale, atunci cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare.

Să demonstrăm aceste afirmații.

Mai întâi trebuie să ne asigurăm că un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Să luăm un n din paranteze, după care diferența noastră va lua forma a n · (a m − n − 1) . Rezultatul acestuia va fi negativ (deoarece rezultatul înmulțirii unui număr pozitiv cu un număr negativ este negativ). La urma urmei, conform condițiilor inițiale, m − n > 0, atunci a m − n − 1 este negativ, iar primul factor este pozitiv, ca oricare grad natural cu o bază pozitivă.

S-a dovedit că a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Rămâne de demonstrat a doua parte a afirmației formulate mai sus: a m > a este adevărat pentru m > n și a > 1. Să indicăm diferența și să punem un n dintre paranteze: (a m − n − 1) va da puterea unui n pentru un mai mare de unu rezultat pozitiv; iar diferența în sine se va dovedi pozitivă datorită condițiilor inițiale, iar pentru a > 1 gradul a m − n este mai mare decât unu. Rezultă că a m − a n > 0 și a m > a n , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Exemplul 13

Exemplu cu numere specifice: 3 7 > 3 2

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți întregi

Pentru puterile cu exponenți întregi pozitivi, proprietățile vor fi similare, deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, ceea ce înseamnă că toate egalitățile demonstrate mai sus sunt valabile și pentru ele. Sunt potrivite și pentru cazurile în care exponenții sunt negativi sau egali cu zero (cu condiția ca baza gradului în sine să fie diferită de zero).

Astfel, proprietățile puterilor sunt aceleași pentru orice baze a și b (cu condiția ca aceste numere să fie reale și nu egale cu 0) și orice exponenți m și n (cu condiția ca acestea să fie numere întregi). Să le scriem pe scurt sub formă de formule:

Definiția 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n supus numărului întreg pozitiv n, pozitiv a și b, a< b

7 dimineata< a n , при условии целых m и n , m >n și 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Dacă baza gradului este zero, atunci intrările a m și a n au sens numai în cazul m și n natural și pozitiv. Ca urmare, constatăm că formulările de mai sus sunt potrivite și pentru cazurile cu o putere cu o bază zero, dacă sunt îndeplinite toate celelalte condiții.

Dovezile acestor proprietăți în acest caz sunt simple. Va trebui să ne amintim ce este un grad cu un exponent natural și întreg, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale.

Să ne uităm la proprietatea putere-la-putere și să demonstrăm că este adevărată atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru cele nepozitive. Să începem prin a demonstra egalitățile (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) și (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Condiții: p = 0 sau număr natural; q – asemănător.

Dacă valorile lui p și q sunt mai mari decât 0, atunci obținem (a p) q = a p · q. Am demonstrat deja o egalitate similară înainte. Dacă p = 0, atunci:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prin urmare, (a 0) q = a 0 q

Pentru q = 0 totul este exact la fel:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p · 0 .

Dacă ambii indicatori sunt zero, atunci (a 0) 0 = 1 0 = 1 și a 0 · 0 = a 0 = 1, ceea ce înseamnă (a 0) 0 = a 0 · 0.

Să ne amintim proprietatea coeficientilor într-un grad demonstrat mai sus și să scriem:

1 a p q = 1 q a p q

Dacă 1 p = 1 1 … 1 = 1 și a p q = a p q, atunci 1 q a p q = 1 a p q

Putem transforma această notație în virtutea regulilor de bază de înmulțire în a (− p) · q.

De asemenea: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Și (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Proprietățile rămase ale gradului pot fi demonstrate în mod similar prin transformarea inegalităților existente. Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, vom sublinia doar punctele dificile.

Dovada penultimei proprietăți: reamintim că a - n > b - n este adevărată pentru orice valori întregi negative n și orice a și b pozitive, cu condiția ca a să fie mai mic decât b.

Atunci inegalitatea poate fi transformată după cum urmează:

1 a n > 1 b n

Să scriem părțile din dreapta și din stânga ca diferență și să efectuăm transformările necesare:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Reamintim că în condiția a este mai mică decât b, atunci, conform definiției unui grad cu exponent natural: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ajunge să fie un număr pozitiv deoarece factorii săi sunt pozitivi. Ca rezultat, avem fracția b n - a n a n · b n, care în cele din urmă dă și un rezultat pozitiv. Prin urmare, 1 a n > 1 b n de unde a − n > b − n , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este dovedită în mod similar cu proprietatea puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți raționali

În articolele anterioare, ne-am uitat la ce este un grad cu un exponent rațional (fracțional). Proprietățile lor sunt aceleași cu cele ale gradelor cu exponenți întregi. Hai sa scriem:

Definiția 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (proprietatea produsului grade cu aceleași baze).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, dacă a > 0 (proprietatea coeficientului).

3. a · b m n = a m n · b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 și (sau) b ≥ 0 (proprietatea produsului în grad fracționar).

4. a: b m n = a m n: b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m n > 0, atunci pentru a ≥ 0 și b > 0 (proprietatea unui coeficient la o putere fracționară).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (proprietatea gradului în grade).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; dacă p< 0 - a p >b p (proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q la 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Pentru a demonstra aceste prevederi, trebuie să ne amintim ce este un grad cu un exponent fracționar, care sunt proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și care sunt proprietățile unui grad cu exponenți întregi. Să ne uităm la fiecare proprietate.

În funcție de ce este un grad cu un exponent fracționar, obținem:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 și a m 2 n 2 = a m 2 n 2, prin urmare, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Proprietățile rădăcinii ne vor permite să obținem egalități:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Din aceasta obținem: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Să transformăm:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Exponentul poate fi scris astfel:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Aceasta este dovada. A doua proprietate este dovedită exact în același mod. Să scriem un lanț de egalități:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dovezi ale egalităților rămase:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Următoarea proprietate: să demonstrăm că pentru orice valori ale lui a și b mai mari decât 0, dacă a este mai mic decât b, a p va fi satisfăcut< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Să reprezentăm un număr rațional p ca m n. În acest caz, m este un număr întreg, n este un număr natural. Apoi condițiile p< 0 и p >0 se va extinde la m< 0 и m >0 . Pentru m > 0 și a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Folosim proprietatea rădăcinilor și a ieșirii: a m n< b m n

Luând în considerare valorile pozitive ale lui a și b, rescriem inegalitatea ca a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

În același mod și pentru m< 0 имеем a a m >b m , obținem a m n > b m n ceea ce înseamnă a m n > b m n și a p > b p .

Rămâne să oferim o dovadă a ultimei proprietăți. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p > q la 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 va fi adevărat a p > a q .

Numerele raționale p și q pot fi reduse la un numitor comun și obțin fracțiile m 1 n și m 2 n

Aici m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. Dacă p > q, atunci m 1 > m 2 (ținând cont de regula de comparare a fracțiilor). Apoi la 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – inegalitatea a 1 m > a 2 m.

Ele pot fi rescrise după cum urmează:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Apoi puteți face transformări și ajungeți la:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Pentru a rezuma: pentru p > q și 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți iraționali

Într-o asemenea măsură se pot extinde toate proprietățile descrise mai sus pe care le are un grad cu exponenți raționali. Aceasta rezultă din însăși definiția sa, pe care am dat-o într-unul din articolele anterioare. Să formulăm pe scurt aceste proprietăți (condiții: a > 0, b > 0, exponenții p și q sunt numere iraționale):

Definiția 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, apoi a p > a q.

Astfel, toate puterile ai căror exponenți p și q sunt numere reale, cu condiția a > 0, au aceleași proprietăți.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Previzualizare:

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT BUGETAR MUNICIPAL

ȘCOALA GENERALĂ Nr 11

ORAȘ DE FORMARE MUNICIPAL – STATIUNEA ANAPA

Nominalizare „Științe fizice și matematice (matematică)”

Plan - rezumatul lecției pe tema:

clasa a 7-a

Elaborat de: Bykova E.A., profesor de matematică de cea mai înaltă categorie de calificare

Anapa, 2013

Lecție publică la algebră în clasa a VII-a pe tema:

„Proprietăți ale unui grad cu exponent natural”

Obiectivele lecției:

Educational:– dezvoltarea capacității de sistematizare și generalizare a cunoștințelor despre grade cu exponent natural, consolidarea și îmbunătățirea abilităților de transformări simple ale expresiilor care conțin grade cu exponent natural.

Educational: – stimularea activității cognitive, a simțului responsabilității, a unei culturi a comunicării, a unei culturi a dialogului.

Educational: - dezvoltarea memoriei vizuale, a vorbirii alfabetizate matematic, a gândirii logice, a percepției conștiente a materialului educațional.

Sarcini:

1. Subiect: repetarea, generalizarea și sistematizarea cunoștințelor pe tema, crearea condițiilor pentru controlul (controlul reciproc) al asimilării cunoștințelor și aptitudinilor; continua să construiască motivația elevilor de a studia materia.

2. Meta-subiect: să dezvolte un stil operațional de gândire, să promoveze dobândirea de către elevi a abilităților de comunicare atunci când lucrează împreună și să le activeze gândirea creativă; să continue dezvoltarea anumitor competențe ale elevilor care vor contribui la abilitățile lor de socializare efectivă, autoeducare și autoeducare.

3. Personal: cultivă cultura, promovează formarea calităților personale care vizează o atitudine prietenoasă, tolerantă față de oameni și viață; să cultive inițiativa și independența în activități; conduce la înțelegerea necesității temei studiate pentru pregătirea cu succes pentru certificarea finală de stat.

Tip de lecție: lecție generală pe această temă.

Tip de lecție: combinate.

Structura lecției:

1. Moment organizatoric.

2. Raportați subiectul, scopurile și obiectivele lecției.

3. Reproducerea a ceea ce s-a învățat și aplicarea lui în situații standard.

4. Transferul cunoștințelor dobândite, aplicarea lor primară în condiții noi sau modificate, în scopul dezvoltării competențelor.

5.Elemente ale tehnologiilor de salvare a sănătății.

6. Elevii realizează în mod independent sarcinile sub supravegherea profesorului.

7. Rezumarea lecției și stabilirea temelor.

Echipament: proiector multimedia, calculator.

Prezentare in program Microsoft Office Power Point 2007(Anexa 1)

Planul lecției:

Literatură:

1. Algebră: manual. pentru clasa a VII-a. educatie generala instituții / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și alții; editat de S.A. Teliakovsky. – M.: Educație, 2008.

2. Zvavich L.I., Kuznetsova L.V., Suvorova S.B. Materiale didactice despre algebră pentru clasa a VII-a. – M.: Educație, 2009.

3. Colectare sarcini de testare pentru controlul tematic și final. Algebră clasa a VII-a / S.A. Pușkin, I.L. Gusev. – M.: „Intelligence”, 2013.

4. T.Yu.Dyumina, A.A.Makhonina, „Algebra. Planuri de lecție.” - Volgograd: „Profesor”, 2013

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

2. Verificarea temelor

3. Tema lecției. Scopurile și obiectivele lecției.

Matematică, prieteni,

Absolut toată lumea are nevoie de ea.

Lucrați cu sârguință în clasă

Și succesul cu siguranță te așteaptă!

4. Lucrări orale.

a) Repetarea proprietăților unui grad cu exponent natural. Se dă un tabel. Completați spațiile care lipsesc în coloana din stânga și finalizați sarcinile din coloana din dreapta.

b) În timpul îndeplinirii sarcinilor de transformare a expresiilor care conțin puteri, elevul a făcut următoarele greșeli:(scrie pe tabla)

1) a) ; b) ;

V) ; G) ;

2) a) ; b) ;

V) ; G) ;

3) a) ; b) ;

V) .

Ce definiții, proprietăți, reguli nu cunoaște elevul?

5. Exerciții de antrenament.

Nr. 447 – pe tablă și în caiete cu comentariu detaliat, folosind proprietățile gradelor;

Nr. 450 (a, c) - pe tablă și în caiete;

Nr. 445 – oral.

6. Exercițiu fizic

S-au ridicat repede, au zâmbit,

S-au tras din ce în ce mai sus.

Ei bine, îndreaptă-ți umerii,

Ridicați, coborâți.

Virați la dreapta, virați la stânga,

Atinge-ți mâinile cu genunchii.

S-au așezat, s-au ridicat, s-au așezat, s-au ridicat,

Și au fugit pe loc.

Tinerii studiază cu tine

Dezvoltați atât voința, cât și ingeniozitatea.

7. Lucrări de verificare individuală.

Fiecare elev completează temele și este însoțit de o cheie care folosește întregul alfabet pentru a preveni ghicirea răspunsurilor după literă. În cazul deciziei corecte, cuvântul potrivit.

Sarcinile pentru fiecare rând sunt individuale.

Cheie

Rezultatele lucrării sunt afișate pe un slide pentru autotest:

Matematică

8. Rezumatul lecției:

Rezumând lecția, notare.

– Enumerați proprietățile unui grad cu exponent natural.

Vom acorda note la lecție după verificarea lucrării cu testele, ținând cont de răspunsurile acelor elevi care au răspuns în timpul lecției.

Rezolvați cuvintele încrucișate

Vertical:

1. El împarte dividendul
2. Figura elementară pe un plan
3. Adevărata egalitate
4. Unul urmat de nouă zerouri
5. Este stivuit cu similare
6. Doi la puterea a trei

Orizontal:

2. Numărul de laturi dintr-un triunghi

4. Suma monomiilor

5. Rezumă

7. Un segment care leagă un punct dintr-un cerc cu centrul său

8. Are un numărător și un numitor

9. Tema pentru acasă:

Puterea unui număr a cu exponent natural n se numește ____________ n ____________, fiecare dintre ele egal cu a. 1. Prezentați produsul ca putere: a). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; b). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Ridicare la o putere: 3 4 ; (-0,2) 3; (2 /3) 2 Numiți baza și exponentul puterilor scrise. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, ___________ rămâne la fel și se adaugă ___________. Urmați acești pași: a 4 * a 12 ; a 6 * a 9 * a; 3 2 * 3 3 La împărțirea puterilor cu aceleași baze, ___________ rămâne același, iar de la numărătorul __________ numitorul _________ __________. Urmați pașii: a 12: a 4 ; p 9: p 3: p; 3 5: 3 2 Când ridicați o putere la o putere, _______________ rămâne același, iar __________ este înmulțit. Urmați acești pași: ; (m3)7; (k4)5; (4 2) 3 Când ridicați un produs la o putere, _____________ ____________ este ridicat la acea putere și rezultatele sunt înmulțite. Efectuați exponențiarea: (-2 a 3 b 2) 5 ; (1 /3p 2 q 3) 3 Puterea unui număr a, diferit de zero, cu exponent zero este Calculați: 3 x 0 la x = 2,6 Să repetăm!

Brainstorming

S-au ridicat repede, au zâmbit și s-au tras din ce în ce mai sus. Hai, îndreaptă-ți umerii, ridică-i, coboară-i. Virați la dreapta, la stânga, atingeți-vă mâinile cu genunchii. S-au așezat, s-au ridicat, s-au așezat, s-au ridicat și au fugit pe loc. Tinerii învață împreună cu tine să dezvolte atât voința, cât și ingeniozitatea.

Lucrare de testare individuală № p/p Sarcina 1 rând № p/p Sarcina 2 rând № p/p Sarcina 3 rând 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) *(- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2 * 3 7: 3 14 9 (3 4) 2 * (3 2) 3: 3 11

Verifică-te! Cheie! A b c d e f g h i k m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5

matematică

GHICȚI CUVINTUL ÎNcrucișat Vertical: 1. Împarte dividendul 2. O figură elementară pe un plan 3. Egalitatea adevărată 4. Una cu nouă zerouri 5. Se adaugă la ca 6. Doi la puterea lui trei Orizontal: 2. Numărul a laturilor dintr-un triunghi 4. Suma monomiilor 5. Suma 7. Un segment care leagă un punct dintr-un cerc cu centrul său 8. Are un numărător și un numitor

Rezumatul lecției Notarea temei răspuns la întrebări p. 101, nr. 450(b,d), nr. 534, nr. 453.