Metodă funcțional-grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților la un curs de algebră de liceu. Studiul diferitelor metode de rezolvare a inegalităților Metodă grafică funcțional de rezolvare a ecuațiilor

Algebra și începuturile analizei, clasa 1011 (A.G. Mordkovich)
Dezvoltați o lecție despre metoda soluției grafice funcționale
ecuații.
Tema lecției: Metoda grafică funcțională pentru rezolvarea ecuațiilor.
Tipul de lecție: Lecție privind îmbunătățirea cunoștințelor deprinderilor și abilităților.
Obiectivele lecției:
Educațional: sistematizează, generalizează, extinde cunoștințele și abilitățile
elevii legati de utilizarea metodei grafice functionale
rezolvarea ecuatiilor. Exersați abilitățile de rezolvare funcțională a ecuațiilor
metoda grafica.
Dezvoltare: Dezvoltarea memoriei, a gândirii logice, a abilităților
analizează, compară, generalizează, trage concluzii în mod independent;
dezvoltarea unui vorbire matematic competent.
Educativ: pentru a cultiva acuratețea și precizia atunci când executați
sarcini, independență și autocontrol; formarea culturii
munca educațională; continuă să dezvolte interesul cognitiv pentru
subiect.
Structura lecției:
eu.
AZ
1. Moment organizatoric.


4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru următoarea etapă a lecției.
II.
DISTRACŢIE
1. Rezolvarea colectivă a problemelor.
2. Stabilirea temelor.
3. Munca independentă.
4. Rezumând lecția.

În timpul orelor:
I.AZ
1. Moment organizatoric.
2. Lucru oral pentru verificarea temelor.
Să începem lecția verificându-ți temele.
Numiți răspunsurile într-un lanț.
1358.a)4x=1/16
4x=42
b)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 b)5x*2x=0,13
)3/2 10x=103
x=3
x=1,5
1366.a)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2, a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. b)2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.a)5x=x+6 y=5x y=x+6
y
6
5
0
1
X
x=1

Bravo, toți au primit aceleași răspunsuri, au întrebări despre teme
sarcină? V-ați descurcat cu toții?
3. Sondaj frontal în scopul AZ pe tema.
Cum se numesc ecuațiile pe care le-ați rezolvat în temele pentru acasă?
Indicativ.
Ce ecuații se numesc exponențiale?
Ecuațiile exponențiale sunt ecuații de forma af(x)=ag(x), unde a
un număr pozitiv altul decât 1 și ecuații care se reduc la acesta
minte.
Ce ecuație este echivalentă cu ecuația af(x)=ag(x)?
ecuația af(x)=ag(x) (unde a>0,a ≠1) este echivalentă cu ecuația f(x)=g(x)
Ce metode de bază ați folosit pentru a rezolva ecuații exponențiale?
1) Metoda de egalizare a indicatorilor
2) Metoda de introducere a unei noi variabile
3) Metoda grafică funcțională
4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru următoarea etapă a lecției.
Astăzi vom arunca o privire mai atentă la rezolvarea ecuațiilor folosind
funcţional - metoda grafică.
Cu 10 minute înainte de sfârșitul lecției vei scrie o scurtă lucrare independentă.
II.DISTRACERE
1. Rezolvarea colectivă a problemelor.
Care este esența metodei grafice funcționale pentru rezolvarea ecuațiilor? Ce
ar trebui să rezolvăm ecuația în acest fel?
Pentru a rezolva funcțional o ecuație de forma f(x)=g(x).
metoda de care ai nevoie:
Construiți grafice ale funcțiilor y=f(x) și y=g(x) în același sistem de coordonate.
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor acestor funcții.
Scrieți răspunsul.
№1a)3x=x+4

Funcțional și grafic.

Să introducem funcțiile.

y=3x y=x+4
masa.
Cum construim un program?
Punct cu punct, înlocuiți x în funcție și găsiți y.
y
4
3

0
1
X

Să găsim punctul de intersecție al celor două grafice rezultate.
Câte puncte de intersecție avem, uită-te la imagine?
Un punct.
Ce înseamnă? Câte rădăcini are această ecuație?
O rădăcină este egală cu 1.
Răspuns: x=1
b)3x/2=0,5x+4
Ce metodă vom folosi pentru a rezolva ecuația?
Funcțional și grafic.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcțiile.
Ce funcții putem obține?
y=3x/2 y=0,5x+4
y
4
3
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?

Răspuns: x=2
№2 a)2x+1=x3
Ce metodă vom folosi pentru a rezolva ecuația?
Funcțional și grafic.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcțiile.
Ce funcții putem obține?
y=2x+1 y= x3

8
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?
Să găsim punctul de intersecție al celor două grafice rezultate, rădăcina este 2.
Răspuns: x=2
b)2x=(x2/2)+2
Ce metodă vom folosi pentru a rezolva ecuația?
Funcțional și grafic.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcțiile.
Ce funcții putem obține?
y=2x y= (x2/2)+2
Dacă elevul poate, construiți imediat un grafic, dacă nu, faceți mai întâi un grafic.
masa.
y

4
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?
Să găsim punctul de intersecție al celor două grafice rezultate, rădăcina este 2.
Răspuns: x=2
2. Deschide-ți agendele și notează-ți temele.
nr. 1372,1370,1371(c,d)
3. Munca independentă.

a)3x+26x=0 (fără soluții)
b)5x/5+x1=0 (x=0)
Și acum puțină muncă independentă. Să verificăm cum ai învățat
material, ați înțeles cu toții esența metodei grafice funcționale
rezolvarea ecuatiilor.
Nr. 1 Rezolvați ecuația folosind o metodă grafică funcțională:
1 opțiune
Opțiunea 2
a)5x/5=x2 (fără soluții)
b)3x+23=0 (x=1)
Nr. 2 Câte rădăcini are ecuația și în ce interval sunt situate?
1 opțiune
a) 3x=x22 (fără soluții) a) 3x=x2+2 ((1.5;1) două rădăcini)
b)3x/2=6x ((3;3.5) două rădăcini) b)2x+x25=0 (2.5;1.5) două rădăcini)
4. Rezumând lecția.
Ce am făcut astăzi în clasă? Ce tip de sarcini au fost rezolvate?
Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale ați stăpânit astăzi?
Să repetăm ​​încă o dată care este esența metodei soluției funcțional-grafice
ecuatii?
Explicați pas cu pas cum se rezolvă ecuațiile folosind această metodă?
Ai întrebări? Este totul clar pentru toată lumea?
Lecția s-a terminat, poți fi liber.
Opțiunea 2

METODA FUNCȚIONAL-GRAFICĂ PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR (folosind proprietățile monotonității funcțiilor la rezolvarea ecuațiilor.)

Epigraf scris pe tablă

Care este cel mai bun?

Comparați trecutul și aduceți-l împreună

cu prezentul.

Kozma Prutkov

Etapa 1: actualizarea experienței anterioare.

În clasele anterioare ale cursului opțional, ne-am sistematizat cunoștințele despre rezolvarea ecuațiilor și am ajuns la concluzia că ecuațiile de orice tip pot fi rezolvate prin metode generale. Care metode generale Am identificat soluții la ecuații?

(Înlocuirea ecuațieih(f(X))= h(g(X) ecuație f(X)= g(X),

factorizare, introducerea unei noi variabile.)

Etapa 2: motivarea introducerii de noi ecuații, a căror rezolvare este asociată cu utilizarea unei metode funcțional-grafice.

În această lecție vom învăța o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor. Pentru a înțelege necesitatea acesteia, să facem următoarea lucrare.

Exercițiu. Iată o serie de ecuații. Gruparea ecuațiilor prin metode de rezolvare. Notați numai numerele ecuației din tabel. Puteți lucra independent, apoi puteți compara răspunsurile în perechi sau în grupuri.

Verificarea progresului .

Elevii citesc răspunsurile.

Printre ecuații, ați întâlnit ecuații pe care nu le puteți rezolva folosind metodele pe care le-ați studiat. Multe dintre ele sunt rezolvate grafic. Ideea lui vă este familiară. Amintește-i.

(1). Convertiți ecuația în formăf(X)= g(X) astfel încât părțile stânga și dreaptă ale ecuației să conțină funcții cunoscute nouă. 2). Construiți grafice de funcții într-un sistem de coordonatef(X) Și g(X). 3). Aflați abscisa punctelor de intersecție ale graficelor. Acestea vor fi rădăcinile aproximative ale ecuației.)

În unele cazuri, construirea graficelor de funcții poate fi înlocuită cu o referire la o proprietate a funcțiilor (de aceea nu vorbim despre o metodă grafică, ci de o metodă funcțional-grafică de rezolvare a ecuațiilor).

Una dintre proprietăți este proprietatea monotonității funcțiilor. Această proprietate este utilizată la rezolvarea ecuațiilor de formă

Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor despre proprietățile monotonității funcțiilor

Referindu-ne la epigraful lecției.

Exercițiu. Să ne amintim care dintre funcțiile studiate sunt monotone în domeniul definiției funcției și să numim natura monotonității.

r-fractionat

r> 0 , crescând

r<0 , in scadere

Rădăcină n-grade de la X

Crescând

Y=arcsin x

Crescând

Y=arccos x

Descendentă

Y=arctg x

Crescând

Y=arcctg x

Descendentă

Y= X 2 n +1 , n-numar natural

Crescând

Funcțiile rămase vor fi monotone pe intervale din domeniul de definire a funcției.

Pe lângă informațiile despre monotonitatea funcțiilor elementare, folosim o serie de afirmații pentru a demonstra monotonitatea funcțiilor. (Se vor formula proprietăți similare pentru funcțiile descrescătoare.)

Lucru independent cu material prezentat în formă tipărită.

Dacă funcţia fcrește pe platouX, apoi pentru orice numărc funcţie f+ ccrește de asemenea cuX.

Dacă funcţia fcrește pe platouXȘi c>0, funcție cfcrește de asemenea cuX.

Dacă funcţia fcrește pe platouX, apoi funcția – fscade pe acest set.

Dacă funcţia fcrește pe platouXși păstrează semnul de pe platouX, apoi funcția 1/ fscade pe acest set.

Dacă funcţiile fȘi gcrestere pe platouX, apoi suma lor f+ g

Dacă funcţiile fȘi gsunt în creștere și nu sunt negative pe platouX, apoi produsul lorf· gcrește și pe acest set.

Dacă funcţia feste în creștere și nu este negativ pe platouXȘi neste un număr natural, apoi funcțiaf n crește de asemenea cuX

Dacă funcţia f crește X, și funcția gcrește pe platouE(f) funcții f, apoi compoziția g° fdintre aceste funcții crește și cuX.

Proprietățile de bază ale compoziției funcțiilor .

Lasă funcția complexăy= f(g(X)), Unde X € Xeste de așa natură încât funcțiau= g(X),

X € Xeste continuu si strict creste (descreste) pe intervalul X; funcţiey= f(u), u € U, U= g(X) este continuă și, de asemenea, monotonă (strict crescător sau descrescător) pe intervalU. Apoi funcția complexăy= f(g(X)), X € Xva fi de asemenea continuu si monoton peX, și:

Compoziţie f° gdouă funcţii strict crescătoarefȘigva fi, de asemenea, o funcție strict crescătoare,

Compoziţie f° gdouă funcţii strict descrescătoarefȘigeste o funcție strict crescătoare,

Compoziţie f° g funcții fȘig, dintre care unul (oricare) este strict crescător, iar celălalt este strict descrescător, va fi o funcție strict descrescătoare.

Exercițiu.

Determinați care funcții sunt monotone, stabiliți natura monotonității. Puneți un semn plus lângă numărul corespunzător. Explicați răspunsul (lanț cu lanț).

y= √ X+2,

y=8-3 X,

y= Buturuga 2 2 X,

y=2 √ 5- X,

y= cos 2 X,

y= arcsin (X-9),

y=4 X +9 X ,

y=3 √ -2 X +4 ,

y=ln(2 X +5 X ),

10) y= Buturuga 0,2 (-4 X-5),

11) y= Buturuga 2 (2 - X +5 -2 X ),

12) y= √ 6-4 X- X 2

Să folosim proprietățile monotonității funcțiilor atunci când rezolvăm ecuații. Găsiți ecuații din aceeași listă care pot fi rezolvate folosind proprietățile de monotonitate ale funcțiilor.

Rezumând lecția.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor ați fost introduse în clasă?

Toate ecuațiile pot fi rezolvate folosind această metodă?

Cum să „recunoaștem” o metodă în anumite ecuații?

Lista ecuațiilor care pot fi propuse în această lecție.

Partea 1.

Partea 2.

Într-un curs de matematică școlar standard, proprietățile funcțiilor sunt utilizate în principal pentru a construi graficele lor. Metoda funcțională de rezolvare a ecuațiilor este utilizată dacă și numai dacă ecuația F(x) = G(x) ca urmare a transformărilor sau înlocuirii variabilelor nu poate fi redusă la una sau alta ecuație standard care are un algoritm de soluție specific.

Spre deosebire de metoda grafică, cunoașterea proprietăților funcțiilor vă permite să găsiți rădăcinile exacte ale ecuației, fără a fi nevoie să construiți grafice ale funcțiilor. Utilizarea proprietăților funcțiilor ajută la raționalizarea soluției ecuațiilor.

În lucrare sunt luate în considerare următoarele proprietăți ale funcției: domeniul de definire a funcției; interval de funcții; proprietățile monotonității unei funcții; proprietățile convexității unei funcții; proprietățile funcțiilor pare și impare.

Scopul lucrării: realizarea unei clasificări a ecuațiilor nestandardizate în funcție de utilizarea lor proprietăți generale funcții, descrieți esența fiecărei proprietăți, oferiți recomandări pentru utilizarea acesteia, instrucțiuni de utilizare.

Toate lucrările sunt însoțite de soluționarea problemelor specifice propuse la Examenul Unificat de Stat în diverși ani.

Capitolul 1. Utilizarea conceptului de domeniu de definire a unei funcţii.

Să introducem câteva definiții cheie.

Domeniul de definire al funcției y = f(x) este mulțimea de valori ale variabilei x pentru care funcția are sens.

Să fie dată ecuația f(x) = g(x), unde f(x) și g(x) sunt functii elementare, definit pe seturile D1, D2. Atunci regiunea D a valorilor admisibile ale ecuației va fi o mulțime formată din acele valori ale lui x care aparțin ambelor mulțimi, adică D = D1∩ D2. Este clar că atunci când mulțimea D este goală (D= ∅), atunci ecuația nu are soluții. (Anexa nr. 1).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ODZ:-1 =0⇔-3

Răspuns: nu există soluții.

2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.

ODZ: x2-4x+3>=0,x>0.8x-2x2-6>=0⇔x∈(-infinit;1∪ 3;infinit),x>01

Verificați: x = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,

0 = 0 - adevărat.

x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - incorect.

Adesea se dovedește a fi suficient să se ia în considerare nu întregul domeniu de definire al unei funcții, ci doar submulțimea acesteia, pe care funcția ia valori care îndeplinesc anumite condiții (de exemplu, numai valori nenegative).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ODZ: x-9>=0, x>=9.

Pentru x>=9 x+2>0, 7-x 0, astfel, produsul celor trei factori din partea stângă a ecuației este negativ, iar partea dreaptă a ecuației este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația nu are solutii.

Răspuns: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

Pe setul de valori admisibile, partea stângă a ecuației este pozitivă, iar partea dreaptă este negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu are soluții.

Răspuns: nu există soluții.

Capitolul 2. Utilizarea conceptului de gamă de funcții.

Intervalul de valori al funcției y = f(x) este setul de valori ale variabilei y pentru valorile acceptabile ale variabilei x.

Se spune că o funcție y = f(x) este mărginită mai jos (resp. mai sus) pe mulțimea X dacă există un număr M astfel încât inegalitatea fx>=M să fie valabilă pe X (respectiv fx

O funcție y = f(x) se numește mărginită pe un interval dat (conținut în domeniul său de definiție) dacă există un număr M >0 astfel încât pentru toate valorile argumentului aparținând acestui interval inegalitatea f(x ) ține

Să fie dată ecuația f(x) = g(x), unde g(x) sunt funcții elementare definite pe mulțimile D1, D2. Să notăm intervalul de variație al acestor funcții ca E1 și, respectiv, E2. Dacă x1 este o soluție a ecuației, atunci egalitatea numerică f(x1) = g(x1) va fi valabilă, unde f(x1) este valoarea funcției f(x) la x = x1 și g(x1) este valoarea funcției g(x) la x = x1. Aceasta înseamnă că dacă ecuația are o soluție, atunci intervalele de funcții f(x) și g(x) au elemente comune (E1∩E2 !=∅). Dacă mulțimile E1 și E2 nu conțin astfel de elemente comune, atunci ecuația nu are soluții.

Inegalitățile de bază sunt folosite pentru a evalua expresiile. (Anexa nr. 2).

Să fie dată ecuația f(x) = g(x). Dacă f(x)>=0 și g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

Soluţie. Există o unitate în partea stângă, ceea ce înseamnă că putem folosi identitatea trigonometrică de bază: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Suma primilor trei termeni este un pătrat perfect:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

În consecință, în partea stângă este suma pătratelor este egală cu zero atunci când expresiile din pătrate sunt simultan egale cu zero. Să scriem sistemul: cosxy=0,x+sinxy=0.

Dacă cosxy=0, atunci sinxy= +-1, prin urmare acest sistem este echivalent cu o combinație de două sisteme: x+1=0,cosxy=0 sau x-1=0,cosxy=0.

Soluțiile lor sunt perechi de numere x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z și x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.

Răspuns: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z, și x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.

Dacă pe intervalul X cea mai mare valoare a uneia dintre funcțiile y = f(x), y = g(x) este egală cu A și cea mai mică valoare a celeilalte funcții este, de asemenea, egală cu A, atunci ecuația f(x) ) = g(x) este echivalent pe intervalul X cu sistemul de ecuații fx=A,gx=A.

1. Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația are o soluție

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

După înlocuirea t= 22x-x2 ajungem la ecuația cos(2t+PI3)=a-12.

Funcția t=2m crește, ceea ce înseamnă că atinge cea mai mare valoare la cea mai mare valoare a lui m. Dar m=2х - x are cea mai mare valoare egală cu 1. Atunci tmax = 22·1-1=2. Astfel, setul de valori al funcției t = 22x-x2 este intervalul (0;2, iar funcția cos(2t+PI3) este intervalul -1;0.5). În consecință, ecuația inițială are o soluție pentru acele și numai acele valori ale a care satisfac inegalitățile -1Răspuns: -12. Rezolvați ecuația (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.

Folosind inegalitățile evidente

Răspuns: x= - 5+32 dacă a=1+32 și x=-5+32 dacă a= 1-32.

Puteți lua în considerare alte ecuații mai detaliat. (Anexa nr. 3).

Capitolul 3. Utilizarea proprietății de monotonitate a unei funcții.

Se spune că o funcție y = f(x) este în creștere (respectiv, descrescătoare) pe o mulțime X dacă pe această mulțime, pe măsură ce argumentul crește, valorile funcției cresc (respectiv, descresc).

Cu alte cuvinte, funcția y = f(x) crește pe mulțimea X dacă de la x1∈X, x2∈X și x1 Descrește pe această mulțime dacă de la x1∈X, x2∈X și x1 f(x2).

Se spune că o funcție y = f(x) este nestrict crescătoare (respectiv, nestrict descrescătoare) pe X dacă x1∈X, x2∈X și x1=f(x2)).

Funcțiile care cresc și descresc pe X sunt numite monotone pe X, iar funcțiile care nu sunt strict crescătoare sau descrescătoare pe X sunt numite nestrict monotone pe X.

Pentru a demonstra monotonitatea funcțiilor, se folosesc următoarele afirmații:

1. Dacă o funcție f crește pe o mulțime X, atunci pentru orice număr C crește și funcția f + C pe X.

2. Dacă funcția f crește pe mulțimea X și C > 0, atunci funcția Cf crește și pe X.

3. Dacă o funcție f crește pe o mulțime X, atunci funcția - f scade pe această mulțime.

4. Dacă o funcție f crește pe mulțimea X și menține semnul pe mulțimea X, atunci funcția 1f scade pe această mulțime.

5. Dacă funcțiile f și g cresc pe o mulțime X, atunci suma lor f + g crește și pe această mulțime.

6. Dacă funcțiile f și g sunt crescătoare și nenegative pe mulțimea X, atunci produsul lor fg crește și pe X.

7. Dacă funcția f este crescătoare și nenegativă pe mulțimea X și n este un număr natural, atunci funcția fn crește și pe X.

8. Dacă ambele funcții f(x) și g(x) sunt crescătoare sau ambele sunt în scădere, atunci funcția h(x) = f(g(x)) este o funcție crescătoare. Dacă una dintre funcții este în creștere. Și celălalt este descrescător, atunci h(x) = f(g(x)) este o funcție descrescătoare.

Să formulăm teoreme despre ecuații.

Teorema 1.

Dacă funcția f(x) este monotonă pe intervalul X, atunci ecuația f(x) = C are cel mult o rădăcină pe intervalul X.

Teorema 2.

Dacă funcția f(x) este monotonă pe intervalul X, atunci ecuația f(g(x)) = f(h(x)) este echivalentă pe intervalul X cu ecuația g(x) = h(x) .

Teorema 3.

Dacă funcția f(x) crește pe intervalul X și g(x) scade pe intervalul X, atunci ecuația g(x) = f(x) are cel mult o rădăcină pe intervalul X.

Teorema 4.

Dacă funcția f(x) crește pe intervalul X, atunci ecuația f(f(x)) = x este echivalentă pe intervalul X cu ecuația f(x) = x.

1. Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația are exact trei rădăcini

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Soluţie. Să transformăm această ecuație în formă

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Dacă punem u = x2-2x, v=2x-a-1, atunci ajungem la ecuație

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Funcția f (t) = 2tlog3(t+3) crește monoton pentru t >-2, deci din ultima ecuație putem trece la echivalentul u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1 )2=2x -a.

Această ecuație, după cum se poate observa din figură, are exact trei rădăcini în următoarele cazuri:

1. Vârful graficului funcției y = 2x-a este situat la vârful parabolei y = (x-1)2, care corespunde cu a = 1;

2. Raza stângă a graficului y = 2x-a atinge parabola, iar cea dreaptă o intersectează în două puncte; acest lucru este posibil cu a=12;

3. Raza dreaptă atinge și raza stângă intersectează parabola, care apare când a=32.

Să explicăm al doilea caz. Ecuația razei stângi este y = 2a-2x, panta ei este -2. Prin urmare, coeficientul unghiular al tangentei la parabolă este egal cu

2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 iar punctul tangent are coordonatele (0; 1). Din condiția ca acest punct să aparțină razei, găsim a=12.

Al treilea caz poate fi considerat în mod similar sau folosind considerații de simetrie.

Răspuns: 0,5; 1;1.5.

Putem lua în considerare alte ecuații mai detaliat. (Anexa nr. 4).

Capitolul 4. Utilizarea proprietăților convexității.

Fie definită o funcție f(x) pe un interval X, se numește strict convexă în jos (în sus) pe X dacă pentru orice u și v din X, u!=v și 0

Geometric, aceasta înseamnă că orice punct al coardei BC (adică un segment cu capete în punctele B(u;f(u)) și C(v;f(v)), diferit de punctele B și C, se află deasupra. (dedesubt) punctul Și graficul funcției f(x), corespunzător aceleiași valori de argument (Anexa nr. 5).

Funcțiile care sunt strict convexe în sus și în jos se numesc strict convexe.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

Teorema 1.

Fie funcția f(x) strict convexă în jos pe intervalul X, u ,v ∈X, u

Următoarea afirmație decurge din teorema 1.

Teorema 2.

Dacă funcția f(x) este strict convexă pe intervalul X, funcțiile u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) sunt astfel încât pentru toate x din ecuațiile ODZ f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) valorile lor u(x), v(x), u1(x), v1(x) sunt conținută în X și condiția u este îndeplinită +v = u1 +v1, atunci ecuația f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) pe ODZ este echivalentă cu mulțimea de ecuațiile u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Soluţie. Dacă setăm fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, atunci această ecuație se va scrie sub forma (1). Deoarece f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, atunci funcția fx este strict convexă în sus pe segmentul -1;1. Evident, restul sunt îndeplinite condițiile Teorema 2 și, prin urmare, ecuația este echivalentă cu ecuația cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2, unde k∈Z.

Răspuns: x = PI4 +PIk2, unde k∈Z.

Teorema 3.

Fie funcția fx strict convexă pe intervalul X și u,v, λv+(1-λ)u∈X. Atunci egalitatea f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) este valabilă dacă și numai dacă fie u=v, fie λ=0, fie λ=1 .

Exemple: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Ecuația are forma (4) dacă fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Este evident că funcția fx este strict convexă în jos pe R. Prin urmare, prin Teorema 3, ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea de ecuații sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.

De aici obținem că soluțiile sale vor fi PIk2, PI12+PIn3, unde k,n∈Z.

Răspuns: PIk2, PI12+PIn3, unde k,n∈Z.

Utilizarea proprietăților de convexitate este, de asemenea, utilizată pentru a rezolva ecuații mai complexe. (Anexa nr. 6).

Capitolul 5. Utilizarea proprietăților pare sau impare ale funcțiilor.

O funcție fx este apelată chiar dacă pentru orice valoare x luată din domeniul de definiție al funcției, valoarea - x aparține și domeniului definiției și egalitatea f-x = fx este valabilă. O funcție fx se numește impară dacă pentru orice valoare x luată din domeniul de definiție al funcției, valoarea - x aparține de asemenea domeniului de definiție și egalitatea f-x = - fx este valabilă.

Din definiție rezultă că domeniile funcțiilor pare și impare sunt simetrice față de zero (o condiție necesară).

Pentru oricare două valori simetrice ale argumentului din domeniul definiției, funcția pare ia valori numerice egale, iar cea impară - egală în valoare absolută, dar de semn opus.

Teorema 1.

Suma, diferența, produsul și câtul a două funcții pare sunt funcții pare.

Teorema 2.

Produsul și câtul a două funcții impare sunt funcții pare.

Să avem ecuația F(x)=0, unde F(x) este o funcție pară sau impară.

Pentru a rezolva ecuația F(x) = 0, unde F(x) este o funcție pară sau impară, este suficient să găsim rădăcini pozitive (sau negative) simetrice față de cele obținute, iar pentru o funcție impară rădăcina va fi x = 0 dacă această valoare se află în domeniul definiției F(x). Pentru o funcție pară, valoarea x = 0 este verificată prin substituție directă în ecuație.

Avem chiar funcții de ambele părți ale ecuației. Prin urmare, este suficient să găsiți soluții pentru x>=0. Deoarece x=0 nu este o rădăcină a ecuației, luați în considerare două intervale: (0;2, 2;infinit.

a) Pe intervalul (0;2 avem:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) Pe intervalul 2;infinit avem:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Dar deoarece x = 0 nu este o rădăcină a ecuației, atunci pentru x>0 această ecuație are o rădăcină x = 43. Atunci x = - 43 este și o rădăcină a ecuației.

Răspuns: 43; - 43.

Autorul consideră că lucrarea poate fi folosită de profesorii și studenții din învățământul general în orele extracurriculare, în pregătirea pentru olimpiadele de matematică, promovarea examenului de stat unificat, examene de admitere la instituţiile de învăţământ tehnic.

Lecție și prezentare pe tema:

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Să ne dăm o ecuație de forma $f(x)=g(x)$. Construim două grafice $y=f(x)$ și $y=g(x)$ pe același plan de coordonate și marchem punctele în care graficele noastre se intersectează. Abscisa punctului de intersecție (coordonata x) este soluția ecuației noastre.

Deoarece metoda se numește funcțional-grafic, nu este întotdeauna necesar să se construiască grafice ale funcțiilor. De asemenea, puteți utiliza proprietățile funcțiilor. De exemplu, vedeți o soluție explicită a ecuației la un moment dat: dacă una dintre funcții este strict în creștere, iar cealaltă este strict în scădere, atunci aceasta va fi singura decizie ecuații Proprietățile monotonității funcțiilor ajută adesea la rezolvarea diferitelor ecuații.

Să ne amintim o altă metodă: dacă pe intervalul X, cea mai mare valoare a oricăreia dintre funcțiile $y=f(x)$, $y=g(x)$ este egală cu A și, în consecință, cea mai mică valoare a cealaltă funcție este și ea egală cu A, atunci ecuația $f( x)=g(x)$ este echivalentă cu sistemul: $\begin (cases) f(x)=A, \\ g(x)=A . \end (cazuri)$

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\sqrt(x+1)=|x-1|$.

Soluţie.
Să construim grafice ale funcțiilor pe același plan de coordonate: $y=\sqrt(x)+1$ și $y=|x-1|$.

După cum se poate observa din figură, graficele noastre se intersectează în două puncte cu coordonatele: A(0;1) și B(4;3). Soluția ecuației inițiale va fi abscisele acestor puncte.

Răspuns: $x=0$ și $x=4$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $x^7+3x-134=0$.

Soluţie.
Să trecem la ecuația echivalentă: $x^7=134-3x$.
Puteți vedea că $x=2$ este o soluție a acestei ecuații. Să demonstrăm că aceasta este singura rădăcină.
Funcția $y=x^7$ – crește pe întregul domeniu de definiție.
Funcția $y=134-3x$ – scade pe întregul domeniu de definiție.
Atunci graficele acestor funcții fie nu se intersectează deloc, fie se intersectează într-un punct, am găsit deja acest punct $x=2.$

Răspuns: $x=2$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac(8)(x)=\sqrt(x)$.

Soluţie.
Această ecuație poate fi rezolvată în două moduri.
1. Din nou, rețineți că $x=4$ este rădăcina ecuației. Pe segmentul $)