Conceptul de funcție inversă. Funcții reciproc inverse Cum se definește o funcție inversă
Ce este o funcție inversă? Cum se află inversul unei funcții date?
Definiție .
Fie funcția y=f(x) definită pe mulțimea D, iar E mulțimea valorilor sale. Funcția inversă față de funcția y=f(x) este o funcție x=g(y), care este definită pe mulțimea E și atribuie fiecărui y∈E o valoare x∈D astfel încât f(x)=y.
Astfel, domeniul de definire al funcției y=f(x) este domeniul de valori al funcției inverse, iar domeniul valorilor y=f(x) este domeniul de definire al funcției inverse.
Pentru a găsi funcția inversă a unei funcții date y=f(x), aveți nevoie :
1) În formula funcției, înlocuiți x în loc de y și y în loc de x:
2) Din egalitatea rezultată, exprimă y prin x:
Aflați funcția inversă a funcției y=2x-6.
Funcțiile y=2x-6 și y=0,5x+3 sunt reciproc inverse.
Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de dreapta y=x(bisectoare ale sferturilor de coordonate I și III).
y=2x-6 și y=0,5x+3 - . Graficul unei funcții liniare este . Pentru a construi o linie dreaptă, luați două puncte.
Este posibil să se exprime y fără ambiguitate în termeni de x în cazul în care ecuația x=f(y) are singura solutie. Acest lucru se poate face dacă funcția y=f(x) ia fiecare dintre valorile sale într-un singur punct din domeniul său de definiție (o astfel de funcție se numește reversibil).
Teoremă (condiție necesară și suficientă pentru inversibilitatea unei funcții)
Dacă funcția y=f(x) este definită și continuă pe un interval numeric, atunci pentru ca funcția să fie inversabilă este necesar și suficient ca f(x) să fie strict monoton.
Mai mult, dacă y=f(x) crește pe un interval, atunci și funcția inversă acestuia crește pe acest interval; dacă y=f(x) scade, atunci funcția inversă scade.
Dacă condiția de reversibilitate nu este îndeplinită pe întregul domeniu de definiție, puteți selecta un interval în care funcția doar crește sau doar descrește, iar pe acest interval găsiți funcția inversă celei date.
Un exemplu clasic este . Pe intervalul $
Deoarece această funcție este descrescătoare și continuă pe intervalul $X$, atunci pe intervalul $Y=$, care este tot descrescător și continuu pe acest interval (Teorema 1).
Să calculăm $x$:
\ \
Selectați $x$ potrivit:
Răspuns: funcția inversă $y=-\sqrt(x)$.
Probleme la găsirea funcțiilor inverse
În această parte vom lua în considerare funcțiile inverse pentru unii functii elementare. Vom rezolva problemele conform schemei prezentate mai sus.
Exemplul 2
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x+4$
Să găsim $x$ din ecuația $y=x+4$:
Exemplul 3
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x^3$
Soluţie.
Deoarece funcția este crescătoare și continuă pe întregul domeniu de definiție, atunci, conform teoremei 1, are o funcție inversă continuă și crescătoare asupra ei.
Să găsim $x$ din ecuația $y=x^3$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Valoarea este potrivită în cazul nostru (deoarece domeniul de definiție este toate numerele)
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Exemplul 4
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=cosx$ pe intervalul $$
Soluţie.
Se consideră funcția $y=cosx$ pe mulțimea $X=\left$. Este continuă și descrescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left$ pe mulțimea $Y=[-1,1]$, prin urmare, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=cosx$ în mulțimea $ Y$ există o funcție inversă, care este de asemenea continuă și crescătoare în mulțimea $Y=[-1,1]$ și mapează mulțimea $[-1,1]$ la setul $\left$.
Să găsim $x$ din ecuația $y=cosx$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Exemplul 5
Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=tgx$ pe intervalul $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Soluţie.
Se consideră funcția $y=tgx$ pe mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Este continuă și crescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ pe mulțimea $Y =R$, prin urmare, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=tgx$ în mulțimea $Y$ are o funcție inversă, care este și ea continuă și crescătoare în mulțimea $Y=R $ și mapează setul $R$ pe mulțimea $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
- Am derivat deja prima proprietate mai devreme: y = f (g (y)) și x = g (f (x)).
- A doua proprietate rezultă din prima: domeniul definiției y = f (x) va coincide cu intervalul de valori al funcției inverse x = g (y) și invers.
- Graficele funcțiilor care sunt inverse vor fi simetrice față de y = x.
- Dacă y = f (x) este în creștere, atunci x = g (y) va crește, iar dacă y = f (x) este în scădere, atunci x = g (y) va scădea și el.
- Funcții de bază reciproc inverse: funcții de putere
- Funcții de bază reciproc inverse: exponențiale și logaritmice
- Funcții de bază reciproc inverse: trigonometrice și trigonometrice inverse
Să găsim $x$ din ecuația $y=tgx$:
Găsirea valorilor potrivite de $x$
Să redefinim variabilele, obținem că funcția inversă are forma
Să presupunem că avem o anumită funcție y = f (x), care este strict monotonă (descrescătoare sau crescătoare) și continuă pe domeniul definiției x ∈ a; b; intervalul său de valori y ∈ c ; d, iar pe intervalul c; d în acest caz vom avea o funcție definită x = g (y) cu un interval de valori a ; b. A doua funcție va fi, de asemenea, continuă și strict monotonă. Față de y = f (x) va fi o funcție inversă. Adică, putem vorbi despre funcția inversă x = g (y) când y = f (x) fie va scădea, fie va crește într-un interval dat.
Aceste două funcții, f și g, vor fi reciproc inverse.
De ce avem nevoie chiar de conceptul de funcții inverse?
Avem nevoie de aceasta pentru a rezolva ecuațiile y = f (x), care sunt scrise exact folosind aceste expresii.
Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la ecuația cos (x) = 1 3. Soluțiile sale vor fi toate punctele: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z
De exemplu, funcțiile cosinus și cosinus invers vor fi inverse una față de cealaltă.
Să ne uităm la mai multe probleme pentru a găsi funcții care sunt inverse celor date.
Exemplul 1
Stare: care este funcția inversă pentru y = 3 x + 2?
Soluţie
Domeniul definițiilor și intervalul de valori ale funcției specificate în condiție este mulțimea tuturor numerelor reale. Să încercăm să rezolvăm această ecuație prin x, adică exprimând x prin y.
Se obține x = 1 3 y - 2 3 . Aceasta este funcția inversă de care avem nevoie, dar y va fi argumentul aici, iar x va fi funcția. Să le rearanjam pentru a obține o notație mai familiară:
Răspuns: funcția y = 1 3 x - 2 3 va fi inversul lui y = 3 x + 2.
Ambele funcții reciproc inverse pot fi reprezentate după cum urmează:
Vedem simetria ambelor grafice cu privire la y = x. Această linie este bisectoarea primului și al treilea cadran. Am obținut o demonstrație a uneia dintre proprietățile funcțiilor reciproc inverse, despre care vom discuta mai târziu.
Să luăm un exemplu în care trebuie să găsim funcția logaritmică care este inversa unei funcții exponențiale date.
Exemplul 2
Stare: determinați care funcție va fi inversă pentru y = 2 x.
Soluţie
Pentru o funcție dată, domeniul de definiție este toate numerele reale. Intervalul de valori se află în intervalul 0; + ∞ . Acum trebuie să exprimăm x în termeni de y, adică să rezolvăm ecuația specificată în termeni de x. Se obține x = log 2 y. Să rearanjam variabilele și să obținem y = log 2 x.
Ca rezultat, am obținut funcții exponențiale și logaritmice, care vor fi reciproc inverse între ele pe întregul domeniu de definiție.
Răspuns: y = log 2 x .
Pe grafic, ambele funcții vor arăta astfel:
Proprietățile de bază ale funcțiilor reciproc inverse
În acest paragraf enumeram principalele proprietăți ale funcțiilor y = f (x) și x = g (y), care sunt reciproc inverse.
Definiția 1
Vă sfătuim să acordați o atenție deosebită conceptelor de domeniu de definiție și domeniul de semnificație al funcțiilor și să nu le confundați niciodată. Să presupunem că avem două funcții reciproc inverse y = f (x) = a x și x = g (y) = log a y. Conform primei proprietăți, y = f (g (y)) = a log a y. Această egalitate va fi adevărată numai dacă valori pozitive y , iar pentru logaritmii negativi logaritmul nu este definit, așa că nu vă grăbiți să scrieți că un log a y = y . Asigurați-vă că verificați și adăugați că acest lucru este adevărat numai atunci când y este pozitiv.
Dar egalitatea x = f (g (x)) = log a a x = x va fi adevărată pentru orice valoare reală a lui x.
Nu uitați de acest punct, mai ales dacă trebuie să lucrați cu trigonometric și invers funcții trigonometrice. Deci, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, deoarece intervalul arcsinus este π 2; π 2 și 7 π 3 nu sunt incluse în el. Intrarea corectă va fi
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3
Dar sin a r c sin 1 3 = 1 3 este o egalitate corectă, adică. sin (a r c sin x) = x pentru x ∈ - 1; 1 și a r c sin (sin x) = x pentru x ∈ - π 2 ; π 2. Fiți întotdeauna atenți la gama și domeniul de aplicare al funcțiilor inverse!
Dacă avem o funcție de putere y = x a , atunci pentru x > 0 funcția de putere x = y 1 a va fi și inversa acesteia. Să înlocuim literele și să obținem y = x a și, respectiv, x = y 1 a.
Pe grafic vor arăta astfel (cazuri cu coeficient a pozitiv și negativ):
Să luăm a, care va fi un număr pozitiv care nu este egal cu 1.
Grafice pentru funcții cu a > 1 și a< 1 будут выглядеть так:
Dacă am dori să trasăm ramura principală a sinusului și arcsinusului, ar arăta astfel (afișată ca zonă de lumină evidențiată).