Numărul transcendental e. Ce este transcendența sau de ce nu ne putem cunoaște pe noi înșine

Pe linia reală, pe lângă numerele algebrice, mai există o mulțime, a cărei putere coincide cu puterea întregii linii - acesta este mulțimea numerelor transcendentale.

Definiţie 6 : Un număr care nu este algebric se numește transcendental, adică transcendental după număr (lat. transcendere - a trece peste, a depăși) - acesta este un real sau număr complex, care nu poate fi rădăcina unui polinom (nu identic zero) cu coeficienți raționali

Proprietățile numerelor transcendentale:

· Mulțimea numerelor transcendentale este continuă.

· Fiecare număr real transcendental este irațional, dar inversul nu este adevărat. De exemplu, un număr este irațional, dar nu transcendental: este rădăcina unui polinom (și, prin urmare, algebric).

· Ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor iraționale.

· Măsura iraționalității aproape oricărui număr transcendental este 2.

Existența numerelor transcendentale a fost dovedită pentru prima dată de Liouville. Dovada lui Lauville a existenței numerelor transcendentale este eficientă; Pe baza următoarei teoreme, care este o consecință directă a teoremei 5, sunt construite exemple specifice de numere transcendentale.

Teorema 6 [3, p. 54].: Lasă - număr real. Dacă pentru orice natural n 1 și orice real c>0 există cel puțin o fracție rațională astfel încât (11), atunci - număr transcendental.

Dovada: Dacă era algebrică, atunci ar exista (Teorema 5) un întreg pozitiv n si reale c>0 astfel încât pentru orice fracție ar fi, iar acest lucru contrazice ceea ce este adevărat (11). Presupunerea este că număr algebric, adică număr transcendental. Teorema a fost demonstrată.

Numere pentru care, pentru orice n 1 și c>0 inegalitatea (11) are o soluție în numere întregi oŞi b sunt numite numere Liouville transcendentale.

Acum avem un mijloc de a construi numere reale care nu sunt algebrice. Este necesar să se construiască un număr care să permită aproximări de ordin arbitrar ridicat.

Exemplu:

o- număr transcendental.

Să luăm un real arbitrar n 1 și c>0. Lasă unde k ales atât de mare încât kn, Atunci

Din moment ce pentru arbitrar n 1 și c>0 puteți găsi o fracție astfel încât atunci este un număr transcendental.

Să setăm numărul sub forma unei fracții zecimale infinite: unde

Apoi, oriunde, . Astfel, și asta înseamnă că permite aproximări de ordin arbitrar înalt și, prin urmare, nu poate fi algebric.

În 1873, C. Hermite a dovedit transcendența numărului e, bazele logaritmilor naturali.

Pentru a demonstra transcendența unui număr e sunt necesare două leme.

Lema 1. Dacă g(x) este un polinom cu coeficienți întregi, atunci pentru oricare kN toți coeficienții săi k- o derivată g (k) (x) se împart în k!.

Dovada. Din moment ce operatorul d/dx liniar, atunci este suficient să verificați afirmația lemei numai pentru polinoame de formă g(x)=x s, s 0.

Dacă k>s, Asta g (k) (x)= 0 și k!|0.

Dacă k< s , Asta

coeficientul binom este un număr întreg și g(k) ( x) este din nou împărțit la k! complet.

Lema 2 (identitatea Ermite). Lasă f(x) - polinom arbitrar de grad k cu coeficienți reali,

F( x)=f(x)+f" (x)+f"(x)+ … +f (k) (x) este suma tuturor derivatelor sale. Apoi, pentru orice real (și chiar complex, dar nu vom avea nevoie de asta pentru moment) x Făcut:

Dovada. Să integrăm pe părți:

Integram din nou integrala pe părți și așa mai departe. Repetând această procedură k+1 dată, obținem:

Teorema 7 (Hermite, 1873). Număr e transcendental.

Dovada. Să demonstrăm această afirmație prin contradicție. Să presupunem că e - număr algebric, puteri m. Apoi

o m e m + … +o 1 e+o 0 =0

pentru unele naturale m iar unele întregi o m ,… o 1 , o 0 . Să substituim în schimb identitatea Ermite (12). Xîntreg k care ia valori de la 0 la m; înmulțiți fiecare egalitate

conform cu o k, apoi adună-le pe toate. Primim:

Deoarece (aceasta este presupunerea noastră contrară), se dovedește că pentru orice polinom f(x) egalitatea trebuie îndeplinită:

Prin alegerea adecvată a polinomului f(x) puteți face din partea stângă a (13) un număr întreg diferit de zero, iar partea dreaptă va fi între zero și unu.

Să considerăm un polinom unde n va fi stabilit ulterior ( nN, Și n mare).

Numărul 0 este rădăcina multiplicității n-1 polinom f(x), numerele 1, 2,…, m- rădăcinile multiplicității n, prin urmare:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0)=(-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Luați în considerare g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n - un polinom asemănător cu f(x), dar cu coeficienți întregi. După lema 1, coeficienții g ( l) (x) - numere întregi divizibile cu l!, prin urmare, când l< n , derivata g ( l) (x) toți coeficienții sunt numere întregi divizibile cu n, pentru că g ( l) (x) se obține din g (l) ( x) prin împărțirea numai la ( n-1)!. De aceea

Unde O- un întreg potrivit, iar deasupra semnului sumei există un număr ( m+1) n-1 - gradul de polinom f(x) și, deși este posibil să se însumeze până la infinit, derivate nenule ale f(x) exact atât.

De asemenea

Unde B k- numere întregi potrivite, k = 1, 2,…, m.

Lasă-l acum nN - orice număr întreg care îndeplinește următoarele condiții:

Luați în considerare din nou egalitatea (13):

În suma din stânga, toți termenii sunt numere întregi și o k F(k) la k = 1, 2,…, mîmpărțit la n, A o 0 F(0) activat n nu împărtășește. Aceasta înseamnă că întreaga sumă, fiind un număr întreg, este n nedivizibil, adică nu este zero. Prin urmare,

Să estimăm acum partea dreaptă a egalității (13). Este clar că pe segment și deci pe acest segment

unde sunt constantele C 0 și C 1 nu depind de n. Se stie ca

prin urmare, pentru suficient de mare n, partea dreaptă a lui (13) este mai mică de unu și egalitatea (13) este imposibilă.

În 1882, Lindemann a demonstrat teorema privind transcendența puterilor unui număr e cu un exponent algebric diferit de zero, dovedind astfel transcendența numărului.

Teorema 8 (Lindeman) [3, pagina 58]. Dacă este un număr algebric și, atunci numărul este transcendental.

Teorema lui Lindemann ne permite să construim numere transcendentale.

Exemple:

Din teorema lui Lindemann rezultă, de exemplu, că numărul ln 2 - transcendental, deoarece 2=e ln 2, iar numărul 2 este algebric iar dacă numărul ln 2 era algebric, apoi după lemă numărul 2 era un număr transcendental.

În general, pentru orice algebric, ln prin teorema lui Lindemann este transcendentală. Dacă este transcendental, atunci ln nu neapărat un număr transcendental, de exemplu ln e =1

Se pare că suntem încă în liceu am văzut o mulțime de numere transcendentale - ln 2,ln 3,ln(), etc.

De asemenea, rețineți că numerele transcendentale sunt numere de forma oricărui număr algebric diferit de zero (conform teoremei Lindemann-Weierstrass, care este o generalizare a teoremei Lindemann). De exemplu, numerele sunt transcendentale.

Dacă sunt transcendentale, atunci nu neapărat numerele transcendentale, de exemplu,

Dovada teoremei lui Lindemann se poate face folosind identitatea lui Hermite, similar cu modul în care s-a dovedit transcendența, cu unele complicații în transformări. Exact așa a demonstrat Lindemann însuși. Dar această teoremă poate fi demonstrată într-un mod diferit, așa cum a fost făcută de matematicianul sovietic A.O. Gelfond, ale cărui idei au condus la mijlocul secolului al XX-lea la rezolvarea celei de-a șaptea probleme a lui Hilbert.

În 1900, la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor, Hilbert, printre problemele pe care le-a formulat, a formulat a șaptea problemă: „Dacă, este adevărat că numerele de forma în care, - algebric și - irațional sunt numere transcendentale?" . Această problemă a fost rezolvată în 1934 de către Gelfond, care a demonstrat că toate astfel de numere sunt într-adevăr transcendentale.

Dovada transcendenței valorilor funcției exponențiale, propusă de Gelfond, se bazează pe utilizarea metodelor de interpolare.

Exemple:

1) Pe baza teoremei lui Gelfond, se poate demonstra, de exemplu, că un număr este transcendental, pentru că dacă ar fi irațional algebric, atunci din moment ce numărul 19 din spatele teoremei lui Gelfond ar fi transcendental, ceea ce nu este adevărat.

2) Lasă oŞi b- numere iraționale. Poate un număr o b fii rațional?

Desigur, folosind a șaptea problemă a lui Hilbert, această problemă nu este greu de rezolvat. De fapt, numărul este transcendental (deoarece este un număr irațional algebric). Dar toate numerele raționale sunt algebrice, deci iraționale. Pe de alta parte,

Deci, am prezentat pur și simplu aceste numere: Cu toate acestea, această problemă poate fi rezolvată fără nicio referire la rezultatul lui Gelfond. Puteți raționa în felul următor: luați în considerare un număr. Dacă acest număr este rațional, atunci problema este rezolvată, așa oŞi b găsit. Dacă este irațional, atunci luăm și.

Așadar, am prezentat două perechi de numere oŞi b, astfel încât una dintre aceste perechi satisface condiția enunțată, dar nu știe care dintre ele. Dar nu a fost nevoie să prezinți o astfel de pereche! Deci această soluție este într-un fel o teoremă a existenței.

care, când a = 1, ne-a servit la determinarea sumei progresiei geometrice. Presupunând că teorema lui Gauss este dovedită, să presupunem că a = a 1 este rădăcina ecuației (17), astfel încât

Scăzând această expresie din f(x) și rearanjand termenii, obținem identitatea

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1).

(21) Acum folosind formula (20), putem izola factorul x − a 1 din fiecare termen și apoi îl putem scoate din paranteze, iar gradul polinomului rămas între paranteze va deveni cu unul mai mic. Regrupând din nou termenii, obținem identitatea

f(x) = (x − a1 )g(x),

unde g(x) este un polinom de gradul n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Nu ne interesează aici să calculăm coeficienții notați cu b.) Să aplicăm în continuare același raționament polinomului g(x). După teorema lui Gauss, există o rădăcină a2 a ecuației g(x) = 0, deci

g(x) = (x − a2 )h(x),

unde h(x) este un nou polinom de gradul deja n − 2. Repetând aceste argumente n − 1 ori (implicând, desigur, aplicarea principiului inducției matematice), ajungem în cele din urmă la expansiunea

Din identitatea (22) rezultă nu numai că numerele complexe a1, a2,

An sunt rădăcinile ecuației (17), dar și acea ecuație (17) nu are alte rădăcini. Într-adevăr, dacă numărul y ar fi rădăcina ecuației (17), atunci din (22) ar urma

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Dar am văzut (p. 115) că produsul numerelor complexe este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero. Deci, unul dintre factorii y - ar este egal cu 0, adică y = ar, care este ceea ce trebuia stabilit.

§ 6.

1. Definiția și întrebările existenței. Un număr algebric este orice număr x, real sau imaginar, care satisface o ecuație algebrică de forma

130 SISTEM NUMERICAL MATEMATIC Cap. II

unde numerele ai sunt numere întregi. Deci, de exemplu, numărul 2 este algebric, deoarece satisface ecuația

x2 − 2 = 0.

În același mod, un număr algebric este orice rădăcină a oricărei ecuații cu coeficienți întregi ai trei, al patrulea, al cincilea, indiferent de gradul dorit și indiferent dacă este exprimat sau nu în radicali. Conceptul de număr algebric este o generalizare naturală a conceptului de număr rațional, care corespunde cazului special n = 1.

Nu orice număr real este algebric. Aceasta rezultă din următoarea teoremă enunțată de Cantor: mulțimea tuturor numerelor algebrice este numărabilă. Deoarece mulțimea tuturor numerelor reale este de nenumărat, trebuie să existe în mod necesar numere reale care nu sunt algebrice.

Să indicăm una dintre metodele de recalculare a unui set de numere algebrice. Fiecare ecuație de forma (1) este asociată cu un număr întreg pozitiv

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

pe care o vom numi de dragul conciziei „înălțimea” ecuației. Pentru fiecare valoare fixă ​​a lui n, există doar un număr finit de ecuații de forma (1) cu înălțimea h. Fiecare dintre aceste ecuații are cel mult n rădăcini. Prin urmare, nu poate exista decât un număr finit de numere algebrice generate de ecuațiile de înălțime h; In consecinta, toate numerele algebrice pot fi aranjate sub forma unei siruri, enumerand mai intai cele generate de ecuatiile de inaltime 1, apoi cele de inaltime 2 etc.

Această dovadă că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă stabilește existența numerelor reale care nu sunt algebrice. Astfel de numere sunt numite transcendentale (din latinescul transcendere - a trece, a depăși); Euler le-a dat acest nume pentru că „depășesc puterea metodelor algebrice”.

Dovada lui Cantor a existenței numerelor transcendentale nu este constructivă. Teoretic vorbind, ar fi posibil să se construiască un număr transcendental folosind o procedură diagonală efectuată pe o listă imaginară de expansiuni zecimale ale tuturor numerelor algebrice; dar o astfel de procedură este lipsită de orice semnificație practicăși nu ar conduce la un număr a cărui expansiune într-o fracție zecimală (sau altă fracție) ar putea fi de fapt scrisă. Cele mai interesante probleme asociate cu numerele transcendentale implică demonstrarea faptului că anumite numere specifice (aceasta include numerele p și e, despre care vezi pp. 319–322) sunt transcendentale.

**2. Teorema lui Liouville și construcția numerelor transcendentale. Dovada existenței numerelor transcendentale, chiar înainte de Cantor, a fost dată de J. Liouville (1809–1862). Face posibilă construirea efectivă a exemplelor de astfel de numere. Dovada lui Liouville este mai dificilă decât cea a lui Cantor și acest lucru nu este surprinzător, deoarece construirea unui exemplu este, în general, mai dificilă decât demonstrarea existenței. Când prezentăm mai jos demonstrația lui Liouville, avem în vedere doar cititorul pregătit, deși cunoștințele de matematică elementară sunt complet suficiente pentru a înțelege demonstrația.

După cum a descoperit Liouville, numerele algebrice iraționale au proprietatea că nu pot fi aproximate de numere raționale cu un grad foarte mare de precizie decât dacă numitorii fracțiilor de aproximare sunt considerați a fi extrem de mari.

Să presupunem că numărul z satisface o ecuație algebrică cu coeficienți întregi

dar nu satisface aceeaşi ecuaţie de grad inferior. Apoi

ei spun că x însuși este un număr algebric de grad n. Deci, de exemplu,

numărul z = 2 este un număr algebric de gradul 2, deoarece satisface ecuația x2 − 2 = 0√ de gradul 2, dar nu satisface ecuația de gradul I; numărul z = 3 2 este de grad 3, întrucât satisface ecuația x3 − 2 = 0, dar nu satisface (cum vom arăta în capitolul III) o ecuație de grad inferior. Număr algebric de grad n > 1

nu poate fi rațional, deoarece numărul rațional z = p q satisface

satisface ecuația qx − p = 0 de gradul 1. Fiecare număr irațional z poate fi aproximat cu orice grad de precizie folosind un număr rațional; aceasta înseamnă că puteți specifica întotdeauna o succesiune de numere raționale

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

cu numitori în creștere nelimitată, care are propriile sale

că

p r → z. qr

Teorema lui Liouville afirmă: indiferent de numărul algebric z de gradul n > 1, acesta nu poate fi aproximat prin raționalizare.

Pentru numitori suficient de mari, inegalitatea este valabilă în mod necesar

Vom da o demonstrație a acestei teoreme, dar mai întâi vom arăta cum poate fi folosită pentru a construi numere transcendentale. Luați în considerare numărul

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

unde ai denotă numere arbitrare de la 1 la 9 (cel mai simplu mod ar fi să setați toate ai egale cu 1), iar simbolul n!, ca de obicei (vezi pagina 36), denotă 1 · 2 · . . . · n. O proprietate caracteristică a expansiunii zecimale a unui astfel de număr este aceea că grupurile de zerouri care cresc rapid în lungime alternează în el cu cifre individuale, altele decât zero. Să notăm cu zm fracția zecimală finală obținută când în expansiune luăm toți termenii până la am · 10−m! inclusiv. Apoi obținem inegalitatea

Să presupunem că z ar fi un număr algebric de grad n. Apoi, presupunând în inegalitatea Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , trebuie să avem

|z − zm | > 10 (n+1)m!

pentru valori suficient de mari ale m. Comparând ultima inegalitate cu inegalitatea (4) dă

ceea ce presupune (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pentru m suficient de mare. Dar acest lucru nu este adevărat pentru valorile lui m mai mari decât n (lăsați cititorul să-și dea osteneala să dea o dovadă detaliată a acestei afirmații). Am ajuns la o contradicție. Deci, numărul z este transcendental.

Rămâne de demonstrat teorema lui Liouville. Să presupunem că z este un număr algebric de grad n > 1 care satisface ecuația (1), astfel încât

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

Împărțind ambele părți la zm − z și folosind formula algebrică

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

obținem:

Deoarece zm tinde spre z, atunci pentru m suficient de mare numărul rațional zm va diferi de z cu mai puțin de unu. Prin urmare, pentru m suficient de mare, se poate face următoarea estimare aproximativă:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

În plus, numărul M din dreapta este constant, deoarece z nu se modifică în timpul demonstrației. Să alegem acum m atât de mare încât

fracția z m = p m are numitor q m era mai mare decât M; Apoi qm

de atunci s-ar putea izola factorul (x − zm) din polinomul f(x), și, prin urmare, z ar satisface o ecuație de grad mai mică decât n. Deci, f(zm) 6= 0. Dar numărătorul din partea dreaptă a egalității (9) este un număr întreg și, prin urmare, în valoare absolută este cel puțin egal cu unu. Astfel, dintr-o comparaţie a relaţiilor (8) şi (9) rezultă că

tocmai conţinutul teoremei indicate.

În ultimele decenii, cercetările privind posibilitatea aproximării numerelor algebrice cu numere raționale au avansat mult mai departe. De exemplu, matematicianul norvegian A. Thue (1863–1922) a descoperit că în inegalitatea Liouville (3) exponentul n + 1 poate fi înlocuit cu un exponent mai mic n 2 + 1.

K. L. Siegel a arătat că este posibil să luați unul și mai mic (și mai mic

pentru n mai mare indicatorul este 2 n.

Numerele transcendentale au fost întotdeauna un subiect care a atras atenția matematicienilor. Dar până relativ recent, dintre numerele care sunt interesante în sine, foarte puține erau cunoscute al căror caracter transcendental fusese stabilit. (Din transcendența numărului p, care va fi discutată în capitolul III, rezultă că este imposibil să cuadratrizați cercul folosind o riglă și o busolă.) În discursul său la Congresul Internațional de Matematică de la Paris din 1900, David Hilbert a propus treizeci matematice

probleme care permiteau o formulare simplă, unele chiar destul de elementare și populare, dintre care nici una nu a fost doar rezolvată, dar nici măcar nu părea capabilă să fie rezolvată prin mijloacele matematicii din acea epocă. Aceste „probleme Hilbert” au avut o puternică influență stimulatoare pe parcursul perioadei ulterioare de dezvoltare a matematicii. Aproape toate au fost rezolvate treptat, iar în multe cazuri soluția lor a fost asociată cu succese clar exprimate în sensul dezvoltării unor metode mai generale și mai profunde. Una dintre problemele care părea destul de fără speranță a fost

dovada că numărul

este transcendental (sau cel puțin irațional). Timp de trei decenii nu a existat nici măcar un indiciu de o asemenea abordare a problemei din partea nimănui care să deschidă orice speranță de succes. În cele din urmă, Siegel și, independent de el, tânărul matematician rus A. Gelfond au descoperit noi metode pentru a demonstra transcendența multor

numere care contează în matematică. În special, a fost stabilit

transcendența nu numai a numărului Hilbert 2 2, ci și a întregii clase destul de extinse de numere de forma ab, unde a este un număr algebric diferit de 0 și 1, iar b este un număr algebric irațional.

ANEXĂ LA CAPITOLUL II

Algebra multimilor

1. Teoria generală. Conceptul de clasă, sau de colecție sau de un set de obiecte este unul dintre cele mai fundamentale în matematică. O mulțime este definită de o proprietate („atribut”) A, pe care fiecare obiect în cauză trebuie să o aibă sau nu; acele obiecte care au proprietatea A formează mulțimea A. Astfel, dacă luăm în considerare numerele întregi și proprietatea lui A este „a fi prim”, atunci mulțimea corespunzătoare A este formată din toate numerele prime 2, 3, 5, 7, . . .

Teoria matematică a mulțimilor pornește din faptul că din mulțimi se pot forma noi mulțimi folosind anumite operații (la fel cum se obțin numere noi din numere prin operațiile de adunare și înmulțire). Studiul operațiilor pe mulțimi constituie subiectul „algebrei de mulțimi”, care are multe în comun cu algebra numerică obișnuită, deși în anumite privințe diferă de aceasta. Faptul că metodele algebrice pot fi aplicate la studiul obiectelor nenumerice, cum ar fi mulțimile, este ilustrat de

creează o mai mare comunalitate de idei în matematica modernă. Recent a devenit clar că algebra seturilor aruncă o lumină nouă asupra multor domenii ale matematicii, de exemplu, teoria măsurării și teoria probabilității; este util şi pentru sistematizare concepte matematiceşi clarificarea legăturilor lor logice.

În cele ce urmează, voi desemna un anumit set constant de obiecte, a căror natură este indiferentă și pe care le putem numi multimea universală (sau universul raționamentului) și

A, B, C,. . . vor exista unele submulțimi ale lui I. Dacă I ​​este mulțimea tuturor numerelor naturale, atunci A, să zicem, poate desemna mulțimea tuturor numerelor pare, B mulțimea tuturor numerelor impare, C mulțimea tuturor numerelor prime etc. Dacă I ​​desemnează ansamblul tuturor punctelor din plan, atunci A poate fi un set de puncte în interiorul unui cerc, B poate fi un set de puncte în interiorul altui cerc etc. Este convenabil pentru noi să includem I însuși precum și un „ gol” set care nu conține niciun element. Scopul urmărit de o astfel de extindere artificială este păstrarea poziţiei că fiecărei proprietăţi A îi corespunde un anumit set de elemente din I care au această proprietate. Dacă A este o proprietate universal valabilă, un exemplu al cărei exemplu (în cazul numerelor) este proprietatea de a satisface egalitatea trivială x = x, atunci submulțimea corespunzătoare a lui I va fi eu însuși, deoarece fiecare element are o astfel de proprietate; pe de altă parte, dacă A este un fel de proprietate internă contradictorie (cum ar fi x 6 = x), atunci submulțimea corespunzătoare nu conține niciun element, este „gol” și este notat cu simbolul.

Ei spun că o mulțime A este o submulțime a unei mulțimi B, pe scurt, „A este în B” sau „B conține A”, dacă nu există niciun element în mulțimea A care să nu fie și în mulțimea B. Acest lucru relatia corespunde notatiei

A B sau B A.

De exemplu, mulțimea A tuturor numerelor întregi divizibile cu 10 este o submulțime a mulțimii B a tuturor numerelor întregi divizibile cu 5, deoarece fiecare număr divizibil cu 10 este de asemenea divizibil cu 5. Relația A B nu exclude relația B A. Dacă și asta și asta, atunci

Aceasta înseamnă că fiecare element al lui A este, de asemenea, un element al lui B și invers, astfel încât mulțimile A și B conțin exact aceleași elemente.

Relația A B dintre mulțimi amintește în multe privințe de relația a 6 b dintre numere. În special, notăm următoarele

următoarele proprietăți ale acestei relații:

1) A A.

2) Dacă A B și B A, atunci A = B.

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

Din acest motiv, relația A B este uneori numită „relație de ordine”. Principala diferență dintre relația luată în considerare și relația a 6 b dintre numere este aceea că între oricare două numere date (reale) a și b cel puțin una dintre relațiile a 6 b sau b 6 a este în mod necesar satisfăcută, în timp ce pentru relația Un B între seturi o afirmație similară este falsă. De exemplu, dacă A este o mulțime formată din numerele 1, 2, 3,

iar B este o mulțime formată din numerele 2, 3, 4,

atunci nici relația A B și nici relația B A nu sunt valabile Din acest motiv, ei spun că submulțimile A, B, C, . . . mulţimile I sunt „parţial ordonate”, în timp ce numerele reale a, b, c, . . .

formează un set „complet ordonat”.

De remarcat, de altfel, că din definiția relației A B rezultă că, oricare ar fi submulțimea A a mulțimii I,

Proprietatea 4) poate părea oarecum paradoxală, dar dacă te gândești la asta, logic corespunde strict sensului exact al definiției unui semn. De fapt, relația A ar fi doar încălcată

V dacă mulțimea goală conținea un element care nu ar fi conținut în A; dar din moment ce mulțimea goală nu conține deloc elemente, acest lucru nu poate fi, indiferent ce este A.

Vom defini acum două operații pe mulțimi care au în mod formal multe proprietăți algebrice de adunare și înmulțire a numerelor, deși în conținutul lor intern sunt complet diferite de aceste operații aritmetice. Fie A și B vreo două mulțimi. Prin unirea, sau „suma logică”, a lui A și B se înțelege o mulțime constând din acele elemente conținute fie în A, fie în

V B (inclusiv acele elemente conținute atât în ​​A cât și în B). Acest set este notat cu A + B. 1 Prin „intersecția” sau „produsul logic” dintre A și B se înțelege o mulțime formată din acele elemente care sunt conținute atât în ​​A, cât și în B. Această mulțime se notează AB.2

Printre proprietățile algebrice importante ale operațiilor A + B și AB enumeram următoarele. Cititorul va putea verifica validitatea acestora pe baza definiției operațiunilor în sine:

Verificarea tuturor acestor legi este o chestiune de cea mai elementară logică. De exemplu, regula 10) spune că mulțimea de elemente conținută fie în A, fie în A este tocmai mulțimea A; regula 12) prevede că mulțimea acelor elemente care sunt conținute în A și în același timp conținute fie în B, fie în C coincide cu mulțimea elementelor care sunt fie conținute simultan în A și B, fie conținute simultan în A și C. Raționamentul logic folosit în demonstrarea acestui tip de reguli este ilustrat convenabil dacă suntem de acord să descriem mulțimile A, B, C, . . . sub forma unor figuri pe plan si vom avea mare grija sa nu ratam nici una dintre posibilitatile logice care apar cand vine vorba de prezenta elementelor comune a doua multimi sau, dimpotriva, de prezenta intr-un singur set de elemente care sunt neconţinut în celălalt.

Cititorul a atras, fără îndoială, atenția asupra faptului că legile 6), 7), 8), 9) și 12) sunt identice din exterior cu binecunoscutele legi comutative, asociative și distributive ale algebrei obișnuite. Rezultă că toate regulile algebrei obișnuite care decurg din aceste legi sunt valabile și în algebra mulțimilor. În schimb, legile 10), 11) și 13) nu au analogi în algebra obișnuită și dau algebrei multime o structură mai simplă. De exemplu, formula binomială din algebra mulțimilor se reduce la cea mai simplă egalitate

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

care rezultă din Legea 11). Legile 14), 15) și 17) spun că proprietățile mulțimilor și I în raport cu operațiile de unire și intersecție a mulțimilor sunt foarte asemănătoare cu proprietățile numerelor 0 și 1 în raport cu operațiile de acțiuni numerice de adunare și multiplicare. Dar legea 16) nu are analog în algebra numerică.

Rămâne de definit încă o operație în algebra seturilor. Fie A o oarecare submultime a multimii universale I. Atunci complementul lui A in I este inteles ca multimea tuturor elementelor lui I care nu sunt continute in A. Pentru aceasta multime introducem notatia A0. Deci, dacă I ​​este mulțimea tuturor numerelor naturale și A este mulțimea tuturor numerelor prime, atunci A0 este mulțimea formată din toate numerele compuse și numărul 1. Operația de trecere de la A la A0, pentru care există nici un analog în algebra obișnuită, are următoarele proprietăți:

23) A 00 = A.

24) Raportul A B este echivalent cu raportul B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Lăsăm din nou verificarea acestor proprietăți în seama cititorului.

Legile 1)–26) sunt baza algebrei mulțimilor. Ei au proprietatea remarcabilă a „dualității” în următorul sens:

Dacă într-una din legile 1)–26) înlocuim corespunzătoare

(în fiecare dintre aparițiile lor), atunci rezultatul este din nou una dintre aceleași legi. De exemplu, legea 6) merge în legea 7), 12) în 13), 17) în 16), etc. Rezultă că fiecare teoremă care poate fi derivată din legile 1)–26) corespunde unei alte , „duala” ei. teoremă, obținută din prima prin intermediul permutărilor indicate de simboluri. De fapt, de la dovada

Ch. II ALGEBRA MULTILOR 139

Prima teoremă constă în aplicarea secvenţială (la diferite etape ale argumentării) a unora dintre legile 1–26), apoi aplicarea legilor „duale” la etapele corespunzătoare va constitui o dovadă a teoremei „duale”. (Pentru o „dualitate” similară în geometrie, vezi capitolul IV.)

2. Aplicare la logica matematică. Verificarea legilor algebrei multimilor sa bazat pe o analiza a sensului logic al relatiei A B si a operatiilor A + B, AB si A0. Acum putem inversa acest proces și să considerăm legile 1)–26) ca bază pentru „algebra logicii”. Să fim mai precisi: acea parte a logicii care se referă la mulțimi, sau, care este în esență aceeași, proprietățile obiectelor luate în considerare, poate fi redusă la un sistem algebric formal bazat pe legile 1)–26). „Universul convențional” logic definește mulțimea I; fiecare proprietate A defineste o multime A formata din acele obiecte din I care au aceasta proprietate. Regulile pentru traducerea terminologiei logice obișnuite în limbajul seturilor sunt clare din

În ceea ce privește algebrei multimelor, silogismul „Barbara” care denotă că „dacă fiecare A este un B și fiecare B este un C, atunci fiecare A este un C” ia forma simplă:

3) Dacă A B și B C, atunci A C.

În mod similar, „legea contradicției”, care afirmă că „un obiect nu poate avea și nu poate avea simultan o proprietate”, este scrisă astfel:

20) AA 0 = ,

O „Legea mijlocului exclus”, care spune că „un obiect trebuie să aibă sau să nu aibă o anumită proprietate”, este scrisă:

19) A + A 0 = I.

Astfel, acea parte a logicii care este exprimabilă în termenii simbolurilor +, · și 0 poate fi tratată ca un sistem algebric formal, supus legilor 1)–26). Pe baza fuziunii dintre analiza logică a matematicii și analiza matematică a logicii, a fost creată o nouă disciplină - logica matematică, care este în prezent în proces de dezvoltare rapidă.

Din punct de vedere axiomatic, merită atenție faptul remarcabil că afirmațiile 1)–26), împreună cu toate celelalte teoreme ale algebrei mulțimilor, pot fi deduse logic din următoarele trei egalități:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Rezultă că algebra mulțimilor poate fi construită ca o teorie pur deductivă, ca geometria euclidiană, pe baza acestor trei prevederi, acceptate ca axiome. Dacă aceste axiome sunt acceptate, atunci operația AB și relația A B sunt definite în termeni de A + B și A0:

Un tip complet diferit de exemplu de sistem matematic în care sunt îndeplinite toate legile formale ale algebrei mulțimilor este dat de un sistem de opt numere 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: aici a + b denotă , conform

definiție, cel mai mic multiplu comun al lui a și b, ab este cel mai mare divizor comun al lui a și b, a b este afirmația „b este împărțit la a” și a0 este numărul 30 a. Su-

Existenţa unor astfel de exemple a condus la studiul sistemelor algebrice generale care îndeplinesc legile lui 27). Astfel de sisteme sunt numite „algebre booleene” după George Boole (1815–1864), un matematician și logician englez a cărui carte An Investigation of the Laws of Thought a apărut în 1854.

3. Una dintre aplicațiile teoriei probabilităților. Algebra seturilor este strâns legată de teoria probabilității și ne permite să o privim într-o lumină nouă. Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu: Să ne imaginăm un experiment cu un număr finit de rezultate posibile, toate considerate „la fel de posibile”. Un experiment poate consta, de exemplu, în extragerea unei cărți la întâmplare dintr-un pachet complet bine amestecat. Dacă notăm cu I setul tuturor rezultatelor unui experiment, iar A indică un subset al lui I, atunci probabilitatea ca rezultatul experimentului să aparțină submulțimii A este definită ca raport

p(A) = numărul de elemente ale lui A . numărul de elemente I

Dacă suntem de acord să notăm numărul de elemente dintr-o mulțime A prin n(A), atunci ultima egalitate poate fi dată sub forma

Ideile de algebra multimii sunt relevate la calcularea probabilitatilor cand este necesar, cunoscand probabilitatile unor multimi, sa se calculeze probabilitatile altora. De exemplu, cunoscând probabilitățile p(A), p(B) și p(AB), puteți calcula probabilitatea p(A + B):

Nu va fi greu să demonstrezi asta. Avem

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

întrucât elementele conținute simultan în A și B, adică elementele AB, sunt numărate de două ori la calcularea sumei n(A) + n(B), și, prin urmare, este necesar să se scadă n(AB) din această sumă pentru a calcula n(A + B) a fost produs corect. Apoi împărțind ambele părți ale egalității la n(I), obținem relația (2).

O formulă mai interesantă se obține dacă vorbim despre trei mulțimi A, B, C din I. Folosind relația (2), avem

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Legea (12) din paragraful precedent ne dă (A + B)C = AC + BC. Din aceasta rezultă:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Înlocuind valoarea p[(A + B)C] și valoarea p(A + B) luată din (2) în relația obținută anterior, ajungem la formula de care avem nevoie:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ca exemplu, luați în considerare următorul experiment. Trei numere 1, 2, 3 sunt scrise în orice ordine. Care este probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect (din punct de vedere al numerotării)? Fie A setul de permutări în care numărul 1 se află pe primul loc, B setul de permutări în care numărul 2 se află pe locul doi, C setul de permutări în care numărul 3 se află pe locul trei. Trebuie să calculăm p(A + B + C). Este clar că

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

într-adevăr, dacă vreo cifră este în locul potrivit, atunci există două posibilități de a rearanja celelalte două cifre din numărul total 3 · 2 · 1 = 6 permutări posibile de trei cifre. Următorul,

Exercita. Deduceți formula adecvată pentru p(A + B + C + D) și aplicați-o experimentului care implică 4 cifre. Probabilitatea corespunzătoare este 5 8 = 0,6250.

Formula generală pentru combinarea n mulţimi este

combinații care conțin unul, doi, trei, . . . , (n − 1) litere din A1 , A2 , . . .

Un. Această formulă poate fi stabilită prin inducție matematică - în același mod în care formula (3) a fost derivată din formula (2).

Din formula (4) putem concluziona că dacă n cifre sunt 1, 2, 3, . . . , n sunt scrise în orice ordine, atunci probabilitatea ca cel puțin una dintre cifre să fie în locul corect este egală cu

iar ultimul termen este precedat de un semn + sau −, în funcție de faptul că n este par sau impar. În special, pentru n = 5 această probabilitate este egală cu

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

Vom vedea în capitolul VIII că pe măsură ce n se apropie de infinit, expresia

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! − . . . ±n!

tinde spre limita 1 e, a cărei valoare, cu cinci zecimale,

este egal cu 0,36788. Deoarece din formula (5) este clar că pn = 1 − Sn, rezultă că n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Cuvântul „transcendental” este de obicei asociat cu meditația transcendentală și diverse ezoterism. Dar pentru a-l folosi corect, trebuie să-l distingeți cel puțin de termenul „transcendental” și cel mult să vă amintiți rolul său în lucrările lui Kant și ale altor filozofi.

Acest concept provine din latinescul transcendens - „depășirea”, „depășirea”, „mersul dincolo”. În general, denotă ceva care este fundamental inaccesibil cunoștințelor empirice sau nu se bazează pe experiență. Condițiile prealabile pentru termen au apărut în filosofia neoplatonismului - fondatorul mișcării, Plotin, a creat doctrina Unului - primul principiu atot-bun, care nu poate fi cunoscut nici prin efortul gândirii, nici cu ajutorul senzoriali. experienţă. „Unul nu este o ființă, ci părintele ei”, explică filozoful.

Termenul „transcendent” a fost dezvăluit cel mai pe deplin în filosofia lui Immanuel Kant, unde a fost folosit pentru a caracteriza pe cei care există independent de conștiință și acționează asupra simțurilor noastre, rămânând în același timp fundamental de necognoscibil, atât în ​​practică, cât și în teorie. Opusul transcendenței este: înseamnă fie inalienabilitatea, legătura internă a unei calități a unui obiect cu obiectul însuși, fie cunoașterea obiectului prin experiența personală. De exemplu, dacă presupunem că Universul a fost creat conform unui plan superior, planul în sine este transcendental pentru noi - putem construi doar ipoteze despre el. Dar dacă acest plan există cu adevărat, consecințele lui sunt imanente pentru noi, manifestându-se în legile fizice și împrejurările în care ne aflăm. Prin urmare, în unele concepte teologice, Dumnezeu este transcendental și se află în afara existenței pe care a creat-o.

Unele lucruri-în-sine sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiul și timpul, ideile lui Dumnezeu, bunătatea și frumusețea, categoriile logice. Adică, obiectele transcendentale sunt, la figurat vorbind, „prestabilite în mod implicit” în mintea noastră

Ideea de transcendență există și în matematică: un număr transcendental este un număr care nu poate fi calculat folosind algebră sau exprimat algebric (adică nu poate fi rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi care nu este identic cu zero). Acestea includ, de exemplu, numerele π și e.

Un concept apropiat de „transcendental”, dar diferit ca sens, este „transcendental”. Inițial, a desemnat pur și simplu zona categoriilor mentale abstracte, iar mai târziu a fost dezvoltat de Kant, căzând în propria sa capcană: s-a dovedit a fi imposibil să construiești un sistem filozofic doar pe date empirice și nu a recunoscut niciunul. alte surse de experiență, altele decât cele empirice. Pentru a ieși, filosoful a trebuit să admită că unele lucruri-în-sine sunt încă accesibile cunoașterii a priori: de exemplu, spațiul și timpul, ideile lui Dumnezeu, bunătatea și frumusețea, categoriile logice. Adică, obiectele transcendentale sunt, la figurat vorbind, „preinstalate implicit” în mintea noastră - în timp ce informațiile despre ele există de la sine și nu rezultă din experiența noastră.

Există un alt concept înrudit - transcendența. ÎN în sens largÎn cuvinte, înseamnă trecerea graniței dintre două zone disparate, în special trecerea de la sfera acestui lumesc la sfera celui de altă lume, transcendental. Pentru simplitate, să luăm un exemplu din science fiction: o lume paralelă pentru persoană obișnuită- un fenomen transcendental. Dar atunci când eroul se găsește în această lume paralelă sau este cumva capabil să o perceapă, aceasta este transcendență. Sau un exemplu mai complex din filozofia existențială: Jean-Paul Sartre credea că omul este transcendental pentru că depășește orice experiență personală posibilă: ne putem studia pe noi înșine și lumea din jurul nostru din părți diferite, dar nu ne vom apropia niciodată de a ne cunoaște pe deplin pe noi înșine. Dar, în același timp, o persoană are capacitatea de a transcende: transcende orice lucru, dându-i un sens. Transcendenta - element important iar în religie: ajută o persoană să se elibereze de natura sa materială și să atingă ceva dincolo.

De la filozofie, conceptul de transcendentalitate a migrat la psihologie: psihologul elvețian Carl Jung a introdus conceptul de „funcție transcendentală” - aceasta este o funcție care unește conștientul și inconștientul. În special, un psihanalist poate îndeplini o funcție transcendentală - el ajută pacientul să analizeze imaginile inconștientului (de exemplu, visele) și să le conecteze împreună cu procesele conștiente din psihicul său.

Cum să vorbesc

Incorect „M-am înscris la un curs de meditație transcendentală.” Așa este - „transcendental”.

Corect „Când intru într-un templu, simt un sentiment de fuziune cu ceva transcendental.”

În mod corect „Arta transcende obiectele familiare din lumea materială, umplându-le cu un înțeles superior.”

Număr transcendental- un număr complex care nu este algebric, adică nu este rădăcina oricărui polinom diferit de zero cu coeficienți raționali.

Existența numerelor transcendentale a fost stabilită pentru prima dată de J. Liouville în 1844; El a construit și primele exemple de astfel de numere. Liouville a observat că numerele alebraice nu pot fi aproximate „prea bine” prin numere raționale. Și anume, teorema lui Liouville afirmă că, dacă un număr algebric este rădăcina unui polinom de grad cu coeficienți raționali, atunci pentru orice număr rațional este valabilă următoarea inegalitate:

unde constanta depinde numai de. Din această afirmație rezultă un semn suficient de transcendență: dacă un număr este astfel încât pentru orice constantă există o mulțime infinită de numere raționale care satisfac inegalitățile

asta este transcendental. Ulterior, astfel de numere au fost numite numere Liouville. Un exemplu de astfel de număr este

O altă dovadă a existenței numerelor transcendentale a fost obținută de G. Cantor în 1874 pe baza teoriei mulțimilor pe care a creat-o. Cantor a demonstrat că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă și că mulțimea numerelor reale este nenumărabilă, ceea ce implică că mulțimea numerelor transcendentale este nenumărabilă. Totuși, spre deosebire de demonstrația lui Liouville, aceste argumente nu ne permit să dăm un exemplu de cel puțin un astfel de număr.

Lucrarea lui Liouville a dat naștere unei întregi secțiuni a teoriei numerelor transcendentale - teoria aproximării numerelor algebrice prin numere raționale sau, mai general, algebrice. Teorema lui Liouville a fost consolidată și generalizată în lucrările multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă construirea de noi exemple de numere transcendentale. Astfel, K. Mahler a arătat că dacă este un polinom neconstant care ia valori întregi nenegative pentru toate numerele naturale, atunci pentru orice număr natural, unde este un număr scris în sistemul numeric de bază, este transcendental, dar este nu un număr Liouville. De exemplu, cu și obținem următorul rezultat elegant: număr

transcendental, dar nu un număr Liouville.

În 1873, C. Hermite, folosind alte idei, a demonstrat transcendența numărului Neper (baza logaritmului natural):

După ce a dezvoltat ideile lui Hermite, F. Lindemann în 1882 a dovedit transcendența numărului, punând astfel capăt străvechii probleme a cercului la pătrat: folosind o busolă și o riglă, este imposibil să construiești un pătrat de dimensiune egală (adică, având aceeași arie) la un cerc dat. Mai general, Lindemann a arătat că, pentru orice număr algebric, un număr este transcendental. Formulare echivalentă: pentru orice număr algebric, altul decât și, logaritmul său natural este un număr transcendental.

În 1900, la Congresul Matematicienilor de la Paris, D. Hilbert, dintre cele 23 de probleme nerezolvate de matematică, a subliniat următoarele, formulate într-o formă anume de L. Euler:

Lasă Şi sunt numere algebrice și transcendental? În special, sunt numerele transcendentale? Şi?

Această problemă poate fi reformulată în următoarea formă, aproape de formularea originală a lui Euler:

Lasă Şi - numere algebrice altele decât și, în plus, raportul dintre logaritmii lor naturali iraţional. Va fi un număr transcendental?

Prima soluție parțială a problemei a fost obținută în 1929 de A. O. Gelfond, care, în special, a dovedit transcendența numărului. În 1930, R. O. Kuzmin a îmbunătățit metoda lui Gelfond, în special, a reușit să demonstreze transcendența unui număr. Soluția completă a problemei Euler-Hilbert (în sens afirmativ) a fost obținută în 1934 independent de A. O. Gelfond și T. Schneider.

A. Baker a generalizat în 1966 teoremele lui Lindemann și Gelfond-Schneider, demonstrând, în special, transcendența produsului unui număr finit arbitrar de numere de formă și cu cele algebrice sub restricții naturale.

În 1996 Yu.V. Nesterenko a dovedit independența algebrică a valorilor seriei Eisenstein și, în special, a numerelor și. Aceasta înseamnă transcendența oricărui număr al formei, unde o funcție rațională diferită de zero cu coeficienți algebrici. De exemplu, suma seriei va fi transcendentală

În 1929-1930 K. Mahler într-o serie de lucrări propuse noua metoda dovada transcendenței valorilor funcțiilor analitice care satisfac ecuații funcționale de un anumit tip (ulterior astfel de funcții au fost numite funcții Mahler).

Metodele teoriei numerelor transcendentale și-au găsit aplicație în alte ramuri ale matematicii, în special în teoria ecuațiilor diofantine.

Numărul este sunat algebric, dacă este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(adică rădăcina ecuației a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Unde un n, un n-1, ..., a 1, un 0 --- întreg numere, n 1, un n 0).

Notăm mulțimea numerelor algebrice prin literă .

Este ușor de observat că orice număr rațional este algebric. Într-adevăr, rădăcina ecuației qx-p=0 cu coeficienți întregi a 1 =qŞi a 0 =-p. Aşa, .

Cu toate acestea, nu toate numerele algebrice sunt raționale: de exemplu, numărul este rădăcina ecuației x 2 -2=0, prin urmare, este un număr algebric.

Pentru o lungă perioadă de timp O întrebare importantă pentru matematică a rămas nerezolvată: există numere reale non-algebrice? ? Abia în 1844, Liouville a dat pentru prima dată un exemplu de număr transcendental (adică, non-algebric).

Construirea acestui număr și demonstrarea transcendenței sale este foarte dificilă. Este posibil să se demonstreze mult mai ușor teorema privind existența numerelor transcendentale, folosind considerații despre echivalența și neechivalența mulțimilor de numere.

Și anume, vom demonstra că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă. Apoi, deoarece mulțimea tuturor numerelor reale este nenumărabilă, vom stabili existența numerelor non-algebrice.

Să construim o corespondență unu-la-unu între și un subset . Aceasta va însemna că - finit sau numărabil. Dar din moment ce , Asta infinit și, prin urmare, numărabil.

Să fie un număr algebric. Să considerăm toate polinoamele cu coeficienți întregi a căror rădăcină este , și să alegem un polinom dintre ele P grad minim (adică nu va fi rădăcina niciunui polinom cu coeficienți întregi de grad mai mic).

De exemplu, pentru un număr rațional, un astfel de polinom are gradul 1, iar pentru un număr are gradul 2.

Să împărțim toți coeficienții polinomului P prin cel mai mare divizor comun al lor. Obținem un polinom ai cărui coeficienți sunt primi reciproci (cel mai mare divizor comun al lor este 1). În cele din urmă, dacă coeficientul de conducere un n este negativ, înmulțiți toți coeficienții polinomului cu -1 .

Polinomul rezultat (adică un polinom cu coeficienți întregi a cărui rădăcină este numărul cu gradul minim posibil, coeficienți coprimi și un coeficient pozitiv pozitiv) se numește polinomul minim al numărului.

Se poate dovedi că un astfel de polinom este determinat în mod unic: fiecare număr algebric are exact un polinom minim.

Numărul de rădăcini reale ale unui polinom nu este mai mare decât gradul său. Aceasta înseamnă că putem numerota (de exemplu, în ordine crescătoare) toate rădăcinile unui astfel de polinom.

Acum fiecare număr algebric este complet determinat de polinomul său minim (adică, mulțimea coeficienților săi) și numărul care distinge acest polinom de alte rădăcini: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Deci, pentru fiecare număr algebric avem asociat o mulțime finită de numere întregi, iar din această mulțime putem reconstrui în mod unic (i.e. numere diferite corespund unor seturi diferite).

Să numerotăm toate numerele prime în ordine crescătoare (este ușor să arătăm că există infinit multe dintre ele). Obținem o succesiune infinită (buc): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Acum un set de numere întregi (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) este posibil să se potrivească lucrarea

(acest număr este pozitiv și rațional, dar nu întotdeauna natural, deoarece printre numere un 0, a 1, ..., un n-1, poate fi negativ). Rețineți că acest număr este o fracție ireductibilă, deoarece factorii primi incluși în expansiunile numărătorului și numitorului sunt diferiți. De asemenea, rețineți că două fracții ireductibile cu numărători și numitori pozitivi sunt egale dacă și numai dacă ambii numărători sunt egali, iar numitorii lor sunt egali.

Să luăm acum în considerare maparea de la capăt la capăt:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Deoarece am atribuit diferite seturi de numere întregi diferitelor numere algebrice și diferitelor seturi --- diferit numere raționale, atunci am stabilit astfel o corespondență unu-la-unu între mulțime și un subset . Prin urmare, mulțimea numerelor algebrice este numărabilă.

Deoarece mulțimea numerelor reale este nenumărabilă, am demonstrat existența numerelor non-algebrice.

Cu toate acestea, teorema existenței nu indică cum se poate determina dacă un anumit număr este algebric. Și această întrebare este uneori foarte importantă pentru matematică.