Găsiți parametrul în care ecuația are o soluție unică. Ecuații cu parametri

Ecuația formei f(X; A) = 0 se numește ecuație cu variabilă Xși parametru A.

Rezolvați ecuația cu parametrul A– asta înseamnă pentru fiecare valoare A găsi valori X, satisfăcând această ecuație.

Exemplul 1. Oh= 0

Exemplul 2. Oh = A

Exemplul 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

Dacă 1 - A= 0, adică A= 1, atunci X 0 = -2 fără rădăcini

Dacă 1 - A 0, adică A 1, atunci X =

Exemplul 4.

(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)

Dacă A= 1, apoi 0 X = 0
X– orice număr real

Dacă A= -1, apoi 0 X = -2
fara radacini

Dacă A 1, A-1, atunci X= (singura soluție).

Aceasta înseamnă că pentru fiecare valoare validă A se potrivește cu o singură valoare X.

De exemplu:

Dacă A= 5, atunci X = = ;

Dacă A= 0, atunci X= 3 etc.

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. A = +

la A= 1 fără rădăcini.

la A= 3 fără rădăcini.

la A = 1 X– orice număr real, cu excepția X = 1

la A = -1, A= 0 fără soluții.

la A = 0, A= 2 fără soluții.

la A = -3, A = 0, 5, A= -2 fără soluții

la A = -Cu, Cu= 0 fără soluții.

Ecuații cuadratice cu parametru

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0

La A = 1 6X + 7 = 0

Când A 1, evidențiem acele valori ale parametrilor la care D merge la zero.

D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16

20A + 16 = 0

20A = -16

Dacă A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Dacă A> -4/5 și A 1, atunci D > 0,

X =

Dacă A= 4/5, atunci D = 0,

Exemplul 2. La ce valori ale parametrului a face ecuația

x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 are 2 rădăcini negative diferite?

D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)

4(A – 1)(A – 6) > 0

prin t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5

După condiție X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0

În cele din urmă

4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0

A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9

(Orez. 1) < A < 1, либо A > 6

Exemplul 3. Găsiți valorile A, pentru care această ecuație are o soluție.

x 2 – 2( A – 1)X + 2A + 1 = 0

D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A

4A 2 – 16 0

4A(A – 4) 0

A( A – 4)) 0

A( A – 4) = 0

a = 0 sau A – 4 = 0
A = 4

(Orez. 2)

Răspuns: A 0 și A 4

Material didactic

1. La ce valoare A ecuația Oh 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 are o rădăcină?

2. La ce valoare A ecuația ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 are o rădăcină?

3. Pentru ce valori ale lui a este ecuația ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 are mai mult de două rădăcini?

4. Pentru ce valori ale lui a, ecuația 2 X 2 + X – A= 0 are cel puțin o rădăcină comună cu ecuația 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Pentru ce valori ale ecuației X 2 +Oh+ 1 = 0 și X 2 + X + A= 0 au cel puțin o rădăcină comună?

1. Când A = - 1/7, A = 0, A = 1

2. Când A = 0

3. Când A = 2

4. Când A = 10

5. Când A = - 2

Ecuații exponențiale cu parametru

Exemplul 1.Găsiți toate valorile A, pentru care ecuația

9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) are exact două rădăcini.

Soluţie. Înmulțind ambele părți ale ecuației (1) cu 3 2/x, obținem ecuația echivalentă

3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)

Fie 3 x+1/x = la, atunci ecuația (2) va lua forma la 2 – (A + 2)la + 2A= 0 sau

(la – 2)(la – A) = 0, de unde la 1 =2, la 2 = A.

Dacă la= 2, adică 3 x+1/x = 2 atunci X + 1/X= log 3 2 , sau X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.

Această ecuație nu are rădăcini reale, deoarece ea D= log 2 3 2 – 4< 0.

Dacă la = A, adică 3 x+1/x = A Acea X + 1/X= jurnalul 3 A, sau X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Ecuația (3) are exact două rădăcini dacă și numai dacă

D = log 2 3 2 – 4 > 0, sau |log 3 a| > 2.

Dacă log 3 a > 2, atunci A> 9, iar dacă log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.

Raspuns: 0< A < 1/9, A > 9.

Exemplul 2. La ce valori ale lui a este ecuația 2 2х – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0 are soluții?

Pentru ca o ecuație dată să aibă soluții, este necesar și suficient ca ecuația t 2 – (A - 3) t – 3A= 0 a avut cel puțin o rădăcină pozitivă. Să găsim rădăcinile folosind teorema lui Vieta: X 1 = -3, X 2 = A = >

a este un număr pozitiv.

Răspuns: când A > 0

Material didactic

1. Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația

25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 are exact 2 soluții.

2. Pentru ce valori ale lui a este ecuația

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 are o singură rădăcină?

3. Pentru ce valori ale parametrului a face ecuația

4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 are o soluție unică?

Exemplul 1. Găsiți toate valorile A, pentru care ecuația

log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

are o soluție unică.

Soluţie. Ecuația (1) este echivalentă cu ecuația

1 + Oh = 2X la X > 0, X 1/4 (3)

X = la

da 2 - la + 1 = 0 (4)

Condiția (2) de la (3) nu este îndeplinită.

Lăsa A 0, atunci AU 2 – 2la+ 1 = 0 are rădăcini reale dacă și numai dacă D = 4 – 4A 0, adică la A 1. Pentru a rezolva inegalitatea (3), să reprezentăm grafic funcțiile Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studiu aprofundat al cursului de algebră și analiză matematică. – M.: Educație, 1990

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. În matematică, există probleme în care este necesar să se caute soluții la ecuații liniare și pătratice în vedere generala sau căutați numărul de rădăcini pe care le are ecuația în funcție de valoarea parametrului. Toate aceste sarcini au parametri.

Considerați următoarele ecuații ca exemplu clar:

\[y = kx,\] unde \ sunt variabile, \ este un parametru;

\[y = kx + b,\] unde \ sunt variabile, \ este un parametru;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] unde \ este o variabilă, \[а, b, с\] este un parametru.

Rezolvarea unei ecuații cu un parametru înseamnă, de regulă, rezolvarea unui set infinit de ecuații.

Cu toate acestea, urmând un anumit algoritm, puteți rezolva cu ușurință următoarele ecuații:

1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.

2. Rezolvați ecuația inițială pentru [\x\] cu valorile parametrilor definite în primul paragraf.

3. Rezolvați ecuația inițială pentru [\x\] pentru valorile parametrilor diferite de cele alese în primul paragraf.

Să presupunem că ni se oferă următoarea ecuație:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

După ce am analizat datele inițiale, este clar că un \[\ge 0.\]

Conform regulii modulului, exprimăm \

Răspuns: \unde\

Unde pot rezolva o ecuație cu un parametru online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

1. Sisteme de ecuații liniare cu un parametru

Sistemele de ecuații liniare cu un parametru sunt rezolvate prin aceleași metode de bază ca și sistemele obișnuite de ecuații: metoda substituției, metoda adunării ecuațiilor și metoda grafică. Cunoașterea interpretării grafice a sistemelor liniare facilitează răspunsul la întrebarea despre numărul de rădăcini și existența acestora.

Exemplul 1.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații nu are soluții.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Soluţie.

Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva această sarcină.

1 cale. Folosim proprietatea: sistemul nu are soluții dacă raportul coeficienților în fața lui x este egal cu raportul coeficienților în fața lui y, dar nu este egal cu raportul termenilor liberi (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Atunci noi avem:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 sau sistem

(și 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Din prima ecuație a 2 = 4, deci, ținând cont de condiția ca a ≠ 2, obținem răspunsul.

Răspuns: a = -2.

Metoda 2. Rezolvam prin metoda substitutiei.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

După ce scoatem factorul comun y din paranteze în prima ecuație, obținem:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistemul nu are soluții dacă prima ecuație nu are soluții, adică

(și 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Evident, a = ±2, dar ținând cont de a doua condiție, răspunsul vine doar cu un răspuns în minus.

Răspuns: a = -2.

Exemplul 2.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Soluţie.

Conform proprietății, dacă raportul dintre coeficienții lui x și y este același și este egal cu raportul membrilor liberi ai sistemului, atunci acesta are un număr infinit de soluții (adică a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Prin urmare 8/a = a/2 = 2/1. Rezolvând fiecare dintre ecuațiile rezultate, aflăm că a = 4 este răspunsul în acest exemplu.

Răspuns: a = 4.

2. Sisteme ecuații raționale cu parametru

Exemplul 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Soluţie.

Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Scăzând a doua ecuație din prima, obținem 5|x| = 4 – a. Această ecuație va avea o soluție unică pentru a = 4. În alte cazuri, această ecuație va avea două soluții (pentru a< 4) или ни одного (при а > 4).

Răspuns: a = 4.

Exemplul 4.

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are o soluție unică.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Soluţie.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda grafică. Astfel, graficul celei de-a doua ecuații a sistemului este o parabolă ridicată de-a lungul axei Oy în sus cu un segment de unitate. Prima ecuație specifică un set de drepte paralele cu dreapta y = -x (poza 1). Din figură se vede clar că sistemul are o soluție dacă dreapta y = -x + a este tangentă la parabolă într-un punct cu coordonate (-0,5, 1,25). Înlocuind aceste coordonate în ecuația de linie dreaptă în loc de x și y, găsim valoarea parametrului a:

1,25 = 0,5 + a;

Răspuns: a = 0,75.

Exemplul 5.

Folosind metoda substituției, aflați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Soluţie.

Din prima ecuație exprimăm y și îl înlocuim în a doua:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Să reducem a doua ecuație la forma kx = b, care va avea o soluție unică pentru k ≠ 0. Avem:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Reprezentăm trinomul pătrat a 2 + 3a + 2 ca produs de paranteze

(a + 2)(a + 1), iar în stânga scoatem x din paranteze:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Evident, un 2 + 3a nu ar trebui să fie egal cu zero, prin urmare,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ceea ce înseamnă a ≠ 0 și ≠ -3.

Răspuns: a ≠ 0; ≠ -3.

Exemplul 6.

Folosind metoda soluției grafice, determinați la ce valoare a parametrului sistemul are o soluție unică.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Soluţie.

Pe baza condiției, construim un cerc cu un centru la origine și o rază de 3 segmente unitare, aceasta este ceea ce este specificat de prima ecuație a sistemului

x 2 + y 2 = 9. A doua ecuație a sistemului (y = |x| + a) este o linie întreruptă. Prin utilizarea figura 2 Luăm în considerare toate cazurile posibile ale locației sale în raport cu cerc. Este ușor de observat că a = 3.

Răspuns: a = 3.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi sisteme de ecuații?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

LA sarcini cu parametru Aceasta poate include, de exemplu, căutarea soluțiilor pentru ecuații liniare și pătratice în formă generală, studiul ecuației pentru numărul de rădăcini disponibile în funcție de valoarea parametrului.

Fără a oferi definiții detaliate, luați în considerare următoarele ecuații ca exemple:

y = kx, unde x, y sunt variabile, k este un parametru;

y = kx + b, unde x, y sunt variabile, k și b sunt parametri;

ax 2 + bx + c = 0, unde x sunt variabile, a, b și c sunt un parametru.

Rezolvarea unei ecuații (inegalități, sistem) cu un parametru înseamnă, de regulă, rezolvarea unui set infinit de ecuații (inegalități, sisteme).

Sarcinile cu un parametru pot fi împărțite în două tipuri:

A) condiția spune: rezolvați ecuația (inegalitatea, sistemul) - aceasta înseamnă, pentru toate valorile parametrului, găsiți toate soluțiile. Dacă cel puțin un caz rămâne neinvestigat, o astfel de soluție nu poate fi considerată satisfăcătoare.

b) este necesar să se indice posibilele valori ale parametrului la care ecuația (inegalitatea, sistemul) are anumite proprietăți. De exemplu, are o soluție, nu are soluții, are soluții aparținând intervalului etc. În astfel de sarcini, este necesar să se indice clar la ce valoare a parametrului este îndeplinită condiția necesară.

Parametrul, fiind un număr fix necunoscut, are un fel de dualitate aparte. În primul rând, este necesar să se țină cont de faptul că popularitatea asumată indică faptul că parametrul trebuie perceput ca un număr. În al doilea rând, libertatea de a manipula parametrul este limitată de obscuritatea acestuia. De exemplu, operațiunile de împărțire la o expresie care conține un parametru sau de extragere a rădăcinii unui grad par dintr-o astfel de expresie necesită cercetări preliminare. Prin urmare, este necesară atenție la manipularea parametrului.

De exemplu, pentru a compara două numere -6a și 3a, trebuie să luați în considerare trei cazuri:

1) -6a va fi mai mare decât 3a dacă a este un număr negativ;

2) -6a = 3a în cazul în care a = 0;

3) -6a va fi mai mic decât 3a dacă a este un număr pozitiv 0.

Soluția va fi răspunsul.

Să fie dată ecuația kx = b. Această ecuație este o versiune scurtă a unui număr infinit de ecuații cu o variabilă.

La rezolvarea unor astfel de ecuații pot exista cazuri:

1. Fie k orice număr real care nu este egal cu zero și b orice număr din R, atunci x = b/k.

2. Fie k = 0 și b ≠ 0, ecuația inițială va lua forma 0 x = b. Evident, această ecuație nu are soluții.

3. Fie k și b numere egale cu zero, atunci avem egalitatea 0 x = 0. Soluția sa este orice număr real.

Un algoritm pentru rezolvarea acestui tip de ecuație:

1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.

2. Rezolvați ecuația inițială pentru x pentru valorile parametrilor care au fost determinate în primul paragraf.

3. Rezolvați ecuația inițială pentru x pentru valorile parametrilor diferite de cele alese în primul paragraf.

4. Puteți scrie răspunsul în următoarea formă:

1) pentru ... (valorile parametrilor), ecuația are rădăcini ...;

2) pentru ... (valorile parametrilor), nu există rădăcini în ecuație.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația cu parametrul |6 – x| = a.

Soluţie.

Este ușor de observat că aici a ≥ 0.

Conform regulii modulului 6 – x = ±a, exprimăm x:

Răspuns: x = 6 ± a, unde a ≥ 0.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 în raport cu variabila x.

Soluţie.

Să deschidem parantezele: aх – а + 2х – 2 = 0

Să scriem ecuația în formă standard: x(a + 2) = a + 2.

Dacă expresia a + 2 nu este zero, adică dacă a ≠ -2, avem soluția x = (a + 2) / (a ​​+ 2), adică. x = 1.

Dacă a + 2 este egal cu zero, i.e. a = -2, atunci avem egalitatea corectă 0 x = 0, deci x este orice număr real.

Răspuns: x = 1 pentru a ≠ -2 și x € R pentru a = -2.

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația x/a + 1 = a + x în raport cu variabila x.

Soluţie.

Dacă a = 0, atunci transformăm ecuația în forma a + x = a 2 + ax sau (a – 1)x = -a(a – 1). Ultima ecuație pentru a = 1 are forma 0 x = 0, prin urmare x este orice număr.

Dacă a ≠ 1, atunci ultima ecuație va lua forma x = -a.

Această soluție poate fi ilustrată pe linia de coordonate (Fig. 1)

Răspuns: nu există soluții pentru a = 0; x – orice număr cu a = 1; x = -a pentru a ≠ 0 și a ≠ 1.

Metoda grafica

Să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva ecuațiile cu un parametru - grafic. Această metodă este folosită destul de des.

Exemplul 4.

În funcție de parametrul a, câte rădăcini are ecuația ||x| – 2| = a?

Soluţie.

Pentru a rezolva folosind metoda grafică, construim grafice ale funcțiilor y = ||x| – 2| și y = a (Fig. 2).

Desenul arată clar cazurile posibile de locație a dreptei y = a și numărul de rădăcini din fiecare dintre ele.

Răspuns: ecuația nu va avea rădăcini dacă a< 0; два корня будет в случае, если a >2 și a = 0; ecuația va avea trei rădăcini în cazul a = 2; patru rădăcini – la 0< a < 2.

Exemplul 5.

La ce a ecuația 2|x| + |x – 1| = a are o singură rădăcină?

Soluţie.

Să descriem graficele funcțiilor y = 2|x| + |x – 1| și y = a. Pentru y = 2|x| + |x – 1|, extinzând modulele folosind metoda intervalului, obținem:

(-3x + 1, la x< 0,

y = (x + 1, pentru 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pentru x > 1.

Pe Figura 3 Se vede clar că ecuația va avea o singură rădăcină numai atunci când a = 1.

Răspuns: a = 1.

Exemplul 6.

Determinați numărul de soluții ale ecuației |x + 1| + |x + 2| = a in functie de parametrul a?

Soluţie.

Graficul funcției y = |x + 1| + |x + 2| va fi o linie întreruptă. Vârfurile sale vor fi situate în punctele (-2; 1) și (-1; 1) (Figura 4).

Răspuns: dacă parametrul a este mai mic de unu, atunci ecuația nu va avea rădăcini; dacă a = 1, atunci soluția ecuației este o mulțime infinită de numere din intervalul [-2; -1]; dacă valorile parametrului a sunt mai mari decât unu, atunci ecuația va avea două rădăcini.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații cu un parametru?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.