Ecuația cotangentei x este egală cu a. Ecuații trigonometrice - formule, soluții, exemple

Ecuație de undă, ecuație diferențială cu derivate parțiale, care descrie procesul de propagare a perturbațiilor într-un anumit mediu. 155....

Clasificări ale ecuațiilor diferențiale parțiale hiperbolice

Ecuația căldurii este o ecuație diferențială parțială de tip parabolic care descrie procesul de propagare a căldurii într-un mediu continuu (gaz...

Metode matematice, folosit în teoria sistemelor de așteptare

Probabilitățile stărilor sistemului pot fi găsite din sistemul de ecuații diferențiale Kolmogorov, care sunt compilate după următoarea regulă: Pe partea stângă a fiecăreia dintre ele se află derivata probabilității stării i...

Ecuația Riccati non-staționară

1. Ecuația generală Riccati are forma: , (1.1) unde P, Q, R sunt funcții continue ale lui x pe măsură ce x se modifică în interval Ecuația (1.1) conține ca cazuri speciale ecuațiile pe care le-am considerat deja: cu obținem o ecuație liniară, cu -ecuația Bernoulli...

Bazele cercetarea stiintificași planificarea experimentelor de transport

Să obținem dependența funcțională Y = f(X) (ecuația de regresie) folosind metoda celor mai mici pătrate (LSM). Utilizați dependențe liniare (Y = a0 + a1X) și pătratice (Y = a0 + a1X + a2X2) ca funcții de aproximare. Folosind metoda celor mai mici pătrate, valorile lui a0...

Să plasăm polul sistemului de coordonate polare la originea sistemului de coordonate dreptunghiular, axa polară este compatibilă cu axa x pozitivă (Fig. 3). Orez. 3 Luați ecuația dreptei în formă normală: (3.1) - lungimea perpendicularei...

Sistemul de coordonate polare pe un plan

Să compunem o ecuație în coordonate polare pentru un cerc care trece prin pol, cu centrul pe axa polară și raza R. Din triunghi dreptunghic OAA obținem OA= OA (Fig. 4)...

Concepte ale teoriei eșantionării. Seria de distribuție. Analiza corelației și regresiei

Studiați: a) conceptul de regresie liniară pereche; b) întocmirea unui sistem de ecuaţii normale; c) proprietăţile estimărilor utilizând metoda celor mai mici pătrate; d) o tehnică pentru găsirea unei ecuații de regresie liniară. Să presupunem...

Construirea soluțiilor ecuațiilor diferențiale sub formă de serii de puteri

Ca exemplu de aplicare a teoriei construite, luăm în considerare ecuația Bessel: (6.1) Unde. Punctul singular z =0 este regulat. Nu există alte caracteristici în partea finală a avionului. Prin urmare, în ecuația (6.1), ecuația definitorie are forma, Adică...

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuația matriceală XA=B poate fi rezolvată și în două moduri: 1. Matricea inversă se calculează prin oricare dintre metode cunoscute. Apoi soluția ecuației matriceale va arăta astfel: 2...

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Metodele descrise mai sus nu sunt potrivite pentru rezolvarea ecuațiilor de forma AX=XB, AX+XB=C. De asemenea, nu sunt potrivite pentru rezolvarea ecuațiilor în care cel puțin unul dintre factorii pentru o matrice necunoscută X este o matrice singulară...

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile de forma AX = HA se rezolvă în același mod ca în cazul precedent, adică element cu element. Soluția aici se rezumă la găsirea matricei de permutare. Să aruncăm o privire mai atentă la un exemplu. Exemplu. Găsiți toate matricele...

Funcționarea staționară a unei rețele de așteptare cu un contur în formă de romb

Din stare se poate trece în una din următoarele stări: - datorită sosirii unei aplicații în coada primului nod cu intensitate; - datorită primirii unei cereri procesate în ea de la primul nod în coada celui de-al treilea nod cu o intensitate de...

Funcții trigonometrice

Arctangenta unui număr este un număr al cărui sinus este egal cu a: dacă și. Toate rădăcinile ecuației pot fi găsite folosind formula:...

Metode numerice de rezolvare a problemelor matematice

Centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC|

la lungimea piciorului adiacent |AB| . Cotangent () ctg α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB|

la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă Unde

n - întreg.ÎN
.
;
;
.

literatura occidentală

tangenta se noteaza dupa cum urmeaza:

la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă Unde

Graficul funcției tangente, y = tan x
.
Cotangentă
;
;
.

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y = tg xși y =

ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( Tangentă- întreg).

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xŞi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.

La .
la . Unde Bn
;
;
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse Funcții inverse

la tangentă și cotangentă sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg Tangentă Unde

, Unde

Arctangent, arctg Tangentă Unde

Arccotangent, arcctg
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

La începutul programului, studenții și-au făcut o idee despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, s-au familiarizat cu conceptele de arc cosinus și arc sinus și exemple de soluții ale ecuațiilor cos t = a și sin t = a. În acest tutorial video ne vom uita la rezolvarea ecuațiilor tg x = a și ctg x = a.

Prin analogie, se rezolvă ecuația tg x = - 3 Din graficele construite ale funcțiilor y = tg x și y = - 3, este clar că punctele de intersecție ale graficelor și, prin urmare, soluțiile ecuațiilor. fie x = x 2 + πk. Folosind arctangente, soluția poate fi scrisă ca x = arctan (- 3) + πk. În figura următoare vedem că arctg (- 3) = - arctg 3.

Definiția generală a arctangentei este următoarea: arctangente a este un număr din intervalul de la -π/2 la π/2 a cărui tangentă este egală cu a. Atunci soluția ecuației tan x = a este x = arctan a + πk.

Autorul dă exemplul 1. Găsiți o soluție la expresia arctan Să introducem notația: arctangenta unui număr este egală cu x, atunci tg x va fi egală cu numărul dat, unde x aparține segmentului din -π. /2 până la π/2. Ca și în exemplele din subiectele anterioare, vom folosi un tabel de valori. Conform acestui tabel, tangentei acestui număr corespunde valorii x = π/3. Să notăm soluția ecuației: arctangenta unui număr dat este egală cu π/3, π/3 aparține și intervalului de la -π/2 la π/2.

Exemplul 2 - calculați arctangenta unui număr negativ. Folosind egalitatea arctg (- a) = - arctg a, introducem valoarea lui x. Similar cu exemplul 2, notăm valoarea lui x, care aparține segmentului de la -π/2 la π/2. Din tabelul de valori găsim că x = π/3, prin urmare, -- tg x = - π/3. Răspunsul la ecuație este - π/3.

Să luăm în considerare exemplul 3. Rezolvați ecuația tg x = 1. Scrieți că x = arctan 1 + πk. În tabel, valoarea tg 1 corespunde valorii x = π/4, prin urmare, arctg 1 = π/4. Să substituim această valoare în formula originală x și să scriem răspunsul x = π/4 + πk.

Exemplul 4: calculați tan x = - 4.1. În acest caz x = arctan (- 4,1) + πk. Deoarece Nu este posibil să găsiți valoarea arctg în acest caz, răspunsul va arăta ca x = arctg (- 4,1) + πk.

În exemplul 5, se consideră soluția inegalității tg x > 1 Pentru a o rezolva, construim grafice ale funcțiilor y = tan x și y = 1. După cum se poate observa în figură, aceste grafice se intersectează în punctele x =. π/4 + πk. Deoarece în acest caz tg x > 1, pe grafic evidențiem regiunea tangentoidă, care se află deasupra graficului y = 1, unde x aparține intervalului de la π/4 la π/2. Scriem răspunsul ca π/4 + πk< x < π/2 + πk.

În continuare, luați în considerare ecuația cot x = a. Figura prezintă grafice ale funcțiilor y = cot x, y = a, y = - a, care au multe puncte de intersecție. Soluțiile pot fi scrise ca x = x 1 + πk, unde x 1 = arcctg a și x = x 2 + πk, unde x 2 = arcctg (- a). Se observă că x 2 = π - x 1 . Aceasta implică egalitatea arcctg (- a) = π - arcctg a. Următoarea este definiția arcului cotangente: arc cotangent a este un număr din intervalul de la 0 la π a cărui cotangentă este egală cu a. Soluția ecuației сtg x = a se scrie astfel: x = arcctg a + πk.

La sfârșitul lecției video, se face o altă concluzie importantă - expresia ctg x = a poate fi scrisă ca tg x = 1/a, cu condiția ca a să nu fie egal cu zero.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor tg x = 3 și tg x = - 3. Rezolvând grafic prima ecuație, vedem că graficele funcțiilor y = tg x și y = 3 au infinit de puncte de intersecție, ale căror abscise vor fi scris sub forma

x = x 1 + πk, unde x 1 este abscisa punctului de intersecție a dreptei y = 3 cu ramura principală a tangentoidului (Fig. 1), pentru care a fost inventată denumirea

arctan 3 (arc tangentă de trei).

Cum să înțelegem arctg 3?

Acesta este un număr a cărui tangentă este 3 și acest număr aparține intervalului (- ;). Atunci toate rădăcinile ecuației tg x = 3 pot fi scrise cu formula x = arctan 3+πk.

În mod similar, soluția ecuației tg x = - 3 poate fi scrisă sub forma x = x 2 + πk, unde x 2 este abscisa punctului de intersecție al dreptei y = - 3 cu ramura principală a tangentoid (Fig. 1), pentru care denumirea arctg(- 3) (arc tangentă minus trei). Atunci toate rădăcinile ecuației pot fi scrise prin formula: x = arctan(-3)+ πk. Figura arată că arctg(- 3)= - arctg 3.

Să formulăm definiția arctangentei. Arctangenta a este un număr din intervalul (-;) a cărui tangentă este egală cu a.

Egalitatea este adesea folosită: arctg(-a) = -arctg a, care este valabilă pentru orice a.

Cunoscând definiția arctangentei, vom face concluzie generală despre rezolvarea ecuației

tg x= a: ecuația tg x = a are o soluție x = arctan a + πk.

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLU 1. Calculați arctan.

Soluţie. Fie arctg = x, apoi tgх = și xϵ (- ;). Afișați tabelul de valori Prin urmare, x =, deoarece tg = și ϵ (- ;).

Deci, arctan =.

EXEMPLU 2. Calculați arctan (-).

Soluţie. Folosind egalitatea arctg(- a) = - arctg a, scriem:

arctg(-) = - arctg . Fie - arctg = x, apoi - tgх = și xϵ (- ;). Prin urmare, x =, deoarece tg = și ϵ (- ;). Afișează tabelul de valori

Aceasta înseamnă - arctg=- tgх= - .

EXEMPLU 3. Rezolvați ecuația tgх = 1.

1. Scrieți formula soluției: x = arctan 1 + πk.

2. Aflați valoarea arctangentei

întrucât tg = . Afișează tabelul de valori

Deci arctan1= .

3. Puneți valoarea găsită în formula soluției:

EXEMPLU 4. Rezolvați ecuația tgх = - 4,1 (tangenta x este egală cu minus patru virgulă unu).

Soluţie. Să scriem formula soluției: x = arctan (- 4,1) + πk.

Nu putem calcula valoarea arctangentei, așa că vom lăsa soluția ecuației în forma obținută.

EXEMPLU 5. Rezolvați inegalitatea tgх 1.

Soluţie. O vom rezolva grafic.

1. Să construim o tangentă

y = tgх și linie dreaptă y = 1 (Fig. 2). Ele se intersectează în puncte precum x = + πk.

2. Să selectăm intervalul axei x în care ramura principală a tangentoidului se află deasupra dreptei y = 1, deoarece prin condiția tgх 1. Acesta este intervalul (;).

3. Folosim periodicitatea functiei.

Proprietatea 2. y=tg x este o funcție periodică cu perioada principală π.

Ținând cont de periodicitatea funcției y = tgх, scriem răspunsul:

(;). Răspunsul poate fi scris ca o dublă inegalitate:

Să trecem la ecuația ctg x = a. Să prezentăm o ilustrare grafică a soluției ecuației pentru a pozitiv și negativ (Fig. 3).

Grafice ale funcțiilor y = ctg x și y = a și de asemenea

y=ctg x și y=-a

au infinit de multe puncte comune, ale căror abscise arată astfel:

x = x 1 +, unde x 1 este abscisa punctului de intersecție a dreptei y = a cu ramura principală a tangentoidului și

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, unde x 2 este abscisa punctului de intersecție al dreptei

y = - a cu ramura principală a tangentoidului și x 2 = arcсtg (- a).

Rețineți că x 2 = π - x 1. Deci, să scriem o egalitate importantă:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Să formulăm definiția: arc cotangent a este un număr din intervalul (0;π) a cărui cotangentă este egală cu a.

Soluția ecuației ctg x = a se scrie sub forma: x = arcctg a + .

Vă rugăm să rețineți că ecuația ctg x = a poate fi transformată în forma

tg x = , cu excepția cazului în care a = 0.

>> Arctangent și arccotangent. Rezolvarea ecuațiilor tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arctangent şi arccotangent. Rezolvarea ecuațiilor tgx = a, ctgx = a

În exemplul 2 din §16 nu am putut rezolva trei ecuații:

Am rezolvat deja două dintre ele - primul în § 17 și al doilea în § 18, pentru aceasta a trebuit să introducem conceptele arc cosinusși arcsinus. Luați în considerare a treia ecuație x = 2.
Graficele funcțiilor y=tg x și y=2 au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte au forma - abscisa punctului de intersecție a dreptei y = 2 cu ramura principală a tangentoidei (Fig. 90). Pentru numărul x1, matematicienii au venit cu denumirea acrtg 2 (a se citi „arctangent a doi”). Atunci toate rădăcinile ecuației x=2 pot fi descrise prin formula x=arctg 2 + pk.
Ce este agctg 2? Acesta este numărul tangentă care este egal cu 2 si care apartine intervalului
Să considerăm acum ecuația tg x = -2.
Grafice de funcții au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte au forma abscisa punctului de intersecție a dreptei y = -2 cu ramura principală a tangentoidului. Pentru numărul x 2, matematicienii au venit cu notația arctg(-2). Atunci toate rădăcinile ecuației x = -2 pot fi descrise prin formula

Ce este acrtg(-2)? Acesta este un număr a cărui tangentă este -2 și care aparține intervalului. Vă rugăm să rețineți (vezi Fig. 90): x 2 = -x 2. Aceasta înseamnă că arctg(-2) = - arctg 2.
Să formulăm definiția arctangentei în formă generală.

Definiția 1. arсtg a (arc tangentă a) este un număr din intervalul a cărui tangentă este egală cu a. Aşa,

Acum suntem în măsură să tragem o concluzie generală despre soluție ecuații x=a: ecuația x = a are soluții

Am observat mai sus că arctg(-2) = -agctg 2. În general, pentru orice valoare a a formula este validă

Exemplul 1. Calcula:

Exemplul 2. Rezolvarea ecuațiilor:

A) Să creăm o formulă de soluție:

Nu putem calcula valoarea arctangentei în acest caz, așa că vom lăsa soluția ecuației în forma obținută.
Răspuns:
Exemplul 3. Rezolvarea inegalităților:
Inegalitățile formei pot fi rezolvate grafic, respectând următoarele planuri
1) construiți o tangentă y = tan x și o dreaptă y = a;
2) selectați pentru ramura principală a tangeizoidului intervalul axei x pe care este satisfăcută inegalitatea dată;
3) ținând cont de periodicitatea funcției y = tan x, scrieți răspunsul în formă generală.
Să aplicăm acest plan pentru a rezolva inegalitățile date.

: a) Să construim grafice ale funcțiilor y = tgх și y = 1. Pe ramura principală a tangentsoidului se intersectează în punctul

Să selectăm intervalul axei x pe care se află ramura principală a tangentoidului sub linia dreaptă y = 1 - acesta este intervalul
Ținând cont de periodicitatea funcției y = tgх, concluzionăm că inegalitatea dată este satisfăcută pe orice interval de forma:

Unirea tuturor acestor intervale reprezintă soluția generală a inegalității date.
Răspunsul poate fi scris în alt mod:

b) Să construim grafice ale funcțiilor y = tan x și y = -2. Pe ramura principală a tangentoidului (Fig. 92) se intersectează în punctul x = arctg(-2).

Să selectăm intervalul axei x pe care ramura principală a tangentoidului

Se consideră ecuația cu tan x=a, unde a>0. Graficele funcțiilor y=ctg x și y =a au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte au forma: x = x 1 + pk, unde x 1 =arccstg a este abscisa punctului de intersecție. a dreptei y=a cu ramura principală a tangentoidului (Fig. .93). Aceasta înseamnă că arcstg a este un număr a cărui cotangentă este egală cu a și care aparține intervalului (0, n); pe acest interval se construieşte ramura principală a graficului funcţiei y = сtg x.

În fig. 93 prezintă și o ilustrare grafică a soluției ecuației c1tg = -a. Graficele funcțiilor y = сtg x și y = -а au infinit de puncte comune, abscisele tuturor acestor puncte au forma x = x 2 + pk, unde x 2 = агсстg (- a) este abscisa punctul de intersecție al dreptei y = -а cu ramura tangentoidă a liniei principale. Aceasta înseamnă că arcstg(-a) este un număr a cărui cotangentă este egală cu -a și care aparține intervalului (O, n); pe acest interval se construieşte ramura principală a graficului funcţiei Y = сtg x.

Definiția 2. arccstg a (arc cotangent a) este un număr din intervalul (0, n) a cărui cotangentă este egală cu a.
Aşa,

Acum putem trage o concluzie generală despre soluția ecuației ctg x = a: ecuația ctg x = a are soluții:

Vă rugăm să rețineți (vezi Fig. 93): x 2 = n-x 1. Aceasta înseamnă că

Exemplul 4. Calcula:

A) Să spunem

Ecuația сtg x=а poate fi aproape întotdeauna convertită la forma O excepție este ecuația сtg x =0. Dar în acest caz, profitând de faptul că puteți merge la
ecuația cos x=0. Astfel, o ecuație de forma x = a nu este de interes independent.

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

Egalitatea care conține necunoscutul sub semn functie trigonometrica(`sin x, cos x, tan x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică, iar formulele lor le vom lua în considerare în continuare.

Cele mai simple ecuații se numesc `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să notăm formulele rădăcinilor pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu are solutii intre numerele reale.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

Are, de asemenea, un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• cu ajutorul transformării în cel mai simplu;
• rezolvați cea mai simplă ecuație obținută folosind formulele rădăcinilor și tabelele scrise mai sus.

Să ne uităm la principalele metode de soluție folosind exemple.

Metoda algebrică.

Această metodă implică înlocuirea unei variabile și substituirea acesteia într-o egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Să mutăm toți termenii egalității la stânga: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

În primul rând, trebuie să reduceți această ecuație trigonometrică la una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți la `cos x \ne 0` - pentru primul caz și la `cos^2 x \ne 0` - pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțim laturile ei stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, rezultând `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Du-te la jumătatea colțului

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Să aplicăm formulele unghiului dublu, rezultând: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unghiului auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțiți ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, apoi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțim ambele părți ale egalității la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Să notăm `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atunci luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice raționale fracționale

Acestea sunt egalități cu fracții ai căror numărători și numitori conțin funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității cu `(1+cos x)`. Ca rezultat obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi egal cu zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Să echivalăm numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt folosite în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examenul de stat unificat, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță utile!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să o puteți deriva. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.