Cum să găsești un unghi dacă laturile sunt cunoscute. Aria unui triunghi

Calculator online.
Rezolvarea triunghiurilor.

Rezolvarea unui triunghi înseamnă găsirea tuturor celor șase elemente ale sale (adică, trei laturi și trei unghiuri) din oricare trei elemente date care definesc triunghiul.

Acest program matematic găsește latura \(c\), unghiurile \(\alpha \) și \(\beta \) din laturile specificate de utilizator \(a, b\) și unghiul dintre ele \(\gamma \)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.

Acest calculator online poate fi util elevilor de liceu din gimnaziu atunci când se pregătesc pentru teste și examene, când testează cunoștințele înainte de Examenul Unificat de Stat și pentru părinți pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea numerelor

Numerele pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce fracții zecimale precum 2,5 sau 2,5

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Teorema sinusurilor

Teorema

Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema cosinusului

Teorema
Fie AB = c, BC = a, CA = b în triunghiul ABC. Apoi
Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acelor laturi înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rezolvarea triunghiurilor

Rezolvarea unui triunghi înseamnă găsirea tuturor celor șase elemente ale sale (adică, trei laturi și trei unghiuri) din oricare trei elemente date care definesc triunghiul.

Să ne uităm la trei probleme care implică rezolvarea unui triunghi. În acest caz, vom folosi următoarea notație pentru laturile triunghiului ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rezolvarea unui triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele

Dat: \(a, b, \unghi C\). Găsiți \(c, \unghi A, \unghi B\)

Soluţie
1. Folosind teorema cosinusului, găsim \(c\):

3. \(\unghi B = 180^\circ -\unghi A -\unghi C\)

Rezolvarea unui triunghi după latură și unghiuri adiacente

Dat: \(a, \angle B, \angle C\). Găsiți \(\unghiul A, b, c\)

Soluţie
1. \(\unghi A = 180^\circ -\unghi B -\unghi C\)

Rezolvarea unui triunghi folosind trei laturi

Dat: \(a, b, c\). Găsiți \(\unghiul A, \unghiul B, \unghiul C\)

Soluţie
1. Folosind teorema cosinusului obținem:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. În mod similar, găsim unghiul B.
3. \(\unghi C = 180^\circ -\unghi A -\unghi B\)

Rezolvarea unui triunghi folosind două laturi și un unghi opus unei laturi cunoscute

Dat: \(a, b, \unghi A\). Găsiți \(c, \unghi B, \unghi C\)

Soluţie
1. Folosind teorema sinusurilor, găsim \(\sin B\) obținem:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Să introducem notația: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). În funcție de numărul D, sunt posibile următoarele cazuri:
Dacă D > 1, un astfel de triunghi nu există, deoarece \(\sin B\) nu poate fi mai mare de 1
Dacă D = 1, există un unic \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Dacă D Dacă D 2. \(\unghi C = 180^\circ -\unghi A -\unghi B\)

3. Folosind teorema sinusului, calculăm latura c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile sale este de 90º. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două se numesc catete.

Pentru a găsi unghiul într-un triunghi dreptunghic, se folosesc unele proprietăți ale triunghiurilor dreptunghiulare, și anume: suma unghiurilor acute este de 90º, precum și faptul că opus catetei, a cărui lungime este jumătate din lungimea ipotenuzei, se află un unghi egal cu 30º.

Navigare rapidă prin articol

Triunghi isoscel

Una dintre proprietățile unui triunghi isoscel este că cele două unghiuri ale sale sunt egale. Pentru a calcula unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel trebuie să știți că:

• Un unghi drept este de 90º.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180º-90º)/2=45º, adică unghiurile α și β sunt egale cu 45º.

Dacă se cunoaște dimensiunea unuia dintre unghiurile ascuțite, al doilea poate fi găsit folosind formula: β=180º-90º-α, sau α=180º-90º-β. Cel mai adesea acest raport este utilizat dacă unul dintre unghiuri este de 60º sau 30º.

Concepte cheie

Sumă colțurile interne a unui triunghi este de 180º. Deoarece un unghi este drept, celelalte două vor fi acute. Pentru a le găsi trebuie să știți că:

alte metode

Valorile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate cunoscând valoarea medianei - o linie trasată de la vârf la partea opusă a triunghiului, iar înălțimea - o linie dreaptă, care este o perpendiculară căzută. dintr-un unghi drept la ipotenuză. Fie s mediana trasată de la unghiul drept la mijlocul ipotenuzei, h este înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

Două părți

Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete sau două laturi, identitățile trigonometrice sunt folosite pentru a găsi valorile unghiurilor ascuțite:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

În matematică, când se ia în considerare un triunghi, se acordă multă atenție laturilor acestuia. Pentru că aceste elemente formează această figură geometrică. Laturile unui triunghi sunt folosite pentru a rezolva multe probleme de geometrie.

Definiția conceptului

Segmentele care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă se numesc laturile unui triunghi. Elementele luate în considerare limitează o parte a planului, care se numește interiorul acestuia figură geometrică.

Matematicienii în calculele lor permit generalizări cu privire la laturile figurilor geometrice. Astfel, într-un triunghi degenerat, trei dintre segmentele sale se află pe o singură linie dreaptă.

Caracteristicile conceptului

Calcularea laturilor unui triunghi implică determinarea tuturor celorlalți parametri ai figurii. Cunoscând lungimea fiecăruia dintre aceste segmente, puteți calcula cu ușurință perimetrul, aria și chiar unghiurile triunghiului.

Orez. 1. Triunghi arbitrar.

Însumând laturile unei figuri date, puteți determina perimetrul.

P=a+b+c, unde a, b, c sunt laturile triunghiului

Și pentru a găsi aria unui triunghi, atunci ar trebui să utilizați formula lui Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Unde p este semiperimetrul.

Unghiurile unei figuri geometrice date sunt calculate folosind teorema cosinusului.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Sens

Unele proprietăți ale acestei figuri geometrice sunt exprimate prin raportul laturilor unui triunghi:

• Opus celei mai mici laturi a unui triunghi se află cel mai mic unghi al acestuia.
• Unghiul exterior al figurii geometrice în cauză se obține prin extinderea uneia dintre laturi.
• Unghiurile egale opuse ale unui triunghi sunt laturi egale.
• În orice triunghi, una dintre laturi este întotdeauna mai mare decât diferența celorlalte două segmente. Și suma oricăror două laturi ale acestei cifre este mai mare decât a treia.

Unul dintre semnele că două triunghiuri sunt egale este raportul dintre suma tuturor laturilor figurii geometrice. Dacă aceste valori sunt aceleași, atunci triunghiurile vor fi egale.

Unele proprietăți ale unui triunghi depind de tipul său. Prin urmare, mai întâi ar trebui să țineți cont de dimensiunea laturilor sau unghiurilor acestei figuri.

Formarea triunghiurilor

Dacă cele două laturi ale figurii geometrice în cauză sunt aceleași, atunci acest triunghi se numește isoscel.

Orez. 2. Triunghi isoscel.

Când toate segmentele dintr-un triunghi sunt egale, obțineți un triunghi echilateral.

Orez. 3. Triunghi echilateral.

Este mai convenabil să efectuați orice calcul în cazurile în care un triunghi arbitrar poate fi clasificat ca un tip specific. Pentru că atunci găsirea parametrului necesar al acestei figuri geometrice va fi semnificativ simplificată.

Deși selectat corect ecuație trigonometrică vă permite să rezolvați multe probleme în care este considerat un triunghi arbitrar.

Ce am învățat?

Trei segmente care sunt legate prin puncte și nu aparțin aceleiași drepte formează un triunghi. Aceste laturi formează un plan geometric, care este folosit pentru a determina aria. Folosind aceste segmente puteți găsi multe astfel caracteristici importante forme precum perimetrul și unghiurile. Raportul de aspect al unui triunghi ajută la găsirea tipului acestuia. Unele proprietăți ale unei figuri geometrice date pot fi utilizate numai dacă dimensiunile fiecăreia dintre laturile sale sunt cunoscute.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.3. Evaluări totale primite: 142.

ANDREY PROKIP: „AMANTUL MEU ESTE ECOLOGIA RUSĂ. TREBUIE SĂ INVESTIȚI ÎN EA!”
În perioada 4-5 septembrie a avut loc forumul de mediu „Forma Climatică a Orașelor”. Inițiatorul evenimentului este organizația C40, care a fost fondată în 2005 de către ONU. Sarcina principală a formularului și orașelor este de a controla schimbările climatice în orașe.
După cum a arătat practica, spre deosebire de evenimentele sociale și „întâlnirile în cluburi de noapte”, erau puțini deputați și personalități publice. Printre cei care și-au manifestat cu adevărat îngrijorare cu privire la situația mediului s-a numărat și Prokip Adrey Zinovevici. El a participat activ la toate sesiunile plenare împreună cu Reprezentantul Special al Președintelui Federația Rusă privind problemele climatice Ruslan Edelgeriev, viceprimarul Moscovei pentru locuințe și servicii comunale Pyotr Biryukov, precum și reprezentanți străini - primarul oraș italian Savona - Ilario Caprioglio. Participanții și-au prezentat proiectele și, de asemenea, au discutat despre strategii pentru a reduce creșterea temperaturilor globale și au propus soluții practice pentru dezvoltarea urbană durabilă.
ANDREY PROKIP DESPRE SHASHLIKS, DEPUTĂȚI ȘI GREEN CONSTRUCTION
Partea rusă a fost interesată în special de discursurile vorbitorilor, printre care s-au numărat arhitecți europeni, oameni de știință și primari din Savona. Tema discursului a fost TOP direction - „ clădire verde" După cum a afirmat însuși Andrey Prokip, „este important să redistribuim corect resursele, precum și să ținem cont de standardele europene de construcție pentru o metropolă precum Moscova. Este necesar ca Rusia Nivel federal a urmat un curs către „finanțare verde”, mai ales că este fezabilă din punct de vedere economic și, după cum arată practica, profitabilă”. El și-a exprimat, de asemenea, îngrijorarea cu privire la deteriorarea sănătății rușilor din cauza dezastrelor ecologice și a nerespectării standardelor de mediu pentru eliminarea deșeurilor de către întreprinderile industriale mari și mici.” El a fost confirmat și în temerile sale datorită discursului lui Francesco Zambona, profesor la Oficiul European pentru Investiții în Sănătate al OMS.
Cu umor caracteristic, Andrei s-a adresat unor celebri invitați pe forum, dar nu s-au prezentat niciodată, cu un apel „să-și amintească de natură, nu doar când vor grătar sau merg la pescuit. La urma urmei, sănătatea întregului popor depinde de bunăvoința naturii, care, din păcate, îi include pe ei.”
Pe lângă discursurile pasionate despre noua „natură-amant” a lui Andrei Zinovevici și despre importanța asumării responsabilităților pentru mediu, eveniment semnificativ Forumul a inclus o sesiune plenară pe tema „Cum să educ noua generație”. Participanții la forum au fost unanimi în opinia că este necesară educarea nu numai a copiilor, ci și a generației adulte. Este foarte important să insufleți responsabilitatea față de natură în comportamentul de zi cu zi, precum și în afaceri.
Pentru Moscova va fi lansat un proiect special „A învăța să trăim într-o manieră civilizată”. Acesta este un proiect educațional pentru toate segmentele de populație și categoriile de vârstă. Dar oricât de minunate ar fi teoria și bunele intenții, zicala „până când cocoșul fript nu ciugulește, nebunul nu își va face cruce” este încă relevantă pentru Rusia.
Potrivit lui Timothy Netter, un regizor celebru de teatru, arta poate schimba totul. Într-unul dintre discursurile sale, el a vorbit despre modul în care ideea de conservare a naturii ar trebui să fie prezentată în teatru și cinema și cât de important este să educăm oamenii prin artă să fie responsabili pentru ceea ce se va întâmpla cu noi și natura mâine.
Studenții din universitățile ruse au atras atenția operatorilor Rentv și a lui Andrey Prokirpa prin prezentarea unui proiect privind tehnologia ecologică pentru producerea de containere rezistente la umiditate și temperatură. Aceasta este o problemă foarte presantă, întrucât în ​​întreaga lume se adoptă legi împotriva recipientelor din plastic, care, apropo, durează mai bine de 30 de ani pentru a se descompune, poluează solul și provoacă moartea animalelor.
Este încurajator faptul că Moscova este unul dintre cele 94 de orașe participante la organizația C40 și este a treia oară când are loc forumul, care atrage în fiecare an atenția a tot mai multe personalități și cetățeni celebri.