육각형의 정의. 정육각형 : 흥미로운 이유와 구축 방법

폴리곤 주제는 학교 커리큘럼그러나 그것에 충분히 주의를 기울이지 마십시오. 한편, 이것은 흥미롭고 특히 정육각형 또는 육각형의 경우에 해당됩니다. 결국 많은 자연물이 이러한 모양을 가지고 있습니다. 여기에는 벌집 등이 포함됩니다. 이 형식은 실제로 매우 잘 적용됩니다.

정의 및 구성

정육각형은 길이가 같은 여섯 변과 같은 수의 등각을 가진 평면 도형입니다.

다각형 내각의 합을 구하는 공식을 상기하면

이 그림에서 720 °와 같습니다. 음, 그림의 모든 각도가 같기 때문에 각 각도가 120 °라고 계산하기 쉽습니다.

육각형을 그리는 것은 매우 간단합니다. 나침반과 자만 있으면 됩니다.

단계별 지침은 다음과 같습니다.

원하는 경우 반지름이 같은 5개의 원을 그려서 선 없이 할 수 있습니다.

이렇게 해서 얻은 도형은 정육각형이 될 것이며 이것은 아래에서 증명할 수 있습니다.

속성은 간단하고 흥미 롭습니다.

정육각형의 속성을 이해하려면 정육각형을 6개의 삼각형으로 나누는 것이 좋습니다.

이는 향후 속성을 보다 명확하게 표시하는 데 도움이 될 것입니다. 주요 속성은 다음과 같습니다.

외접원 직경;
내접원의 지름;
정사각형;
둘레.

외접원과 시공의 가능성

육각형 주위에 원을 기술하는 것은 가능하며, 더욱이 하나뿐입니다. 이 그림이 정확하기 때문에 아주 간단하게 할 수 있습니다. 내부에 인접한 두 각도에서 이등분선을 그립니다. 그들은 점 O에서 교차하고 그들 사이의 측면과 함께 삼각형을 형성합니다.

육각형의 변과 이등분선 사이의 각도는 각각 60°이므로 삼각형, 예를 들어 AOB는 이등변이라고 확실히 말할 수 있습니다. 그리고 세 번째 각도도 60 °와 같기 때문에 등변입니다. 세그먼트 OA와 OB는 동일하므로 원의 반지름 역할을 할 수 있습니다.

그런 다음 다음 변으로 이동하여 점 C의 각도에서 이등분선을 그릴 수도 있습니다. 다른 것을 얻으십시오 정삼각형, 측면 AB는 한 번에 두 개에 대해 공통이며 OS는 동일한 원이 통과하는 다음 반경입니다. 그러한 삼각형은 총 6개가 있을 것이고 점 O에서 공통 꼭지점을 갖게 될 것입니다. 원을 설명하는 것이 가능할 것이고 그것은 단지 하나이며 반지름은 육각형의 변과 같습니다 :

그렇기 때문에 나침반과 자의 도움으로 이 그림을 구성할 수 있습니다.

음, 이 원의 영역은 표준입니다.

내접원

외접원의 중심은 내접원의 중심과 일치한다. 이를 확인하기 위해 점 O에서 육각형의 측면에 수직선을 그릴 수 있습니다. 그들은 육각형을 구성하는 삼각형의 높이가 될 것입니다. 그리고 이등변삼각형에서 높이는 그 삼각형이 놓인 변에 대한 중앙값입니다. 따라서 이 높이는 내접원의 반지름인 수직 이등분선에 지나지 않습니다.

정삼각형의 높이는 간단하게 계산됩니다.

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

그리고 R=a 및 r=h이므로

r=R(√3)/2.

따라서 내접원은 정육각형의 변의 중심을 통과합니다.

그 영역은 다음과 같습니다.

S=3πa²/4,

즉, 설명된 것의 3/4입니다.

둘레와 면적

둘레로 모든 것이 명확합니다. 이것은 변의 길이의 합입니다.

P=6a, 또는 P=6R

그러나 면적은 육각형을 나눌 수 있는 6개의 삼각형 모두의 합과 같습니다. 삼각형의 면적은 밑면과 높이의 곱의 절반으로 계산되므로 다음과 같습니다.

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2또는

S=3R²(√3)/2

내접원의 반경을 통해 이 면적을 계산하려면 다음과 같이 하면 됩니다.

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

재미있는 구조

삼각형은 육각형에 내접할 수 있으며, 육각형의 측면은 하나를 통해 정점을 연결합니다.

총 두 개가있을 것이며 서로에게 부과하면 다윗의 별이 주어질 것입니다. 이 삼각형은 각각 정삼각형입니다. 이것은 확인하기 쉽습니다. AC 쪽을 보면 한 번에 두 개의 삼각형, 즉 BAC와 AEC에 속합니다. 첫 번째 AB \u003d BC이고 그 사이의 각도가 120 °이면 나머지 각도는 각각 30 °입니다. 이것으로부터 우리는 다음과 같은 논리적 결론을 도출할 수 있습니다.

sin30°=1/2이므로 정점 B에서 ABC의 높이는 육각형 측면의 절반과 같습니다. 이것을 확인하고 싶은 사람들은 피타고라스의 정리에 따라 다시 계산하도록 조언받을 수 있습니다. 여기에 완벽하게 맞습니다.
AC 쪽은 내접원의 두 반지름과 같을 것이며 동일한 정리를 사용하여 다시 계산됩니다. 즉, AC=2(a(√3)/2)=а(√3)이다.
삼각형 ABC, CDE 및 AEF는 두 변이 같고 그 사이의 각도가 같으므로 변 AC, CE 및 EA의 평등이 따릅니다.

서로 교차하면서 삼각형은 새로운 육각형을 형성하며 규칙적입니다. 증명하기 쉽습니다.

따라서 그림은 정육각형의 기호를 만납니다. 6 개의 동일한 측면과 각도가 있습니다. 꼭지점에서 삼각형의 동일성으로부터 새 육각형의 한 변의 길이를 쉽게 추론할 수 있습니다.

d=a(√3)/3

또한 주위에 설명된 원의 반지름이 됩니다. 내접원의 반경은 삼각형 ABC를 고려할 때 증명된 큰 육각형 변의 절반이 될 것입니다. 높이는 정확히 측면의 절반이므로 두 번째 절반은 작은 육각형에 새겨진 원의 반지름입니다.

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

다윗의 별 안에 있는 육각형의 면적은 별이 새겨진 큰 육각형의 면적보다 3배나 작다는 것이 밝혀졌다.

이론에서 실천으로

육각형의 속성은 자연과 다양한 인간 활동 분야에서 매우 적극적으로 사용됩니다. 우선, 이것은 볼트와 너트에 적용됩니다. 모따기를 고려하지 않으면 첫 번째와 두 번째 모자는 일반 육각형에 지나지 않습니다. 렌치의 크기는 내접원의 지름, 즉 마주보는 면 사이의 거리에 해당합니다.

응용 프로그램과 육각형 타일을 찾았습니다. 사각형보다 훨씬 덜 일반적이지만 배치하는 것이 더 편리합니다. 4 개가 아닌 3 개의 타일이 한 지점에서 만납니다. 구성은 매우 흥미로울 수 있습니다.

콘크리트 포장 슬래브도 생산됩니다.

자연에서 육각형의 유행은 간단하게 설명됩니다. 따라서 직경이 동일한 경우 원과 볼을 평면에 단단히 맞추는 것이 가장 쉽습니다. 이 때문에 벌집은 그러한 모양을 가지고 있습니다.

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서적

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정육각형이 어떻게 생겼는지 아세요?
이 질문은 우연히 묻지 않았습니다. 대부분의 11학년 학생들은 그것에 대한 답을 모릅니다.

정육각형은 모든면이 같고 모든 각도도 같은 육각형입니다..

철 너트. 눈송이. 꿀벌이 사는 벌집의 세포. 벤젠 분자. 이 물건들의 공통점은 무엇입니까? - 모두 정육각형 모양을 하고 있다는 사실.

많은 학생들이 정육각형에 대한 작업을 볼 때 길을 잃고 문제를 해결하기 위해 몇 가지 특별한 공식이 필요하다고 믿습니다. 그렇습니까?

정육각형의 대각선을 그립니다. 우리는 6개의 정삼각형을 얻었습니다.

우리는 정삼각형의 넓이가 .

그러면 정육각형의 면적이 6배 더 커집니다.

정육각형의 변은 어디에 있습니까?

정육각형에서 중심에서 정점까지의 거리는 정육각형의 측면과 동일합니다.

이것은 정육각형에 외접하는 원의 반지름이 한 변의 반지름과 같다는 것을 의미합니다..
정육각형에 새겨진 원의 반지름은 쉽게 찾을 수 있습니다.
그는 평등하다.
이제 정육각형이 나타나는 모든 USE 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

면이 인 정육각형에 내접하는 원의 반지름을 구합니다.

그러한 원의 반지름은 입니다.

대답: .

반지름이 6인 원에 내접하는 정육각형의 한 변은?

우리는 정육각형의 한 변이 그 둘레에 외접하는 원의 반지름과 같다는 것을 압니다.

근처에 연필이 있습니까? 섹션을 살펴보십시오. 정육각형 또는 육각형이라고도합니다. 너트의 단면, 육각형 체스의 필드, 일부 복잡한 탄소 분자(예: 흑연), 눈송이, 벌집 및 기타 물체도 이 모양을 갖습니다. 거대한 정육각형이 최근에 발견되었습니다. 자연이 창조물을 위해이 특정 모양의 구조를 자주 사용하는 것이 이상하지 않습니까? 자세히 살펴보겠습니다.

정육각형은 6개의 변과 각이 같은 다각형입니다. 에서 학교 과정다음과 같은 속성이 있음을 알고 있습니다.

변의 길이는 외접원의 반지름에 해당합니다. 무엇보다 정육각형만이 이런 성질을 가지고 있다.
각도는 서로 같고 각각의 크기는 120 °입니다.
육각형의 둘레는 주위에 외접하는 원의 반지름을 알면 Р=6*R 공식을 사용하거나 원이 내접하는 경우 Р=4*√(3)*r 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. R과 r은 외접원과 내접원의 반지름입니다.
정육각형이 차지하는 면적은 다음과 같이 결정됩니다. S=(3*√(3)*R 2)/2. 반지름을 알 수 없는 경우 변 중 하나의 길이 대신 변의 길이를 대체합니다. 아시다시피 외접원의 반지름 길이에 해당합니다.

정육각형은 하나 흥미로운 기능덕분에 자연계에 널리 분포되어 있습니다. 겹치거나 틈 없이 평면의 모든 표면을 채울 수 있습니다. 측면이 1/√(3)인 정육각형이 범용 타이어라는 소위 팔 보조정리(Pal lemma)도 있습니다. 즉, 지름이 1단위인 모든 세트를 덮을 수 있습니다.

이제 정육각형의 구성을 고려하십시오. 여러 가지 방법이 있는데 가장 쉬운 방법은 나침반, 연필, 자를 사용하는 것입니다. 먼저 나침반으로 임의의 원을 그린 다음 이 원의 임의 위치에 점을 만듭니다. 나침반의 솔루션을 변경하지 않고 팁을 이 지점에 놓고 원의 다음 노치를 표시하고 6포인트를 모두 얻을 때까지 계속합니다. 이제 직선 세그먼트로 서로 연결하는 것만 남아 있으며 원하는 그림이 나타납니다.

실전에서는 큰 육각형을 그려야 할 때가 있습니다. 예를 들어, 중앙 샹들리에의 부착 지점 주변에 있는 2층 석고보드 천장에서 낮은 층에 6개의 작은 램프를 설치해야 합니다. 이 크기의 나침반을 찾는 것은 매우 매우 어려울 것입니다. 이 경우 어떻게 진행하나요? 큰 원은 어떻게 그리나요? 매우 간단합니다. 원하는 길이의 강한 실을 가져 와서 끝 중 하나를 연필 반대편에 묶어야합니다. 이제 스레드의 두 번째 끝을 올바른 지점에서 천장으로 누르는 조수를 찾는 것만 남아 있습니다. 물론 이 경우 사소한 오류가 있을 수 있지만 외부인에게는 전혀 눈에 띄지 않을 것입니다.

모서리가 네 개 이상인 가장 유명한 도형은 정육각형입니다. 기하학에서는 종종 문제에 사용됩니다. 그리고 인생에서 이것은 정확히 벌집이 자르는 것입니다.

잘못된 것과 어떻게 다른가요?

먼저 육각형은 꼭지점이 6개인 도형입니다. 둘째, 볼록하거나 오목할 수 있습니다. 첫 번째는 4개의 정점이 다른 2개를 통과하는 직선의 한쪽에 있다는 점에서 다릅니다.

셋째, 정육각형은 모든 변이 같다는 특징이 있습니다. 또한 그림의 각 모서리도 동일한 값을 갖습니다. 모든 각도의 합을 결정하려면 180º * (n - 2) 공식을 사용해야 합니다. 여기서 n은 그림의 정점 수, 즉 6입니다. 간단한 계산은 720º의 값을 제공합니다. 따라서 각 각은 120도입니다.

일상 활동에서 정육각형은 눈송이와 너트에서 발견됩니다. 화학자들은 벤젠 분자에서도 그것을 봅니다.

문제를 풀 때 알아야 할 속성은 무엇입니까?

위에서 언급한 내용에 다음을 추가해야 합니다.

중심을 통해 그려진 그림의 대각선은 정삼각형인 6개의 삼각형으로 나눕니다.
정육각형의 측면은 주변의 외접원의 반지름과 일치하는 값을 갖습니다.
이러한 그림을 사용하면 평면을 채울 수 있으며 그 사이에는 간격과 겹침이 없습니다.

도입된 표기법

전통적으로 규칙적인 기하학적 도형의 측면은 라틴 문자 "a"로 표시됩니다. 문제를 해결하려면 면적과 둘레도 필요하며 각각 S와 P입니다. 원은 정육각형에 새겨지거나 주위에 외접됩니다. 그런 다음 반경 값이 입력됩니다. 그들은 각각 문자 r과 R로 표시됩니다.

일부 수식에는 다음이 포함됩니다. 안쪽 구석, semiperimeter 및 apothem(다각형의 중심에서 모든 측면의 중간점에 수직). 문자는 α, p, m으로 사용됩니다.

그림을 설명하는 공식

내접원의 반지름을 계산하려면 다음이 필요합니다. 아르= (a * √3) / 2, 그리고 r = m. 즉, apothem에 대해서도 동일한 공식이 적용됩니다.

육각형의 둘레는 모든 면의 합이므로 다음과 같이 결정됩니다. P = 6 * a. 측면이 외접원의 반지름과 같다는 점을 감안할 때 둘레의 경우 정육각형에 대한 공식이 있습니다. P \u003d 6 * R. 내접원의 반지름에 대해 주어진 것에서 a 사이의 관계 그리고 r이 유도된다. 그런 다음 공식은 다음 형식을 취합니다. Р = 4 r * √3.

정육각형의 면적의 경우 S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2가 유용할 수 있습니다.

작업

1번. 조건.각 모서리가 4cm 인 정육각형 프리즘이 있으며 그 안에 부피를 결정해야하는 실린더가 새겨 져 있습니다.

해결책.원기둥의 부피는 밑면과 높이의 곱으로 정의됩니다. 후자는 프리즘의 가장자리와 일치합니다. 그리고 정육각형의 변과 같습니다. 즉, 실린더의 높이도 4cm입니다.

바닥 면적을 찾으려면 육각형에 새겨진 원의 반지름을 계산해야 합니다. 이에 대한 공식은 위에 나와 있습니다. 따라서 r = 2√3(cm)입니다. 그런 다음 원의 면적 : S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm 2).

대답. V \u003d 150.72cm 3.

2번. 조건.정육각형에 새겨진 원의 반지름을 계산합니다. 한 변의 길이가 √3 cm인 것으로 알려져 있는데 둘레는 어떻게 될까요?

해결책.이 작업에는 위 공식 중 두 가지를 사용해야 합니다. 더군다나 수정도 하지 않고 그대로 적용해야 하며, 변의 값을 대입하여 계산하면 됩니다.

따라서 내접원의 반지름은 1.5cm이고 둘레의 경우 다음 값이 올바른 것으로 밝혀졌습니다: 6√3cm.

대답. r = 1.5cm, Р = 6√3cm.

3번. 조건.외접원의 반지름은 6cm인데 정육각형의 한 변의 값은?

해결책.육각형에 내접하는 원의 반지름 공식에서 변을 계산해야 하는 반지름을 쉽게 구할 수 있습니다. 반지름에 2를 곱하고 3의 루트로 나눈 것이 분명합니다. 분모의 불합리성을 없애는 것이 필요하다. 따라서 조치 결과는 (12 √3) / (√3 * √3), 즉 4√3의 형식을 취합니다.

대답. a = 4√3cm.