복잡한 로그 함수의 그래프 변환. 기본 함수 그래프의 변환

지수함수 a와 동일한 n 숫자의 곱을 일반화한 것입니다.
와이 (n) = a n = a·a·a···a,
실수 x의 집합으로:
와이 (x) = 도끼.
여기서 a는 고정된 실수입니다. 지수 함수의 기초.
밑이 a인 지수 함수라고도 합니다. a를 밑으로 하는 지수.

일반화는 다음과 같이 수행됩니다.
자연의 경우 x = 1, 2, 3,... , 지수 함수는 x 요소의 곱입니다.
.
또한 숫자 곱셈 규칙을 따르는 속성 (1.5-8) ()이 있습니다. 정수의 0과 음수 값의 경우 지수 함수는 공식 (1.9-10)을 사용하여 결정됩니다. 분수 값 x = m/n 유리수, 의 경우 공식 (1.11)에 의해 결정됩니다. real 의 경우 지수 함수는 시퀀스의 극한으로 정의됩니다.
,
여기서 x로 수렴되는 임의의 유리수 시퀀스는 다음과 같습니다.
이 정의를 사용하면 모든 에 대해 지수 함수가 정의되고 자연 x와 마찬가지로 속성(1.5-8)을 충족합니다.

지수 함수의 정의와 그 속성의 증명에 대한 엄격한 수학적 공식은 "지수 함수의 속성 정의 및 증명" 페이지에 나와 있습니다.

지수 함수의 속성

지수 함수 y = a x는 실수 집합()에 대해 다음과 같은 속성을 갖습니다.
(1.1) 정의되고 연속적인, for, for all ;
(1.2) ≠에 대한 1 많은 의미가 있습니다.
(1.3) 에서 엄격하게 증가하고 에서 엄격하게 감소합니다.
에서 일정하다;
(1.4) 에 ;
에 ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

기타 유용한 공식.
.
지수 밑이 다른 지수 함수로 변환하는 공식:

b = e일 때 지수를 통해 지수 함수의 표현을 얻습니다.

개인적인 가치

, , , , .

그림은 지수 함수의 그래프를 보여줍니다.
와이 (x) = 도끼
네 가지 값에 대해 학위 기반: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 그리고 = 1/8 . 1 >에 대해 알 수 있습니다. 지수 함수는 단조롭게 증가합니다. a차의 밑이 클수록 더 커집니다.강한 성장 0 < a < 1 . ~에

지수 함수는 단조롭게 감소합니다. 지수 a가 작을수록 감소가 더 강해집니다.

상승, 하강

지수 함수는 엄격히 단조적이므로 극값이 없습니다. 주요 속성이 표에 나와 있습니다. 1 y = a x , a > 0 < a < 1
정의 영역 - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
값의 범위 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
단조 단조롭게 증가 단조롭게 감소
0, y = 0 아니요 아니요
세로축을 사용하여 점을 가로채고, x = 0 와이 = 1 와이 = 1
+ ∞ 0
0 + ∞

역함수

밑이 a인 지수 함수의 역은 밑이 a인 로그입니다.

그렇다면
.
그렇다면
.

지수 함수의 미분

지수 함수를 미분하려면 그 밑수를 e로 줄여야 하고 도함수 표와 복소 함수 미분 규칙을 적용해야 합니다.

이렇게 하려면 로그의 속성을 사용해야 합니다.
파생 상품 표의 공식은 다음과 같습니다.
.

지수함수를 주면 다음과 같습니다.
.
우리는 그것을 베이스 e로 가져옵니다:

복잡한 함수의 미분 규칙을 적용해 보겠습니다. 이렇게 하려면 변수를 도입하세요.

그 다음에

우리가 가지고 있는 도함수 표에서 (변수 x를 z로 대체):
.
는 상수이므로 x에 대한 z의 도함수는 다음과 같습니다.
.
복잡한 함수의 미분 규칙에 따르면:
.

지수 함수의 파생

.
n차 도함수:
.
수식 도출 > > >

지수함수 미분의 예

함수의 도함수 찾기
와이 = 3 5x

해결책

지수함수의 밑수를 e로 표현해보자.
3 = e ln 3
그 다음에
.
변수를 입력하세요
.
그 다음에

파생상품 표에서 다음을 찾을 수 있습니다.
.
부터 5ln 3가 상수이면 x에 대한 z의 도함수는 다음과 같습니다.
.
복잡한 함수의 미분 규칙에 따르면 다음과 같습니다.
.

답변

완전한

복소수를 사용한 표현식

기능을 고려하십시오 복소수 지:
에프 (z) = az
여기서 z = x + iy; 2 = - 1 .
나
모듈러스 r과 인수 ψ로 복소 상수 a를 표현해 보겠습니다.
그 다음에


.
a = r 나는 ψ 인수 ψ는 고유하게 정의되지 않았습니다. 안에
φ = φ 일반적인 견해,
0 + 2πn 여기서 n은 정수입니다. 따라서 함수 f(지)
.

또한 명확하지 않습니다. 그 주요 의미는 종종 고려됩니다


.

시리즈 확장
사용된 문헌:

안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

물리적 과정의 조건에 따라 일부 수량은 일정한 값을 가지며 상수라고 불리고, 다른 수량은 특정 조건에서 변경되어 변수라고 불립니다. 환경에 대한 세심한 연구는 다음을 보여줍니다.물리량

즉, 일부 수량의 변화는 다른 수량의 변화를 수반합니다.

수학적 분석은 특정한 물리적 의미를 추상화하여 상호 변화하는 양 사이의 정량적 관계를 연구하는 것입니다. 수학적 분석의 기본 개념 중 하나는 함수의 개념입니다.
세트의 요소와 세트의 요소를 고려하십시오.

(그림 3.1).
세트의 요소 사이에 일부 대응이 설정된 경우 규칙의 형태로 , 그런 다음 함수가 정의되었음을 확인합니다.
.

정의 3.1. 일치 , 각 요소와 연관됨 비어 있지 않은 세트
잘 정의된 요소 비어 있지 않은 세트 ,함수 또는 매핑이라고 함
다섯 .

상징적으로 표시
다섯 다음과 같이 작성됩니다.

.

동시에 많은
을 함수 정의 영역이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.
.

차례로, 많은 함수 값의 범위라고하며 다음과 같이 표시됩니다.
.

또한, 세트의 요소는 다음과 같습니다.
독립변수라고 불리는 집합의 요소 종속변수라고 합니다.

기능을 지정하는 방법

이 기능은 표 형식, 그래픽 형식, 분석 형식 등의 주요 방법으로 지정할 수 있습니다.

실험 데이터를 기반으로 함수 값과 해당 인수 값을 포함하는 테이블이 컴파일되는 경우 이 함수 지정 방법을 표 형식이라고 합니다.

동시에 실험 결과에 대한 일부 연구가 레코더(오실로스코프, 레코더 등)에 표시되면 기능이 그래픽으로 지정된다는 점을 알 수 있습니다.

가장 일반적인 방법은 함수를 지정하는 분석적 방법입니다. 독립변수와 종속변수를 수식을 사용하여 연결하는 방법. 이 경우 함수 정의 영역이 중요한 역할을 합니다.

동일한 분석 관계에 의해 제공되지만 다릅니다.

함수식만 지정하는 경우
, 그런 다음 이 함수의 정의 영역이 변수 값의 집합과 일치한다고 생각합니다. , 이에 대한 표현식은
말이 되네요. 이와 관련하여 함수 정의 영역을 찾는 문제는 특별한 역할을 합니다.

일 3.1. 함수의 영역 찾기

해결책

첫 번째 항은 다음과 같은 경우 실제 값을 취합니다.
, 두 번째는 . 따라서 주어진 함수의 정의 영역을 찾으려면 부등식 시스템을 풀어야 합니다.

결과적으로 이러한 시스템에 대한 솔루션은 입니다. 따라서 함수 정의 영역은 세그먼트입니다.
.

함수 그래프의 가장 간단한 변환

잘 알려진 기본 기본 함수 그래프를 사용하면 함수 그래프 구성이 크게 단순화될 수 있습니다. 다음 기능을 주요 기본 기능이라고 합니다.

1) 전원 기능
어디
;

2) 지수함수
어디
세트의 요소 사이에 일부 대응이 설정된 경우
;

3) 로그 함수
, 어디 - 1이 아닌 모든 양수:
세트의 요소 사이에 일부 대응이 설정된 경우
;

4) 삼각함수




;
.

5) 역삼각함수
;
;
;
.

기본 함수는 4개의 산술 연산과 유한한 횟수의 중첩을 사용하여 기본 기본 함수에서 얻은 함수입니다.

간단한 기하학적 변환을 통해 함수 그래프를 구성하는 과정도 단순화할 수 있습니다. 이러한 변환은 다음 설명을 기반으로 합니다.

    함수 y=f(x+a)의 그래프는 그래프 y=f(x)이며, (a >0의 경우 왼쪽으로, a의 경우)< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

    함수 y=f(x) +b의 그래프는 y=f(x)의 그래프이며, 이동된(b>0에서 위로, b에서)< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

    함수 y = mf(x) (m0)의 그래프는 y = f(x)의 그래프이며, (m>1에서) m번 늘어나거나 (0에서) 압축되었습니다.

    함수 y = f(kx)의 그래프는 y = f(x)의 그래프로, k회 압축(k >1인 경우)되거나 늘어납니다(0인 경우).< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

다음 중 역함수를 갖는 함수는 무엇인가요? 이러한 함수의 경우 역함수를 찾습니다.

4.12. 에이)

y=x;

b) y = 6 −3 x ;

d) y =

e) y = 2 x 3 +5;

4.13. 에이)

y = 4 x − 5 ;

y = 9 − 2 x − x 2 ;

y = 부호 x ;

y =1 + log(x + 2) ;

y = 2 x 2 +1 ;

x − 2

x에< 0

다) 와이 =

-x

x ≥ 0인 경우

다음 중 어떤 함수가 단조로운지, 엄격하게 단조로운지, 제한적인지 알아보세요.

4.14. 에이)

f(x)=c,cR;

b) f(x) = cos2x;

c) f(x) = 아크탄젠트 x;

d) f (x) = e 2 x;

e) f(x) = −x 2 + 2 x;

전자) 에프(x) =

2x+5

y = ctg7 x .

4.15. 에이)

f(x) = 3− x

b) f(x) =

에프(엑스)=

x+3

x+6

엑스< 0,

3x+5

d) f(x) = 3 x 3 − x;

− 10시

에프(엑스)=

전자) 에프(x) =

x 2에서

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tan(sin x).

4.2. 기본 기능. 함수 그래프 변환

데카르트 직각 좌표계 Oxy에서 함수 f(x)의 그래프는 좌표(x, f(x))가 있는 평면의 모든 점의 집합이라는 점을 상기하십시오.

종종 함수 y = f (x)의 그래프는 이미 알려진 일부 함수 그래프의 변환(이동, 늘이기)을 사용하여 구성될 수 있습니다.

특히, 함수 y = f (x)의 그래프에서 함수의 그래프가 얻어집니다.

1) y = f (x) + a – Oy 축을 따라 단위만큼 이동합니다(a > 0이면 위로, a이면 아래로).< 0 ;

2) y = f (x − b) – Ox 축을 따라 b 단위만큼 이동합니다(b > 0인 경우 오른쪽으로,

그리고 b라면 떠났다< 0 ;

3) y = kf (x) – Oy 축을 따라 k 번 늘어납니다.

4) y = f (mx) – Ox 축을 따라 m배 압축;

5) y = − f (x) – Ox 축을 기준으로 대칭 반사;

6) y = f (−x) – Oy 축을 기준으로 대칭 반사;

7) y = f(x), 다음과 같이: 그래프의 일부가 위치하지 않음

Ox 축 아래에서는 변경되지 않고 유지되며 그래프의 "하단" 부분은 Ox 축을 기준으로 대칭적으로 반영됩니다.

8) y = f(x), 다음과 같이: 그래프의 오른쪽(x ≥ 0인 경우)

변경되지 않고 "왼쪽" 대신 "오른쪽"의 대칭 반사가 Oy 축을 기준으로 구성됩니다.

주요 기본 함수는 다음과 같습니다.

1) 상수 함수 y = c;

2) 거듭제곱 함수 y = x α , α R ;

3) 지수 함수 y = a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) 대수적함수 y = 로그 a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) 삼각법함수 y = sin x, y = cos x, y = tan x,

y = ctg x, y = sec x(여기서 sec x = cos 1 x), y = cosec x(여기서 cosec x = sin 1 x);

6) 역삼각함수 y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

기본 기능유한 수의 산술 연산(+, −, ¼) 및 합성(즉, 복소 함수 f g의 형성)을 사용하여 기본 기본 함수에서 얻은 함수라고 합니다.

예제 4.6. 함수 그래프

1) y = x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

해결책: 1) 완전한 정사각형을 선택하면 함수가 y = (x +3) 2 − 2 형식으로 변환되므로 이 함수의 그래프는 함수 y = x 2의 그래프에서 얻을 수 있습니다. 먼저 포물선 y = x 2를 왼쪽으로 3단위 이동한 다음(함수 y = (x +3) 2의 그래프를 얻습니다), 그런 다음 아래로 2단위 이동하면 충분합니다(그림 4.1).

기준

정현파

y = 사인x

축을 따라 네 번

황소,

우리는 함수 y = sin 4 x의 그래프를 얻습니다(그림 4.2).

y=sin4x

y=죄 x

결과 그래프를 Oy 축을 따라 두 번 늘림으로써 함수 y = 2sin 4 x의 그래프를 얻습니다(그림 4.3). Ox 축을 기준으로 마지막 그래프를 표시하는 것은 남아 있습니다. 결과는 원하는 그래프가 됩니다(그림 4.3 참조).

y=2sin4x

y=– 2sin4 x

독립적으로 해결해야 할 문제

기본 기본 함수의 그래프를 기반으로 다음 함수의 그래프를 구성합니다.

4.16. a) y = x 2 −6 x +11 ;

4.17. a) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = 로그 2(-x);

4.20. a) y = x +5;

4.21. a) y = tgx;

4.22. a) y = 부호 x;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 − 2 x − x 2 .

y = 2cos 2 x .

변환 없이 순수한 형태의 기본 기본 함수는 드물기 때문에 상수와 계수를 추가하여 기본 함수에서 얻은 기본 함수로 작업해야 하는 경우가 가장 많습니다. 이러한 그래프는 주어진 기본 함수의 기하학적 변환을 사용하여 구성됩니다.

y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 형식의 2차 함수의 예를 고려해 보겠습니다. 그래프는 포물선 y = x 2이며 Oy에 대해 3번 압축되고 대칭입니다. Ox로 이동하고 Ox를 따라 오른쪽으로 2 3만큼 이동하고 Oy를 따라 2단위 위로 이동합니다. 좌표선에서는 다음과 같습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

함수 그래프의 기하학적 변환

주어진 그래프의 기하학적 변환을 적용하면 k 1 > 0, k 2 > 0일 때 그래프가 ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b 형식의 함수로 표시된다는 것을 알 수 있습니다. 압축 계수는 0입니다.< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > O y 및 O x를 따라 1입니다. 계수 k 1 및 k 2 앞의 부호는 축을 기준으로 그래프의 대칭 표시를 나타냅니다. a 및 b는 그래프를 O x 및 O y를 따라 이동합니다.

정의 1

3가지 종류가 있습니다 그래프의 기하학적 변환:

  • 스케일링 O x와 O y를 따라. 이는 0일 때 1과 같지 않은 경우 계수 k 1 및 k 2 의 영향을 받습니다.< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1이면 그래프는 O y를 따라 늘어나고 O x를 따라 압축됩니다.
  • 좌표축을 기준으로 대칭으로 표시됩니다. k 1 앞에 "-" 기호가 있으면 대칭은 O x를 기준으로 하고, k 2 앞에는 O y를 기준으로 합니다. "-"가 누락된 경우 문제를 풀 때 해당 항목을 건너뜁니다.
  • 병렬이송(Shift) O x와 O y를 따라. 0이 아닌 계수 a와 b가 있으면 변환이 수행됩니다. a가 양수이면 그래프는 |에 의해 왼쪽으로 이동합니다. | 단위, a가 음수이면 같은 거리에서 오른쪽으로 이동합니다. b 값은 O y 축을 따른 이동을 결정합니다. 즉, b가 양수이면 함수가 위로 이동하고, b가 음수이면 아래로 이동합니다.

거듭제곱 함수부터 시작하여 예제를 사용하여 솔루션을 살펴보겠습니다.

실시예 1

y = x 2 3 을 변환하고 함수 y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 을 플로팅합니다.

해결책

다음과 같이 함수를 표현해 보겠습니다.

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

k 1 = 2인 경우 "-", a = - 1 2, b = 3의 존재에 주의할 가치가 있습니다. 여기에서 우리는 기하학적 변환이 O y를 따라 두 번 늘어나 O x에 대해 대칭으로 표시되고 오른쪽으로 1 2만큼 이동하고 위쪽으로 3 단위만큼 이동하여 수행된다는 것을 알 수 있습니다.

원래의 거듭제곱 함수를 묘사하면 다음을 얻습니다.

O y를 따라 두 번 뻗으면 우리는 그것을 얻습니다

O x에 대해 대칭인 매핑은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

오른쪽으로 1 2 이동

3단위 위로 이동하는 것은 다음과 같습니다.

예제를 사용하여 지수 함수의 변환을 살펴보겠습니다.

실시예 2

지수 함수 y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8의 그래프를 구성합니다.

해결책.

거듭제곱 함수의 속성을 기반으로 함수를 변환해 보겠습니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

이것으로부터 우리는 일련의 변환 y = 1 2 x를 얻는다는 것을 알 수 있습니다:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

우리는 원래 지수 함수의 형식이 다음과 같다는 것을 알았습니다.

O y를 따라 두 번 쥐어짜면

O x를 ​​따라 스트레칭

Ox에 대한 대칭 매핑

매핑은 Oy에 대해 대칭입니다.

8개 단위 위로 이동

로그 함수 y = ln(x)의 예를 사용하여 해를 생각해 봅시다.

실시예 3

변환 y = ln (x) 를 사용하여 함수 y = ln e 2 · - 1 2 x 3 을 생성합니다.

해결책

이 문제를 해결하려면 로그의 속성을 사용해야 하며, 그러면 다음을 얻습니다.

y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

로그 함수의 변환은 다음과 같습니다.

y = ln(x) → y = 1 3 ln(x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

원래의 로그 함수를 플로팅해 보겠습니다.

우리는 O y에 따라 시스템을 압축합니다.

우리는 O x를 따라 늘어납니다.

우리는 O y에 대해 매핑을 수행합니다.

2단위만큼 위로 이동하면 다음을 얻습니다.

삼각 함수의 그래프를 변환하려면 ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b 형식의 해를 체계에 맞춰야 합니다. k 2 는 T k 2 와 같아야 합니다. 여기에서 우리는 0을 얻습니다.< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

y = sin x 변환으로 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

실시예 4

함수 y=sinx의 변환을 사용하여 y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 의 그래프를 구성합니다.

해결책

함수를 ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b 형식으로 줄여야 합니다. 이렇게 하려면:

y = - 3 죄 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 죄 1 2 (x - 3) - 2

k 1 = 3, k 2 = 1 2, a = - 3, b = - 2임을 알 수 있습니다. k 1 앞에는 "-"가 있지만 k 2 앞에는 없기 때문에 다음 형식의 변환 체인을 얻습니다.

y = 죄(x) → y = 3 죄(x) → y = 3 죄 1 2 x → y = - 3 죄 1 2 x → → y = - 3 죄 1 2 x - 3 → y = - 3 죄 1 2 (x - 3) - 2

상세한 사인파 변환. 원래 정현파 y = sin (x)를 그릴 때 가장 작은 양의 주기는 T = 2 π로 간주됩니다. π 2 + 2 π · k 지점에서 최대값 찾기; 1 및 최소값 - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

O y는 3배로 늘어납니다. 이는 진동 진폭의 증가가 3배 증가한다는 것을 의미합니다. T = 2 π는 가장 작은 양의 기간입니다. 최대값은 π 2 + 2 π · k입니다. 3, k ∈ Z, 최소값 - - π 2 + 2 π · k; - 3, k ∈ Z.

O x를 ​​따라 반으로 늘이면 가장 작은 양의 주기가 2배 증가하고 T = 2 π k 2 = 4 π와 같습니다. 최대값은 π + 4 π · k입니다. 3, k ∈ Z, 최소값 – in - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

이미지는 Ox를 기준으로 대칭적으로 생성됩니다. 이 경우 가장 작은 양의 주기는 변하지 않으며 T = 2 π k 2 = 4 π와 같습니다. 최대 전이는 - π + 4 π · k와 같습니다. 3, k ∈ Z, 최소값은 π + 4 π · k입니다. - 3, k ∈ Z.

그래프가 2단위씩 아래로 이동합니다. 최소공통기간에는 변화가 없습니다. 점으로의 전환으로 최대값 찾기 - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, 최소값 - π + 3 + 4 π · k; - 5 , k ∈ Z .

이 단계에서는 삼각함수 그래프가 변환된 것으로 간주됩니다.

함수 y = cos x의 상세한 변환을 고려해 봅시다.

실시예 5

y = cos x 형식의 함수 변환을 사용하여 함수 y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1의 그래프를 구성합니다.

해결책

알고리즘에 따르면 주어진 함수를 ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b 형식으로 줄여야 합니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

조건에서 k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1이라는 것이 분명합니다. 여기서 k 2에는 "-"가 있지만 k 1 앞에는 없습니다.

이것으로부터 우리는 다음 형식의 삼각 함수 그래프를 얻습니다.

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

그래픽 일러스트레이션을 통한 단계별 코사인 변환.

그래프 y = cos(x)가 주어지면 가장 짧은 총 주기는 T = 2π임이 분명합니다. 2 π · k 에서 최댓값 찾기; 1, k ∈ Z, 최소값 π + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

Oy를 따라 3 2배 늘리면 진동의 진폭이 3 2배 증가합니다. T = 2 π는 가장 작은 양의 기간입니다. 2 π · k 에서 최댓값 찾기; 3 2, k ∈ Z, π + 2 π · k의 최소값; - 3 2 , k ∈ Z .

O x를 ​​따라 절반으로 압축하면 가장 작은 양수 주기가 T = 2 π k 2 = π라는 것을 알 수 있습니다. 최대값이 π · k로 전환됩니다. 3 2 , k ∈ Z , 최소값 - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Oy에 대한 대칭 매핑. 그래프가 홀수이므로 변하지 않습니다.

그래프가 1만큼 이동하는 경우. 가장 작은 양의 기간 T = π에는 변화가 없습니다. π·k + 1에서 최댓값 찾기; 3 2, k ∈ Z, 최소값 - π 2 + 1 + π · k; - 3 2 , k ∈ Z .

1만큼 이동하면 가장 작은 양의 주기는 T = π와 동일하며 변경되지 않습니다. π·k + 1에서 최댓값 찾기; 5 2, k ∈ Z, π 2 + 1 + π · k의 최소값; - 1 2 , k ∈ Z .

코사인 함수 변환이 완료되었습니다.

y = t g x 예제를 사용하여 변환을 고려해 보겠습니다.

실시예 6

함수 y = t g (x) 의 변환을 사용하여 함수 y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 의 그래프를 구성합니다.

해결책

우선, 주어진 함수를 ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b 형식으로 줄여야 하며, 그 후에 다음을 얻습니다.

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3이고 계수 k 1 및 k 2 앞에 "-"가 있음을 분명히 알 수 있습니다. 이는 접선을 변환한 후 다음을 얻는다는 것을 의미합니다.

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

그래픽 표현을 통한 탄젠트의 단계별 변환.

원래 그래프는 y = t g (x) 입니다. 양의 기간의 변화는 T = π와 같습니다. 정의 영역은 - π 2 + π · k로 간주됩니다. π 2 + π · k, k ∈ Z.

Oy를 따라 2번 압축합니다. T = π는 정의 영역의 형식이 -π 2 + π · k인 가장 작은 양의 기간으로 간주됩니다. π 2 + π · k, k ∈ Z.

O x 3을 따라 2회 스트레칭합니다. 가장 작은 양의 주기를 계산해 보면 T = π k 2 = 3 2 π 와 같습니다. 그리고 좌표가 있는 함수의 정의 영역은 3 π 4 + 3 2 π · k입니다. 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z, 정의 영역만 변경됩니다.

대칭은 O x 방향으로 진행됩니다. 이때 기간은 변경되지 않습니다.

좌표축을 대칭적으로 표시해야 합니다. 이 경우 정의 영역은 변경되지 않습니다. 일정은 이전 일정과 일치합니다. 이는 접선 함수가 홀수임을 나타냅니다. O x와 O y의 대칭 매핑을 홀수 함수에 할당하면 이를 원래 함수로 변환합니다.

해결책

먼저 역함수를 사용하여 아크코사인에서 아크사인으로 이동해야 합니다. 삼각함수 a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . 이는 a r c sin x = π 2 - a r c cos x를 얻는다는 것을 의미합니다.

y = a r c cos x → y = - a r c cos x → y = - a r c cos x + π 2 임을 알 수 있습니다.

단계별 아크코사인 변환 및 그래픽 표현.

조건에 따른 일정

O x에 대해 매핑을 수행합니다.

π 2 만큼 위로 이동합니다.

따라서 아크 코사인에서 코사인으로의 전이가 수행됩니다. 아크사인과 그래프의 기하학적 변환을 수행해야 합니다.

k 1 = 2, k 2 = 1 3, a = - 1, b = 0임을 알 수 있으며, 여기서 k 1 및 k 2에 대해 "-" 기호가 없습니다.

여기에서 우리는 변환 y = a r c sin x가 다음 형식을 취한다는 것을 얻습니다.

y = a r c sin (x) → y = 2 a r c sin (x) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 (x - 1)

단계별 아크사인 플롯 변환 및 그래픽 표현.

그래프 y = a r c sin x는 x ∈ - 1 형식의 도메인을 갖습니다. 1이면 간격 y ∈ - π 2; π 2 는 값의 범위에 속합니다.

O y를 따라 두 번 늘려야 하며 정의 영역은 x ∈ - 1로 변경되지 않습니다. 1 및 값의 범위 y ∈ - π; π.

Ox 구조에 따른 스트레칭. 정의 영역 x ∈ - 3이 확장됩니다. 3이지만 값의 범위는 변경되지 않습니다. y ∈ - π; π.